Téma: Planetární elipsoidy

Podobné dokumenty
MASARYKOVA UNIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA KATEDRA GEOGRAFIE. Planetární geografie seminář

FYZIKA I. Gravitační pole. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole

Téma: Fáze Měsíce a planet, zdánlivý pohyb oblohy na planetách

TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD. 9, m s.

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

7. Gravitační pole a pohyb těles v něm

Obsah. Obsah. 2.3 Pohyby v radiálním poli Doplňky 16. F g = κ m 1m 2 r 2 Konstantu κ nazýváme gravitační konstantou.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

R2.213 Tíhová síla působící na tělesa je mnohem větší než gravitační síla vzájemného přitahování těles.

Referenční plochy a souřadnice na těchto plochách Zeměpisné, pravoúhlé, polární a kartografické souřadnice

Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb

4. Matematická kartografie

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Téma: Světlo a stín. Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc

Kinematika tuhého tělesa. Pohyb tělesa v rovině a v prostoru, posuvný a rotační pohyb

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015

FYZIKA I. Pohyb setrvačníku. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.

Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí

Abstrakt: Autor navazuje na svůj referát z r. 2014; pokusil se porovnat hodnoty extrémů některých slunečních cyklů s pohybem Slunce kolem barycentra

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

5a. Globální referenční systémy Parametry orientace Země (EOP) Aleš Bezděk

Derivace goniometrických. Jakub Michálek,

Obsah. 2 Moment síly Dvojice sil Rozklad sil 4. 6 Rovnováha 5. 7 Kinetická energie tuhého tělesa 6. 8 Jednoduché stroje 8

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

Derivace goniometrických funkcí

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

Odchylka ekliptiky od roviny Galaxie

Matematická kartografie. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT. Referenční plochy

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

STANOVENÍ TÍHOVÉHO ZRYCHLENÍ REVERZNÍM KYVADLEM A STUDIUM GRAVITAČNÍHO POLE

Mechanika - kinematika

Elementární křivky a plochy

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

plochy oddělí. Dále určete vzdálenost d mezi místem jeho dopadu na

Skalární a vektorový popis silového pole

Obr. 4 Změna deklinace a vzdálenosti Země od Slunce v průběhu roku

Interpretace pozorování planet na obloze a hvězdné obloze

Jiří Cajthaml. ČVUT v Praze, katedra geomatiky. zimní semestr 2014/2015

3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky

Řešení úloh 1. kola 60. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie D Autor úloh: J. Jírů. = 30 s.

s 1 = d t 2 t 1 t 2 = 71 m. (2) t 3 = d v t t 3 = t 1t 2 t 2 t 1 = 446 s. (3) s = v a t 3. d = m.

Úvod do nebeské mechaniky

Rovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83

Filip Hroch. Astronomické pozorování. Filip Hroch. Výpočet polohy planety. Drahové elementy. Soustava souřadnic. Pohyb po elipse

Ing. Oldřich Šámal. Technická mechanika. kinematika

Základní jednotky v astronomii

2. Kinematika bodu a tělesa

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Vzdálenosti ve sluneční soustavě: paralaxy a Keplerovy zákony

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

Základní topologické pojmy:

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Úloha IV.4... ach ta tíže

l, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky

9. Astrofyzika. 9.4 Pod jakým úhlem vidí průměr Země pozorovatel na Měsíci? Vzdálenost Měsíce od Země je km.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Kroužek pro přírodovědecké talenty II lekce 13

Matematika I 12a Euklidovská geometrie

JEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

03 - síla. Síla. Jak se budou chovat vozíky? Na obrázku jsou síly znázorněny tak, že 10 mm odpovídá 100 N. Určete velikosti těchto sil.

Popis tíhové síly a gravitace. Očekávaný výstup. Řešení základních příkladů. Datum vytvoření Druh učebního materiálu.

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Dynamika hmotného bodu

Základní pojmy Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Rovnoměrný pohyb po kružnici

SYLABUS 9. PŘEDNÁŠKY Z INŢENÝRSKÉ GEODÉZIE

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

Práce, energie a další mechanické veličiny

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Dynamika soustav hmotných bodů

pohyb hvězdy ve vesmírném prostoru vlastní pohyb hvězdy pohyb, změna, souřadné soustavy vzhledem ke stálicím precese,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Tělesa sluneční soustavy

2. Fyzikální kyvadlo (2.2) nebo pro homogenní tělesa. kde r je vzdálenost elementu dm, resp. dv, od osy otáčení, ρ je hustota tělesa, dv je objem

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

Maturitní témata z matematiky

Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9

17 Kuželosečky a přímky

Přijímací zkouška pro nav. magister. studium, obor učitelství F-M, 2012, varianta A

F - Mechanika tuhého tělesa

Přednášející: Ing. M. Čábelka Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie PřF UK v Praze

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Transkript:

Téma: Planetární elipsoidy Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Uvažujme v prvním přiblížení planetu jako dokonalou kouli poloměru r, střední(průměrné) hustoty µ, rotující kolem své osy úhlovou rychlostí ω. Na hmotný bod hmotnosti m na povrchu planety, nacházející se v místě P(obr.1), působí gravitační síla planety G 0,mířící(zapředpokladurovnoměrnéhorozloženíhmotnosti)dogeometrickéhostředu koule. V inerciální soustavě souřadnic posouvající se po ekliptice kolem Slunce, působí na výše zmíněný bod(vzhledem k rovnoměrnosti rotace kolem osy) ještě dynamická (setrvačná)odstředivásíla Omířícíkolmokoserotaceplanety.Oběpopisovanésíly jsou na obr.1 znázorněny na poledníkovém řezu planety bodem P. Na bod P působící výslednásíla G= G 0 + Omásměrodkloněnýoveličinu ϕodsměrugravitačnísílydo středuplanety.sílu Gnazývámetíhovousilouajejísměrukazujenazemskémpovrchu použitá olovnice(podle které pak určujeme zenit, nadir, obzorníkovou hlavní rovinu a potažmo i obzorníkové souřadnice). Vyznačme ještě rovinu rovníku planety jakožto rovinu kolmou k ose rotace procházející středem planety(na poledníkovém řezu v obr.1 je znázorněna jako přímka výše popsaných vlastností). Odchylka ϕ spojnice bodu P se středem planety od roviny rovníku definuje tzv. planetocentrickou šířku. Tento úhel nelze fyzikální cestou nijak měřit. Úhel, který dokážeme měřit, je tzv. planetární šířka ϕ (obr.1),kteroudefinujemejakoodchylkusměrutíhovésílyodrovinyrovníku.pro Zemi se tento úhel nazývá zeměpisná šířka bodu P. V další části tématu popíšeme rozdíl ϕ=ϕ ϕvzávislostinaplanetocentrickéšířce ϕ. o N r p G o ϕ P G O ϕ ϕ, r ω, N Obrázek 1: BodPsezřejměpohybujepokružniciopoloměru r p = rcos ϕ(obr.1).provelikost odstředivé síly proto dostáváme vztah 1

O=mr p ω = mrω cos ϕ. (1) Pro velikost gravitační síly, působící na bod na povrchu homogenního kulového tělesa, dostáváme podle Newtonova gravitačního zákona výraz G 0 = κ mm r, () kde Mjehmotnostplanetyaκ=6.673 10 11 [m 3 kg 1 s ]jestuniverzálnígravitační konstanta. Protože planetu uvažujeme homogenní kulového tvaru, dostáváme pro její hmotnost vztah Dosazením(3) do() vznikne M= 4 3 πµr3. (3) G 0 = 4 πκµrm=kµrm, (4) 3 kde k= 4 3 πκ=.795 10 10 jezavedenánovákonstanta.aplikujeme-linavektorový trojúhelník sil na obr.1 sínovou větu, dostaneme Aplikací kosínové věty na tentýž trojúhelník máme G= sin ϕ sin ϕ = O G. (5) G 0+ O G 0 Ocos ϕ. (6) Dosazením(6)do(5)aposlézedosazenímdovznikléhovýrazu(4)a(1),dostanemepo malé úpravě ω sinϕ sin ϕ= k µ + ω cos ϕ(ω kµ). (7) Přitétoúpravěbylovyužitogoniometrickéhovzorcesinϕ=sin ϕcos ϕ.zezískaného výsledného výrazu je patrno, že závislost změny planetární šířky na planetocentické šířce se mění pouze s hustotou planety a úhlovou rychlostí její rotace kolem osy. Pro zmíněnouúhlovourychlostrotacezřejměplatí ω= π,kde T jesiderickádobaoběhu T planety kolem osy(tedy délka hvězdného dne na planetě v sekundách). Poslední dvě veličiny pro jednotlivé planety ukazuje tabulka 1. Protože Merkur a Venuše mají úhlové Planeta T[dni,hodiny,minuty] T[s] ω[rad/s] Merkur 58d15h30m 5067000 1.4 10 6 Venuše 43d00h14m 0996040.99 10 7 Země 3h56m 86160 7.9 10 5 Mars 4h37m 8860 7.09 10 5 Jupiter 9h50m 35400 1.77 10 4 Saturn 10h14m 36840 1.71 10 4 Uran 4h00m 86400 7.7 10 5 Neptun 18h4m 6640 9.49 10 5 Tabulka 1:

rychlostisvýchrotacíccaodvařádynižšínežostatníplanety,jezvýrazu(7)zřejmé,že rozdíl šířek pro tyto dvě planety v celém rozsahu ϕ bude zanedbatelný. U ostatních planet jsou závislosti(7) znázorněny na obr.. Z obrázku je patrno, že pro všechny planety závislost vykazuje výrazné maximum nabývané pro planetocetrické šířky poněkud nižší než 45 stupňů. Nejvyšších hodnot dosahují rozdíly šířek pro řídké planety(nízká hustota µ) s rychlou rotací(vysoká úhlová rychlost ω). Poznamenejme ještě, že planetární šířka je o uvedený rozdíl šířek větší než příslušná šířka planetocentrická(obr.1). Na obr.3 je zmíněná závislost uvedena speciálně pro Zemi. V tabulce jsou, pro planety mající nezanedbatelné rozdíly šířek, znázorněny významné parametry, maximální rozdíl šířek(v obloukových minutách) a planetocentrická šířka, ve které se uvedené maximum nabývá (ve stupních). Planeta µ[kgm 3 ] T[s] ϕ max [ ] ϕ max [ o ] Země 5500 86160 5.96 44.95 Mars 3900 8860 7.94 44.93 Jupiter 1300 35400 155.8 43.70 Saturn 700 36840 76.4 4.70 Uran 100 86400 7.3 44.77 Neptun 1700 6640 3.86 44.73 Tabulka : 300 50 Srovnani zmen planetarnich a planetocentrickych sirek vybranych planet Zeme Mars Jupiter Saturn Uran Neptun zmena sirky φ [minuty] 00 150 100 50 0 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 planetocentricka sirka φ [ o ] Obrázek : 3

6 Zavislost zmeny planetarni a planetocentricke sirky Zeme na planetocentricke sirce 5 zmena sirky φ [minuty] 4 3 1 0 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 planetocentricka sirka φ [ o ] Obrázek 3: Ukazuje se, že pro všechny planety je odstředivá síla vztažená na jednotku hmotnosti (čili dostředivé zrychlení při kruhovém pohybu bodu P) menší(někdy i podstatně) než gravitační síla vztažená na jednotku hmotnosti(čili povrchové gravitační zrychlení planety). Matematicky řečeno je absolutní hodnota druhého sčítance pod odmocninou ve jmenovateli výrazu(7) vždy menší než první sčítanec. Lze proto(při toleranci jisté nepřesnosti) onen druhý sčítanec vůči prvnímu zanedbat, čímž po jednoduché úpravě dostaneme přibližný(ale podstatně jednodušší) vztah pro rozdíl šířek ve tvaru sin ϕ= ω sinϕ kµ Derivací této rovnice podle ϕ obdržíme po malé úpravě = π kµtsinϕ. (8) d ϕ dϕ = 4π kµt cosϕ cos ϕ. (9) Nulová derivace(jakožto nutná podmínka extrému) je proto ekvivalentní vztahu cosϕ=0 ϕ=± π 4. Aniž bychom určovali druhou derivaci pro zjištění kvality extrému, jest z názoru zřejmé, žepro ϕ=45 o nabývázkoumanáfunkcemaxima.totomaximummáhodnotu(vzniklou dosazením ϕ= π 4 do(8)) ϕ max = ϕ ϕ=45 o=arcsin π kµt. (10) 4

Tento extrém rozdílu šířek závisí opět pouze na hustotě a době oběhu(potažmo úhlové rychlosti) planety při její rotaci kolem osy. Pro planety, pro něž má tento extrém významnější hodnotu, je tento uveden(v obloukových minutách) v tabulce 3(její druhý řádek). Zároveň je v této tabulce(třetí řádek) uveden i skutečný extrém přesného výrazu (7)(viz též tabulka ). Tento extrém nebyl určen exaktním použitím prostředků matematické analýzy(vzniklá rovnice by byla bez použití numerických metod neřešitelná transcendentní rovnice), nýbrž numerickým určením maximální hodnoty při vyčíslení (7)pro ϕzintervalu(0,90)[ o ]pokroku0.01[ o ].Ztabulkyjepatrno,žeskutečnýextrém jeoněcovětšíazároveňsilzeudělatpředstavuochyběpřibližnéhovýrazu(8). Planeta Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun ϕ maxaprox [ ] 5.95 7.93 149.1 55.8 7.10 3.55 ϕ maxskut [ ] 5.96 7.94 155.8 76.4 7.3 3.86 Tabulka 3: Jepatrno,žechybaextrémurostesjehovzrůstajícíhodnotou.ProZemiaMars jechybaccapromile,prourananeptunccaprocento.protytoplanetylzetedypro výpočet rozdílu šířek použít jednodušší výraz(8). Největší chybu vykazuje Saturn, a to okolo 8 procent. Pro ilustraci uvádíme na obrázku 4 pro Saturna srovnání průběhu změny šířky ϕ v závislosti na planetocentrické šířce ϕ podle přesného vztahu(7) a podle přibližného vztahu(8). 300 Srovnani presneho a priblizneho vyrazu pro zmenu sirky Saturna presne priblizne 50 zmena sirky φ [minuty] 00 150 100 50 0 0 10 0 30 40 50 60 70 80 90 planetocentricka sirka φ [ o ] Obrázek 4: Poznámka: Planety při vzniku sluneční soustavy neměly pevný povrch a rotovaly kolem svých os. Tuhnutí povrchu probíhalo tak, aby výsledná tíhová síla měla nositelku normálovou k povrchu. Této vlastnosti vyhovuje(na pólech zploštělý) rotační elipsoid. 5

Toto těleso jest také druhým přiblížením tvaru planet. Libovolný poledníkový řez planetoujepakelipsaopoloosách a(hlavní)ab(vedlejší).normála nkelipsevpovrchovém boděp(obr.5)potomdefinujeplanetárníšířku ϕ,zatímcospojnicebodupsestředems elipsy definuje planetocentrickou šířku ϕ. Odchylka těchto dvou přímek vyjadřuje změnu šířek ϕ. Metodami analytické geometrie lze zjistit(podrobnosti vynecháme), že N n ϕ. S ϕ ϕ, t N, Obrázek 5: ( ) a tgϕ. tgϕ = (11) b Protožefunkcetangensjenaintervalu(0; π)rostoucí,plyneodtud,žerozdílšířek ϕ se zvětšuje se vzrůstající odlišností velikostí poloos elipsy. Tuto odlišnost kvantifikujeme bezrozměrnou veličinou z= a b =1 b a a, kterou nazýváme zploštěním elipsy. Zřejmě z 0; 1) a kružnice má nulové zploštění. Zploštění planety tedy roste se vzrůstajícím maximálním rozdílem šířek. Nejvíce zploštělé jsou tedy řídké, rychle rotující velké vnější planety. Prakticky bez zploštění(kulové) jsou vnitřní extrémně pomalu rotující planety. Uprostřed množiny pak leží Země a Mars s malým zploštěním. V tabulce 4 uvádíme pro ilustraci zploštění planet zaokrouhleno na jedinou platnou cifru. Planeta Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun Zploštění 0 0 0.003 0.009 0.06 0.1 0.06 0.0 Tabulka 4: Poznámka: Často se zploštění planet vyjadřuje ve tvaru poměru. Z jiných předmětů jistě víte, že přesná hodnota zploštění Země je 1:97, což činí 0.00337. 6