Projekt "Podpora výuky v cizích jazycích na SPŠT" Derivace funkce MATN4 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR 1
Derivace funkce Pojem derivace vznikl v 17. století při řešení geometrických a fyzikálních problémů, typickým příkladem problému je, jak nalézt rovnici tečny ke grafu funkce v jejím libovolném bodě. Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst nějaké proměnné y odpovídá změně jiné proměnné x, na které má ona proměnná nějakou funkční závislost. Nejjednodušší představa o derivaci je, že derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech. Pro změnu hodnoty se používá symbol, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako Derivace je hodnota podílu pro x jdoucí k 0. Vedle limity patří derivace funkce k pilířům infinitezimálního počtu. Pomoci derivace se naučíme elegantním způsobem řešit průběhy funkcí, včetně sestrojení jejich grafů, budeme moci řešit slovní úlohy, kde je požadováno určení extrému dané veličiny, a to buď maxima, nebo minima, ukážeme si užití derivace v geometrii a fyzice. 1. Derivace funkce v bodě Definice derivace funkce v bodě Mějte funkci ƒ definovanou v jistém okolí bodu. Existuje-li Nazýváme ji derivací funkce ƒ v bodě. ƒ Δ lim Δ 2
Derivation der Funktion Der Begriff Derivation entstand im 17. Jahrhundert bei der Lösung von geometrischen und physikalischen Problemen. Ein typisches Problembeispiel ist, wie man eine Gleichung der Tangende zum Schaubild einer Funktion an ihrer beliebigen Stelle findet. Historische Definitionen drückten Derivation als Verhältnis aus, in dem Steigung einer Veränderlichen y der Veränderung einer anderen Veränderlichen x, von der die Veränderliche eine Funktionsabhängigkeit hat, entspricht. Die einfachste Vorstellung über Derivation ist, dass Derivation ein Maß der Veränderung der Funktion an einer bestimmten Stelle, bzw. an Stellen ist. Für die Veränderung des Wertes nutzt man das Symbol, dieses Verhältnis kann also symbolisch folgend eingeschrieben sein: y x Derivation ist der Anteilwert für x, der zu 0 gehend ist. Neben dem Grenzwert gehört die Derivation der Funktion zu den Pilastern der Infinitesimalrechnung. Mit Hilfe von Derivation werden wir lernen, auf elegante Weise Funktionsverläufe, einschließlich der Errichtung von ihren Graphen, zu lösen. Wir werden Wortaufgaben, wo die Bestimmung des Extrems einer gegebenen Größe, und zwar entweder des Maximums oder des Minimums, erforderlich ist, lösen können. Wir werden uns die Nutzung der Derivation in der Geometrie und Physik zeigen. 1. Die Derivation der Funktion an der Stelle Die Definition der Derivation der Funktion an der Stelle Sie haben die in einer bestimmten Umgebung der Stelle definierte Funktion ƒ. Wenn es gibt: ƒ Δ lim Δ Man nennt sie die Derivation der Funktion an der Stelle. 3
Derivaci funkce ƒ v bodě značíme symbolem ƒ. Lze tedy psát ƒ ƒ Δ lim Vzhledem k Δ nebo jsou správné i následující zápisy: ƒ ƒƒ, ƒ ƒ ƒ Protože ƒƒ ƒ Δƒ, je možné použít zkrácený zápis ƒ Kromě ƒ se pro označení derivaci používá také symbol a také který připomíná, že derivace vznikla jako limita. Příklad 1 Vypočtěte derivaci funkce ƒ: a : v bodě. Řešení : ƒ ƒƒ lim lim lim 2 lim lim 1 Podobně jako jsme definovali spojitost funkce v bodě a v intervalu, je možné postupovat i při derivaci funkce. Funkce ƒ má v intervalu (a, b) derivaci, jestliže má derivaci v každém bodu,. 4
Die Derivation der Funktion ƒ an der Stelle bezeichnet man mit dem Symbol ƒ. Man kann also schreiben ƒ ƒ Δ lim In Hinsicht zu Δ oder sind auch folgende Eintragungen richtig: ƒ ƒƒ, ƒ ƒ ƒ Aber, man kann ƒƒ ƒ Δƒ, auch eine verkürzte Eintragung nutzen ƒ Außer ƒ kann man für die Bezeichnung der Derivation noch das Symbol nutzen und auch das Symbol, das erinnert, das die Derivation als der Grenzwert entstand. Beispiel 1 Berechnet die Derivation der Funktion ƒ: a : an der Stelle. Lösung: ƒ ƒƒ lim lim lim 2 lim lim 1 Ähnlich wie wir den Zusammenhang der Funktion an der Stelle und im Intervall definiert haben, ist es möglich, auch mit der Derivation der Funktion zu verfahren. Die Funktion hat im Intervall (a, b) Derivation, wenn sie Derivation an jeder Stelle, hat. 5
Z dřívějška už víte, jak souvisí pojmy spojitost funkce a limita funkce. Protože derivaci funkce jsme definovali jako jistou limitu, lze očekávat také souvislost derivace funkce se spojitostí funkce. Má-li funkce ƒ v bodě derivaci, je v tomto bodě spojitá. Pozor! Obrácená věta neplatí. Tedy funkce, která je v bodě spojitá, nemusí mít v bodě derivaci. 2. Derivace elementárních funkcí Jedním z předpokladů využití metod infinitezimálního počtu při řešení praktických úloh je dobrá znalost derivaci elementárních funkcí a základních pravidel pro počítáníderivací. Derivace následujících funkcí nebudeme odvozovat, ale je důležité je znát (jsou také uvedeny v matematicko-fyzikálních tabulkách). Derivace elementárních funkcí, k-konstanta, pro ta pro která je definováno sin cos tg, 21 cotg, 0 cos sin ln, 0 6
Aus der Vergangenheit wissen Sie schon, wie die Begriffe Funktionszusammenhang und Funktionsgrenzwert zueinander stehen. Da wir die Derivation der Funktion als den sicheren Grenzwert definiert haben, kann man auch den Zusammenhang der Derivation der Funktion mit Funktionszusammenhang erwarten. Wenn Funktion ƒ an der Stelle Derivation hat, ist sie an dieser Stelle kontinuierlich. Vorsicht! Der umgekehrte Satz ist nicht gültig. Also Funktion, die im Punkt kontinuierlich ist, muss nicht im Punkt Derivation haben. 2. Die Derivation der elementaren Funktion Eine der Voraussetzungen für die Nutzung der Methoden der infinitesimalen Anzahl zur Lösung praktischen Aufgaben ist eine gute Kenntnis von Derivationen der elementaren Funktionen und von Grundregeln für die Berechnung der Derivationen. Die Derivationen folgenden Funktionen werden wir nicht ableiten, aber es ist wichtig sie zu kennen (sie sind auch in mathematisch-physikalischen Tabellen angegeben). Die Derivation der elementaren Funktionen, k-konstante, für die, für die definiert ist sin cos tg, 21 cotg, ln, 0 0 cos sin 7
Příklad 2 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: Řešení: Pro každé nejdříve danou funkci zapíšeme jako funkci mocninou. Upravíme. Potom. Cvičení Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: a) b) c) Věty pro počítání s derivacemi: Jestliže funkce, mají v bodě derivaci, má v bodě derivaci i součet, rozdíl a součin funkcí, a pro 0 i podíl a platí: Z derivace součinu dvou funkcí ihned plyne :, 8
Beispiel 2 Berechnen Sie die Derivation der Funktion in einem beliebigen Punkt ihres Definitionsbereiches: Lösung: Für jede schreiben wir die gegebene Funktion als die Potenzfunktion. Wir bearbeiten. Dann. Übungen Berechnen Sie die Derivation der Funktion im beliebigen Punkt ihres Definitionsbereiches: a) b) c) Sätze für Berechnung von Derivationen: Wenn die Funktionen, haben im Punkt Derivation, hat sie im Punkt Derivation und auch die Summe, die Differenz und das Funktionsprodukt, und für 0 auch Quotient und es ist gültig: Von dem Derivationsprodukt zweier Funktionen folgt sofort:, 9
Příklad 3 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: a) 5 73 b) 5 cos7 c) d) e) f) Řešení : a) 5 73 35 27 10 107 5 cos7 5 cos 7 52 cos sin0 52cossin c) d) ; 1, 1 e) 1 2 11221, 0 f) 232, 0 10
Beispiel 3 Berechnen Sie die Derivation der Funktion im beliebigen Punkt ihres Definitionsbereiches: a) 5 73 b) 5 cos7 c) d) e) f) Lösung : a) 5 73 35 27 10 107 5 cos7 5 cos 7 52 cos sin0 52cossin c) d) ; 1, 1 e) 1 2 11221, 0 f) 232, 0 11
Cvičení 1. Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: a) 4 7 3 b) 2 c) 7 2 2 d) 7sin2cos3 e) 12 f) 32ln g) tg h) tgcotg 2. Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě Df: a) b) c) sincos d) ln e) f) g) 1 h) 1 12
Übungen 1. Berechnen Sie die Derivation der Funktion im beliebigen Punkt ihres Definitionsbereiches: a) 4 7 3 b) 2 c) 7 2 2 d) 7sin2cos3 e) 12 f) 32ln g) tg h) tgcotg 2. Berechnen Sie die Derivation der Funktion im beliebigen Punkt Df: a) b) c) sincos d) ln e) f) g) 1 h) 1 13
3. Derivace složené funkce V praktických úlohách se nesetkáme jen s derivacemi elementárních funkcí jednoduchého argumentu, ale i s funkcemi složenými, jako např. sin23, 1, 3. Proto je třeba, abychom ovládali také derivaci složené funkce. Jestliže funkce má derivaci v bodě a jestliže funkce má derivaci v bodě, má složená funkce derivace v bodě a platí. Příklad 4 Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě jejího definičního oboru: Řešení: 21 Funkce 21 je složená z funkcí, 21. Postupně mají tyto funkce derivace v každém bodě,. Tedy 7 5 27 21 5 2, což se někdy píše 21 7 5 27 21 5 2. Při rutinním počítání derivujeme složenou funkci bez označení vnitřních funkcí a přímo píšeme 7 21 5 2. Uvědomte si, že v zápisu 21 znamená čárka jednou derivaci funkce podle proměnné a podruhé derivaci funkce podle. Cvičení Vypočtěte derivaci funkce v libovolném bodě Df: a) sin b) sin 14
3. Die Derivation der zusammengesetzten Funktion In den praktischen Aufgaben sind nicht nur Derivationen der elementaren Funktionen des einfachen Argumentes zu finden, aber es sind auch die zusammengesetzten Funktionen zu finden, wie z.b. sin23, 1, 3. Deswegen ist es nötig, auch die Derivation der zusammengesetzten Funktion zu beherrschen. Wenn die Funktion die Derivation im Punkt hat und wenn die Funktion die Derivation im Punkt hat, hat die zusammengesetzte Funktion die Derivation im Punkt und es gilt. Beispiel 4 Berechnen Sie die Derivation der Funktion im beliebigen Punkt ihres Definitionsbereiches: Lösung: 21 Die Funktion 21 ist von den Funktionen, 21 zusammengestellt. Schrittweise habe diese Funktionen ihre Derivationen in jedem Punkt 7 21 5 2. Merken wir, dass in der Aufzeichnung 21 einmal das Komma die Derivation nach der Veränderlichen und zweitens die Derivation der Funktion nach bedeutet.,. Also 7 5 27 21 5 2, was man manchmal 21 7 5 27 21 5 2 aufschreiben kann. Beim Routinerechen leiten wir die zusammengesetzte Funktion schreiben wir direkt Übungen ohne Bezeichnung von inneren Funktionen ab und Berechnen Sie die Derivation der Funktion im beliebigen Punkt Df: a) sin b) sin 15
c) sin3 d) e) ln 1 f) tg 2 4. Tečna a normála grafu funkce Derivace funkce v daném bodě nám umožňuje snadno vyjádřit analyticky tečnu a normálu grafu funkce v tomto bodě. Obě tyto přímky vyjádříme ve směrnicovém tvaru. Takto se dá zapsat každá přímka, která není rovnoběžná s osou y. Nejdříve si však zopakujme, jak směrnicový tvar rovnice přímky vypadá. Každá přímka, svírá s kladnou částí osy x úhel, kterému říkáme směrový. Tangens tohoto úhlu se nazývá směrnice, značí se k. tg Směrnicový tvar rovnice přímky se dá zapsat dvojím způsobem : a), b) kde x 0, y 0 jsou souřadnice libovolného bodu této přímky Teď již se můžeme pustit do vyjádření tečny grafu funkce v daném bodě. Dá se dokázat, že směrnice tečny je právě rovná derivaci funkce v bodě dotyku. Je-li bod dotyku T ;, pak. Tečnu lze zapsat:. Velice snadno také můžeme popsat normálu grafu funkce. Normála je přímka, která je kolmá k tečně a prochází příslušným bodem dotyku. Pro směrnice a dvou navzájem kolmých přímek platí: 1 Směrnice normály tedy můžeme vypočítat : 16
c) sin3 d) e) ln 1 f) tg 2 4. Die Tangente und die Normale eines Funktionsgraphs Die Derivation der Funktion im gegebenen Punkt ermöglicht uns, die Tangente analytisch einfach und die Normale eines Funktionsgraphs in diesem Punkt auszudrücken. Beide diese Geraden drücken wir in der Steigungsform aus. So kann man jede Gerade einschreiben, die nicht parallel laufend mit der Achse y ist. Zuerst wiederholen wir aber, wie die Steigungsform der Geraden ausschaut. Jede Gerade schließt mit dem positiven Teil der Achse x den Winkel ein, den wir Richtungswinkel nennt. Der Tangens dieses Winkels nennt man die Steigung, sie wird k bezeichnet. tg Die Steigungsform der Geradengleichung kann man in zwei Arten schreiben: a), b) wo x 0, y 0 Koordinate eines beliebigen Punktes dieser Geraden sind. Jetzt kann man schon an das Ausdrücken der Tangente des Funktionsgraphs im gegebenen Punkt herangehen. Es ist möglich zu beweisen, dass die Steigung der Tangente gerade der Derivation der Funktion im Punkt des Kontaktes gleich ist. Wenn der Kontaktpunkt T ;, ist, dann:. Die Tangente kann man einschreiben:. Sehr einfach kann man auch die Normale des Funktionsgraphs beschreiben. Die Normale ist eine Gerade, die senkrecht zur Tangente ist und geht durch das betreffende Kontaktpunkt durch. 1 Für die Steigungen und von zwei gegenseitig senkrechten Geraden gilt: Die Steigungen der Normale kann man also berechnen: 17
Normálu pak analyticky vyjádříme : 1 Příklad 5 Napište rovnice tečny a normály grafu funkce v bodě T 2;. Řešení: Nejdříve vypočítáme souřadnice bodu dotyku T dosazením do předpisu funkce 4 1 24 21 44 8 1 Dále funkci zderivujeme a z derivace určíme směrnici 214 1 22 4 1 6 1 2 2 26 21 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 18
Die Normale drücken wir dann analytisch aus: 1 1 Beispiel 5 Schreiben Sie die Gleichungen der Tangente und der Normale des Funktionsgraphs im Punkt T 2;. Lösung: Zuerst berechnen wir die Koordinate des Kontaktpunktes T mit dem Einsetzen in Funktionsvorschrift 4 1 24 21 44 8 1 Weiter leiten wir die Funktion ab und von der Derivation bestimmen wir die Steigung. 214 1 22 4 1 6 1 2 2 26 21 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 19
Směrnicové vyjádření tečny t pak bude: t: 822 Směrnicové vyjádření normály n: n: 8 2 Obě vyjádření přímek můžeme ještě přepsat do obecného tvaru rovnice přímky: t: 2120 n: 2140 Cvičení Napište rovnici tečny a normály grafu dané funkce v jejím bodě, : a), 1 b), 2 c) cos, d), 0 e), f), 2 Literatura: doc. RNDr. Jiří Jarník, prof., RNDr. Břetislav Novák, DrSc.:Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální počet 20
Das Steigungsausdrücken der Tangente t wird dann: t: 822 Das Steigungsausdrücken der Normale n: n: 8 2 Beide der Ausdrücken von Geraden kann man noch in eine allgemeine Form der Geradengleichung umschreiben: t: 2120 n: 2140 Übungen Schreiben Sie die Gleichungen der Tangente und der Normale des Funktionsgraphs in ihrem Punkt, : a), 1 b), 2 c) cos, d), 0 e), f), 2 Literatura: doc. RNDr. Jiří Jarník, prof., RNDr. Břetislav Novák, DrSc.:Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální počet 21