NELINEÁRNÍ NUMERICKÁ ANALÝZA VLÁKNOBETONOVÝCH KONSTRUKCÍ NON-LINEAR NUMERICAL ANALYSIS OF FIBRE CONCRETE STRUCTURES Vojěch Peřík, Iva Broukalová, Vladimír Křísek Moderní výpočení programy založené na meodě konečných prvků (MKP) umožňují analýzu konsrukcí včeně uvážení fyzikální a geomerické nelineariy. Konsrukční vláknobeony jsou označovány jako kvazidukilní maeriály, jejichž chování v ahem namáhaných prvcích je ve věšině případů charakerizováno deformačním změkčením po překročení pevnosi na mezi vzniku rhliny. Podmínkou pro výsižnou numerickou simulaci skuečného chování vláknobeonové konsrukce je implemenace reálného maeriálového modelu, edy vzahu mezi převořením ε a napěím. Modern compuer programs based on he finie elemen mehod enable analysis of srucures including considering of maerial and geomeric non-lineariy. Srucural fibre concrees are known as quasi-ducile maerials. Their behaviour in elemens sressed by ension is characerised by sofening behaviour afer firs crack occurs. Implemenaion of a realisic maerial model, i.e. he sress-srain relaion is he condiion for an appropriae numerical simulaion of real performance of he fibre concree srucure. Reálné konsiuivní vzahy mezi převořením ε a napěím jsoákladním předpokladem spolehlivého nelineárního výpoču vláknobeonových konsrukcí. Jejich odvození je možné na mezo-úrovni na základě analýzy inerakce jednolivých komponen kompoziního maeriálu, anebo prosřednicvím maeriálových charakerisik, získaných experimenální idenifikací na zkušebních prvcích (makro-úroveň). Výhodou ohoo způsobu je, že získané konsiuivní vzahy přímo zohledňují pro vláknobeony ypické aspeky, edy náhodnou orienaci a rozdělení vláken či evenuální nehomogeniy, a popisují chování vláknobeonového prvku reálných rozměrů. Pracovní diagram vláknobeonu v ahu lze získa přímo zkouškou v axiálním ahu, kerá ovšem předpokládá zcela homogenní chování maeriálu v celém kriickém průřezu, což v případě beonu či vláknobeonu nelze zcela zaruči. Proo se zkouška osovým ahem nahrazuje zkouškou v aha ohybu, jejímž výsledkem je relace mezi působící silou a deformací (průhybem), nikoliv přímo konsiuivní vzah mezi převořením a napěím. Odvození pracovního diagramu vláknobeon výsledků zkoušky v aha ohybu je úlohou inverzní analýzy. INVERZNÍ ANALÝZA Chování vláknobeonového rámce v průběhkoušky v aha ohybu lze rozděli na oblas, ve keré se nosník chová přibližně lineárně až po dosažení akového průhybu, při kerém se vyvoří první rhlina, a na oblas charakerizovanou deformačním změkčením (ensile srain sofening), edy poklesem zaěžovací síly s rosoucím průhybem. Deformační změkčení je ypickým jevem pro vláknobeony s zv. podkriickým, v praxi běžným obsahem vláken (obr. ). Deformační zpevnění (ensile srain hardening) je dosažielné jen s velmi vysokými (nadkriickými) objemovými podíly vláken v marici s opimalizovaným složením, v případě ocelových vláken bývá v závislosi na jejich ypu uváděna hodnoa, až, %. Proces inverzní analýzy může bý rozdělen do ří kroků: sanovení křivosi průhybové čáry ohýbaného prvku v průběhu zkoušky odvození pracovního diagramu vláknobeonu verifikace pracovního diagramu numerickou simulací zkoušky Sanovení křivosi průhybové čáry V pružné oblasi lze křivos průhybové čáry jednoduše sanovi na základě eorie pružnosi, včeně uvážení vlivu posouvajících sil. V případě zkoušky čyřbodovým ohybem je ve sřední čási nosníku konsanní ohybový momen a nulová posouvající síla, konsanní je edy i křivos. Určení křivosi průhybové čáry v nelineárním režimu je poněkud problemaičější. Poruší-li se nosník po překročení pevnosi v aha ohybu rhlinou náhodně umísěnou ve sřední řeině, bude se s rosoucím průhybem zvěšova křivos pouze v jisé zóně změkčení délky l pl, zaímco ve zbývajících oblasech nosníku probíhá oděžování. Pro vláknobeony s podkriickým obsahem vláken lze edy předpokláda, že krajní řeiny nosníkůsanou po vzniku rhliny v lineárně pružném režimu. Změkčování je důsledkem rozvoje rhlin, keré se v případě čyřbodového ohybu mohou vyskynou kdekoliv ve sřední řeině nosníku. Ačkoliv se yo rhliny mohou sousředi do velmi krákého segmenu pruu, nemůže bý délka zóny změkčení nulová. Vzhledem k omu, že poloha rozhodující rhliny je náhodná, a udíž v každém zkušebním rámku rozdílná, a éž vzhledem k omu, že deerminisický výpoče pro všechny rámky jedné sady je jediný, je přijaelné předpokláda uo rhlinu rozeřenu po délce sřední čási rámku. Zjednodušený předpoklad rozeřených charakerisik je pro vláknobeon odůvodnielný, neboť působí bez výraznějších singulari a koncenrace napěí na rozdíl od železobeonu, kde se ahová napěí sousřeďují do výrazných prvků výzuže a laková namáhání pak pouze do lačené oblasi beonu. Tvar průhybové čáry zkušebního nosníka předpokladu rhlin rozeřených ve sřední řeině je zobrazen na obr.. Přijeí zjednodušeného posupu podporuje možnos získání výsledků výpočů drákobeonových konsrukcí analyickou cesou. Při uvážení vlivu posouvajících sil na průhyb nosníku s narůsající křivosí ohybové čáry ve sřední řeině nosníku lze průhyb uprosřed rozpěí vyjádři jako ( )a3 δ = 8 a k + F δ 3 EI +, 44 F ( δ )a Ebh, () kde k značí křivos průhybové čáry, I momen servačnosi průřezu, b, h rozměry průřezu, a vzdálenos břemene od podpory (a = L/3), δ průhyb uprosřed rozpěí, F (δ) působící sílu jako funkci průhybu (F (δ) = P (δ)/). Pro čvercový průřez (zkoušené nosníky mají čvercový průřez o hraně mm) plaí pro křivos průhybové čáry sřední čási nosníku 8 k = δ F ( δ ) a 4 a +, 44 a Es () s Odvození pracovního diagramu vláknobeonu Je-li pracovní diagram průřezu (závislos ohybového momenu a křivosi průhybové čáry M k) znám, je za předpokladu 66 BETON echnologie konsrukce sanace /
VĚDA A VÝZKUM SCIENCE AND RESEARCH zachování rovinnosi průřezu možné na základě vrsvičkového modelu (obr. 3) získa vzah mezi napěím a převořením ε. Ze známé křivosi průhybové čáry lze urči poměrné převoření krajních lačených vláken průřezu podle vzahu ε c = x k, (3) kde x značí vzdálenos neurální osy od nejvíce lačených vláken průřezu. Sanovení pracovního diagramu vláknobeonu v ahu je provedeno ieraivním způsobem pro jednolivé body diagramu M k na základě vrsvičkového modela předpokladu zachování rovinnosi průřezu. Trhlinami porušená ažená čás průřezu je rozdělena do vrsviček, kerých může bý olik, kolik je k dispozici bodů pracovního diagramu průřezu M k. Velikos napěí,f,i ve vrsvičce loušťky h f,i je sanovena ieraivně na základě podmínek rovnováhy pro křivos průhybové čáry k i. f,i = h f, j = ε f, j i c,i x h f, j h f, j j = h f,i, (4) ε f, j k i, () Je zřejmé, že výška jednolivých vrsviček se pro každý bod diagramu M k mění. Momenová podmínka bude mí var M i i ( ) + f, j j = ( ) pro j =...i. b = 3 x + c,i h kde z f, j = ε k f, j +ε f, j i i h f, j z f, j (6) Verifikace pracovního diagramu numerickou simulací zkoušky Úlohou verifikace je numerickou simulací zkoušky čyřbodovým ohybem s odvozeným konsiuivním vzahem (závislos ε) získa průběh závislosi F δ (zaížení průhyb). Touo počíačovou simulací získaná závislos by se měla s dosaečnou přesnosí krý s výsledky zkoušky daného nosníku (série). Verifikace byla provedena pomocí programů ATENA a ANSYS. V programu ATENA je implemenován speciální maeriálový model pro drákobeon (vláknobeon s ocelovými vlákny), definovaný buď jako funkce (ε) nebo (w), kde w značí šířku rhliny. Proože byl odvozen pracovní diagram maeriálu, bude pro simulaci použio maeriálového modelaloženého na závislosi napěí převoření. Maeriálové modely používané ímo programem pro vláknobeon uvádí obr. 4. Nelineární průběh pracovního diagramu vláknobeonu, získaného jako průměr z devíi nosníků, byl pro pořeby simulace aproximován úsečkami. Jednolivé paramery maeriálového modelu numerické simulace zkoušky programem ATENA jsořejmé z obr.. Pro řešení 3D problémů beonových konsrukcí je v programovém sysému ANSYS k dispozici speciální prvek CONCRETE6, kerý umožňuje zohledni fyzikální nelineariu. V objemu prvku je možné definova rovnoměrně rozeřenou výzuž orienovanou obecně do ří směrů, což je adekvání náhodně rozpýleným vláknům v marici. Maeriál výzuže může bý aké nelineární. Pro popis plasiciy maeriálu rozeřené výzuže byl využi mulilineární model. Princip implemenace pracovního diagramu vláknobeonu využiím kombinace maeriálového modelu beonu a oceli uvádí obr. 6. Vláknobeonový rámec byl modelován s využiím syme- plasický maeriál P/ P/ ρ podkriický obsah vláken y y y s εc c Obr. Deformační změkčení vláknobeonů Fig. Sofening of fibre concrees h M ε k x h f f f3 f4 f F ΣF f F c z f z c z Obr. Průhybová čára za předpokladu rozeřených rhlin Fig. Deflecion line wih assumpion of smeared cracks Obr. 3 Vrsvičkový model Fig. 3 Layer model f6 3 b ε f f7 / echnologie konsrukce sanace BETON 67
rie. Zaěžování probíhalo přírůsky deformací ak, že celková deformace byla rozdělena do jednoho isíce zaěžovacích kroků. Deformovaný nosník zobrazuje obr. 7. Shodu simulace se zkouškou lze zejména v případě 3D analýzy programem ANSYS považova za velmi dobrou, ačkoliv při průhybech mezi, a cca,8 mm a od, mm dochází k mírnému přecenění zaěžovací síly. Paramery odvozeného maeriálového modelu pro simulaci v programu ATENA (obr. ) musely bý pro získání zobrazeného průběhu křivky F δ výrazně modifikovány, což souvisí s lokalizací změkčení pouze do jedné řady prvků a s jejich velikosí. Výsledky numerické simulace zkoušky čyřbodovým ohybem udává obr. 8. ANALÝZA VLÁKNOBETONOVÝCH KONSTRUKCÍ S maeriálovým modelem, odvozeným a verifikovaným v předchozím odsavci, byla provedena analýza poddajně uložené základové vláknobeonové desky, do níž je zaížení vnášeno rovnoběžnými vnějšími sěnami se svělou vzdálenosí 4, m. Modelován byl m široký výsek s využiím symerie (obr. 9). Numerická analýza byla provedena MKP-programem ANSYS. Deerminisická analýza Výpočy konsrukčních sysémů jsou v praxi prováděny ve velké věšině deerminisicky, vsupní paramery jsou edy zadávány jako neměnné, pevně sanovené veličiny, nejčasěji charakerisickou hodnoou či průměrem. Deerminisická analýza vláknobeonové desky uložené na nesoudržných zeminách (písek) byla provedena v ěcho varianách: a) lineárně pružný maeriál základové desky a podloží b) nelineární maeriál desky a lineární podloží c) nelineární maeriál desky a podloží Pro varianu s lineárně pružným podložím bylo deformační chování zeminy popsáno průměrným modulem pružnosi E = 6,7 MPa, odvozeným z abulkové hodnoy oedomerického modulu sředně ulehlého písku E oed = 3 MPa a Poissonova čísla ν =,8. Pro popis nelineárního chování podloží alernaivy c) byl zvolen elasoplasický maeriálový model s Prager-Druckerovou podmínkou plasiciy. Maeriál základové desky byl popsán průměrnými charakerisikami, edy v alernaivě a) modulem pružnosi, definovaným směrnicí lineární čási pracovního diagramu vláknobeonu, v alernaivách b) a c) pak včeně paramerů popisujících deformační změkčení (obr. 6). Při analýze byl sledován vývoj zaížení při rosoucím zalačení desky (obr. ). Maeriál desky se chová lineárně pružně až po hodnoaížení cca 9 kn/m, při kerém vznikla v kriickém průřezu ohybová rhlina. Od ohoo zaížení se začíná projevova deformační změkčení vláknobeonu u alernaivy b) a současně posupné plasizování maeriálu podloží u alernaivy c). Je zřejmé, že pokles ohybové únosnosi kriického průřezu při vzniku rhliny vlivem deformačního změkčení vláknobeonu ješě neznamená vyčerpání únosnosi sysému, neboť mnohonásobně saicky neurčié plošné uložení umožňuje redisribuci napěí v základové spáře. Při zaížení kn/m činí nárůs zalačení desky 3 % v případě modelu c) a 7 % u modelu b) ve srovnání s alernaivou a). Velikos zalačení desky do podloží v nelineárním režimu je edy kromě pracovního diagramu vláknobeonu v ahu výrazně ovlivněna deformačními charakerisikami zeminy. 4 napěí 6 napěí 7 4. průměr série 9 nosníků 4 maeriálový model ATENA 3. 3... poměrné převoření [ ] f f c,fl maeriálový model beonu f E < mulilineární maeriálový model vláknobeonu f f 3 f 4 f ε ε = ε c ε 3 ε 4 ε 7 převoření [ ] 68 BETON echnologie konsrukce sanace /
Sochasická analýza Objekivnos a spolehlivos výsledků deerminisické analýzy je podsanou měrou ovlivněna objekivnosí a spolehlivosí vsupních da a jejich rozpylem. Zejména v případě podloží nelze mnohdy jeho maeriálové paramery s dosaečnou přesnosí sanovi, podléhají edy značnému rozpylu hodno a v rozsahákladové konsrukce se mohou náhodně měni. Především v případech konsrukčních sysémů, u kerých je inerakce s podložím závažným fakorem ovlivňujícím jejich celkovou únosnos a deformaci, je nuné uo skuečnos uváži. K zohlednění vlivu sochasického charakeru vsupních da na chování uvažované konsrukce byla provedena analýza simulační meodou LHS (Lain Hypercube Sampling), umožňující sníži poče nuných opakování při zachování žádoucí přesnosi, což je v případě rozsáhlých numerických modelů značnou přednosí. Obecně jsou všechny vsupní paramery, edy zaížení, síla [kn] 3 zkouška ANSYS 3D ATENA D zaížení [kn/m] 8 6 4 8 6 a) lineární - lineární b) nelineární - lineární 8,,, 3 3, 4 průhyb 4 c) nelineární - nelineární 4 6 8 zalačení 9 husoa pravděpodobnosi,4,3,3,,,,, zalačení Obr. 4 Maeriálové modely pro drákobeon Fig. 4 Maerial models for fibre concree Obr. Maeriálový model pro simulaci programem ATENA Fig. Maerial model for simulaion in ATENA program Obr. 6 Maeriálový model pro simulaci programem ANSYS Fig. 6 Maerial model for simulaion in program ANSYS Obr. 7 Deformovaný nosník Fig. 7 Deformed beam Obr. 8 Porovnání výsledků simulací Fig. 8 Comparison of resuls of simulaions Obr. 9 Model výseku konsrukce Fig. 9 Model of he subpar of he srucure Obr. Zalačení vláknobeonové desky Fig. Verical displacemen of he fibre concree slab Obr. Husoa pravděpodobnosi zalačení Fig. Probabiliy densiy funcion of verical displacemen maeriálové charakerisiky podloží a vláknobeonu a geomerie konsrukce, náhodné veličiny. Proože cílem analýzy je v omo případě sledova vliv náhodného charakeru jednolivých maeriálových paramerů na velikos zalačení desky do podloží, budoaížení a geomerie uvažovány deerminisicky. Sochasická analýza byla provedena pro případy podloží s a) oedomerickým modulem E oed, 4 MPa b) oedomerickým modulem E oed 7, 33 MPa Případ a) odpovídá zhruba kyprému až sředně ulehlému písku. V obou případech činí průměrná hodnoa oedomerického modulu 3 MPa, edy shodně s deerminisickým řešením. Horní a dolní hranice inervalů reprezenují a 9% kvanily. Vsupní paramery pro jednolivé běhy analýzy byly generovány na základě předpokladu normálního rozdělení. Jejich přehled, sejně jako výsledky jednolivých opakování (zalačení desky do podloží ) uvádí ab.. Sřední hodnoy a rozpyl maeriálových paramerů vláknobeonu byly určeny na základě zkoušky série devíi vláknobeonových nosníků. Význam jednolivých paramerů / echnologie konsrukce sanace BETON 69
Tab. Přehled generovaných paramerů a výsledků analýzy pro E oed v inervalu až 4 MPa Tab. Overview of generaed parameers and resuls of analysis for E oed in he range from o 4 MPa Cyklus E c F fc,fl, f f f 4 f E z φ [ ] 66 3,86,6,4,77,36 7,66 34,3 8,7 768 3,8,68,46,9,49,94 3,36,8 3 349 3,99,8,,93.76,4 3,7 7, 4 98 3,9,6,4,8,6 3,9 3,76 7, 7747 4,,,,4.64 6,3 3,96, 6 86 3,3,94,34,4,4,9 3,,8 7 98 4,9,79,,84, 4,6 3,39 9,8 8 98 4,,7,4,73,4 3,6 33,6,3 9 847 4,6,,,98,67 9,4 3,8 9, průměr μ :, směrodaná odchylka : 4, Tab. Přehled indexů spolehlivosi, pravděpodobnosi poruchy a korelací Tab. Overview of reliabiliy indexes, probabiliy of failure and correlaions Inerval E oed φ P (,lim ) f korelační koeficieny f f 3 E z E oed <,4> MPa,66, -,7 -, -,368 -,974 E oed <7,33> MPa 7,3E-,86,48 -, -,74 Lieraura: [] Peřík V.: Maeriálové modely a výpočové analýzy vláknobeonových konsrukcí, Dokorská diserační práce, ČVUT Praha, 4 [] Kouhouková A.; Křísek V.; Broukalová I.: Maeriálový model vláknobeonu inverzní analýza, Sborník Fibre Concree & High Performance Concree, Serukon, 3 Praha [3] Thomée B.: Physikalisch nichlineare Berechnung von Sahlfaserbeonkonsrukionen, Dokorská diserační práce, TU München, [4] Vráblík L., Křísek V.: Vláknobeon-přibližná meoda inverzní analýzy. Beon TKS 6/4, sr. [6] Peřík V., Kurh H.: Základní aspeky navrhování vláknobeonových konsrukcí, Beon TKS /7, sr. 46 [7] Foglar M., Šemberk P., Kohouková A.: Hisorie únavy a přehled problemaiky v oblasi beonových a drákobeonových konsrukcí, Proc. of 3rd inern. Conf. Fibre Concree, VŠB Technická univerzia Osrava, pp. 7 v ab., popisujících pracovní diagram vláknobeonu v ahu, je zřejmý z obr. 6. Vyhodnocení sochasické analýzy vychází z předpokladu, že sledované zalačení je náhodná veličina s normálním rozdělením pravděpodobnosi. Husoy pravděpodobnosi zalačení pro oba případy udává obr.. Červeně je vyznačena husoa pravděpodobnosi případu s E oed v inervalu až 4 MPa, modře případu s E oed v inervalu 7 až 33 MPa. Znalos rozdělení pravděpodobnosi a disribuční funkce náhodné veličiny umožňuje sanovi inerval jejího výskyu při požadované pravděpodobnosi, případně index spolehlivosi a pravděpodobnos překročení zvoleného mezního savu. Při éo analýze bylo za mezní sav považováno mezní zalačení,lim = 4,8 mm. Je zřejmé, že pravděpodobnos překročení liminího zalačení je v případě podloží s vysokým rozpylem hodno oedomerického modulu velmi vysoká a index spolehlivosi nízký (doporučená hodnoa je β = 3). Velmi zajímavé je aké porovnání korelačních koeficienů, vyjadřující mírávislosi sledovaných náhodných veličin. Při menším rozpylu hodno oedomerického modulu podloží se závislos zalačení základové desky na maeriálových charakerisikách vláknobeonu zvěšuje. ZÁVĚR Inverzní analýzou byl z výsledků zkoušek série devíi vláknobeonových nosníků odvozen pracovní diagram vláknobeonu a za účelem jeho verifikace implemenován do programů založených na MKP. I přes jisé poíže s konvergencí při numerické analýze saicky určié konsrukce s výrazným deformačním změkčením byl implemenovaný maeriálový model verifikován a použi při deerminisické a sochasické analýze poddajně uložené základové konsrukce z vláknobeonu. Ukázalo se, že pro široký inerval modulu převárnosi uvažované zeminy je pravděpodobnos poruchy základové desky z daného drákobeonu mimořádně vysoká. Podobný problém by však mohl nasa i v případě železobeonové desky, neboť výzuž navržená na základě vniřních sil zprosředkovaných nejčasěji deerminisickým řešením lineárně pružné konsrukce MKP za uvážení sřední hodnoy modulu převárnosi by v případě o % menšího modulu převárnosi základové půdy byla aké nevyhovující. Vyzužení by muselo bý zřejmě podsaně inenzivnější. Tímo je aké poukázáno na důležios simulačních meod. V případě spolehlivé definice deformačních vlasnosí zeminy je vláknobeon pro eno yp konsrukcí velmi vhodným maeriálem, neboť lze využí jeho zvýšené dukiliy a schopnosi přenosu ahových napěí v průřezu porušeném rhlinou. V opačném případě je nuné použí vláknobeon s méně výrazným deformačním změkčením (je řeba konsaova, že v uvedených analýzách byl záměrně použi vláknobeon s nízkým objemovým podílem dráků a velmi výrazným poklesem schopnosi přenosu ahových namáhání po překročení pevnosi v ahu na mezi vzniku rhliny), popřípadě použí kombinace vláknobeonu s lokálním vyzužením nejvíce namáhaných oblasí základové desky. Příspěvek vznikl v rámci řešení projeku 3/9/97 GAČR a Výzkumného záměru Savební fakuly ČVUT MSM 4 Udržielná výsavba č.68477. Ing. Vojěch Peřík, Ph.D. HELIKA, a. s. Beranových 6, 99 Praha el.: 733 69 8, fax: 8 97 e-mail: vojech.perik@helika.cz Ing. Iva Broukalová, Ph.D. el.: 4 34 67, e-mail: iva.broukalova@fsv.cvu.cz Prof. Ing. Vladimír Křísek, DrSc. el.: 4 33 87, e-mail: krisek@fsv.cvu.cz oba: Savební fakula ČVUT v Praze Thákurova 7, 66 9 Praha 6 všichni: OSVVP ČSSI Komornická, 6 Praha 6 7 BETON echnologie konsrukce sanace /