6 Diferenciální operátory

Transkript

1 Difeenciální opeátoy 6 Difeenciální opeátoy 61 Skalání a vektoové pole (skalání pole) u u x x x Funkci 1 n definovanou v učité oblasti Skalání pole přiřazuje každému bodu oblasti učitou číselnou hodnotu (skalá) Používá se také zápis u u( ) x x x kde vekto 1 n n nazýváme skaláním polem V příodních vědách je nejčastějším případem n kdy nezávislé poměnné x 1 x x představují katézské souřadnice x y z Je zřejmé že skalání pole můžeme paciálně deivovat podle jednotlivých poměnných stejně jako libovolnou matematickou funkci více poměnných (hladina skaláního pole) Nadplochy 1 u x 1x x n konst tj nadplochy na kteých je hodnota skaláního pole konstantní nazýváme tzv hladinami pole u x 1x x n (vektoové pole) a a x x x n eálných poměnných definovanou v učité oblasti Vektoovou funkci 1 n n nazýváme vektoovým polem (n poměnných) Vektoové pole přiřazuje každému bodu oblasti učitý vekto a kteý může mít libovolný počet složek V dalším výkladu se však omezíme výlučně na tojozměné vektoy kteé lze psát ve tvau ax 1x xna1x 1x xniax 1x xnj ax 1x xnk Symboly i j k představují zde i dále v textu vektoy otonomální báze postou Počet poměnných n (tj dimenze postou na kteém je vektoové pole definováno) bývá v paxi nejčastěji oven 1 nebo Po n 1 můžeme vektoové pole psát ve tvau a a t kde poměnná t mívá většinou význam času nebo délky oblouku křivky (pak se obvykle značí s) V případě n lze použít zápis xyz xyz je polohový vekto a a a kde xyz jsou katézské souřadnice a (vektoová čáa) Křivka po kteou platí že tečna k ní má v každém jejím bodě smě vektou vektoového pole v tomto bodě se nazývá vektoovou čáou (také siločáou) vektoového pole a podle poměnné t ozumíme vektoové pole Deivací vektoového pole t da t attat da1 da da lim a t i j k a 1ia ja k t t t t t d t 0 d d d 1 Temín nadplocha je zobecněním pojmu plochy známého z -ozměného postou Viz též kap 1

2 Skalání a vektoové pole Deivují se všechny složky vektou a podle poměnné t tzn je nutné povést tři obyčejné deivace Zde i dále v textu necháváme stanou podmínky existence deivací apod Předpokládáme že všechny potřebné vlastnosti námi uvažovaná pole mají Příklad Vektoové pole t kde xyz d t Deivace t t je polohový vekto a t je čas popisuje pohyb učitého bodu v čase v představuje okamžitou ychlost tohoto bodu dt Častým případem je vektoové pole s kdy paametem s je délka oblouku křivky kteou opisuje koncový bod polohového vektou Vekto v každém jejím bodě d τ pak představuje jednotkový tečný vekto uvedené křivky ds Po deivaci součtu násobku skaláem skaláního součinu a vektoového součinu vektoových polí jedné poměnné platí věty analogické větám po skalání funkce: ' a b a b k a ' ka ab ' abab ab' abab Stačí ozepsat jednotlivá vektoová pole na složky a aplikovat věty o deivaci součtu a součinu skaláních fukcí Analogicky k definici (obyčejné) deivace vektoového pole jedné poměnné můžeme deivovat paciální deivace vektoového pole více poměnných axyz axxyzaxyz a1xyz axyz axyz Např lim i j k atd x x0 x x x x 6 Gadient Gadientem skaláního pole u u xyz se nazývá vektoové pole u u u gad u i j k x y z kde x y z jsou katézské souřadnice a i j k příslušné vektoy otonomální báze Definici lze snadno zobecnit na případ n poměnných (viz kap ) Gadient je vekto jehož složkami jsou paciální deivace skaláního pole podle jednotlivých souřadnic (potenciální pole) Existuje-li k vektoovému poli a takové skalání pole u že a gad u pak vektoové pole a nazýváme potenciálním (také konzevativním) skalání pole u potenciálem a hladiny tohoto pole ekvipotenciálními plochami (zkáceně ekvipotenciálami) 1 1 Viz též kap 54

3 Difeenciální opeátoy Příůstek du hodnoty skaláního pole u xyz při posunutí o infinitezimálně malý vekto d dx idyjdzk se vypočte skaláním součinem du gad ud plyne z definice totálního difeenciálu funkce více poměnných 1 : u u u du dx dy dz x y z Větu můžeme snadno zobecnit na obecný případ n poměnných Z uvedeného plyne že gadient skaláního pole je v každém bodě kolmý k jeho hladině je jednoduchý: u konst du 0 gad u d 0 gad u d Jinak řečeno siločáy potenciálního pole jsou vždy kolmé k jeho ekvipotenciálám Z vyjádření skaláního součinu gad ud gad u d cos ( je úhel mezi oběma vektoy) je zřejmé že po konstantní délku d posunutí d dosáhne příůstek du skaláního pole největší hodnoty tehdy je-li vekto d ovnoběžný s gadientem a téhož směu ( 0) Gadient má tedy v každém bodě skaláního pole smě největšího ůstu tohoto pole Naopak největšího úbytku pole dosáhneme pohybem ve směu opačném ke gadientu nulové změny ve směech kolmých ke gadientu Po gadient platí: gad u v gad u gad v gad uv ugad vvgad u gad f u fu gad u gad 0 V poslední ovnici je xyz 0 jednotkový vekto ve směu polohový vekto x y z jeho velikost a Je tiviální stačí aplikovat základní věty platné po deivace skaláních funkcí Nabla opeáto V paxi se (zejména v tojozměném případě) velmi často používá jiného značení gadientu s využitím tzv Hamiltonova opeátou nabla (nabla opeátou) Tento opeáto se značí a zavádí se takto: i j k Je to vlastně symbolický x y z vekto jehož složkami jsou symboly paciálních deivací podle jednotlivých poměnných podle katézských souřadnic x y z Gadient zapíšeme pomocí nabla opeátou takto: gad u u Fomálně se tento zápis dá číst jako násobení vektou skaláem u (přičemž skalá je nestandadně zapsán až za vektoem) 1 Více o totálním difeenciálu viz kap 4 Viz také kap deivace ve směu

4 Divegence Divegence Divegencí vektoového pole a xyz nazýváme skalání pole div a xyz a xyz a xyz 1 a xyz x y z Slovně řečeno jedná se o součet tří paciálních deivací kde pvní člen je deivací pvní složky vektoového pole podle pvní poměnné duhý člen deivací duhé složky podle duhé poměnné a třetí člen deivací třetí složky podle třetí poměnné V každém sčítanci tudíž index složky odpovídá pořadí (indexu) poměnné I tuto definici lze snadno zobecnit po případ n poměnných Na základě Gaussovy věty integálního počtu (viz kapitola 58) můžeme po divegenci psát vyjádření ads S div a lim Plocha S je kladně oientovaná uzavřená plocha ohaničující objem V kteý V 0 V obsahuje zvolený bod Hodnota divegence v učitém bodě představuje tok vektou a z infinitezimálního objemu V dělený tímto objemem neboli tok vektou a z jednotkového objemu v daném bodě Jednoduchý fyzikální model Jestliže vektoové pole a xyz chaakteizuje ychlost poudění kapaliny pak div a v učitém bodě udává objemové množství kapaliny kteé vyteče z jednotkového objemu za jednotku času tzn vydatnost tohoto jednotkového objemu jakožto zřídla kapaliny Pole po kteé platí identicky (tj v každém jeho bodě) div a 0 (např pole popisující nestlačitelnou kapalinu) se nazývá nezřídlové pole Do libovolného objemu ohaničeného uzavřenou plochou stejné množství kapaliny vtéká i vytéká Jestliže alespoň v jednom bodě platí div a 0 pak pole a nazýváme zřídlovým Pomocí nabla opeátou lze zapsat divegenci jako symbolický skalání součin div a a ab a b div div div div ua udiv aa gad u div Rozepsáním vektoů na jednotlivé složky a použitím pavidel po deivaci součtu a součinu 64 Rotace Rotací vektoového pole a xyz nazýváme vektoové pole ot a a a a a a y z z x x y 1 1 a i j k Stačí si zapamatovat pouze tva pvní složky ostatní složky dostaneme cyklickou záměnou indexů a poměnných Tuto definici není možné zobecnit na případ jiného počtu poměnných než tří Na základě Stokesovy věty integálního počtu (viz kapitola 58) můžeme po otaci psát vyjádření d ot n a ot a cos lim a l l Plocha S je oientovaná ovinná plocha obsahující zvolený bod a S 0 S ohaničená kladně oientovanou křivkou l úhel je úhel mezi vektoem ot a a nomálou k ploše S Vzoec je třeba chápat tak že hodnota kolmé složky divegence k infinitezimální ovinné plošce S (jejíž poloha je učena jejím nomálovým vektoem) je dána podílem cikulace vektou a po ohaničující křivce

5 Difeenciální opeátoy l a velikosti plochy S Jinak řečeno smě a oientace vektou ot a ve zvoleném bodě odpovídají směu a oientaci nomály k jednotkové (dostatečně malé) plošce S jejíž poloha (sklon) maximalizuje cikulaci vektou a po její haniční křivce (tj veličinu a d l ) Velikost vektou ot a je dána maximální hodnotou uvedené cikulace l V modelu poudící kapaliny (viz divegence) vekto ot a učuje smě osy kolem kteé se kapalina v okolí uvažovaného bodu otáčí a jeho velikost je ovna dvojnásobku ychlosti otáčení (v obloukové míře) Body ve kteých je ot a 0 označujeme jako víy Pole po kteé platí identicky (tj v každém jeho bodě) ot a 0 se nazývá nevíové pole Pole v jehož alespoň jednom bodě je ot a 0 nazýváme víovým polem Pomocí nabla opeátou lze zapsat divegenci jako symbolický vektoový součin ot a a ab a b ot ot ot ot ua uot aa gad u div a b b ot a a ot b ot 0 je obdobný jako u výše uvedených vzoců po divegenci 65 Laplaceův opeáto Laplaceovým opeátoem ozumíme symbolický opeáto x y z Aplikace Laplaceova opeátou na skalání pole u u u u Výsledkem je skalání pole x y z Definici je možné zobecnit na případ n poměnných Aplikace Laplaceova opeátou na vektoové pole a ia1 ja k a Výsledkem je vektoové pole jehož každá složka je dána skalání aplikací Laplaceova opeátou na stejně indexovanou složku výchozího pole Výaz u se místo dlouhého Laplaceův opeáto aplikovaný na pole u obvykle zkacuje na Laplace u apod Čtení delta u je zde zcela nepřípustné neboť je vyhazeno po příůstek veličiny u Stejné gafické označení v paxi nevadí neboť z kontextu je vždy jasné kteý případ nastává Laplaceův opeáto nemá tak názoný význam jako např divegence nebo otace ale uplatňuje se značně v příodních vědách např v elektřině a magnetismu v nauce o vlnění v ovnicích po difúzi atd Laplaceův opeáto lze také vyjádřit pomocí nabla opeátou a to jako fomální skalání součin nabla opeátou sama se sebou Z důvodu otonomality báze i j k totiž platí i x j y k z i x j y k z x x y y z z x y z uv u v uv vuuvgad u gad v je opět velmi jednoduchý přenecháváme jej čtenáři ab ab 1 0

6 Vlastnosti difeenciálních opeátoů Vlastnosti difeenciálních opeátoů Lineaita opeátoů Všechny uvedené difeenciální opeátoy (gadient divegence otace Laplaceův opeáto nabla opeáto) jsou lineání tzn homogenní (po k-násobný agument obdžíme k-násobek hodnoty po agument) a aditivní (po součet agumentů obdžíme součet hodnot po jednotlivé agumenty) Plyne z lineaity deivace Vyjádření opeátoů pomocí opeátou nabla gadient gad u u součin vektou a skaláu u divegence div aa skalání součin vektou a vektou a otace ot aa vektoový součin vektou a vektou a Laplaceův opeáto skalání součin vektou se sebou samým Opeátoové identity div gad u u gad div aot ot aa gad u gad u ot aot a ot gad u 0 div ot a 0 Přenecháváme čtenáři jako cvičení Stačí aplikovat definice jednotlivých opeátoů Poslední dvě identity vyjadřují důležitý poznatek že pole gad u (potenciální pole) je vždy nevíové (jeho otace je identicky ovna nule) a pole ot a je nutně nezřídlové (jeho divegence je identicky nulová) Toto tvzení platí za učitých značně obecných podmínek 1 také obáceně tzn je-li nějaké vektoové pole v učité oblasti nevíové ( ot a 0 ) musí být gadientem nějakého skaláního pole ( a gad u ) a je-li pole v nezřídlové ( div a 0 ) musí být otací nějakého vektoového pole ( a ot b) Uvedené identity můžeme názoně zdůvodnit vyjádřením vystupujících opeátoů pomocí nabla opeátou a použitím jednoduchých pavidel po skalání a vektoový součin Např v předposlední identitě výaz ot gad u nabývá tvau u kteý můžeme přepsat na u (veličina u zde haje oli skaláu) Potože vektoový součin dvou vektoů téhož směu je oven nulovému vektou je 0 a tedy u 0u 0 Obdobně v poslední identitě výaz div ot a přepíšeme na a Vektoový součin b a je jak známo kolmý k oběma činitelům speciálně k (symbolickému) vektou To ovšem znamená že skalání součin b 0 neboť skalání součin dvou navzájem kolmých vektoů je z definice nulový 1 Uvažovaná oblast musí být jednoduše souvislá

7 Difeenciální opeátoy 67 Vyjádření difeenciálních opeátoů v křivočaých souřadnicích Níže shnujeme základní vzoce nezbytné po použití nejdůležitějších vektoových difeenciálních opeátoů (gadient divegence otace a Laplaceův opeáto) ve vybaných křivočaých souřadnicových soustavách 1 Podobnosti může čtenář nalézt např v příučce Rektoysově [5] Polání souřadnice v ovině Označme vektoy lokální křivočaé báze poláních souřadnic symboly e a e Dále nechť f je difeencovatelná funkce f ( ) a A difeencovatelné vektoové pole A ( ) kteé ozkládáme v každém bodě oviny do lokální křivočaé báze A Ae A e Pak platí f 1 f gad f e e div A 1 1 A A 1 f 1 f f Válcové souřadnice v postou Vektoy lokální křivočaé báze válcových souřadnic označme symboly e e a e z Podobně jako výše nechť je f difeencovatelná funkce f ( z) a A difeencovatelné vektoové pole A ( z) I nyní toto pole ozkládáme v každém bodě postou do lokální křivočaé báze: A Ae Ae Aze z Pak platí f 1 f f gad f e e z 1 div 1 A Az A A z 1A A A A 1 A A e e A e z z z 1 f 1 f f f z ot z z 1 Viz též apendix A5

8 Vyjádření difeenciálních opeátoů v křivočaých souřadnicích Kulové souřadnice v postou Označme i nyní vektoy lokální křivočaé báze e e a e Dále nechť f je opět difeencovatelná funkce f( ) a A difeencovatelné vektoové pole A ( ) jehož ozklad do lokální křivočaé báze je dán jako A Ae Ae Ae Pak platí f 1 f 1 f gad f e e e sin A div A A A sin sin sin ot 1 A sin A A A A A e e A e sin sin f f f sin f sin sin Obecné otogonální souřadnice Jednotkové vektoy lokální křivočaé otogonální 1 báze válcových souřadnic označme symboly e 1 e a e Podobně jako výše nechť je f difeencovatelná funkce f ( q1 q q ) a A difeencovatelné vektoové pole A ( q1 q q) Toto pole ozkládáme v každém bodě postou do lokální křivočaé otogonální báze: A A1e1 Ae Ae Infinitezimálně malé posunutí d můžeme obecně vyjádřit ve tvau d h1dq1hdq hdq kde veličiny h 1 h h jsou obecně funkcemi souřadnic q 1 q q a nazývají se Laméovy koeficienty Pak platí gad f e f e f e f 1 h1 q1 h q h q 1 diva Ah 1 h Ahh 1 Ahh 1 hhh 1 q1 q q h1e1 he he 1 ot A hhh 1 q1 q q ha 1 1 ha ha 1 hh f hh 1f hh 1 f f hhh 1 q1 h1 q1 q h q q h q 1 Odtud název otogonální souřadnice Blíže o otogonálních bázích viz kap A41 a o otogonálních souřadnicích viz kap A5 Ve výazu po otaci svislé čáy označují deteminant viz kap A4