Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE

Transkript

1 Předmět: Ročník: Vtvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ.. Název zpracovaného celku: DERIVACE ZÁKLADNÍ A SLOŽENÉ FUNKCE DIFERENCIÁLNÍ POČET Deinice: Okolí O bodu nazývané poloměr okolí O. LIMITA FUNKCE V BODĚ je libovolný interval ; O > je libovolné kladné reálné číslo ; Deinice: Nechť je unkce, která je deinována na nějakém okolí bodu, popřípadě kromě bodu. Funkce má v bodě itu A, jestliže k libovolnému okolí it A eistuje okolí bodu tak, že pro všechna ; ; platí, že A ; A nebo-li je splněna podmínka A < A A = () A+ε ε A ε A-ε -δ z δ +δ δ libovolné z O Zápis: A

2 VĚTY O LIMITÁCH ) Každá unkce má v daném bodě nejvýše jednu itu. ) Předpokládejme, že A, g B. Pak platí: a) g g A B b) g g A B c) c c c A d) A ; g g B ; c je reálná konstanta, B Řešený příklad : Vpočtěte itu unkce v daném bodě a) ; ; b) Řešení: a) ; Daná unkce je v bodě deinovaná ; b) Daná unkce je v bodě deinovaná

3 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE A) Příklad nespojitých unkcí: Zdroje obr: Gra nespojitých unkcí nejsou celistvé křivk, ale jsou přetrhnuté. Příklad nespojité unkce, která je v kritickém bodě deinována, ale je nespojitá:

4 B) Příklad spojitých unkcí: Zdroje obr: Věta: Jestliže pro D ; D, pak je unkce spojitá v bodě.

5 VÝPOČET LIMITY NESPOJITÉ FUNKCE Řešený příklad : Vpočtěte itu unkce: 9 Daná unkce není deinovaná pro je v tomto bodě nespojitá. Sestrojíme gra dané unkce a unkce jí podobné. 9 : g : D R D R Závěr: Obě unkce mají s výjimkou ve všech ostatních bodech shodné unkční hodnot. V okolí bodu můžeme unkci nahradit unkcí g.

6 Platí: Je-li pro unkci a g splněna podmínka g, pak g Potom můžeme psát: 9

7 PRACOVNÍ LIST A - LIMITY Příklad : Vpočtěte itu unkce v daném bodě ; a) ; b) c) cos ; ; d) Příklad : Vpočtěte it následujících unkcí: ) ) ) ) cos

8 ) 8 ) cos ) cos cos 8) cos 9) 8

9 ) cos tg ) ) 8 ) ) cos cos ) 9 9

10 ) ) cos 8) 9) ) ) tg

11 ) ) Řešený příklad : Pomocí vztahů vpočtěte it unkcí: ) ) ) ) ) ) tg tg

12 Řešení: ) ) ) ) tg cos cos cos = cos cos ) ) cos cos cos tg

13 PRACOVNÍ LIST B LIMITY Vpočtěte it unkcí: ) ) ) ) ) ) )

14 DERIVACE FUNKCE V BODĚ Řešený příklad : Vjádřete směrnici tečn unkce Řešení (viz obr.) v jejím bodě t A ;. () B = () () ( ) ( ) A α P α - Bod B má souřadnice: B ; Z APB vjádříme směrnici sečn AB : k AB tg k AB Jestliže bod B A, pak směrnici sečn AB můžeme nahradit směrnicí tečn unkce k k AB t Pro směrnici tečn unkce pak platí: k t

15 Deinice: Říkáme, že unkce má derivaci v bodě, jestliže eistuje Tuto itu označujeme znakem a nazýváme derivací unkce v bodě.. Zápis: možné zápis derivací: d d DERIVACE KONSTANTNÍ FUNKCE: konst. DERIVACE SOUČINU KONSTANTY A FUNKCE: c c DERIVACE SOUČTU A ROZDÍLU: g g DERIVACE SOUČINU: g g g DERIVACE PODÍLU: g g g ; g g

16 VZORCE PRO DERIVOVÁNÍ: n n n e e a a ln a ; a >, a ln ; > log a ; a >, a, > ln a cos cos tg ; cos cos cot g ; Věta : Funkce má v intervalu a; bderivaci, jestliže má derivaci v každém bodě intervalu a; b. Věta : Má-li unkce má v bodě derivaci, pak je v tomto bodě spojitá.

17 VYUŽITÍ DERIVACE FUNKCE: V MATEMATICE určování průběhu unkcí sestrojení graů určení etrémů V GEOMETRII směrnice tečn grau unkce v bodě VE FYZICE. derivace dráh podle času = okamžitá rchlost. derivace dráh podle času = okamžité zrchlení Řešený příklad : Určete. derivace unkcí: a) b) : : c) : d) : : e) ) g) : : : h) i) : j) : : k) l) : e

18 8 Řešení: a) b) c) d) e) ) g)

19 9 h) i) j) k) e e e e e e e l) 8 8

20 PRACOVNÍ LIST C DERIVACE ZÁKLADNÍ FUNKCE Příklad : Vpočtěte. derivace unkcí: ) : ) : ) : ) : ) : ) : ln ) : cos 8) : cos

21 9) : ) : cos ) : ) : ) : ) : ) :

22 ) : ) : 8) : 9) : ) : ) :

23 ) cos : ) : ) : ) : cos Příklad : Vpočtěte derivaci unkce a) : ; v bodě: b) c)

24 Příklad : Vpočtěte. a. derivaci unkcí: a) : b) : c) : d) :

25 DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE Složená unkce: tg tg u u u tg u tg vnější unkce u u vnitřní unkce Věta: Nechť unkce má derivaci v bodě unkce F F : má derivaci v bodě a platí: a unkce má derivaci v bodě u. Pak složená Derivaci vnější unkce vnásobíme derivací vnitřní unkce.

26 Řešený příklad : Vpočtěte derivace unkcí: : a) b) : c) : ln d) : cos e) : : ) Řešení: a) derivace vnější unkce derivace vnitřní unkce b) derivace vnější unkce derivace vnitřní unkce rozšíření zlomku

27 c) ln ln derivace vnitřní unkce derivace vnější unkce ln d) cos cos derivace vnější unkce derivace vnitřní unkce cos e) cos derivace vnitřní unkce derivace vnější unkce cos ) cos derivace vnitřní unkce cos derivace vnitřní unkce

28 PRACOVNÍ LIST D DERIVACE SLOŽENÉ FUNKCE Příklad: Vpočtěte derivace složených unkcí: : ) ) : ) : cos ) : cos ) : ) : ) : e 8) : 8

29 9) : tg ) : ) : cos ) : a ) : ln ) : ln ) : ) : cos ) : cos 8) : cos 9

30 9) : tg ) : ) : cos ) : cos ) cos :

31 Seznam použité literatur a internetových zdrojů Výukové materiál a některé úloh a cvičení jsou autorsk vtvořen pro učební materiál. D. HRUBÝ, J. KUBÁT: Matematika pro gmnázia Dierenciální a integrální počet. Prometheus, J. PETÁKOVÁ: Matematika příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vsoké škol. Prometheus, 998 P. BOUCNÍK, J. HERMAN, P. KRUPKA, J. ŠIMŠA: Odmaturuj z matematik. Didaktis