F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Evopský sociální fond Paha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
F5 JEDNODUCHÁ KONZERVATIVNÍ POLE Asi nejznámějším konzevativním polem je gavitační silové pole Ke gavitační síle existuje potenciální enegie taková, že gavitační síla je minus gadientem této enegie Equation Chapte (Next) Section 1 Gavitační zákon Dvě tělesa se vždy vzájemně přitahují silou, kteá je přímo úměná součinu jejich gavitačních hmotností Tento fakt plyne přímo z definice gavitační hmotnosti jakožto schopnosti těles se vzájemně přitahovat: F m1m (51) Gavitační síla je, jak objevil Isaac Newton v 17 století, nepřímo úměná duhé mocnině vzdálenosti mezi tělesy, tedy 1 F (5) Oba dva vztahy můžeme sloučit do jednoho jediného zákona mm 1 F G, (5) kde G je koeficient úměnosti, kteý nazýváme gavitační konstanta Její pvní měření pochází od Henyho Cavendishe z oku 1798 Na vodoovném ameni zavěšeném na vlákně mel dvě olověné koule o hmotnostech přibližně 0,75 kg K těm střídavě přibližoval velké olověné koule o hmotnosti 158 kilogamů a za pomoci zcátka umístěného na svislém závěsu pozooval zkoucení tohoto závěsu vlivem přitahování Současná hodnota gavitační konstanty je G = (6,674 ± 0,0010) 10 11 m s kg 1 Gavitační konstanta je nejméně přesně změřenou fundamentální konstantou Z komunistické éy přetvalo v někteých textech značení gavitační konstanty řeckým písmenem kapa (ϰ) Často je uspořádání takové, že jedno z těles má výazně větší hmotnost než ostatní (například sledujeme pohyb planet kolem Slunce nebo pohyb dužic kolem Země) Hmotnější těleso pak umístíme do středu souřadnicové soustavy a předpokládáme, že menší těleso jeho pohyb ovlivní minimálně: V silovém předpisu je nyní vzdálenost testovacího tělesa do počátku souřadnic Vzhledem k tomu, že síla má být deivací potenciální enegie, musí být potenciální enegie úměná ±1/ Znaménko učíme tak, aby síla působila ve směu menších, tj bude platit modá křivka ; F G Wp G (54) F5-
Povšimněte si, že gavitační enegie je záponá a se vzdalováním těles oste To je na pvní pohled divné, očekávali bychom, že gavitační enegie bude se vzdalováním slábnout Pokud si ale povšimneme, že W p sice oste, ale k nule, je vše v pořádku V absolutní hodnotě skutečně gavitační potenciální enegie slábne Pokud budeme chtít opavdu řešit pohyb těles, nestačí nám jen znalost velikosti gavitační síly, ale musíme znát její jednotlivé složky Vypočtěme z potenciální enegie například x-ovou složku síly: W p 1/ Fx G G x y z x x x y z x / G ( x)( 1/) x y z G x Analogicky učíme ostatní složky: Fx G x, Fy G y, Fz G z Pokud chceme sledovat pohyb tělesa o hmotnosti m, musíme řešit pohybové ovnice (55) mx G x, my G y, (56) mz G z Nezapomeňme, že = (x +y +z ) 1/, soustava je tedy nelineání a nejvhodnější je numeické řešení Povšimněte si, že hmotnost testovacího tělesa se na obou stanách pohybové ovnice vykátí (pokud je jeho setvačná hmotnost ovna gavitační) a výsledný pohyb nebude na hmotnosti tělesa záviset Matka uvolněná z kosmické lodi se kolem Slunce bude pohybovat po stejné dáze jako celá planeta Nalezněme velikost síly odpovídající složkám (55): G m M G m M x y z 6 4 F FF F F F x y z G Velikost síly tedy vyjde tak, jak ji známe z gavitačního zákona Vztah po sílu (55) můžeme zapsat také ve tvau F G (57) Síla má velikost G/ a míří ve směu jednotkového vektou /, tedy směem ke středu souřadnic F5-
Gavitační síla je v poli centálního tělesa dána předpisem F G ; F G Potenciální enegie má tva (je záponá a s ostoucí vzdáleností oste k nule) W G p Sílu můžete vždy získat jako záponě vzatý gadient potenciální enegie Tíže Pokud pobíhá pohyb v těsné blízkosti povchu Země, nevyužijeme z gavitačního zákona celou křivku Pohybujeme se maximálně několik kilometů nad zemí nebo pod zemí Po takovéto pohyby postačí nahadit skutečnou závislost pouhou tečnou K tomu využijeme Lagangeovu větu o příůstku zapsanou po potenciální enegii: Wp Wp ( R) R (58) Wp W0 Wp ( R) RW0 G R R Konstanta W 0 je nepodstatná, potenciální enegii můžeme posunout o jakoukoli konstantu a síla působící na těleso se nezmění (je deivací potenciální enegie) Rozdíl R má význam výšky nad povchem Po lineání závislost máme finální vztah M Wp W0 mgh; g G (59) R Jde o tíži, tíhové zychlení na povchu můžeme učit z hmotnosti a ozměu tělesa Jiné nám vyjde na Zemi, jiné na Měsíci a jiné při povchu Slunce Tíže je lineání apoximací gavitace u povchu tělesa Tíže oste lineáně se vzdáleností V nekonečnu by tíhová enegie měla nekonečnou hodnotu, ale tam již tato apoximace neplatí U otujícího tělesa se do tíhového zychlení zahnují i odstředivé jevy F5-4
Coulombův zákon Vzájemné působení dvou nábojů je velmi podobné gavitaci Síla je úměná nábojům obou těles a nepřímo úměná duhé mocnině jejich vzdálenosti Potenciální enegie je opět nepřímo úměná vzdálenosti obou těles: qq qq F ; 4 (510) 1 1 W p 4 0 0 Po ůzné znaménko nábojů vyjde potenciální enegie záponá, tedy přitažlivá, jako tomu bylo u gavitace Po opačná znaménka nábojů vyjde potenciální enegie kladná a náboje se budou odpuzovat Z histoických důvodů je konstanta úměnosti označena v soustavě SI jako 1/4πε 0, kde ε 0 se nazývá pemitivita vakua 1 1 0 8,854 10 C N m (511) Pokud je jeden náboj výazně větší než duhý, můžeme ho opět umístit do počátku souřadnicové soustavy, potom bude mít význam vzdálenosti testovacího náboje q od počátku souřadnic, kde je náboj Q Vztah (510) přejde na qq qq qq F ; F ; Wp (51) 4 4 4 0 0 Zkontolujte si, že síla má po dva souhlasné náboje spávný smě (tedy od počátku souřadnicové soustavy) 0 Coulombova síla je odpudivá po shodné náboje a přitažlivá po náboje opačných znamének Tomu odpovídá vyjádření potenciální enegie a síly po centální náboj: qq qq qq F ; F ; Wp 4 4 4 0 0 0 F5-5