Funkce dvou a více proměnných

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Funkce dvou a více proměnných"

Transkript

1 Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika: plat = F( v, p, f, p, ) Analogick zavádíme funkce u = f (, z), např. pro fzikální veličin v prostoru a w = f (, z, t) pro veličin na prostoročasech v teorii relativit.. Definice Nechť D je neprázdná množina bodů v rovině o souřadnicích [ ] a H je neprázdná množina reálných čísel. Funkcí dvou reálných proměnných x a nazýváme každé zobrazení f množin D na množinu H. Zápis funkce: z = f ( ), případně pouze (, ) [, z] f. f x nebo :[, ] f x z nebo Grafem funkce dvou proměnných rozumíme plochu v prostoru o souřadnicích [, z], přičemž [ ] nabývají všech hodnot z definičního oboru funkce.

2 Stejně jako u funkcí jedné proměnné může být definiční obor omezen v důsledku následujících podmínek:. jmenovatel zlomku nesmí být roven nule. sudou odmocninu lze udělat jen z nezáporného čísla 3. logaritmovat lze jen kladná čísla 4. argument funkcí arcsin a arccos musí ležet v intervalu I =, Příklad 6.: Určete hodnotu funkce z = x v bodech A[, ], B[0, ], C[-, ] a D[, -]. Řešení: Daná funkce je definována v celé rovině E. Funkční hodnot v daných bodech získáme dosazením prvních souřadnic bodů za proměnnou x a jejich druhých souřadnic bodů za proměnnou : z ( A) = f (, ) = = 0, z ( B) = f (0, ) = 0 =, z ( C) = f (, ) = ( ) = 3, z ( D) = f (, ) = ( ) = 6. Příklad 6.: Určete definiční obor funkcí: x + + x ln( 4x + 8) a) f ( ) =, b) f ( ) = arcsin, c) f ( ) = ln( x ) 4 x Příklad 6.3: Načrtněte graf funkce: a) z = 6 x, b) z 4 x 6 z =. 3 x 6 3. Parciální derivace Parciální derivaci funkce z = f ( ) podle proměnné x určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné x (jako funkci z( x ) jedné proměnné) a druhou proměnnou považujeme za konstantu. Značíme ji smbol:

3 ( ) = = = Parciální derivaci funkce z = f ( ) podle proměnné určíme tak, že funkci derivujeme pouze podle proměnné (jako funkci z( ) jedné proměnné) a druhou proměnnou x považujeme za konstantu. Značíme ji smbol: ( ) = = f x = f Geometrický význam parciálních derivací Pro bod T [ x0, 0, f ( x0, 0) ] [, ] = na ploše z = f ( ) uvažujme jeho průmět T = x0 0 do D. Pak tečna k řezu ploch z = f ( ) rovinou = 0 v bodě T má směrnici ( T0 ) kx = () x Podobně, tečna k řezu ploch z = f ( ) rovinou x = x0 v bodě T má směrnici k ( T ) 0 = ()

4 Příklad 6.5: Určete parciální derivace funkce z ( ) = 3x + ln + 5x v bodech A[, ] a B[0, ]. Řešení: Daná funkce je definována pro > 0, ted v celé horní polorovině. = 0 6x = 6x + 5 po dosazení souřadnic = = = x. = + 0x ( A) ( A) po dosazení souřadnic = = Parciální derivace všších řádů, ( B) = = 5 ( B), = = V předchozí kapitole jsme zadanou funkci z = f ( ) derivovali vžd pouze jednou. Vpočítali jsme proto parciální derivace prvního řádu. Vpočítané parciální derivace však jsou opět funkcemi proměnných. Můžeme je ted stejně jako v případě funkce jedné proměnné znovu derivovat a získáme celkem čtři parciální derivace druhého řádu: Zápis = = f xx znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné x a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné x. Podobně zápis = = f znamená, že derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnné. Derivace a se nazývají druhé čisté parciální derivace funkce z( ), protože při jejich výpočtu se nemění proměnná, podle které derivujeme. Zápis = = f x znamená, že první parciální derivaci znovu derivujeme podle proměnné a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných x a. Podobně = = f x znamená, že znovu derivujeme podle proměnné x a čteme druhá parciální derivace funkce z podle proměnných a x. Derivace z a z se nazývají druhé smíšené parciální derivace funkce z( ), protože při jejich výpočtu derivujeme jednou podle proměnné x a podruhé podle proměnné..,

5 Příklad 6.7: Určete parciální derivace druhého a třetího řádu funkce z x x = 3 + ln Tečná rovina a normála Tečná rovina τ k ploše z f ( ) = je určena bodem dotku T [ x,, z ] = a tečnami k řezům ploch z = f ( ) rovinami x = x0 a = 0. Ted, pro X =, z rovin τ platí libovolný bod [ ] x x z z z ( T ) = 0, (3) 0 z ( T ) τ : = ( )( ) + ( )( ). ted, z z0 zx T0 x x0 z T0 0 Normála je přímka, která je kolmá k tečné rovině a prochází bodem dotku T. Její směrový vektor z ted n = ( z ( T0 ), z ( T0 ), ). x x Extrém funkce více proměnných Extrém funkce více proměnných jsou definován analogick jako extrém funkce jedné proměnné. Stejně jako u funkce jedné proměnné je rozdělujeme na lokální nebo také relativní (v okolí daného bodu) a globální nebo také absolutní (v celém definičním oboru). Pro funkci z = f ( ) musí být tečná rovina k ploše z = f ( ) v bodě, v němž nastane lokální extrém rovnoběžná s rovinou určenou osou x a osou. To ale znamená, že všechn tečn v tomto bodě musí ležet v rovině rovnoběžné s osou x a osou, protože leží v tečné rovině k ploše. Nutnou podmínkou existence lokálního extrému funkce z = f ( ) v bodě S, v jehož okolí má tato funkce spojité parciální derivace, je ted platnost soustav rovnic ( ) = = ( ) = 0, = = = 0 Tento bod S se nazývá stacionární bod funkce z = f ( ) (4)

6 Postačující podmínka pro existenci lokálního extrému ve stacionárním bodě S: Nechť bod S je stacionárním bodem funkce z = f ( ), která má v tomto bodě spojité parciální derivace druhého řádu. Jestliže platí f ( S) f ( S) J ( S) = f ( S) f ( S) J ( S ) > 0 a f ( S) > 0, potom v bodě S nastává lokální minimum. xx J ( S ) > 0 a f ( S) < 0, potom v bodě S nastává lokální maximum. J ( S ) < 0 xx, potom v bodě S nenastává lokální extrém. J ( S ) = 0, potom o extrému v bodě S musíme rozhodnout na základě chování funkce v okolí bodu S. Při určování lokálních extrémů funkce dvou proměnných je vhodné dodržovat následující postup:. Určíme první parciální derivace funkce.. Vpočítáme stacionární bod S, S, funkce podle (4) vřešením soustav: 3. Vpočítáme druhé parciální derivace funkce. (5) = 0, = 0. (6) 4. Vpočítáme determinant J ( S ) z rovnice (5) pro stacionární bod S. 5. Na základě postačující podmínk rozhodneme o existenci a druhu extrému. 6. Bod 4 a 5 opakujeme pro zbývající stacionární bod. 3 Příklad 6.: Určete lokální extrém funkce z = f ( ) = + x + x + 5.

7 Vázané extrém

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DERIVACE FUKNCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Reálná funkce dvou proměnných a definiční obor Kartézský součin R R značíme R 2 R 2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel (rovina) Prvk R 2 jsou bod v rovině

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1

Diferenciální počet funkce jedné proměnné 1 Diferenciální počet funkce jedné proměnné Limita funkce Pojem limita můžeme česk vjádřit jako mez, případně hranice Zavedení pojmu limita si objasníme na příkladu Příklad : Funkce f ( ) Obr 6: Graf funkce

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje

Více

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z.

II.7.* Derivace složené funkce. Necht jsou dány diferencovatelné funkce z = f(x,y), x = x(u,v), y = y(u,v). Pak. z u = f. x x. u + f. y y. u, z. II.7.* Derivace složené funkce Necht jsou dán diferencovatelné funkce z = f(,), = (u,v), = (u,v). Pak u = u + u, v = v + v. Vpočítejte derivace daných diferencovatelných funkcí. Příklad 0. Jsou dán diferencovatelné

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z: PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1). III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce

Více

Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru

Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru Graf elementárních funkcí v posunutém tvaru Vsvětlíme si, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkční předpis základní elementární funkce Všechn změn původního grafu budou demonstrován

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných

Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných Matematika II: Pracovní listy Funkce dvou proměnných Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Ostrava 8 Obsah Funkce dvou proměnných.

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:

Průběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu: Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21 Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická

Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Variace 1 Funkce s absolutní hodnotou, funkce exponenciální a funkce logaritmická Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Tečny a tečné roviny 1 / 16 Matematika 1 pro PEF PaE 7. Tečny a tečné roviny Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Tečny a tečné roviny Tečny a normály grafů funkcí jedné proměnné / 16 Tečny a normály

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem

4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem 4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Kristýna Kuncová. Matematika B3

Kristýna Kuncová. Matematika B3 (5) Funkce více proměnných II Kristýna Kuncová Matematika B3 Kristýna Kuncová (5) Funkce více proměnných II 1 / 20 Parciální derivace - příklad Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y).

Více

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Konvexnost, konkávnost

Konvexnost, konkávnost 20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R

Více

VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární

VEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární VEKTOR Úvod Vektor je abstraktní pojem sloužící k vyjádření jistého směru a velikosti. S vektorovými veličinami se setkáváme například ve fyzice. Jde o veličiny, u nichž je rozhodující nejen velikost,

Více

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. 8 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 01 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více