3.1. Magnetické pole ve vakuu a v látkovém prostředí Elektromagnetická indukce Energie a silové účinky magnetického pole...

Transkript

1

2

3 Obsah Předmluva Elektostatika.. Elektostatické pole ve vakuu Elektostatické pole v dielektiku Kapacita. Kondenzáto Enegie elektostatického pole Elektický poud.. Elektický odpo, páce a výkon elektického poudu Elektické obvody a sítě. Kichhoffovy zákony Vedení elektického poudu a kapalinách Magnetismus 3.. Magnetické pole ve vakuu a v látkovém postředí Elektomagnetická indukce Enegie a silové účinky magnetického pole Výsledky... 5 Tabulky Liteatua

4 Předmluva Toto skiptum je učeno po studenty učitelství fyziky, ale též po posluchače neučitelských směů jako pomůcka ke cvičením a přednáškám z obecné fyziky a k samostatnému domácímu studiu. Úvodní kuz fyziky představuje obtížnou část studia. Výbě úloh je poto poveden tak, aby jejich řešení pomohlo studentům k hlubšímu pochopení přednášené látky. Pvní část skipt tvoří zadání úloh. U náočnějších úloh nebo u úloh, na nichž lze ukázat metodiku řešení fyzikálních poblémů, je ve skiptu uveden ozbo a úplné řešení. Po jednodušší oientaci v textu jsou někteé klíčové fyzikální pojmy vyznačeny tučně. Označují zpavidla skupinu úloh, kteé po nich následují a kteé se vztahují k danému tématu, označenému klíčovým slovem. Ve duhé části jsou výsledky úloh. Podle předpokládané obtížnosti jsou u jednodušších příkladů uvedeny pouze výsledky, u obtížnějších úloh je návod, kteý má ukázat cestu k řešení. Na konci skipt jsou pak zařazeny tabulky vybaných fyzikálních a mateiálových konstant. Závěem bych chtěla poděkovat ecenzentům Doc. ND. E. Vavřincovi,CSc. a Doc. ND. D. Novotnému,CSc. Za cenné ady patří můj dík též ND. J. Pavlíkovi, CSc. Doufám, že předložená skipta se stanou dobou pomůckou posluchačům a budou je povázet během celého jejich studia. Ústí nad Labem E. Hejnová 4

5 . Elektostatika.. Elektostatické pole ve vakuu.. Dvě stejné částice, jejichž ozměy můžeme zanedbat, jsou nabity náboji ovnými náboji elektonu. Jakou hmotnost by tyto částice musely mít, aby přitažlivá gavitační síla působící mezi nimi byla v ovnováze se silou elektostatickou? Kolikát by tato hmotnost byla větší než hmotnost elektonu?.. Jak velké stejné náboje musíme umístit do středu dvou homogenních koulí, z nichž každá má hmotnost ovnou hmotnosti Země (M z = 6. 4 kg), aby gavitační a elektostatická síla byly v ovnováze?..3 Poovnejte elektickou odpudivou a gavitační přitažlivou sílu dvou elektonů...4 Dvě kuličky zanedbatelného půřezu jsou od sebe vzdáleny m. Jedna z nich je nabita nábojem C, duhá nábojem C. a) Jak velkou silou se budou kuličky přitahovat? b) Jak velkou silou na sebe budou působit, jestliže se před umístěním do předepsané vzdálenosti kuličky dotkly?..5 Dva stejné náboje, uložené na malých kuličkách, kteé jsou od sebe vzdálené cm, působí na sebe ve vakuu silou 4,9. -6 N. Vypočtěte velikost nábojů...6 Dvě stejné kapky jsou nabity náboji ovnými náboji elektonu. Jaké jsou poloměy kapek, je-li síla elektického odpuzování stejně veliká jako gavitační síla, kteou se přitahují?..7 V Bohově modelu vodíkového atomu obíhá elekton po kuhové dáze kolem potonu. Je-li polomě dáhy 5,8. -9 cm, vypočtěte: a) kolikát oběhne elekton kolem jáda za sekundu, b) jaká je jeho postupná ychlost...8 Ve vzdálenosti l od sebe jsou pevně umístěné dva kladné náboje Q a 4Q. Kde na spojnici mezi oběma náboji je třeba umístit třetí náboj Q, aby výsledná síla, kteá na něj působí, byla nulová? 5

6 ..9 Dva hmotné body, každý o hmotnosti m = g, jsou v gavitačním poli s tíhovým zychlením g = 9,8 m.s - zavěšeny na nehmotných závěsech délky l = m. Tyto hmotné body se po nabití stejnými náboji ozestoupí na vzdálenost = 5. - m. Jak velký náboj nese každý hmotný bod?.. Dvě malé vodivé kuličky jsou zavěšeny na dlouhých nevodivých nitích na jednom háčku. Kuličky jsou nabity stejnými náboji a jsou od sebe vzdáleny = 5 cm. Co se stane, když jedna z kuliček ztatí náboj?.. Ve vcholech čtvece o staně a jsou stejné náboje e. Jaký náboj Q musíme umístit dopostřed čtvece, aby síly působící na každý náboj byly ovny nule? Je tato ovnováha stabilní?.. V ozích ovnostanného tojúhelníka jsou umístěny stejné náboje Q. Jak velký náboj q musíme umístit do středu tojúhelníka, aby elektické síly působící na náboje byly nulové?..3 Ve vcholech A, B, C ovnoamenného tojúhelníka o základně d = m, s pavým úhlem při vcholu B, jsou umístěny el. náboje Q A = + C, Q C = -, C. Jaká musí být velikost náboje Q B, aby výsledná síla, působící na náboj Q C, směřovala ovnoběžně s úsečkou spojující body A a B?..4 Jaká je intenzita el. pole v bodě ležícím upostřed mezi náboji o velikosti Q =. -3 C a Q = C? Tyto náboje jsou od sebe vzdáleny m. Řešení: Výslednou intenzitu nalezneme jako vektoový součet intenzit elektického pole od jednotlivých nábojů E = E + E, tedy Q Q E = Veličiny esp. jsou vektoy mající velikost a smě spojnice náboje Q esp. Q a místa, v němž zjišťujeme intenzitu pole. Oba tyto vektoy leží na jedné přímce, jsou stejně veliké ( = =,5 m), mají však opačný smě. Pomocí jednotkového vektou n, kteý má stejný smě jako vekto, můžeme vektoy vyjádřit ve tvau, = n, = n. 6

7 Předchozí vztah pak můžeme psát ve tvau Q Q 7 E n 7, = n = πε V.m -..5 Najděte v místě A ve vakuu velikost intenzity el.pole buzeného dvěma bodovými el. náboji Q = C a Q = C. Jejich vzájemná poloha a poloha vzhledem k bodu A je zřejmá z ob... Řešení: Ob.. Po celkovou intenzitu el. pole v místě A je možné psát E = E + E, kde E a E jsou příspěvky jednotlivých nábojů k celkové intenzitě pole. Po absolutní hodnotu celkové intenzity E je možno vhledem k označení na ob.. psát E = Úhel α můžeme učit ze vztahu + E + E EE cosα = + cosα, takže cosα = = =, 4 z čehož vyplývá, že α = 9. Tedy E = E + E. Jestliže E =,5. 3 V.m - a E = 49,9. 3 V.m -, je E = 54,7. 3 V.m Dva bodové náboje Q = 8 µc, Q = 5 µc jsou ve vzdálenosti d = cm. a) Ve kteém místě na jejich spojnici se intenzita el. pole ovná nule? b) Ve kteém místě na jejich spojnici jsou potenciály, buzené oběma náboji, stejné? 7

8 ..7 Ve dvou bodech vzdálených od sebe d = m jsou umístěny náboje Q = +3C a Q = -C. Na spojnici těchto nábojů je umístěn náboj q = +,C. Kde musí být tento náboj umístěn, aby na něj nepůsobila žádná síla? Učete intenzitu el. pole v tomto bodě...8 Dva stejně velké bodové náboje opačného znaménka jsou ve vzdálenosti l od sebe. Jaká je velikost intenzity el. pole v bodě, kteý je ve vzdálenosti od pvého a ve vzdálenosti od duhého náboje?..9 Jaká je velikost intenzity el. pole upostřed šestiúhelníku o staně a, v jehož vcholech je umístěno: a) šest stejně velkých nábojů téhož znaménka, b) šest stejně velkých nábojů, z nichž tři jsou kladné a tři záponé?.. Izolovaná kulička o poloměu = cm je umístěna daleko od ostatních předmětů a je nabita na potenciál 4 5 V. Učete a) náboj kuličky, b) intenzitu těsně při povchu kuličky, c) intenzitu ve vzdálenosti =8 cm od povchu kuličky. Poznámka k příkladům týkajících se výpočtu el. potenciálu: Ve všech úlohách, pokud není řečeno jinak, uvažujte potenciál v nekonečnu za nulový... Jak velké je napětí mezi dvěma body A a B, kteé jsou v elektostatickém poli náboje Q = C, a to tak, že bod A je od náboje Q vzdálený cm a bod B cm v tom samém směu?.. Z vodivé mýdlové bubliny o poloměu = cm a nabité na potenciál ϕ = kv vznikne po pasknutí kapka vody o poloměu =,5 cm. Jak velký je potenciál kapky ϕ?..3 Jak velký musí být polomě koule, aby na ní bylo možno umístit náboj C bez toho, aby vzniklo sšení? ( Maximální intenzita pole, při kteé ještě nevznikne sšení ve vzduchu, je 5 kv. cm-.)..4 Vypočtěte potenciál na povchu Země a náboj Země, jestliže intenzita elektického pole těsně nad povchem Země má hodnotu E = V.m - a je-li polomě Země z = km. 8

9 ..5 Osm kapek vody se slije do jedné větší kapky. Učete potenciál této kapky, když každá menší kapka měla polomě = mm a náboj Q = - C tuťových kapiček o poloměu = cm, z kteých každá má el. náboj Q =. -4 C, se slily v jednu kapku o poloměu. Vypočtěte velikost el. potenciálu ϕ na povchu kapiček před jejich slitím, náboj Q a el. potenciál ϕ kapky...7 Jaká je tíha vodivé koule o půměu = m, kteá má záponý potenciál hodnoty ϕ = 6 V a kteá se v učitém místě zemského elektického pole, kde intenzita pole má hodnotu E = 4 V.m -, pávě vznáší ve vakuu? Předpokládejte, že koule se nachází v blízkosti zemského povchu...8 Vypočítejte celkový náboj Země a plošnou hustotu náboje na jejím povchu, jestliže gadient potenciálu el. pole zemského ovzduší je na povchu Země V.m - a jestliže polomě Země je km?..9 Pomě velikostí dvou bodových nábojů ůzných znamének je n, vzdálenost obou nábojů je a. Dokažte, že po zadanou soustavu nábojů existuje nulová ekvipotenciální plocha, jejíž body mají konečnou vzdálenost od obou nábojů. Vyšetřete tva této ekvipotenciální plochy...3 El. pole je buzeno nábojem Q = µc, kteý je ovnoměně ozložen po kuhové desce o poloměu = cm. Vypočítejte potenciál a intenzitu el. pole na otační ose této desky ve vzdálenosti a = cm od jejího středu. Řešení: x y dx ds d A a a Ob.. z 9

10 Jestliže se v tomto případě jedná o elektické pole v okolí elektického náboje, kteý je spojitě ozložený po povchu vodiče, budeme potenciál počítat podle vztahu σds ϕ =. kde σ je plošná hustota náboje a v našem případě po ni platí vztah σ =. π Vzhledem k symetii úlohy zvolíme pavoúhlou soustavu souřadnic (O; x,y,z) s počátkem O ve středu disku a s osou z kolmou na ovinu disku. Plošný element ds můžeme v tomto případě (viz ob..) vzhledem k osové symetii ozložení nábojů uvažovat ve tvau mezikuží šířky d, takže ds = π d. Po potenciál v místě A je možné psát ϕ = Q.π Q. π d = πε (Návod: po výpočet integálu použijte substituce t = z +.) Po dosazení číselných hodnot dostaneme po z = a, že ϕ = 4,5. 4 V Intenzitu elektického pole zjistíme pomocí vztahu ϕ ϕ ϕ E = gadϕ = i + j + k. x Potože v našem případě je intenzita pole v místě A pouze funkcí poměnné z, je možné psát ϕ E = z kde a je jednotkový vekto ve směu osy z. Platí tedy tj. po z = a E Q Q E = πε a. a y. z, + z z a 5 = a =,899. a V.m -. πε + a z + Q d = πε..3 Na kulovém vodiči s poloměem = cm je el. náboj Q = 6 µc. Najděte poloměy ekvipotenciálních hladin el. pole, buzeného tímto nábojem, jestliže potenciály těchto hladin se od sebe liší o 5 V, považujeme-li za pvní ekvipotenciální hladinu povch vodiče. Q [ z + ] = ( z + z) πε Q

11 ..3 Mezi dvěma ovnoběžnými vetikálními deskami vzdálenými od sebe d =,5 cm se nachází elekticky nabitá kapička hmotnosti m = -9 g. Když desky nabijeme na ozdíl potenciálů U = 4 V, volně puštěná kapička padá pod úhlem α = 7 5 vzhledem k vetikále. Učete náboj kapičky C..33 Kulička o hmotnosti m = g je el. nabitá nábojem Q =.. S jakým zychlením se bude tato kulička pohybovat v homogenním el. poli s intenzitou E = 3 V.cm -? Tíhové pole neuvažujte...34 Jsou dané tři paalelní oviny A,B,C (viz ob..3). ovina A je uzemněná, ovina B ve vzdálenosti a od oviny A je nenabitá a ovina C ve vzdálenosti b od oviny A je nabitá plošným nábojem σ. oviny jsou vodivé. Vypočítejte potenciály ovin B a C. a b σ Ob..3 C B A..35 Tři paalelní vodivé oviny A,B,C jsou umístěné podle ob..4. Na ovině B je plošný náboj σ. oviny A a C jsou vodivě spojené a nenabité. Učete plošné náboje na vnitřních plochách ovin A a C. d d σ A B C Řešení: Ob..4 Platí (viz ob..5) z čehož plyne E = ε σd E = σ E + E =, ε d Ed, E ( d + d ) ε ε ( d + d ) σ A = = σd σ B = ε,

12 kde σ A a σ B jsou plošné náboje na ovinách A a B, takže σ A σd = d + d, σ B σd = d + d. d d σ E E A B C Ob Dva bodové náboje A,B jsou ve vzdálenosti 3 cm, pvní náboj má velikost C, duhý -7 C. a) Jaký je potenciál v bodě D, kteý je ve vzdálenosti cm od B a cm od A? b) Jaký je potenciál v bodě C, kteý je ve vzdálenosti 5 cm od A a 5 cm od B? c) Jak velká páce se vykoná, přenese-li se náboj C z bodu D do bodu C?..37 Středy dvou vodivých koulí A, B, z nichž každá má polomě cm, jsou ve vzdálenosti m. Koule A má náboj C a koule B náboj C. Vypočtěte napětí mezi koulemi, nepřihlížíme-li ke změně ozdělení náboje na koulích vlivem přitažlivých sil...38 Každá ze dvou vodivých koulí o poloměech cm a cm má náboj -8 C. Vzdálenost středů koulí je m. Jaký bude konečný náboj a potenciál každé z nich, jsou-li spojeny tenkým dátkem?..39 Na vodivé kouli A o poloměu cm je ovnoměně ozložen náboj -8 C. Vedle ní se nachází vodivá koule B o poloměu cm, kteá neobsahuje žádný náboj. Obě koule spojíme tenkým dátkem, takže vzdálenost středů koulí je 5 cm. Učete a) náboje obou koulí, b) plošnou hustotu náboje na obou koulích...4 Vypočtěte intenzitu el. pole v bodě M, kteý je ve vzdálenosti a od přímky ovnoměně nabité s lineání hustotou náboje τ.

13 Řešení: de de y de y de de x α α de x a dx dx x Ob..6 Nekonečně dlouhá přímka je ovnoměně nabita (viz ob..6). Abychom vypočítali intenzitu elektického pole v bodě M ve vzdálenosti a od přímky, zvolíme souřadný systém tak, že osu x zvolíme ve směu přímky a osu y tak, aby pocházela daným bodem M.Vzdálenost bodu M od osy y je a. Je-li τ náboj připadající na délkovou jednotku přímky, bude na délkovém elementu dx náboj dq = τ.dx. Intenzitu pole de náboje dq v bodě M ozložíme do složek de y a de x ovnoběžných s osami souřadnic. Ke zvolenému délkovému elementu dx existuje vzhledem k počátku element souměně ležící, jehož náboj vyvolá v bodě M pole o intenzitě de, esp. složkách de x a de y. Složky de x a de x jsou stejně veliké, mají opačný smě a vzájemně se uší. Výsledné pole de je dáno součtem stejně velkých složek E y takže dostaneme de = de cosα. Náboj dq lze považovat za bodový, takže de má velikost τdx de = ; po dosazení za a = dostaneme cosα de = Intenzita pole je pak dána vztahem τ cos a 3 3 α dx. d a de y, τ cos α E = dx. πε a Integál vypočteme, zvolíme-li novou integační poměnnou α a použijeme-li a π vztahů x = a. tgα, dx = dα. Integujeme-li v mezích od do, dostaneme cos α 3 π / τ cos α τ τ π / τ E = dx = cosα. dα = [ sinα ] =. πε a πε a πε a πε a 3

14 Vekto intenzity elektostatického pole nekonečně dlouhé nabité přímky má smě k ní kolmý a jeho velikost klesá nepřímo úměně se vzdáleností od přímky...4 Náboj q = C je ovnoměně ozložen po kužnici o poloměu = cm. ) Vypočítejte intenzitu elektického pole buzeného tímto nábojem a) ve středu kužnice, na kteé je náboj ozložen, b) v bodě ležícím na ose této kužnice ve vzdálenosti x od středu kužnice. ) Učete vzdálenost x o na ose kužnice, ve kteé je intenzita elektického pole maximální. Jaká je intenzita v této vzdálenosti? Řešení: a) E = b) Délková hustota náboje na kužnici je q τ = = 8. C. m π 9 Každé dva elementy dl nacházející se na půměu kužnice podle ob..7 vytvoří v bodě P osovou intenzitu pole (směřující do středu kužnice) de =. τ. dl cosϕ = ρ πε τ. dα τ cosα = + x πε x. dα ( + ) x Integací posledního výazu od do π dostaneme výaz po velikost intenzity pole v bodě P ( ve vzdálenosti x od středu kužnice) ve tvau E = 4 πε qx ( + ) x ) Velikost intenzity je maximální ve vzdálenosti x = x, kde = E x záoveň <. x=x Po pvní deivaci platí q dl.. dα dl 3 /. x ρ 3/ ϕ de ϕ. E x Ob..7 x=x de P de a 4

15 E x q = + x ( x ) 3 ( + ) x= x x Z posledního výazu plyne po x hodnota x = = 7,. m. =. Výpočtem duhé deivace se přesvědčíme, že ve vzdálenosti x intenzita nabývá svého maxima, po kteé platí E max =,73. 3 V.m Vypočítejte půběh intenzity elektického pole vně i uvnitř homogenně nabité koule o poloměu. Celkový náboj koule je Q. Při výpočtu použijte Gaussovy věty. Řešení: U někteých vodičů s velkou symetií, na kteých je náboj ovnoměně ozložen, můžeme předem odhadnout tva silokřivek. V těchto případech je výhodné použít k výpočtu intenzity pole E Gaussovy věty, podle kteé je tok intenzity pole uzavřenou plochou S oven /ε násobku náboje Q uvnitř plochy Q N = E. ds =. ( S ) ε Plochu, přes kteou počítáme tok intenzity el. pole, volíme tak, aby části této plochy byly buď kolmé na silokřivky nebo byly s nimi ovnoběžné. V těchto případech je výpočet toku intenzity jednoduchý, neboť tok plochou ovnoběžnou se silokřivkami je nulový. Pokud je na ploše kolmé k siločaám intenzita el. pole konstantní, je tok touto plochou oven N = ES. U nabité koule lze z důvodů symetie předpokládat, že siločáy budou mít tva polopřímek vycházejících ze středu koule. Plochu, kteou počítáme tok intenzity, poto volíme jako soustřednou kulovou plochu poloměu pocházející bodem, v němž chceme spočítat intenzitu. Na této ploše bude mít zřejmě intenzita konstantní velikost. Tok intenzity bude oven kde q je náboj uvnitř plochy. Pokud <, bude q = Q, takže q N = ES = 4π E =, ε Q E =. 5

16 Po 3 < bude q = Q 3, takže Q =. E 3 Intenzita vně ovnoměně nabité koule bude stejná, jako by náboj byl umístěn v jejím středu. Uvnitř koule oste intenzita přímo úměně vzdálenosti od středu...43 Učete pomocí Gaussovy věty intenzitu pole následujících nabitých ploch: a) nekonečně dlouhé válcové plochy poloměu s plošnou hustotou náboje σ, b) kulové plochy o poloměu, c) oviny, d) dvou ovnoběžných souhlasně nabitých ovin...44 Považujte atomové jádo za ovnoměně nabitou kouli. Zjistěte, jak závisí velikost intenzity el. pole buzeného uvnitř jáda na vzdálenosti od jeho středu. Zjistěte, kde nabývá intenzita svého maxima a vypočtěte jeho hodnotu. Polomě jáda =, A /3 m, náboj Q = Ze (A atomová hmotnost, Z atomové číslo, e elementání náboj)...45 Dva bodové náboje o velikosti +Q a -Q jsou umístěny ve vzájemné vzdálenosti a. Vypočítejte velikost toku N intenzity el. pole kuhovou plochou o poloměu, jejíž střed leží v poloviční vzdálenosti nábojů a kuhová plocha je kolmá na spojnici nábojů...46 Velká svislá deska je ovnoměně nabita nábojem o plošné hustotě σ = 3.-5 C. m -. V jednom bodě desky je upevněno hedvábné vlákno, na němž visí kulička o hmotnosti m = g. Jaký náboj nese kulička, svíá-li vlákno s ovinou desky úhel ϕ = 3 o?..47 ovina je ovnoměně nabita elektickým nábojem s plošnou hustotou σ. Ve středu oviny je kuhový otvo, jehož polomě a je malý ve sovnání s ozměy oviny.vypočtěte velikost intenzity elektického pole E v bodě, kteý leží na kolmici k výše uvedené ovině, přičemž kolmice pochází středem otvou a bod je ve vzdálenosti b od oviny...48 Při přenosu velkých elektických výkonů koaxiálním kabelem je potřeba volit poloměy válcových vodičů kabelů tak, aby při daném ozdílu jejich potenciálů U na kabelu, bylo elektické pole na povchu vnitřního 6

17 vodiče minimální. Jaký máme zvolit polomě a vnitřního vodiče v koaxiálním kabelu, aby při konstantním poloměu pláště b a konstantním napětí U na kabelu byla intenzita elektického pole na povchu vnitřního vodiče E(a) minimální...49 Vypočítejte intenzitu elektického pole mezi dvěma souosými válcovými plochami, pakticky nekonečně dlouhými, s kuhovým půřezem, vnitřním poloměem o a vnějším poloměem o, jestliže vnitřní válec je nabitý na potenciál ϕ o a vnější válec je uzemněný...5 Dva dlouhé tenké vodiče, uložené ovnoběžně ve vzdálenosti d od sebe, jsou nabity s lineání hustotou náboje +λ a -λ ( λ = konst). Učete intenzitu el. pole E v bodě, kteý leží v ovině symetie vodičů ve vzdálenosti x od oviny, v níž leží vodiče...5 Ve vzdálenosti = 4 mm od přímého dátu délky l = 5 cm, na kteém je ovnoměně ozložen náboj Q =, µc, je zníčko pachu s nábojem Q = C. Vypočítejte sílu, kteá působí na zníčko. Změnu ozložení náboje na dátu vlivem přítomnosti pachového znka zanedbejte...5 Najděte vztah vyjadřující intenzitu el. pole v okolí el. dipólu o momentu p = Ql. Při výpočtu předpokládejte, že vzdálenost místa, v němž počítáme intenzitu pole od středu dipólu, je mnohem větší než délka l dipólu. Řešení: α α α - + -Q +Q l Ob..8 7

18 Elektické pole v okolí dipólu je vlastně výsledným polem v okolí dvou nábojů. Můžeme poto po potenciál v místě A psát (viz ob..8) ϕ Q Q Q = =. () Pokud předpokládáme, že, >> l, můžeme s dostatečnou přesností psát. =, - = cosα, () l α + α α, kde α je úhel, kteý svíají vektoy l a, a tedy i vektoy p a. Po dosazení () do () dostáváme Ql cosα p cosα ϕ = =. Vzhledem k tomu, že skalání součin p. = p cosα, můžeme předchozí výaz psát ve tvau p. ϕ =.. 3 Intenzita elektického pole v učitém místě souvisí s potenciálem elektického pole v tom samém místě podle vztahu E = gadϕ, takže je možno psát Po dosazení dostaneme 3 E = p. 3 = 4 πε ( p. ) p. 3 5 p. E = gadϕ = gad 3 3. p = 5 3. = 3 ( p. ) p 3( p. ) 3 p = Pozn: vzoec platí přesně po tzv. elementání dipól, kteý vznikne z konečného dipólu limitním přechodem l, Q tak, že součin Ql je konečný...53 Najděte výaz po velikost intenzity el. pole el. dipólu, jehož moment má velikost p, ve vzdálenosti (vzdálenost od středu dipólu) a) ve směu dipólového momentu (tzv.. poloha), b) ve směu kolmém na dipólový moment (tzv.. poloha). Předpokládejte, že >> l. 8

19 ..54 El. dipól délky cm má náboj. -9 C. Učete intenzitu v bodech A, B, C (viz ob..9). C y B cm cm Cl p H A x B 4 cm - + A 4 cm Ob..9 Ob Molekula kyseliny solné je umístěna v počátku souřadnic tak, že osa H-Cl je totožná s osou y (viz ob..). Jaký je smě a velikost intenzity el. pole v bodě A na ose x ve vzdálenosti -9 m a v bodě B na ose y ve stejné vzdálenosti od počátku souřadnic? Dipólový moment molekuly HCl je 3, C.m a směřuje od Cl k H. Počátek souřadného systému je zvolen v těžišti dipólového momentu. Předpokládáme, že vzdálenost bodu A od těžiště dipólového momentu je podstatně větší, než jsou ozměy molekuly...56 Molekulu vody můžeme považovat za dipól, jehož el. moment je 6,. -3 C.m. Vypočtěte: a) délku dipólu za předpokladu, že tento dipól se skládá z kladného a záponého náboje stejné absolutní hodnoty jako náboj e, b) intenzitu el. pole vzbuzeného dipólem ve vzdálenosti cm od středu dipólu po. a. polohu, c) největší sílu, kteou na sebe vzájemně působí molekula vody a ion vodíku, kteý je od ní vzdálen cm. Vzdálenost mezi molekulami je cm...57 Vypočítejte velikost intenzity homogenního el. pole, kteé působí na el. dipól s momentem o velikosti p =. - C.m dvojicí sil, kteých moment má hodnotu D =. -7 N.m.. Elektostatické pole v dielektiku.. Dvě kuličky nabité náboji Q = -,. -5 C, Q = -,. -6 C o hmotnostech m = m = g jsou zavěšeny na nitích o délce l =, m, kteé 9

20 svíají úhel α = 45. Vypočtěte elativní pemitivitu postředí ε, ve kteém se kuličky nacházejí... Dva bodové náboje ve vakuu působí na sebe ze vzdálenosti cm stejnou silou jako v tepentýnu ze vzdálenosti 7,4 cm. Učete elativní pemitivitu tepentýnu...3 Dvě stejné kuličky o hmotnosti m a poloměu jsou nabité náboji Q a zavěšené na nitích stejné délky. V důsledku odpudivé síly mezi náboji se kuličky ozestoupí tak, že nitě svíají úhel ϕ. Tento systém nábojů je ponořený do dielektické kapaliny s hustotou ρ a pemitivitou ε. Jaká musí být hustota kapaliny, aby se úhel ϕ mezi nitěmi po ponoření kuliček do kapaliny nezměnil?..4 Dvě kovové kuličky mají stejný polomě = cm a stejný náboj Q = C, jedna kulička je ponořena do nádobky s olejem (ε = 3), duhá je ve vzduchu. Jak velké budou náboje na kuličkách, spojíme-li je tenkým dátkem? Poznámka k příkladům..5 až..8: okajové jevy zanedbáváme...5 Desky kondenzátou mají vzdálenost d = 5 mm a velikost S = m. Kondenzáto je nabit na napětí U = V. Mezi desky se pak vsune vstva dielektika o elativní pemitivitě ε = 5. Vypočtěte: a) el. indukci v dielektiku, b) el. intenzitu v dielektiku, c) napětí na kondenzátou, d) kapacitu kondenzátou...6 Vypočítejte hustotu polaizačních nábojů na povchových ovinách slídové destičky ( ε = 6) o tloušťce d = mm, kteá je izolátoem v ovinném kondenzátou nabitém na U = 4 V...7 Dvě ovnoběžné desky o ploše S = m mají stejné náboje Q = 3 µc opačného znaménka. Posto mezi nimi je vyplněn vstvou dielektika o elativní pemitivitě ε =,7. Vypočítejte : a) el. intenzitu v dielektiku, b) plošnou hustotu polaizačního náboje na plochách dielektika, c) složku el. intenzity v dielektiku pocházející od volného náboje, d) složku intenzity pocházející od polaizačního vázaného náboje.

21 ..8 Dvě destičky o plochách S = dm jsou ponořeny do petoleje ve vzdálenosti d = 4 mm od sebe. Učete sílu, kteou na sebe působí, je-li mezi nimi napětí U = 5 V...9 Kulový kondenzáto je tvořen kovovými kulovými plochami o poloměech = cm a = 6 cm. Na vnější staně vnitřní koule je vstva vosku o tloušťce d = 3 cm (ε = ) a zbývající posto je vyplněn kapalinou o elativní pemitivitě ε = 4,. a) Učete kapacitu kondenzátou. b) Vypočtěte enegii kondenzátou, je-li na něm napětí U = 3 V... Vzduchový válcový kondenzáto h = m vysoký má kapacitu C = 5. - F a je ve svislé poloze připojen přes galvanomet na bateii o napětí U = V. Kondenzátoem stoupá ovnoměně zdola destilovaná voda ychlostí v = cm.s -. a) Učete náboj na deskách kondenzátou, vystoupá-li voda do poloviny jeho výšky? b) Jaký poud ukazuje galvanomet při stoupání vody?.. Mezea mezi deskami ovinného kondenzátou šioká d = mm je vyplněna deskou ze skla ( ε = 5). Plocha kondenzátou je S = cm. Jak se změní enegie kondenzátou, vyjmeme-li skleněnou desku? Úlohu řešte za těchto podmínek: a) kondenzáto je stále připojen ke zdoji elektomotoického napětí 3 V, b) kondenzáto byl původně připojen k témuž zdoji, potom odpojen a nakonec vytažena deska... Deskový kondenzáto s dielektikem je nabitý na jistý potenciální ozdíl U, přičemž jeho enegie je J. Na vyjmutí dielektika z kondenzátou je potřebné vynaložit páci J. Jaká je elativní pemitivita dielektika?..3 Deskový kondenzáto je ponořený do dielektické kapaliny o hustotě ρ a pemitivitě ε (ob..). Kondenzáto je udžovaný na napětí U. Vypočítejte výšku, do kteé vystoupí kapalina mezi desky kondenzátou. ε h U d ρ Ob..

22 ..4 Vypočítejte sílu, kteou je vtahované dielektikum o pemitivitě ε mezi desky kondenzátou (viz ob..). Na kondenzátou je konstantní napětí U..3. Kapacita. Kondenzáto d S U Ob.. ε Poznámka k příkladům kapitoly.3: ve všech úlohách, pokud není řečeno jinak, předpokládáme, že se el. pole vytváří ve vakuu..3. El. intenzita mezi dvěma ovnoběžnými deskami s opačnými náboji, z nichž každá má plochu cm, je V.m -. Učete náboj každé desky za předpokladu, že nepřihlížíme k účinku okajů..3. Jaká je výsledná kapacita soustavy ( viz ob..3)? Hodnoty kapacit jsou tyto: C = 6 µf, C = µf, C 3 = 3 µf, C 4 = 3 µf, C 3 C C C C Ob..3 C Vzduchový kondenzáto s ovinnými deskami má kapacitu C = pf a vzdálenost desek d = cm. Do středu mezi desky vložíme plech tloušťky = mm. Jaká bude nová kapacita celého zařízení? Okajové jevy zanedbáváme..3.4 Vypočítejte kapacitu válcového kondenzátou výšky h = cm s poloměy elektod = 3 cm, = 4 cm, jestliže mezi elektodami je vakuum. Řešení: Na výpočet kapacity potřebujeme nejpve zjistit napětí např.vnitřní (kladné) elektody vzhledem k vnější. Toto napětí se ovná podílu h d + Q - Q E Ob..4

23 páce W, kteou musíme vykonat při přenesení velmi malého náboje Q poti silám tohoto pole, například z vnější na vnitřní elektodu, a velikosti přenášeného náboje Q. Je možné tedy psát W U = = Q Q F. d = Q ( EQ ). d = Ed = E. d potože intenzita pole a elementání vekto d jsou opačného směu (viz ob..4) a d = -d. Velikost intenzity elektostatického pole dostaneme pomocí Gaussovy věty, podle kteé tok povchem myšleného válce s poloměem se ovná podílu velikosti náboje uvnitř válce a pemitivity okolního postředí. Tedy Q E.πh =, ε jestliže tok základnou válce vzhledem ke směu intenzity pole je nulový. Z toho Po napětí potom dostáváme U Q E =. πε h Q d Q = E. d =.ln. πε h = πε h Po kapacitu válcového kondenzátou tedy plyne πε h Q C = = U ln = 38, Vypočítejte kapacitu kulového kondenzátou vytvořeného dvěma soustřednými vodivými plochami s poloměy a, jestliže je mezi nimi postředí s pemitivitou ε. Řešení: Postupujeme analogicky jako v příkladě s válcovým kondenzátoem, tedy velikost intenzity E učíme použitím Gaussovy věty. Můžeme psát Q π. E =, ε kde je polomě libovolné myšlené koule mezi kulovými elektodami se společným středem. Napětí učíme podle vztahu Q Q Q U = E. d = E. d =. d =. 4 4 =, πε πε 4. πε F. 3

24 neboť d = - d. Kapacita kulového kondenzátou potom bude Q C = =. U.3.6 Elektody kondenzátou jsou od sebe izolované pocelánovou deskou tloušťky 5 mm a vzduchovou vstvou tlustou též 5 mm. Vypočtěte intenzitu el. pole ve vzduchu a v pocelánu ( ε = 6), jestliže potenciálový ozdíl elektod je kv. Jaké je napětí ve vzduchové vstvě a pocelánové desce?.3.7 Dvě vodivé desky ovinného kondenzátou jsou navzájem vzdálené d =,5 mm. Mezi tyto desky vložíme další kovovou desku tloušťky =,5 mm tak, že její ovina je s oběma předcházejícími deskami ovnoběžná a její vzdálenost od bližší desky kondenzátou d = 4 mm. Jaký je potenciál kovové desky, jestliže potenciál bližší desky kondenzátou ϕ = +5 V a potenciál duhé desky ϕ = - 6 V?.3.8 Deskový kondenzáto se skládá ze dvou elektod o obsahu S = 6 cm, mezi nimiž je vzdálenost d =,4 mm. Posto mezi elektodami vyplňují dvě vstvy dielektika. Jedno z dielektik, kteé vyplňuje polovinu objemu kondenzátou, je chaakteizováno elativní pemitivitou ε a duhé, kteé ovněž vyplňuje polovinu objemu kondenzátou, je chaakteizováno elativní pemitivitou ε. ozhaní povchů dielektik je kolmé na desky kondenzátou. Vypočtěte kapacitu C kondenzátou..3.9 Jaká je kapacita kondenzátou složeného z vzájemně ovnoběžných desek, kteé jsou od sebe vzdálené d = mm, jestliže každé dvě sousední desky se překývají v plošném obsahu S = cm?.3. Bateie dvou za sebou spojených kondenzátoů ( C = 3 pf, C = 5 pf) je nabitá na napětí U = V. Vypočítejte napětí na pvním a duhém kondenzátou..3. Dva stejné kondenzátoy o kapacitě µf jsou spojeny paalelně a připojeny na bateii o napětí V. Po odpojení bateie jsou desky jednoho kondenzátou oddáleny tak, že jeho kapacita klesne na polovinu. Vypočtěte: a) napětí na každém kondenzátou, b) náboj na každém kondenzátou.. 4

25 .3. Vzduchový kondenzáto se skládá ze dvou ovnoběžných blízkých desek a má kapacitu pf. Náboj každé desky je µc. a) Jaké je napětí mezi deskami? b) Je-li náboj stálý, jaké bude mezi nimi napětí, jestliže vzdálenost desek se zdvojnásobí? c) Jakou páci je nutno vykonat, aby bylo dosaženo zdvojnásobení této vzdálenosti?.3.3 Kondenzáto o kapacitě µf je nabit na potenciální ozdíl V. Desky kondenzátou jsou připojeny ke svokám nenabitého kondenzátou o kapacitě 5 µf. Vypočítejte: a) původní náboj na soustavě, b) konečné napětí na každém kondenzátou, c) konečnou enegii soustavy, d) úbytek enegie, když jsou kondenzátoy spojeny..3.4 Dva kondenzátoy, jejichž kapacity C a C jsou v poměu k:, byly spojeny za sebou a nabity na potenciální ozdíl U. Pak byly spojeny vedle sebe a bylo zjištěno, že na kondenzáto C přešel náboj q. Učete kapacity C a C..3.5 Elekton je vžen do homogenního el. pole mezi dvěma ovnoběžnými deskami počáteční ychlostí 7 m.s -, kteá je kolmá ke směu pole (viz ob..5). a) Učete velikost intenzity el. pole za předpokladu, že elekton vstupuje do pole v bodě ležícím upostřed mezi deskami a vystupuje z pole pávě u konce spodní desky. b) Jaká je ychlost elektonu při výstupu z pole? v - cm.3.6 Elekton se pohybuje ve směu siloča homogenního pole, jehož cm intenzita je V.m -. Jakou vzdálenost poletí ve vakuu, než se úplně zastaví, je-li jeho počáteční ychlost km.s - Ob..5? Jak dlouho při tom poletí? 5

26 .3.7 Kolik elektonů obsahuje náboj kuličky o hmotnosti - g, jestliže je kulička udžována v ovnováze v ovinném kondenzátou, jehož desky mají vzdálenost 5 mm a je mezi nimi napětí 76,5 V?.3.8 Dvě ovnoběžné vodivé desky mají kladný náboj ovnoměně ozložený po své ploše. Náboj jedné desky je µc, náboj duhé desky je µc. Plocha každé desky je m, jejich vzdálenost je,77 cm. Učete ozdíl potenciálů mezi deskami..3.9 Jaký je třeba zvolit polomě a vnitřní koule v kulovém kondenzátou (polomě vnější koule je b), aby při daném potenciálovém ozdílu U byla intenzita el. pole na povchu vnitřní koule minimální?.3. Deskový kondenzáto je zaplněný dielektikem, jehož pemitivita se ε ( x + a) mění podle vztahu ε ( x) =, kde a je vzdálenost desek a x je osa kolmá a na ovinu desek. Plocha každé desky je S. Vypočítejte kapacitu kondenzátou..4. Enegie elektostatického pole.4. Tři náboje e, e, -e jsou umístěny na přímce v uvedeném pořadí ve stejné vzdálenosti a mezi sousedními náboji. Učete: a) sílu působící na každý náboj, b) elektostatickou potenciální enegii soustavy..4. Najděte takové geometické uspořádání jednoho potonu a dvou elektonů na přímce, aby potenciální enegie soustavy byla nulová..4.3 Vzduchový deskový kondenzáto, skládající se ze dvou desek s plošným obsahem S = cm, vzdálených od sebe d = mm, nabijeme na potenciálový ozdíl U = V. Jakou silou se přitahují tyto desky?.4.4 Kondenzátoy C = µf, C = µf jsou zapojeny do séie. Na svoky kondenzátoové bateie připojíme napětí U o = V. Jaká je enegie každého z kondenzátoů?.4.5 Dvě desky kondenzátou s plošným obsahem S = 5 cm a vzdálené od sebe d = cm jsou nabité na napětí U = 5 V. Jakou páci je třeba vykonat, jestliže chceme desky oddálit od sebe na vzdálenost d = 4 cm? 6

27 .4.6 ovinný vzduchový kondenzáto kapacity C = 5 pf je nabitý na napětí U = 5 V. Dielektikum kondenzátou tvoří deska z mateiálu s elativní pemitivitou ε = 5. Jaká páce je potřebná na odstanění této desky a jak se změní napětí na deskách kondenzátou odstaněním izolační desky z kondenzátou?.4.7 Kondenzáto, kteý se skládá ze dvou vodivých desek, každá má plošný obsah S = cm, vzdálených od sebe d =, cm, je nabitý na U = 6 V. Jak se změní enegie kondenzátou, jestliže objem mezi deskami, původně vyplněný vzduchem, zaplníme olejem s elativní pemitivitou ε = 3 v případě, že a) kondenzáto je stále připojený ke zdoji napětí, b) kondenzáto po nabití a před nalitím oleje odpojíme od zdoje napětí?.4.8 Kapacita poměnného kondenzátou se může měnit od 5 pf do 95 pf otočením od do 8. Při nastavení na 8 je kondenzáto spojen s bateií 4 V. Po nabití je kondenzáto odpojen od bateie a kotouč natočen na. a) Učete náboj kondenzátou. b) Jaké je napětí na kondenzátou, když je nastaven na? c) Jaká je enegie kondenzátou v poloze podle b)? d) Jakou páci je nutno vykonat při otočení na údaj stupnice 8, nepřihlížíme-li ke tření?.4.9 Mějme n bateií kondenzátoů, z nichž každá má m kondenzátoů spojených paalelně. Kapacita jednoho kondenzátou nechť je C a napětí U. Učete celkovou enegii této soustavy kondenzátoů..4. Koule poloměu, nabitá nábojem Q, se vyznačuje ve vakuu učitou potenciální enegií. Jak se změní potenciální enegie koule, jestliže ji ponoříme do tekutiny s elativní pemitivitou ε? 7