Základy matematickej štatistiky. Matematická štatistika p. 1/75

Základy matematickej štatistiky Matematická štatistika p. 1/75

1. Úvod do teórie pravdepodobnosti Matematická štatistika p. 2/75

Náhodné udalosti Uvažujme pokus, výsledok ktorého závisí od náhode Elementárny jav je jednotlivý výsledok pokusu Priestor elementárnych Å javov je množina všetkých elementárnych udalostí Náhodné javy sú l ubovol né Å podmnožiny Istý jav je jav čo nastane vždy Nemožný jav je jav čo nenastane nikdy Náhodné javy sú množiny µ Ì Ë Ò Matematická štatistika p. 3/75

Pravdepodobnost javu je číselné vyjadrenie miery Pravdepodobnost È jeho náhodnosti. Existujú rôzne spôsoby definovania pravdepodobnosti (geometricky, štatisticky, axiomaticky, klasicky,... ) Klasická definícia pravdepodobnosti Elementárne udalosti sú nedelitel né a vzájomne sa vylučujúce Elementárne udalosti sú rovnako možné Pre Å ½ ¾ Ò platí pre každú dvojicu rôznych indexov a a È ½ Ò Matematická štatistika p. 4/75

Vlastnosti pravdepodobnosti Pravdepodobnost je funkcia (náhodného javu) s nasledujúcimi vlastnost ami (nezávislými od definície): 1. ¼ È ½ 2. ÈÅ ½ 3. È ½ ¾ Ò È ½ È ¾ È Ò, ak Ďalšie vlastnosti sa z nich dajú odvodit, napr. 1. È ½ È È ¼ 2. È Ò È È 3. È È È È Matematická štatistika p. 5/75

È È Nezávislost a podmienená pravdepodobnost Nezávislost náhodných javov je jeden z najdôležitejších pojmov v pravdepodobnosti a štatistike a znamená, že sa dva javy navzájom neovplyvňujú Dva náhodné javy sa nazývajú nezávislé ak È ÈÈ Ovplyvnenie jedného náhodného javu iným určuje podmienená pravdepodobnost Pravdepodobnost javu za podmienky, že jav určite nastane sa označuje È a platí È Matematická štatistika p. 6/75

µ Ü Náhodná veličina Matematicky je výhodné náhodné javy nahradit (náhodnými) číselnými hodnotami Náhodná ( veličina ) je zobrazenie (funkcia), ktorá každému elementárnemu javu priradí číselnú hodnotu: Matematická štatistika p. 7/75

Distribučná funkcia náhodnej veličiny Pre presné určenie náhodnej veličiny potrebujeme okrem Ü hodnôt aj pravdepodobnosti, s ktorými sú tieto hodnoty nadobúdané Distribučná funkcia ܵ ܵ náhodnej veličiny je funkcia È Üµ Ü ¾ Ê Ü, Vlastnosti distribučnej funkcie: ÐÑ 1. ܵ ¼ ÐÑ Ü ½ ܵ ½ Ü ½ ܵ 2. je neklesajúca funkcia 3. ܵ je v každom bode Ü zl ava spojitá funkcia, t.j. ÐÑ ÞÜ Þµ ܵ Matematická štatistika p. 8/75

Distribučná funkcia náhodnej veličiny Ďalšie potrebné vzt ahy: È Ü ÐÑ 1. ÞÜ È Ü ÐÑ 2. ÞÜ Þµ 3. È µ µ Þµ ܵ È µ ÐÑ 4. Þ È ÐÑ 5. Þ È ÐÑ 6. Þ Þµ Þµ Þµ ÐÑ Þ µ Þµ Matematická štatistika p. 9/75

Typy náhodných veličín Podl a nadobúdaných hodnôt sa náhodné veličiny najčastejšie delia na: diskrétne náhodné veličiny nadobúdajúce konečný alebo spočítatel ný počet hodnôt zadaných tabul kou alebo vzorcom spojité náhodné veličiny nadobúdajúce hodnoty z nejakého intervalu zadávaných obyčajne hustotou rozdelenia, nezápornou Ô funkciou ܵ Matematická štatistika p. 10/75

È Ü µ µ Hustota rozdelenia spojitej náhodnej veličiny Náhodná veličina sa nazýva spojitou, ak existuje nezáporná funkcia Ô Üµ Ô Üµ taká, že ܵ ÜÊ Užitočné vzt ahy: 1. Ô Üµ ¼ ܵ Ô ØµØ ½ 2. ½ Ê Ô ØµØ ½ ½ 3. È Ü È Ü È Ü Matematická štatistika p. 11/75

Číselné charakteristiky náhodných veličín Popisujú niektoré základné vlastnosti náhodných veličín a sú l ahko dostupné Najpoužívanejšie charakteristiky sú: Stredná hodnota náhodnej veličiny je číslo, z okolia ktorého nadobúda najpravdepodobnejšie svoje hodnoty Rozptyl náhodnej veličiny je číslo, ktoré určuje mieru rozptýlenosti hodnôt veličiny okolo, odmocnina z rozptylu je smerodajná odchýlka Koeficient ± korelácie ± určuje vzájomný lineárny vzt ah dvoch náhodných veličín a Matematická štatistika p. 12/75

½ È ½ ½ È ½ Ü Ô µ ¾ Ê ½ Definície strednej hodnoty a rozptylu diskrétna n. v. spojitá n. v. Ô È Ü Ô Üµ je hustota rozdelenia ½ ÜÔ ÜµÜ ½ È ½ Ü µ ¾ Ô ½ Ê Ü µ ¾ Ô ÜµÜ ½ Ak ܵ je funkcia a je náhodná veličina, tak µ je tiež náhodná veličina a platí Ü µô, resp. ½ Ê ÜµÔ ÜµÜ ½ Matematická štatistika p. 13/75

µ ¾ ¾ ½ ¾ Ò µ ½ ¾ Ò ¾ Ò Základné vlastnosti strednej hodnoty a rozptylu Pre l ubovol nú náhodnú veličinu s Ñ, ¾ a reálne čísla, platí Štandardizácia n. v.: Ñ ¼, ½ Pre l ubovol né náhodné veličiny, ½ ¾ Ò platí µ Ñ ½ ¾ Ò µ ½ ¾ Ò Ak sú nezávislé, platí ½ ¾ Ò µ ½ ¾ Ò Ak naviac Ñ, ¾ a ½ ¾ Ò Ò, tak Ñ Matematická štatistika p. 14/75

µ µµ Ô Definícia a základné vlastnosti korelačného koeficientu Koeficient korelácie ± dvoch n. v. a sa definuje vzt ahom Základné vlastnosti: ± 1. ± ½, ± ½ 2. Ak, tak ± ±. T.j. lineárna transformácia nemení korelačný koeficient Matematická štatistika p. 15/75

Ô Ô ½ Ôµ Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Alternatívne rozdelenie Parametre a Ô ¾ ¼ ½µ vzorec ½ Ô È ¼ ½ Ô È Použitie Ak má iba dva výsledky: jav bud nastane (s pravdepodobnost ou Ô) alebo nenastane (s pravdepodobnost ou ½ Ô) Charakteristiky Matematická štatistika p. 16/75

Ò ½ ÒÔ ÒÔ ½ Ôµ Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Binomické rozdelenie Parametre a Ô ¾ ¼ ½µ vzorec È Ò Použitie Pre Ò nezávislých rovnakých pokusov, v ktorých jav nastane s pravdepodobnost ou Ô, n. v. určuje počet výskytov javu v týchto Ò pokusoch Charakteristiky Ô ½ Ôµ Ò ¼ ½ Ò Matematická štatistika p. 17/75

Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Binomické rozdelenie pravdepodobnosti Ô ¼º ¼º½ Ò ½ Ô ¼¾ Ò ¼ Ô ¼ ¼º½¾ ¼º ¼º¼ ¼º¾ ¼º¼ ¼º½ ¼º¼ ¼ ¼ ¼ ½¾ ½ ¼ ½¼ ¾¼ ¼ ¼ ¼ Matematická štatistika p. 18/75

Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Poissonovo rozdelenie Parametre a ¼ vzorec È Ø Øµ ¼ Ø e Ø ¼ ½ Použitie Pre sledovanie počtu výskytov javu za čas Ø (počet porúch, obslúh,... ) Charakteristiky Ø Ø Relácie Poissonovo rozdelenie môže nahradit binomické ak Ò ½, Ô ½ a ÒÔ Matematická štatistika p. 19/75

Základné rozdelenia Diskrétne rozdelenia Poissonovo rozdelenie pravdepodobnosti Ô ¼º¾ ¼º¾ Ø Ø ½¼ ¼º½ ¼º½ ¼º½ ¼º½ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼ ¼ ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¼ ½¼ ½ ¾¼ ¾ Matematická štatistika p. 20/75

¼ ak Ü ¾ Á ½ ܵ ak Ü ¼ Ü Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Rovnomerné rozdelenie Parametre a hustota rozdelenia Á Interval Ô Üµ ak Ü ¾ Á Použitie Generátor náhodných čísel Charakteristiky µ¾ ½¾ ¾ ak Ü ¾ Á ½ ak Ü Matematická štatistika p. 21/75

½ Æ ¾ Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Exponenciálne rozdelenie Parametre a hustota rozdelenia Æ ¼ Ô Üµ ¼ ak Ü ¼ Æe ÆÜ ak Ü ¼ Použitie Vyjadruje dobu medzi dvoma výskytmi javu (dobu životnosti, dobu obsluhy,... ) Charakteristiky ½ Æ Üµ ¼ ak Ü ¼ e ÆÜ ak Ü ¼ ½ Matematická štatistika p. 22/75

Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Exponenciálne rozdelenie hustota rozdelenia ¾ ½º ½ Æ ¾ ¼º Æ ½ Æ ¼ ¼ ¼ ¾ Matematická štatistika p. 23/75

ܵ ¾ ¾ Ø Æ ¼ ½µ ¼ ½ ܵ ܵ Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Normálne rozdelenie Parametre a hustota Ñ ¾ Ê rozdelenia ¼µ ¾ ¾ Ô Üµ Ô e Ü Ñµ ¾ ¾ ½ ¾ Použitie Vyjadruje chybu pri meraní, výšku l udí,... Charakteristiky Ñ ¾, (zápis: Æ Ñ ¾ µ) Ü Ñ Ñµ¾ Ê Ô ¾ e Ø Ô ½ ¾ e ¾ Ü Ñ ¾ ÜÊ ½ µ Štandardné normálne rozdelenie (tabelované) ½ ½ Matematická štatistika p. 24/75

Základné rozdelenia Spojité rozdelenia Normálne rozdelenie hustota rozdelenia ¼º ½ Ñ ¼ ¼º Ñ ¼ Ñ ¼ Ñ ¾ ¼º ½ ¼º¾ ¾ ¼ ¹ ¹¾ ¼ ¾ ¹ ¹¾ ¼ ¾ Matematická štatistika p. 25/75

Tabul ka hodnôt ܵ distribučnej funkcie Æ ¼ ½µ ¼ ½µ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Æ 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Matematická štatistika p. 26/75

2. Úvod do matematickej štatistiky Matematická štatistika p. 27/75

Úvod V matematickej štatistike skúmame vlastnosti hromadných náhodných javov na základe empirických údajov Základným nástrojom na zist ovanie informácií o náhodných javoch je teória pravdepodobnosti Otázky kladené štatistikou: 1. Aká náhodná veličina je použitá v dátach a aké sú jej parametre? (Odhadnime jej typ rozdelenia aj jeho parametre, ktoré nepoznáme!) 2. Aké údaje máme k dispozícii? (Urobme meranie, či experiment a zaregistrujme hodnoty!) 3. Ako analyzujeme a interpretujeme namerané údaje? (Použime teóriu 1. na prax 2.!) Matematická štatistika p. 28/75

Náhodný výber a štatistický súbor Náhodný výber (so základného súboru) rozsahom Ò je postupnost nezávislých náhodných veličín ¾ Ò ½ s rovnakým rozdelením (s distribučnou funkciou ܵ) Štatistický súbor chápeme bud ako súbor objektov alebo ako súbor dát, teda realizáciu náhodného výberu Základný súbor objektov alebo dát je potom množina všetkých možných objektov alebo hodnôt, ktoré dáta nadobúdajú Matematická štatistika p. 29/75

Ý ½ Ý ¾ Ý ½ Ý ½½ Ý ½¾ Ý ½ Ò Ý Ò½ Ý Ò¾ Ý Ò Zápis merania a jeho analýza Štatistické tabul ky Prvotná tabul ka Zobrazenie všetkých meraní a nameraných hodnôt jednotlivých Ý premenných Ý ¾ Ý Ò ½... Ý ¾½ Ý ¾¾ Ý ¾ ¾.... Matematická štatistika p. 30/75

Zápis merania a jeho analýza Štatistické tabul ky Frekvenčná tabul ka Rozdelenie nameraných hodnôt jednej premennej do klasifikačných tried ¾ Ñ ½ Triedy ¾ Ñ ½ Ò Početnosti Ò ¾ Ò Ñ ½ Ciel Získat prehl adnú tabul ku o rozdelení nameraných hodnôt a pripravit dáta pre niektoré špeciálne štatistické metódy Matematická štatistika p. 31/75

Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná číselná analýza Výberové charakteristiky Ì (štatistiky) chápeme bud ako funkcie náhodných veličín ¾ Ò ½ Ì Ì ½ ¾ Ò µ alebo ako funkcie ich hodnôt Ü ½ Ü ¾ Ü Ò získaných realizáciou náhodného výberu Ì Ì Ü ½ Ü ¾ Ü Ò µ V prvom prípade Ì chápeme ako náhodnú veličinu (teoretická interpretácia), v druhom prípade ako číslo (praktická interpretácia) Matematická štatistika p. 32/75

½ Ò Výberový rozptyl Ë ¾ Ë ¾ Ò ½ ½ ÒÈ ÑÈ Ò Ü Ò Ü µ ¾ Ò Ý Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná číselná analýza Základné štatistiky Štatistika Prvotná tabul ka Frekvenčná tabul ka Výberový priemer ÒÈ ÑÈ ½ Ü ½ Ò ½ Výberový koeficient korelácie Ö ÒÈ ½ Ü µ Ý µ ÑÈ ½ Ò Ü µ Ý µ Ò ½ ½ ½ Ü µ ¾ Ë ¾ Ò ½ Ò Ö Ò È Ü µ ¾ Ò Ö È Ý µ ¾ ½ ½ Ñ È Ò Ü µ ¾ Ñ È µ ¾ ½ ½ Matematická štatistika p. 33/75

Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná číselná analýza Základné štatistiky Pre analýzu rozdelenia, rozptýlenosti hodnôt: Výberový dolný kvartil je hodnota, vl avo od ktorej sa nachádza 25% všetkých údajov Výberový medián je hodnota, vl avo (ale aj vpravo) od ktorej sa nachádza 50% všetkých údajov Výberový horný kvartil je hodnota, vl avo od ktorej sa nachádza 75% všetkých údajov Matematická štatistika p. 34/75

Ò Ò Ò Ò ¾ Ò Ò ½ Ò ½ ¾ Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná grafická analýza Histogram je graf zodpovedajúci frekvenčnej tabul ke, ktorý obdĺžnikmi zázorňuje početnosti v jednotlivých triedach Matematická štatistika p. 35/75

Zápis merania a jeho analýza Popisná štatistika Prvotná grafická analýza Graf empirickej distribučnej funkcie ܵ, ktorá je definovaná vzt ahom ܵ ½ Ò Æ Ü Ü ½ ¼º ¼º ¼º ¼º¾ ¼ Matematická štatistika p. 36/75 ¼ ¾

¾ Òµ Ò ¾ Òµ Ò ¾ µ Základné štatistické rozdelenia Normálne rozdelenie skutočný základ Nech ¾ Ò Ò ½ ½ sú nezávislé náhodné veličiny s rozdelením Æ ¼ ½µ. Hovoríme, že rozdelenie s Ò stupňami vol nosti má náhodná veličina ¾ (píšeme ¾ Òµ), ak ¾ ¾ ¾ ¾ Ò ½ Studentovo Ø-rozdelenie s Ò stupňami vol nosti má náhodná veličina (píšeme Ø Òµ), ak Ò ½ Õ Fisherovo -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti má náhodná veličina (píšeme Ò µ), ak, pričom náhodné veličiny ¾ Òµ a ¾ µ sú nezávislé Matematická štatistika p. 37/75

Grafy štatistických rozdelení ¾ rozdelenie hustota rozdelenia pre rôzne Ò ¼º¾ Ò ¼º½ Ò ½¼ ¼º½ Ò ¾¼ ¼º¼ ¼ ¼ ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¼ Matematická štatistika p. 38/75

Grafy štatistických rozdelení Studentovo Ø-rozdelenie hustota rozdelenia pre rôzne Ò ¼º Æ ¼ ½µ ¼º ¼º¾ Ò ¾ ¼º½ Ò ¾¼ Ò ¼ Pre vel ké Ò je Ø Òµ Æ ¼ ½µ ¹ ¹¾ ¼ ¾ Matematická štatistika p. 39/75

Ò ½¼ Ò Ò ½¼ Ò Grafy štatistických rozdelení Fisherovo rozdelenie hustota rozdelenia pre rôzne Ò a ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º Ò ¾¼ Ò ¾¼ ¼º¾ ¼º¾ ¼ ¼ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ Matematická štatistika p. 40/75

Æ ¼ ½µ Ü Æ Ù Æ ¾ Òµ Ü Æ ¾ Æ Òµ Ø Òµ Ü Æ Ø Æ Òµ Kvantily štatistických rozdelení Kvantilom Æ úrovne náhodnej veličiny nazývame Ü číslo Æ, pre ktoré Ü platí µ È Ü Æ Æ Æ ¼ Æ ½ Zrejme Ü a ½ Ƶ Æ Označenie: Ò µ Ü Æ Æ Ò µ Ak má symetrické rozdelenie (ak jeho hustota rozdelenia je párna funkcia), tak Ü ½ Æ Ü Æ Normálne rozdelenie aj Studentovo Ø-rozdelenie sú symetrické Matematická štatistika p. 41/75

Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò stupňami vol nosti ¾ Æ Òµ ¾ Æ 0.005 0.01 0.025 0.05 0.95 0.975 0.99 0.995 Ò 1 0.00004 0.0002 0.0010 0.0039 3.8415 5.0239 6.6349 7.8794 2 0.0100 0.0201 0.0506 0.1026 5.9915 7.3778 9.2103 10.5967 3 0.0717 0.1148 0.2158 0.3518 7.8147 9.3484 11.3449 12.8382 4 0.2070 0.2971 0.4844 0.7107 9.4877 11.1433 13.2767 14.8602 5 0.4117 0.5543 0.8312 1.1455 11.0705 12.8325 15.0863 16.7496 6 0.6757 0.8721 1.2373 1.6354 12.5916 14.4494 16.8119 18.5476 7 0.9893 1.2390 1.6899 2.1674 14.0671 16.0128 18.4753 20.2778 8 1.3444 1.6465 2.1797 2.7326 15.5073 17.5345 20.0902 21.9549 9 1.7349 2.0879 2.7004 3.3251 16.9190 19.0228 21.6660 23.5893 10 2.1559 2.5582 3.2470 3.9403 18.3070 20.4832 23.2092 25.1882 11 2.6032 3.0535 3.8157 4.5748 19.6751 21.9201 24.7250 26.7569 12 3.0738 3.5706 4.4038 5.2260 21.0261 23.3367 26.2170 28.2995 13 3.5650 4.1069 5.0088 5.8919 22.3620 24.7356 27.6883 29.8195 14 4.0747 4.6604 5.6287 6.5706 23.6848 26.1189 29.1412 31.3193 15 4.6009 5.2294 6.2621 7.2609 24.9958 27.4884 30.5779 32.8013 16 5.1422 5.8122 6.9077 7.9616 26.2962 28.8454 31.9999 34.2672 17 5.6972 6.4078 7.5642 8.6718 27.5871 30.1910 33.4086 35.7184 18 6.2648 7.0149 8.2307 9.3905 28.8693 31.5264 34.8053 37.1565 19 6.8440 7.6327 8.9065 10.1170 30.1435 32.8523 36.1909 38.5822 20 7.4338 8.2604 9.5908 10.8508 31.4104 34.1696 37.5662 39.9969 21 8.0337 8.8972 10.2829 11.5913 32.6706 35.4789 38.9322 41.4011 22 8.6427 9.5425 10.9823 12.3380 33.9244 36.7807 40.2894 42.7957 23 9.2604 10.1957 11.6886 13.0905 35.1725 38.0756 41.6384 44.1813 24 9.8862 10.8564 12.4012 13.8484 36.4150 39.3641 42.9798 45.5585 25 10.5196 11.5240 13.1197 14.6114 37.6525 40.6465 44.3141 46.9278 26 11.1602 12.1982 13.8439 15.3792 38.8851 41.9232 45.6417 48.2899 27 11.8076 12.8785 14.5734 16.1514 40.1133 43.1945 46.9629 49.6449 28 12.4613 13.5647 15.3079 16.9279 41.3371 44.4608 48.2782 50.9933 29 13.1211 14.2565 16.0471 17.7084 42.5570 45.7223 49.5879 52.3355 30 13.7867 14.9535 16.7908 18.4927 43.7730 46.9792 50.8922 53.6720 40 20.7066 22.1642 24.4330 26.5093 55.7585 59.3417 63.6908 66.7660 50 27.9907 29.7067 32.3574 34.7643 67.5048 71.4202 76.1539 79.4899 60 35.5345 37.4848 40.4818 43.1880 79.0819 83.2977 88.3794 91.9518 70 43.2752 45.4417 48.7576 51.7393 90.5312 95.0232 100.4251 104.2149 80 51.1719 53.5401 57.1532 60.3915 101.8795 106.6286 112.3288 116.3210 90 59.1963 61.7541 65.6466 69.1260 113.1453 118.1359 124.1163 128.2990 100 67.3275 70.0649 74.2219 77.9295 124.3421 129.5612 135.8068 140.1695 Matematická štatistika p. 42/75

Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení Ø-rozdelenie s Ò stupňami vol nosti Æ Òµ Æ Ø 0.950 0.975 0.990 0.995 Ò 1 6.3138 12.7062 31.8207 63.6566 2 2.9200 4.3026 6.9646 9.9249 3 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 4 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 5 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 6 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 7 1.8946 2.3646 2.9979 3.4995 8 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 9 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 10 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 11 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 12 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 13 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 14 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 15 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467 16 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 17 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 18 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 19 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 20 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 21 1.7207 2.0796 2.5177 2.8314 22 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 23 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 24 1.7109 2.0639 2.4922 2.7969 25 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 26 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 27 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 28 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 29 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 30 1.6973 2.0423 2.4573 2.7500 40 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 50 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 60 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 70 1.6669 1.9944 2.3808 2.6479 80 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 90 1.6620 1.9867 2.3685 2.6316 100 1.6602 1.9840 2.3642 2.6259 Matematická štatistika p. 43/75

Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti, Æ ¼ Æ Òµ Ò 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 2 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.43 19.45 19.46 19.46 3 9.552 9.277 9.117 9.013 8.941 8.887 8.845 8.812 8.786 8.745 8.703 8.660 8.634 8.617 4 6.944 6.591 6.388 6.256 6.163 6.094 6.041 5.999 5.964 5.912 5.858 5.803 5.769 5.746 5 5.786 5.409 5.192 5.050 4.950 4.876 4.818 4.772 4.735 4.678 4.619 4.558 4.521 4.496 6 5.143 4.757 4.534 4.387 4.284 4.207 4.147 4.099 4.060 4.000 3.938 3.874 3.835 3.808 7 4.737 4.347 4.120 3.972 3.866 3.787 3.726 3.677 3.637 3.575 3.511 3.445 3.404 3.376 8 4.459 4.066 3.838 3.687 3.581 3.500 3.438 3.388 3.347 3.284 3.218 3.150 3.108 3.079 9 4.256 3.863 3.633 3.482 3.374 3.293 3.230 3.179 3.137 3.073 3.006 2.936 2.893 2.864 10 4.103 3.708 3.478 3.326 3.217 3.135 3.072 3.020 2.978 2.913 2.845 2.774 2.730 2.700 11 3.982 3.587 3.357 3.204 3.095 3.012 2.948 2.896 2.854 2.788 2.719 2.646 2.601 2.570 12 3.885 3.490 3.259 3.106 2.996 2.913 2.849 2.796 2.753 2.687 2.617 2.544 2.498 2.466 13 3.806 3.411 3.179 3.025 2.915 2.832 2.767 2.714 2.671 2.604 2.533 2.459 2.412 2.380 14 3.739 3.344 3.112 2.958 2.848 2.764 2.699 2.646 2.602 2.534 2.463 2.388 2.341 2.308 15 3.682 3.287 3.056 2.901 2.790 2.707 2.641 2.588 2.544 2.475 2.403 2.328 2.280 2.247 16 3.634 3.239 3.007 2.852 2.741 2.657 2.591 2.538 2.494 2.425 2.352 2.276 2.227 2.194 17 3.592 3.197 2.965 2.810 2.699 2.614 2.548 2.494 2.450 2.381 2.308 2.230 2.181 2.148 18 3.555 3.160 2.928 2.773 2.661 2.577 2.510 2.456 2.412 2.342 2.269 2.191 2.141 2.107 19 3.522 3.127 2.895 2.740 2.628 2.544 2.477 2.423 2.378 2.308 2.234 2.155 2.106 2.071 20 3.493 3.098 2.866 2.711 2.599 2.514 2.447 2.393 2.348 2.278 2.203 2.124 2.074 2.039 21 3.467 3.072 2.840 2.685 2.573 2.488 2.420 2.366 2.321 2.250 2.176 2.096 2.045 2.010 22 3.443 3.049 2.817 2.661 2.549 2.464 2.397 2.342 2.297 2.226 2.151 2.071 2.020 1.984 23 3.422 3.028 2.796 2.640 2.528 2.442 2.375 2.320 2.275 2.204 2.128 2.048 1.996 1.961 24 3.403 3.009 2.776 2.621 2.508 2.423 2.355 2.300 2.255 2.183 2.108 2.027 1.975 1.939 25 3.385 2.991 2.759 2.603 2.490 2.405 2.337 2.282 2.236 2.165 2.089 2.007 1.955 1.919 26 3.369 2.975 2.743 2.587 2.474 2.388 2.321 2.265 2.220 2.148 2.072 1.990 1.938 1.901 27 3.354 2.960 2.728 2.572 2.459 2.373 2.305 2.250 2.204 2.132 2.056 1.974 1.921 1.884 28 3.340 2.947 2.714 2.558 2.445 2.359 2.291 2.236 2.190 2.118 2.041 1.959 1.906 1.869 29 3.328 2.934 2.701 2.545 2.432 2.346 2.278 2.223 2.177 2.104 2.027 1.945 1.891 1.854 30 3.316 2.922 2.690 2.534 2.421 2.334 2.266 2.211 2.165 2.092 2.015 1.932 1.878 1.841 Matematická štatistika p. 44/75

Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti, Æ ¼ Æ Òµ Ò 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 2 39.00 39.17 39.25 39.30 39.33 39.36 39.37 39.39 39.40 39.41 39.43 39.45 39.46 39.46 3 16.04 15.44 15.10 14.88 14.73 14.62 14.54 14.47 14.42 14.34 14.25 14.17 14.12 14.08 4 10.64 9.979 9.605 9.364 9.197 9.074 8.980 8.905 8.844 8.751 8.657 8.560 8.501 8.461 5 8.434 7.764 7.388 7.146 6.978 6.853 6.757 6.681 6.619 6.525 6.428 6.329 6.268 6.227 6 7.260 6.599 6.227 5.988 5.820 5.695 5.600 5.523 5.461 5.366 5.269 5.168 5.107 5.065 7 6.542 5.890 5.523 5.285 5.119 4.995 4.899 4.823 4.761 4.666 4.568 4.467 4.405 4.362 8 6.059 5.416 5.053 4.817 4.652 4.529 4.433 4.357 4.295 4.200 4.101 3.999 3.937 3.894 9 5.715 5.078 4.718 4.484 4.320 4.197 4.102 4.026 3.964 3.868 3.769 3.667 3.604 3.560 10 5.456 4.826 4.468 4.236 4.072 3.950 3.855 3.779 3.717 3.621 3.522 3.419 3.355 3.311 11 5.256 4.630 4.275 4.044 3.881 3.759 3.664 3.588 3.526 3.430 3.330 3.226 3.162 3.118 12 5.096 4.474 4.121 3.891 3.728 3.607 3.512 3.436 3.374 3.277 3.177 3.073 3.008 2.963 13 4.965 4.347 3.996 3.767 3.604 3.483 3.388 3.312 3.250 3.153 3.053 2.948 2.882 2.837 14 4.857 4.242 3.892 3.663 3.501 3.380 3.285 3.209 3.147 3.050 2.949 2.844 2.778 2.732 15 4.765 4.153 3.804 3.576 3.415 3.293 3.199 3.123 3.060 2.963 2.862 2.756 2.689 2.644 16 4.687 4.077 3.729 3.502 3.341 3.219 3.125 3.049 2.986 2.889 2.788 2.681 2.614 2.568 17 4.619 4.011 3.665 3.438 3.277 3.156 3.061 2.985 2.922 2.825 2.723 2.616 2.548 2.502 18 4.560 3.954 3.608 3.382 3.221 3.100 3.005 2.929 2.866 2.769 2.667 2.559 2.491 2.445 19 4.508 3.903 3.559 3.333 3.172 3.051 2.956 2.880 2.817 2.720 2.617 2.509 2.441 2.394 20 4.461 3.859 3.515 3.289 3.128 3.007 2.913 2.837 2.774 2.676 2.573 2.464 2.396 2.349 21 4.420 3.819 3.475 3.250 3.090 2.969 2.874 2.798 2.735 2.637 2.534 2.425 2.356 2.308 22 4.383 3.783 3.440 3.215 3.055 2.934 2.839 2.763 2.700 2.602 2.498 2.389 2.320 2.272 23 4.349 3.750 3.408 3.183 3.023 2.902 2.808 2.731 2.668 2.570 2.466 2.357 2.287 2.239 24 4.319 3.721 3.379 3.155 2.995 2.874 2.779 2.703 2.640 2.541 2.437 2.327 2.257 2.209 25 4.291 3.694 3.353 3.129 2.969 2.848 2.753 2.677 2.613 2.515 2.411 2.300 2.230 2.182 26 4.265 3.670 3.329 3.105 2.945 2.824 2.729 2.653 2.590 2.491 2.387 2.276 2.205 2.157 27 4.242 3.647 3.307 3.083 2.923 2.802 2.707 2.631 2.568 2.469 2.364 2.253 2.183 2.133 28 4.221 3.626 3.286 3.063 2.903 2.782 2.687 2.611 2.547 2.448 2.344 2.232 2.161 2.112 29 4.201 3.607 3.267 3.044 2.884 2.763 2.669 2.592 2.529 2.430 2.325 2.213 2.142 2.092 30 4.182 3.589 3.250 3.026 2.867 2.746 2.651 2.575 2.511 2.412 2.307 2.195 2.124 2.074 Matematická štatistika p. 45/75

Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti, Æ ¼ Æ Òµ Ò 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 2 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 99.42 99.43 99.45 99.46 99.47 3 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 27.05 26.87 26.69 26.58 26.50 4 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.20 14.02 13.91 13.84 5 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.888 9.722 9.553 9.449 9.379 6 10.93 9.780 9.148 8.746 8.466 8.260 8.102 7.976 7.874 7.718 7.559 7.396 7.296 7.229 7 9.547 8.451 7.847 7.460 7.191 6.993 6.840 6.719 6.620 6.469 6.314 6.155 6.058 5.992 8 8.649 7.591 7.006 6.632 6.371 6.178 6.029 5.911 5.814 5.667 5.515 5.359 5.263 5.198 9 8.022 6.992 6.422 6.057 5.802 5.613 5.467 5.351 5.257 5.111 4.962 4.808 4.713 4.649 10 7.559 6.552 5.994 5.636 5.386 5.200 5.057 4.942 4.849 4.706 4.558 4.405 4.311 4.247 11 7.206 6.217 5.668 5.316 5.069 4.886 4.744 4.632 4.539 4.397 4.251 4.099 4.005 3.941 12 6.927 5.953 5.412 5.064 4.821 4.640 4.499 4.388 4.296 4.155 4.010 3.858 3.765 3.701 13 6.701 5.739 5.205 4.862 4.620 4.441 4.302 4.191 4.100 3.960 3.815 3.665 3.571 3.507 14 6.515 5.564 5.035 4.695 4.456 4.278 4.140 4.030 3.939 3.800 3.656 3.505 3.412 3.348 15 6.359 5.417 4.893 4.556 4.318 4.142 4.004 3.895 3.805 3.666 3.522 3.372 3.278 3.214 16 6.226 5.292 4.773 4.437 4.202 4.026 3.890 3.780 3.691 3.553 3.409 3.259 3.165 3.101 17 6.112 5.185 4.669 4.336 4.102 3.927 3.791 3.682 3.593 3.455 3.312 3.162 3.068 3.003 18 6.013 5.092 4.579 4.248 4.015 3.841 3.705 3.597 3.508 3.371 3.227 3.077 2.983 2.919 19 5.926 5.010 4.500 4.171 3.939 3.765 3.631 3.523 3.434 3.297 3.153 3.003 2.909 2.844 20 5.849 4.938 4.431 4.103 3.871 3.699 3.564 3.457 3.368 3.231 3.088 2.938 2.843 2.778 21 5.780 4.874 4.369 4.042 3.812 3.640 3.506 3.398 3.310 3.173 3.030 2.880 2.785 2.720 22 5.719 4.817 4.313 3.988 3.758 3.587 3.453 3.346 3.258 3.121 2.978 2.827 2.733 2.667 23 5.664 4.765 4.264 3.939 3.710 3.539 3.406 3.299 3.211 3.074 2.931 2.781 2.686 2.620 24 5.614 4.718 4.218 3.895 3.667 3.496 3.363 3.256 3.168 3.032 2.889 2.738 2.643 2.577 25 5.568 4.675 4.177 3.855 3.627 3.457 3.324 3.217 3.129 2.993 2.850 2.699 2.604 2.538 26 5.526 4.637 4.140 3.818 3.591 3.421 3.288 3.182 3.094 2.958 2.815 2.664 2.569 2.503 27 5.488 4.601 4.106 3.785 3.558 3.388 3.256 3.149 3.062 2.926 2.783 2.632 2.536 2.470 28 5.453 4.568 4.074 3.754 3.528 3.358 3.226 3.120 3.032 2.896 2.753 2.602 2.506 2.440 29 5.420 4.538 4.045 3.725 3.499 3.330 3.198 3.092 3.005 2.868 2.726 2.574 2.478 2.412 30 5.390 4.510 4.018 3.699 3.473 3.304 3.173 3.067 2.979 2.843 2.700 2.549 2.453 2.386 Matematická štatistika p. 46/75

Tabul ky kvantilov štatistických rozdelení -rozdelenie s Ò a stupňami vol nosti, Æ ¼ Æ Òµ Ò 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 25 30 2 199.0 199.2 199.3 199.3 199.3 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.4 199.5 199.5 199.5 3 49.80 47.47 46.19 45.39 44.84 44.43 44.13 43.88 43.69 43.39 43.08 42.78 42.59 42.47 4 26.28 24.26 23.15 22.46 21.97 21.62 21.35 21.14 20.97 20.70 20.44 20.17 20.00 19.89 5 18.31 16.53 15.56 14.94 14.51 14.20 13.96 13.77 13.62 13.38 13.15 12.90 12.76 12.66 6 14.54 12.92 12.03 11.46 11.07 10.79 10.57 10.39 10.25 10.03 9.814 9.589 9.451 9.358 7 12.40 10.88 10.05 9.522 9.155 8.885 8.678 8.514 8.380 8.176 7.968 7.754 7.623 7.534 8 11.04 9.596 8.805 8.302 7.952 7.694 7.496 7.339 7.211 7.015 6.814 6.608 6.482 6.396 9 10.11 8.717 7.956 7.471 7.134 6.885 6.693 6.541 6.417 6.227 6.032 5.832 5.708 5.625 10 9.427 8.081 7.343 6.872 6.545 6.302 6.116 5.968 5.847 5.661 5.471 5.274 5.153 5.071 11 8.912 7.600 6.881 6.422 6.102 5.865 5.682 5.537 5.418 5.236 5.049 4.855 4.736 4.654 12 8.510 7.226 6.521 6.071 5.757 5.525 5.345 5.202 5.085 4.906 4.721 4.530 4.412 4.331 13 8.186 6.926 6.233 5.791 5.482 5.253 5.076 4.935 4.820 4.643 4.460 4.270 4.153 4.073 14 7.922 6.680 5.998 5.562 5.257 5.031 4.857 4.717 4.603 4.428 4.247 4.059 3.942 3.862 15 7.701 6.476 5.803 5.372 5.071 4.847 4.674 4.536 4.424 4.250 4.070 3.883 3.766 3.687 16 7.514 6.303 5.638 5.212 4.913 4.692 4.521 4.384 4.272 4.099 3.920 3.734 3.618 3.539 17 7.354 6.156 5.497 5.075 4.779 4.559 4.389 4.254 4.142 3.971 3.793 3.607 3.492 3.412 18 7.215 6.028 5.375 4.956 4.663 4.445 4.276 4.141 4.030 3.860 3.683 3.498 3.382 3.303 19 7.093 5.916 5.268 4.853 4.561 4.345 4.177 4.043 3.933 3.763 3.587 3.402 3.287 3.208 20 6.986 5.818 5.174 4.762 4.472 4.257 4.090 3.956 3.847 3.678 3.502 3.318 3.203 3.123 21 6.891 5.730 5.091 4.681 4.393 4.179 4.013 3.880 3.771 3.602 3.427 3.243 3.128 3.049 22 6.806 5.652 5.017 4.609 4.322 4.109 3.944 3.812 3.703 3.535 3.360 3.176 3.061 2.982 23 6.730 5.582 4.950 4.544 4.259 4.047 3.882 3.750 3.642 3.475 3.300 3.116 3.001 2.922 24 6.661 5.519 4.890 4.486 4.202 3.991 3.826 3.695 3.587 3.420 3.246 3.062 2.947 2.868 25 6.598 5.462 4.835 4.433 4.150 3.939 3.776 3.645 3.537 3.370 3.196 3.013 2.898 2.819 26 6.541 5.409 4.785 4.384 4.103 3.893 3.730 3.599 3.492 3.325 3.151 2.968 2.853 2.774 27 6.489 5.361 4.740 4.340 4.059 3.850 3.687 3.557 3.450 3.284 3.110 2.928 2.812 2.733 28 6.440 5.317 4.698 4.300 4.020 3.811 3.649 3.519 3.412 3.246 3.073 2.890 2.775 2.695 29 6.396 5.276 4.659 4.262 3.983 3.775 3.613 3.483 3.377 3.211 3.038 2.855 2.740 2.660 30 6.355 5.239 4.623 4.228 3.949 3.742 3.580 3.450 3.344 3.179 3.006 2.823 2.708 2.628 Matematická štatistika p. 47/75

Ô Ò Æ ¼ ½µ Ë ¾ ½ Základná veta matematickej štatistiky Nech Ü ½ Ü ¾ Ü Ò je náhodný výber zo základného súboru s Æ Ñ rozdelením µ a nech je jeho výberový priemer a Ë ¾ ¾ ½ Ò jeho výberový rozptyl. Potom náhodné veličiny a Ë ¾ Ò ½ sú nezávislé a µ, Ñ ¾ Ò ½ Ò ¾ Ë ¾ Ò ½ ½µ. ¾ Ò Æ Dôležité dôsledky: 1. Ñ 2. ÑÔ Ò Ø Ò ½µ ½ Ò Ë 3. Ak Ý ½ Ý ¾ Ý Ñ je náhodný výber zo základného súboru s rozdelením Æ Ñ ¾ ¾ µ nazávislý od náhodného výberu Ü s výberovým rozptylom Ë ¾ ½, tak ˾ Ò ½ Ò ½ ½µ Matematická štatistika p. 48/75

3. Odhady a hypotézy Matematická štatistika p. 49/75

Bodové odhady parametrov rozdelení Odhadom parametra rozdelenia ܵ s ¾ nazývame takú štatistiku Ü ½ Ü ¾ Ü Ò µ náhodného výberu ½ Ü ¾ Ü Ò, pre ktorú ¾ Ü Vlastnosti odhadov Nestrannost Efektívnost pre všetky nestranné odhady Ñ Odhady a Ak ¾ Ñ, resp. ¾, tak výberový priemer, resp. výberový rozptyl Ë ¾ Ò ½ sú nestranné odhady Ñ, resp. ¾ Parametre normálneho rozdelenia nemajú efektívne odhady, iného rozdelenia však áno, napr. pre Poissonovo Matematická štatistika p. 50/75

Intervalové odhady parametrov rozdelení Interval spol ahlivosti je taký interval, ktorý pokryje skutočnú hodnotu parametra rozdelenia ܵ so zadanou pravdepodobnost ou koeficientom spol ahlivosti Typy Jednostranné ½ ½µ È ½ Dvojstranné ¾ À¾ µ È ½ À¾ ½ À½ µ È ½ Matematická štatistika p. 51/75

Ø Ò ½µ Ë Ò ½ Ô Ñ Ø Ò ½µ Ë Ò ½ Ô Ò Ò ¾ ½ ¾ ¾ Ò ½µ Ò ½µË ¾ Ò ½ ½µ Ë Ò ½ Ô Ò Ò ¾ ½ ¾ ½µ Ë Ò ½ Ô Ò Ò Intervalové odhady parametrov rozdelení Interval spol ahlivosti pre parametre normálneho rozdelenia Jednostranný ½ ¾ Ò ½µË ¾ Ò ½ ¾ ½ À½ Ò ½µ Dvojstranný Ñ Ø ½ ¾ ¾ ¾ Ò ½µË ¾ Ò ½ Ø ½ ¾ À¾ Ò ½µË ¾ Ò ½ Ò ½µ Ò ½µ Matematická štatistika p. 52/75

À ¼ nezamietame oproti À ½ À ¼ zamietame oproti À ½ Testovanie štatistických hypotéz Štatistická hypotéza je tvrdenie o rozdelení pravdepodobnosti skúmanej náhodnej veličiny, o parametroch týchto veličín... Nulová À hypotéza ¼ je hypotéza, platnost ktorej overujeme Alternatívna hypotéza À ½ je hypotéza kladená oproti À ¼ Testujeme vždy hypotézu À ¼ oproti hypotéze À ½ s použitím testovacej štatistiky Ì Ì Ü ½ Ü ¾ Ü Ò µ a kritického oboru à takto: Ì ¾ à µ Ì ¾ à µ Matematická štatistika p. 53/75

Testovanie štatistických hypotéz Dvojaké chyby pri vyhodnotení testu Chyba prvého druhu zamietneme À ¼ (Ì ¾ Ã) aj ked je správna, hladina významnosti testu «je pravdepodobnost tejto chyby, t.j. ÈÌ ¾ ÃÀ ¼ «Chyba druhého druhu nezamietneme À ¼ (Ì ¾ Ã) aj ked je nesprávna Postup pri testovaní: 1. Formulácia hypotéz À ¼ a À ½ 2. Vol ba hladiny významnosti «(najčastejšie 0.01, 0.05) 3. Určenie testovacej štatistiky Ì a kritického oboru à 4. Výpočet (výberových charakteristík a testu) 5. Vyhodnotenie výsledkov (prijatie či neprijatie À ¼ ) Matematická štatistika p. 54/75

À ½ ÑÑ ¼ À ½ ÑÑ ¼ À ½ ÑÑ ¼ À ½ ¾ ¾ ¼ À ½ ¾ ¾ ¼ À ½ ¾ ¾ ¼ Testy parametrov normálneho rozdelenia Jednovýberová analýza parametrov normálneho rozdelenia Ñ (Ø-test), resp. ¾ ( ¾ -test) Testovacia štatistika Ì Ñ Ñ ¼ Kritický obor Ô ½ Ë Ò Ò, resp. Ò ½ Ì ¾ ¾ ¼ Ë ¾ Ò ½ ¼ ÑÑ ¼ Ì Ñ Ø ½ «Ò ½µ Ì Ñ Ø ½ «Ò ½µ Ì Ñ Ø ½ «¾ À Ò ½µ ¼ ¾ ¾ Ì ¾ ¾ ¾ ¾ «Ò ½µ ½ Ì ¾ ¾ ¾ «Ò ½µ Ì ½µ «Ò ½ ¼ À Ò ½µ ¾ ¾ «Ì ¾ Matematická štatistika p. 55/75

Þ Ü Ý, za podmienky, že Þ Æ Ñ Ü À ¼ Ñ Þ Ñ Ü Ñ Ý ¼ Testy parametrov normálneho rozdelenia Párová analýza parametrov normálneho rozdelenia Daný párový výber Ü ½ Ý ½ µ Ü ¾ Ý ¾ µ Ü Ò Ý Ò µ transformáciou Ñ Ý ¾ µ možno podrobit jednovýberovému testu pre výber Þ ½ Þ ¾ Þ Ò Najčastejšie sa testuje hypotéza À ¼ o rovnosti stredných hodnôt Matematická štatistika p. 56/75

Ò ¾ Ò ¾ À ½ Ñ Ü Ñ Ý À ½ Ñ Ü Ñ Ý À ½ Ñ Ü Ñ Ý ¼ Ü Ñ Ý Ì Ø ½ «µ Ì Ø ½ «µ Ì Ø «½ ¾ µ Ñ À Testy parametrov normálneho rozdelenia Dvojvýberová analýza parametrov normálneho rozdelenia Ñ (Ø-test), resp. ¾ ( -test) pre výbery Ü ½ Ü ¾ Ü Ò a Ý ½ Ý ¾ Ý Dvojvýberový Ø-test za predpokladu ¾ Ü ¾ Ý Testovacia štatistika Ì, Ô ½Ò ½ Ë pričom Ë ¾ Ò ½µË¾ Ò ½ Ü ½µË¾ ½ Ý Kritický obor Matematická štatistika p. 57/75

¾ Ò ½ Ü Ë Ò Ë ¾ Ý ½ À ½ Ñ Ü Ñ Ý À ½ Ñ Ü Ñ Ý À ½ Ñ Ü Ñ Ý Ë ¾ Ò Ë ¾ ¾ Ý ½ ¾ Testy parametrov normálneho rozdelenia Dvojvýberová analýza parametrov normálneho rozdelenia Ñ (Ø-test), resp. ¾ ( -test) pre výbery Ü ½ Ü ¾ Ü Ò a Ý ½ Ý ¾ Ý Dvojvýberový Ø-test za predpokladu ¾ Ü ¾ Ý Testovacia štatistika Ì, Ö s vol bou ¾ Ò ½ Ü Ë Ò ¾ ˾ ½ Ý ½ Ü Ò Kritický obor Ò ½ ½ ¼ Ñ Ü Ñ Ý Ì Ø ½ «µ Ì Ø ½ «µ Ì Ø ½ «¾ µ À Matematická štatistika p. 58/75

Kritický Ì obor «½ Ò ÑÜ ½ Ò ÑÒ ½µ ¾ Testy parametrov normálneho rozdelenia Dvojvýberová analýza parametrov normálneho rozdelenia Ñ (Ø-test), resp. ¾ ( -test) pre výbery Ü ½ Ü ¾ Ü Ò a Ý ½ Ý ¾ Ý Dvojvýberový -test o rovnosti rozptylov ¾ Ü, ¾ Ý, Testovacia ÑÜ štatistika, Ì Ë¾ À ½ ¾ ÑÜ ¾ ÑÒ ¾ ÑÒ Ë pričom indexy ÑÜ, ÑÒ resp. sú určené hodnotami výberových rozptylov: Ë ¾ ÑÜ ÑÜ˾ Ò ½ Ü Ë ¾ ½ Ý, Ë ¾ ÑÒ ÑÒ˾ Ò ½ Ü Ë ¾ ½ Ý, tiež Ò ÑÜ je číslo Ò alebo od výberu s vyšším rozptylom À ¼ ¾ ÑÜ ¾ ÑÒ Matematická štatistika p. 59/75

Testy dobrej zhody -test dobrej zhody univerzálny test vhodný pre diskrétne aj spojité ¾ rozdelenia Frekvenčná tabul ka ½ ¾ Ñ Ñ½ È Ò Ò (napr. µ) Ñ Ò ¾ Ò ½ Ò Hypotéza À ¼ má rozdelenie s ܵ ( obsahuje parametrov) Testovacia Ñ štatistika ½ Ì È Ò Ò Ô µ ¾ Ò Ô, kde Ô È ¾ µ µ ak parametrov v musíme odhadovat Ô ako (na základe frekvenčnej tabul ky) µ µ ak parametre sú známe, vtedy ¼ Ô Kritický Ì obor ¾ «Ñ ½µ ½ Matematická štatistika p. 60/75

4. Korelačná a regresná analýza Matematická štatistika p. 61/75

Korelačná analýza Skúmanie vzájomného lineárneho vzt ahu medzi experimentálnymi dátami korelačná závislost Náhodný výber Ò objektov s dvoma meranými vlastnost ami Ü ½ Ý ½ µ Ü ¾ Ý ¾ µ Ü Ò Ý Ò µ Pearsonov korelačný koeficient je štatistika, ktorá zodpovedá koeficientu korelácie ± dvoch náhodných veličín Základné vlastnosti (podobne ako pre ±): 1. Ö ÜÝ ½ 2. Číselná hodnota vyjadruje silu lineárnej závislosti a znamienko indikuje sklon závislosti 3. Ak hodnoty Ü zmeníme na Ü a Ý na Ý, pričom znamienka a sú rovnaké, tak Ö ÜÝ sa nezmení Matematická štatistika p. 62/75

Miera lineárnosti vzt ahu Pearsonov koeficient korelácie a miera rozptýlenia hodnôt Ö ¼ Ö ¼¼ Ö ¼ Ö ¼ Ö ¼¼ Ö ¼ Matematická štatistika p. 63/75

Ò ¾µ Test korelačnej závislosti Párový náhodný Ü výber Ý ½ µ Ü ¾ Ý ¾ µ Ü Ò Ý Ò µ ½ k páru náhodných µ veličín s normálnym rozdelením Test: À 1. ± ¼ À ¼, ± ¼ ½ «¼¼½ ¼¼ 2. 3. Ì Ô Ò, ¾ Ã Ô Ì Ø ½ «¾ ÜÝ Ö ½ ¾ ÖÜÝ 4. Výpočet Ö ÜÝ, Ì,... 5. Pri zamietnutí hypotézy À ¼ existuje štatisticky významná lineárna závislost medzi Ü a Ý Matematická štatistika p. 64/75

Ü Ý Ü Ò Ò Ü ¾ Ò Ü Ò Ò Ü Ý Regresná analýza Korelačná analýza zistí prítomnost lineárnej závislosti medzi meranými dátami Ü, Ý, regresná analýza určí parametre, lineárnej Ý Ü závislosti, prípadne ich štatisticky vyhodnotí Určenie parametrov pomocou metódy najmenších štvorcov ½ ½ ½ Ý Ý Ý Ü Ò ½ ½ Úpravou: Ö ÜÝË Ò ½ Ý Ò ½ Ü Ë Matematická štatistika p. 65/75

µ ¾ Analýza chýb Chyba v linearizácii dát Ë súčet štvorcov odchýliek meraných hodnôt od regresných dát ÒÈ Ë Ý Ü µ ¾ Ò ½µ Ë ¾ Ò ½ Ý ¾ Ë ¾ Ò ½ Ü ½ Základný vzt ah lineárnej regresie ÒÈ ÒÈ ÒÈ ½ Ý µ ¾ ½ Ý Ý µ ¾ ½ Ý celkový súčet nezávisí na modeli chyba lineárneho modelu to, čo lineárny model nevysvetl uje súčet modelu odchýlky vysvetlené lieárnym modelom ËÌ Ë ËÅ Kvadrát Pearsonovho koeficientu korelácie významnost lineárneho modelu ¾ ÜÝ ËÅ ËÌ Ö Matematická štatistika p. 66/75

Bodové odhady parametrov lineárnej regresie Ý náhodné veličiny s normálnym rozdelením Ý Æ Ü ¾ µ deterministickej premennej Ü Štatistiky a sú nestranné odhady parametrov a, s rozdeleniami Ò ½ Æ ¾ µ, Æ ¾ ½ ¾ Ò ½ Ü Ë Ò ½ ½ Ò ¾ Ò µ Štatistika je nestranný odhad, pričom ¾ Ë Ë ¾ ¾ Ò ¾µ ¾ Ò nezávislé od a ¾ Ò ½ Ü Ë Matematická štatistika p. 67/75

Ò ¾µ Ô Ö ¾ ÜÝ ½ ¼ Ò ¾µ Ò ¾µ Ô Ö ¾ ÜÝ ½ Analýza parametrov lineárnej regresie Test o sklone regresnej priamky: À 1. ¼ ¼ À, ¼ ½ «¼¼½ ¼¼ 2. 3. Ì ¾µ ÜÝ Ò Ö ½, ¾ Ã Ô Ì Ø ½ «¾ ÜÝ Ö ½ Ô 4. Výpočet Ë Ò ½ Ü, Ë Ò ½ Ý,,, Ö ÜÝ, Ì,... 5. Prijatím hypotézy À ¼ uznávame sklon určený číslom ¼ Dvojstranný interval spol ahlivosti s koeficientom pre sklon regresnej priamky: Ø ½ ½ ¾ Ø ½ ½ ¾ Ö ÜÝ Ô Ò ¾ Ö ÜÝ Ô Ò ¾ Matematická štatistika p. 68/75

½ Ø ¾ Ò ¾µ Ü ¾ Ü ¾ Ò ¾µ Analýza parametrov lineárnej regresie Test o posunutí regresnej priamky: À 1. ¼ ¼ À, ¼ ½ «¼¼½ ¼¼ 2. 3. Ì Ò ¾µ Ö ÜÝ ¼ µ Ö Ò È Ã Ì Ø, «½ ¾ Ô ½ Ô ½ Ö ¾ ÜÝ 4. Ë Výpočet ½ Ü Ò Ë, ½ Ý Ò,,, Ö ÜÝ, Ì,... Ò 5. Prijatím hypotézy À ¼ uznávame posunutie ¼ Dvojstranný interval spol ahlivosti s koeficientom pre posunutie regresnej priamky: Ô ¾ ÒÈ Ö ½ Ö Ô ÜÝ ¾ Ò ÜÝ Ö ½ Ø ½ Ò ¾µ ¾ Ô ¾ ÒÈ Ü ¾ Ö ½ ÜÝ Ö ½ Ô ¾ Ò ÜÝ Ö Ò Ò Matematická štatistika p. 69/75

Linearizácia nelineárnej závislosti Predpoklady 1. Body Ü Ý µ ½ ¾ Ò sa nachádzajú v okolí Postup grafu známej funkcie 2. Závislost medzi premennými Ü a Ý sa dá vyjadrit pomocou dvoch parametrov, : Ý Ü µ 1. Nakreslíme a pospájame body Ü Ý µ 2. Vyberieme vhodnú závislost Ý Ü µ a transformujeme dáta tak, aby 3. Vypočítame Ö a otestujeme jeho významnost 4. Pre štatisticky významný Ö určíme lineárnou regresiou koeficienty a určujúce pôvodné parametre, Matematická štatistika p. 70/75

Ý e Ü Ý Ü Príklady linearizácie závislosti Nelineárny model Transformácia Transformovaný model ÐÒ Ý Ü ÐÒ Ý Ý ½ Ü ½ µ ¾ Ü ÐÒ Ü µ Ý ÐÒ Ý ÐÒ Ü ½ Ý Ü Ô ½ Ü Ý ÐÒ e Ý Ü Ý ÐÒ Ü Ý ÐÒ Ü Ý Ô Ü Ý Ô Ü Matematická štatistika p. 71/75

Ý ÐÒ Ý Linearizácia a logaritmické merítko Mocninová, exponenciálna a logaritmická závislost a jej transformácia, graficky Ü Ý Ü Ý Ý ÐÒ Ü ÐÒ Ü Ü Matematická štatistika p. 72/75

Ý ÐÒ Ý Linearizácia a logaritmické merítko Mocninová, exponenciálna a logaritmická závislost a jej transformácia, graficky Ü Ý Ü Ý Ý ÐÒ Ü Ü Ü Matematická štatistika p. 73/75

Ý Ý Linearizácia a logaritmické merítko Mocninová, exponenciálna a logaritmická závislost a jej transformácia, graficky Ü Ý Ü Ý Ý ÐÒ Ü ÐÒ Ü Ü Matematická štatistika p. 74/75

Veselé a radostné prípravy na previerky Matematická štatistika p. 75/75