f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

Transkript

1 3 Výklad Definice 3 Jestliže nastane alespoň jeden z případů lim =, lim =, + + lim =, lim =, kde ( D ), pak říkáme, že přímka = je asymptotou funkce f() v bodě f Jestliže lim ( k q) =, resp lim ( k q) =, pak říkáme, že přímka y= k+ q je asymptotou funkce f ( ) v nevlastním bodě, resp - Poznámka Asymptoty o rovnici = někdy nazýváme asymptoty bez směrnice a hledáme je v krajních bodech intervalů spojitosti D f Asymptoty o rovnici y= k+ q někdy nazýváme asymptoty se směrnicí Výklad Věta 3 Jestliže lim = k R a platí lim ( k) = q R, pak přímka y = k+ q je asymptotou funkce f ( ) v nevlastním bodě (Věta platí i pro nevlastní bod ) 36

2 Důkaz: Z definice vyplývá, že lim ( k q) =, odtud je lim ( k) q= a dále lim ( f ( ) k) = q Platí q k = lim = lim = lim k a odtud f ( ) dostáváme k = lim (Stejně dokážeme pro ) Řešené úlohy + Příklad Určete asymptoty funkce y=, D f = R \{} Řešení: Asymptoty bez směrnice Krajní bod intervalů spojitosti funkce y je bod = Vyřešíme limity + + lim = a lim = + Z výsledků vyplývá, že přímka = je asymptotou funkce (Pro je y, pro je y ) Asymptoty se směrnicí + Vypočítáme směrnici + k = lim = lim ( + ) = R ± ± Dostaneme + + q= lim = lim = lim = R ± ± ± Funkce y = je asymptotou pro i pro, viz obr 58 37

3 y y= + y = = Obr 58 Příklad Určete asymptoty funkce y = + arctg, R Řešení: Asymptoty bez směrnice neeistují Funkce je spojitá na R Asymptoty se směrnicí: arctg k = lim + = R, ± pro, q = lim + arctg = lim arctg = ± ± pro Funkce má asymptoty y = + pro a y = pro, viz obr 59 38

4 y y = + y = + arctg y = Obr 59 Kontrolní otázky Funkce f ( ) má asymptotu bez směrnice v bodě Tato asymptota je: a) rovnoběžná s osou, b) rovnoběžná s osou y, c) kolmá k ose y Asymptota bez směrnice funkce f ( ) v bodě má rovnici: a) y = y, b) =, c) y = 3 Je-li funkce f ( ) spojitá v R, pak asymptoty bez směrnice: a) nemá, b) má, c) může, ale nemusí mít Pokud přímka y = k+ q je asymptotou funkce f ( ) v nevlastním bodě, pak a) k = lim R, q = lim ( k) R, b) k = lim R, q = lim ( k ) R, c) k = lim R, q = lim ( k) R 39

5 5 Funkce f ( ) je definovaná v intervalu < ab, >, ab, R Eistují asymptoty se směrnicí této funkce? a) ne, b) ano, c) mohou, ale nemusí Odpovědi na kontrolní otázky b); b); 3 a); c); 5 a) Úlohy k samostatnému řešení Najděte rovnice asymptot grafu dané funkce: a) y =, b) y =, c) d) y = 3 +, e) y = +, f) 3 y = 3+, y = ( + ) Najděte rovnice asymptot grafu dané funkce: a) d) sin y =, b) y = e, e) 3 Najděte rovnice asymptot grafu dané funkce: cos y =, c) ln y = +, f) y = arccos + y e =, y = ln( e+ ) a) y = + e, b), c) y = arctg, d) y = arctg, e) arctg y = +, f) y = arctg arccotg Výsledky úloh k samostatnému řešení a) =, y= ; b) =, =, y= ; c) =, y= 3; d) =, =, y= ; e) =, =, y = ; f) = a) y = ; b) =, y= ; c) y = ; d) =, y = ; e) =, y= ; f) =, y e = + e 3 a) y = ; b) y = ; c) y = ; 33

6 d) y = ; e) y= pro,, y = pro + 3 y= + pro + ; f) y = pro Kontrolní test Najděte rovnice asymptot bez směrnice ke grafu funkce y = 3 a) y =, y =, b) =, y =, c) =, = Najděte rovnice asymptot se směrnicí ke grafu funkce y = arctg a) y = pro, y = pro, b) y = pro, y = pro, c) y = pro, y = pro 3 Najděte rovnici asymptoty se směrnicí ke grafu funkce y = ln v nevlastním bodě a) y =, b) neeistuje, c) y = + Najděte rovnice asymptot grafu funkce y = + a) y =, =, b) y =, y =, c) y =, y = 5 Najděte rovnice asymptot grafu funkce a) y = pro, b) y = pro, c) y = pro y = e Výsledky testu c); b); 3 b); a); 5 c) Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně ve 3 případech, pokračujte další kapitolou V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu 3 znovu 33