Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Transkript

1 Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace složené funkce 7 Derivace všších řádů Isaac Newton

2 Směrnice přímk Poznámka (rovnice přímk) Přímka, která má směrnici k a prochází bodem A [ 0, 0 ], má rovnici 0 k( 0 ). Směrnice přímk je dána vztahem k tg ϕ, kde ϕ je úhel, který tato přímka svírá s kladným směrem os. Příklad (směrnice přímk) k > 0 k < 0 k 0 ϕ 0 0 ϕ 0 např. + např. + např. Poznámka (směrnice přímk) Je-li přímka (různoběžná od os ) dána dvěma různými bod [ 0, 0 ] a [, ], lze určit její směrnici k tg ϕ 0 0 a její rovnici 0 k( 0 ) nebo k( ) 0 ϕ

3 Příklad (určení směrnice a rovnice přímk) Pro přímku určenou bod [, ] a [, 3] platí k 3 a 3 ( ) Rovnice přímk je. nebo ( ) Derivace a její geometrický význam Cíl: určit směrnici tečn t ke grafu funkce f() v bodě A [ 0, f( 0 )]. Sestrojme sečnu s bod A [ 0, f( 0 )] a B [ 0 + h, f( 0 + h)], h R. t f( 0 + h) B f( 0 ) s A f() h Přibližováním bodu B k bodu A přejde sečna s v tečnu t.

4 t f( 0 + h) B f( 0 ) s A ϕ h f( 0 + h) f( 0 ) h Směrnice sečn k s tg ϕ f( 0 + h) f( 0 ). h Přibližujeme-li bod 0 + h k bodu 0, tj. h 0, přejde sečna s v tečnu t v bodě A. Směrnice tečn v bodě A [ 0, f( 0 )] f( 0 + h) f( 0 ) k t lim. h 0 h Definice derivace Definice (derivace v bodě) Necht f je funkce a 0 D(f). Eistuje-li limita f( 0 + h) f( 0 ) lim h 0 h, nazýváme ji derivací funkce f v bodě 0 a značíme f ( 0 ). Má-li funkce v bodě 0 derivaci, pak je definovaná v tomto bodě a v nějakém jeho okoĺı. Poznámka (geometrický význam derivace) Je-li derivace f ( 0 ) v bodě 0 konečná, pak značí směrnici tečn sestrojené ke grafu funkce f v bodě [ 0, f( 0 )]. Tato tečna má rovnici f( 0 ) f ( 0 )( 0 ).

5 Fzikální význam derivace Poznámka (fzikální význam derivace) Derivace f ( 0 ) v bodě 0 udává okamžitou rchlost změn funkčních hodnot funkce f v bodě 0. Z fzikálního hlediska derivace charakterizuje rchlost změn funkce. Čím větší je hodnota derivace, tím větší jsou změn funkce. Derivace tak udává, jak rchle funkční hodnot rostou nebo klesají. Poznámka (jednostranné derivace) Podobně lze pomocí jednostranných limit definovat derivaci zprava f +( 0 ) a derivaci zleva f ( 0 ). Příklad Funkce sin nemá v bodě 0 0 derivaci (nemá v tomto bodě tečnu). V tomto bodě ale má derivaci zprava f +(0) (směrnice příslušné tečn je +), derivaci zleva f (0) (směrnice příslušné tečn je ). π π 0 π π

6 Věta (souvislost derivace a spojitosti) Má-li funkce f v bodě 0 vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Příklad Z eistence derivace funkce v bodě plne spojitost funkce v tomto bodě. Tvrzení vět nelze obrátit. Funkce spojitá v bodě nemusí mít v tomto bodě derivaci. Funkce je v bodě 0 spojitá. Derivace v tomto bodě (tudíž ani tečna) neeistuje. f (0), avšak f +( 0 ). 0 Poznámka (derivace jako funkce) Necht funkce f má derivaci ve všech bodech množin M R, např. na intervalu (a, b). Pak můžeme na této množině definovat funkci, která každému bodu z M přiřadí derivaci funkce f v tomto bodě. Tato funkce se nazývá derivace funkce f a značí se f. Pro označení derivací se užívá f, f (), nebo df d, df() d, d d. d a d se nazývají diferenciál, df() f () d je diferenciál funkce f v bodě.

7 Pravidla a vzorce pro derivování Derivace základních elementárních funkcí c 0 ( n ) n n speciálně ( ) (e ) e (a ) a ln a 3 (ln ) (log a ) ln a 4 (sin ) cos (cos ) sin 5 (tg ) cos 6 (arcsin ) (cotg ) sin (arccos ) 7 (arctg ) + (arccotg ) + Pravidla pro derivování Pro funkce u, v a konstantu c R platí (cu) c u (u ± v) u ± v 3 (uv) u v + uv 4 ( u v ) u v uv v, v 0.

8 Příklad (derivace funkce) Vpočtěte derivace funkcí ln ln 3 ln ln ( + 3 ) cos ( + 3) cos + ( + 3 )( sin ) (3 + ) (3 4) ( 3 + ) 4 sin cos ( ) sin (0 ) ( ) ( 3 + ) cos cos + sin ( ) Příklad (derivace funkce) ( 3) ( 3) 5 ( ) 4 ( 3) arctg arctg tg 0 tg 7 cos tg + arctg + arctg 7 cos sin cos 8 ln 0 ( ln ) + ( ln + ln ) 7 sin ln + ln

9 Příklad (derivace funkce v bodě) Vpočtěte hodnotu derivace funkce 3 cos sin v bodě 0 π. (0 + sin ) sin (3 cos ) cos (sin ) Přímým dosazením bez úprav dostaneme ( π ) sin π ( ) 3 cos π cos π (3 0) 0 ( ) sin π Tečna a normála Poznámka (tečna a normála) Tečna ke grafu funkce f() v bodě A [ 0, f( 0 )] má rovnici f( 0 ) f ( 0 )( 0 ). Přímka procházející bodem A [ 0, f( 0 )] kolmá k tečně v tomto bodě se nazývá normála ke grafu funkce f() v bodě A. Její rovnice je f( 0 ) f ( 0 ) ( 0) pro f ( 0 ) 0. t f( 0 ) A n 0 0 Je-li f ( 0 ) 0 (směrnice tečn je rovna nule), pak tečna má rovnici f( 0 ) a je rovnoběžná s osou, normála má rovnici 0 a je rovnoběžná s osou.

10 Příklad (tečna a normála) Určete rovnici tečn a normál ke grafu funkce v bodě T [, ]., () k t, k n t : ( ) n : ( ) + 3 t T n 0 3 Derivace složené funkce Věta (derivace složené funkce) Necht funkce u g() má derivaci v bodě 0 R a funkce f(u) má derivaci v bodě u 0 g( 0 ). Pak složená funkce f (g()) má v bodě 0 derivaci a platí [f (g( 0 ))] f (g( 0 )) g ( 0 ). Derivace složené funkce je rovna součinu derivací jednotlivých složek. Vzorec si lze pamatovat takto [f (g())] f (g()) g () Pro derivaci vícenásobně složené funkce analogick platí [f (g (h()))] f (g (h())) g (h()) h ()

11 Příklad (derivace složené funkce) (3 + 4) 5 5(3 + 4) 4 (6 ) ( ) ( ) ( ) 3 sin ( 3 + ) sin( 3 + ) cos( 3 + ) (3 ) 4 ln cos e 5 ln cos e ( sin e ) e + cos cos +cos cos ( ) + cos ( sin )( cos ) ( + cos ) sin cos ( cos ) Příklad (derivace složené funkce) 6 ln (ln ) ln ln 7 ln cos 3 5 ln cos 3 5 cos cos 5 ( sin 5 ) tg 5 ln cos ln sin +(ln sin ) 9 arccos (ln sin ) sin cos arccos ( + )( ) ( 4 cotg ln sin ) ( )

12 Derivace všších řádů Definice (všší derivace) Necht n N. Bud f funkce a f její derivace. Druhou derivací funkce f rozumíme funkci f (f ), tj. derivaci první derivace. Obecně n-tou derivací funkce f rozumíme funkci f (n) (f (n ) ). Ted n-tá derivace je derivací (n )-ní derivace. Derivace včetně 3. řádu značíme čárkami, derivace všších řádů značíme číslicí v závorce: Příklad Vpočtěte funkce e. e f, f, f, f (4),..., f (n) e + e e ( + ) e ( + ) + e 4 4e ( + 3) Příklad Vpočtěte funkce. ( ) (4 ) (4 ) ( 6) 6 ( 6) 4 4 ( 6) ( + 8) 6(8 ) 8 5