DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

Transkript

1 MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ) za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republiky. Mgr. Radka SMÝKALOVÁ, Ph.D. smyky@seznam.cz

2 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 2 Derivace a její geometrický význam Lineární funkce: y = ax+b, kde a,b R y y y y = 2x+1 y = 2 y = 3x ϕ tanϕ = 2 2 ϕ = 0 tanϕ = 0 1 tanϕ = 3 0 x 0 x 0 x 3 ϕ Číslu a říkáme směrnice přímky a je určena vztahem a = tgϕ. ϕ je úhel, který tato přímka svírá s kladným směrem osy x. Přímka je dána buď dvěma body nebo jedním bodem [x 0,f(x 0 )] a úhlem ϕ. V tomto případě má přímka rovnici y = a (x x 0 )+f(x 0 ), kde a = tgϕ.

3 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 3 Příklad. Napište rovnici tečny funkce f(x) v bodě [x 0,f(x 0 )]. (Tečna funkce - přímka, která se dotýká funkce v jednom bodě [x 0,f(x 0 )].) y f(x) f(x 0 ) ϕ x 0 x Řešení. Tečna má rovnici y = a (x x 0 )+f(x 0 ),kde a = tgϕ. My však úhel ϕ neznáme, tedy nemůžeme vypočítat směrnici a. Zvolíme si ještě jeden bod na funkci a sestrojíme sečnu funkce v bodech [x 0,f(x 0 )] a[x 0 +h,f(x 0 +h)] (přímku, která těmito dvěma body prochází). Reálné číslo h si zvolíme libovolně.

4 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 4 y f(x 0 +h) f(x) f(x 0 ) φ ϕ Směrnice sečny je tgφ = f(x 0+h) f(x 0 ) h (z pravoúhlého trojúhelníku tgφ = protilehlá přilehlá ). x 0 x 0 +h Když se bude bod x 0 +h blížit k bodu x 0, což znamená, že h se bude blížit k nule, tak tato sečna přejde postupně v tečnu v bodě [x 0,f(x 0 )]. Směrnici tečny v bodě [x 0,f(x 0 )] tedy můžeme vyjádřit pomocí limity f(x a = lim 0 +h) f(x 0 ). h 0 h (Této limitě, pokud existuje, budeme říkat derivace funkce f(x) v bodě x 0.)

5 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 5 DEFINICE (Derivace v bodě).f(x) je funkce ax 0 D(f). Existuje-li limita lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ), h nazýváme ji derivace funkce f(x) v bodě x 0 a značíme ji f (x 0 ). Když označíme x = x 0 +h, můžeme vyjádřit předchozí definici ve tvaru f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0. Geometrický význam derivace. Derivace funkce f(x) v bodě x 0, čili f (x 0 ), je směrnice tečny funkce f(x) v tomto bodě x 0. Tečna ke grafu funkce f(x) v bodě [x 0,f(x 0 )] je přímka, která má rovnici y = f (x 0 ) (x x 0 )+f(x 0 ).

6 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 6 VĚTA (Vztah mezi derivací v bodě x 0 a spojitostí v bodě x 0 ). Má-li funkce f(x) v bodě x 0 derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. DEFINICE (Derivace jako funkce). Má-li funkce f(x) derivaci ve všech bodech množiny M, pak definujeme na této množině funkci, která každému bodu z M přiřadí derivaci v tomto bodě. Tato funkce se nazývá derivace funkce f(x) a značí se f (x). (Jiné značení: y, df dx, dy dx.) Pravidla pro derivování u,v jsou funkce, c R. Pak platí P1 (c u) = c (u) P2 (u±v) = (u) ±(v) P3 (u v) = (u) (v)+(u) (v) ( u (u) P4 = v) (v) (u) (v) v 2, kde v 0.

7 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 7 c R. Pak platí Vzorce pro derivování V1 (c) = 0 V8 (cosx) = sinx V2 (x n ) = n x n 1 V9 (tgx) = 1 cos 2 x V3 (e x ) = e x V10 (cotgx) = 1 sin 2 x V4 (a x ) = a x lna V11 (arcsinx) 1 = 1 x 2 V5 (lnx) = 1 V12 (arccosx) 1 = x 1 x 2 V6 (log a x) = 1 V13 (arctgx) = 1 xlna 1+x 2 V7 (sinx) = cosx V14 (arccotgx) = 1 1+x 2

8 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 8 Cvičení 1. Derivujte: 1. y = 2sinx 2. y = 5 x +x 5 3. y = tgx cotgx 4. y = xarcsinx 5.y = cosx ex 6.y = sinx(x3 13) 7.y = x2 arctgx x 2 +x 9 8.y = 3 x 4 lnx arccotgx Pro složenou funkci platí Derivace složené funkce (g(f(x))) = g (f(x)) f (x). Derivujeme postupně jednotlivé složky a mezi nimi píšeme násobení. Podobně (h(g(f(x)))) = h (g(f(x))) g (f(x)) f (x). Cvičení 2. Derivujte: 1. y = sinx 2 = sin(x 2 ) 2. y = sin 2 x = (sinx) 2 3. y = arctgx 3 4. y = lncose x6 = ln(cos(e (x6) )) 5. y = (sin lnx) 5 6. y = 10 x4

9 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 9 Derivace vyšších řádů DEFINICE (Druhá derivace, třetí derivace,...). Druhou derivací funkce f(x) rozumíme funkci f (x) = (f (x)), tj. derivaci první derivace. Obecně n-tou derivací funkce f(x) rozumíme funkci f (n) = (f (n 1) ). Cvičení 3. Vypočítejte derivaci druhého řádu: 1. y = x 3 +x 2 +x 1 2. y = x2 x 2 1 (Pomocí první derivace - zjistíme, kde funkce roste a kde klesá.) (Pomocí druhé derivace - zjistíme, kde je funkce konvexní a kde je konkávní.)

10 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 10 Cvičení 4. Derivujte (pomocí pravidel, vzorců a pravidla pro složenou funkci): 1. y = 6x 2 +5x 9 2. y = ln 1 x 1+x 3. y = cos2 x+1 x 4. y = 5. y = 1 3 arctg x 3 1 x 5 6. y = 3x 3 arcsinx+(x 2 +2) 1 x 2 L Hospitalovo pravidlo Slouží k výpočtu limit neurčitých výrazů. 1 x 2 arcsin x VĚTA (L Hospitalovo pravidlo). f(x) a g(x) jsou funkce, x 0 R. Jestliže f(x) lim x x 0 g(x) = 0 f(x) 0 nebo lim x x 0 g(x) = lim x x 0 f(x) g(x) = lim x x 0 f (x) g (x). ± ±, pak platí

11 MT MATEMATIKA Derivace funkce, L Hospitalovo pravidlo 11 (Pokud limita na pravé straně existuje.) L Hospitalovo pravidlo lze použít opakovaně!!! Příklad. 1. lim x 0 cosx 1 sinx = 0 0 L H = limx 0 (cosx 1) (sinx) = lim x 0 sinx cosx = 0 1 = lim x 2 x e x = L H (x 2 ) = limx (e x ) = lim 2x x e x = L H = (2x) lim x (e x ) = lim 2 x e x = 2 = 0. Neplést si L Hospitalovo pravidlo s pravidlem pro derivaci zlomku P4!!! Cvičení lim x 3 x 2 +3x 18 x 3 9x 5. lim x 0 e x +e x 2 x 2 6. lim x x+1 ln(x 1) 2. lim x 2 x 2 3. lim lnx x+1 x 1 xlnx 4. lim 1 e x x 0 sinx ln(3x+1) 7. lim 2+x x x 8. lim 3 x 2 x e 2x