Motivace nadaných žáků a studentů k řešení úloh pomocí ICT Anotace Motivating gifted pupils and students to solve problems using ICT David Nocar, Eva Bártková Příspěvek prezentuje jeden ukázkový příklad řešení úlohy řešitelné různými způsoby, z nichž jeden je realizovatelný pouze s využitím ICT. Využívání ICT ve výuce tak motivuje nadané žáky a studenty k hledání dalších nových způsobů řešení, které bez využití ICT nejsou realizovatelné. Abstract The contribution presents an example of problem solution solved in different ways, one of which is realizable only using ICT. The use of ICT in education can motivate gifted pupils and students to seek other new solutions, without the use of ICT unrealizable. Klíčová slova nadaní žáci a studenti, řešení úloh s využitím ICT Key words gifted pupils and students, solving problems using ICT Péče o matematicky nadané žáky patřila především v minulosti k důležitým úkolům jak Ministerstva školství mládeže a tělovýchovy, tak celé školské soustavy. V minulosti se často vytvářely různé zájmové kroužky, pořádaly letní školy, tábory zaměřené na matematicky talentovanou mládež, probíhaly soutěže a korespondenční semináře a především vznikaly specializované třídy gymnázií se zaměřením na matematiku. První takovéto třídy vznikly v roce 1974 na čtyřech gymnáziích v tehdejším Československu (Gymnázium W. Piecka v Praze, Gymnázium M. Koperníka v Bílovci, Gymnázium A. Markuša v Bratislavě a Gymnázium v Košicích) a později se k těmto školám připojilo ještě gymnázium v Žilině. O deset let později v roce 1984 se tato síť matematických gymnázií rozšířila alespoň na jednoho zástupce v každém z tehdejších krajů (s výjimkou Středočeského). Celkem tedy v 80. letech minulého století existovalo jen na území dnešní ČR devět gymnázií, jejichž součástí byly třídy se zaměřením na matematiku (zaměření 01). V současnosti existují v ČR již jen tři taková gymnázia (Plzeň, Brno, Bílovec). Důvody takového snižování počtu jsou celkem zřejmé ať už z hlediska ekonomického, společenského či z hlediska populačního. (1) V současné době je trendem tzv. integrovaná výuka, kdy jsou vyučováni společně ve třídě všichni žáci včetně žáků se speciálními vzdělávacími potřebami a žáky nadprůměrnými nadanými. Takováto výuka je náročná především pro vyučující, aby přiměřeným způsobem naplnily a uspokojily vzdělávací potřeby všech svých žáků.
U matematicky nadaných žáků lze předpokládat, že jejich zájem o studium matematiky a řešení matematických problémů je poměrně velký. Tito žáci bývají zvídavější, mají rádi komplexnější a náročnější úkoly, raději pracují nezávisle, samostatně, svým vlastním tempem a způsobem. Těchto vlastností lze velmi dobře využít při samostatné práci nadaných žáků s počítačem a s internetem. (2) U těchto žáků je pravděpodobné, že z hlediska realizovaných procesů při hledání postupů a metod řešení úloh se více uplatňují divergentní myšlenkové procesy, tj. takové procesy, při nichž je myšlení zaměřené šířeji produkující a hledající rozličné nápady, alternativy a hypotézy. Nadaný žák by se neměl spokojit s jediným způsobem řešení a i my jako učitelé bychom měli nejen u nadaných žáků a studentů podněcovat hledání více způsobů a cest vedoucích k řešení matematických problémů. Pro nadané žáky a studenty by mohlo být motivující hledat i taková řešení úloh, která jsou realizovatelná pouze za určitých technických podmínek, tím máme na mysli za podmínek využití výpočetní techniky (počítače a příslušného softwarového nástroje). Nadaný žák může uspokojit svou touhu nalezením více způsobů řešení zadané úlohy, ale řekneme-li mu, že existuje ještě další způsob, vneseme do hledání řešení další motivaci, kterou u mladé generace pozdvihneme ještě tím, když uvedeme, že existuje řešení, které je realizovatelné pouze s využitím ICT a stejný postup je bez využití ICT nerealizovatelný. Jako příklad úlohy, která má více způsobů řešení, z nichž některá lze získat s využitím papíru, tužky, kružítka a pravítka a některá pouze s využitím počítače si uvedeme Apolloniovu úlohu typu Bpp (bod a dvě přímky). V nadaném žákovi by úloha měla vybudit i určitou zvídavost a zájem o to, kdo to byl Apollonios, kdy žil, čím se zabýval, jaké úlohy formuloval a jak je řešil apod. Těmto žákům není potřeba předkládat veškeré informace, rádi pracují samostatně s dostupnými zdroji a především s internetem. Podíváme se tedy přímo na zadání úlohy a některá možná řešení. Zadání úlohy: Sestrojte kružnici k, která prochází daným bodem B a dotýká se daných přímek p a q. Po zadání této úlohy je jistě na prvním místě potřeba určitá rozvaha, za jakých podmínek vzájemné polohy vstupních prvků je daná úloha řešitelná a pokud ano, kolik má při konkrétní vzájemné poloze vstupních prvků řešení. Tuto rozvahu a počty řešení uvádí následující tabulka.
1. přímky p a q jsou rovnoběžné a) bod B neleží na žádné ze zadaných přímek, leží vně pásu určeného přímkami p, q 0 řešení b) bod B leží na jedné ze zadaných přímek 1 řešení c) bod B neleží na žádné ze zadaných přímek, leží uvnitř pásu určeného přímkami p, q 2 řešení 2. přímky p, q jsou různoběžné a) bod B je průsečíkem přímek p, q 0 řešení b) bod B leží na jedné ze zadaných přímek p, q 2 řešení c) bod B neleží na žádné ze zadaných přímek p, q 2 řešení V tomto příspěvku si ukážeme některé způsoby řešení zadané úlohy pro konkrétní rozložení vstupních prvků uvedené v tabulce pod bodem 2. c) tj. přímky p, q jsou různoběžné a bod B neleží na žádné z těchto zadaných přímek. Jako první způsob řešení si ukážeme řešení pomocí stejnolehlostí, se kterou se setkávají žáci na střední škole. Jako druhý způsob řešení si ukážeme řešení pomocí kruhové inverze, se kterou se setkávají studenti během studia matematiky na vysoké škole. Jako třetí způsob řešení si ukážeme řešení metodou množin bodů dané vlastnosti. Tento třetí způsob je sice teoreticky známý již žákům střední školy, ale prakticky je realizovatelný pouze s využitím ICT. Nechť zadání Apolloniovy úlohy Bpp vypadá následovně:
p B q Řešení pomocí stejnolehlosti Hledání řešení spočívá v tom, že máme-li najít kružnici, která splňuje zadání úlohy, potřebujeme pouze najít střed této kružnice. Poloměr je pak nejjednodušeji dán vzdáleností nalezeného středu od zadaného bodu B. Jelikož se hledaná kružnice dotýká přímek p a q, leží její střed S na ose o úhlu určeného přímkami p, q, jemuž náleží bod B. Nyní musíme ještě zajistit, aby kružnice splňovala i třetí podmínku tj. aby procházela bodem B. Podle vět o stejnolehlosti dvou kružnic víme, že každé dvě kružnice jsou stejnolehlé. Úloha má dvě řešení a tyto dvě hledané kružnice jsou stejnolehlé se středem stejnolehlosti v průsečíku zadaných přímek p a q (průsečík si označíme P). Stejně tak bude s hledanými kružnicemi stejnolehlá každá další kružnice se středem na ose o dotýkající se přímek p a q. Můžeme si tedy nějakou takovou kružnici k (S, r ) sestrojit. Sestrojená kružnice k a hledané kružnice jsou navzájem stejnolehlé, proto bude na zvolené pomocné kružnici k existovat bod B odpovídající v téže stejnolehlosti zadanému bodu B. Vzhledem k definici stejnolehlosti jsou vzor, obraz a střed stejnolehlosti kolineární, a proto bod B náleží přímce PB (Tyto body B budou existovat dva, bude se jednat o dva různé obrazy bodu B ve dvou stejnolehlostech se stejným středem stejnolehlosti, ale s různými koeficienty stejnolehlosti). Dále platí, že ve stejnolehlosti je každý směr samodružný, a proto jsou přímky SB a S B rovnoběžné. Střed S hledané kružnice získáme jako průsečík osy o úhlu určeného přímkami p, q s náležejícím bodem B a přímky vedené bodem B rovnoběžně s přímkou B S.
Popis konstrukce: Konstrukce: m n X p B P k' B' S' B'' S2 k2 S1 o Z l k1 Y q
Řešení pomocí kruhové inverze Filosofií tohoto řešení je převedení vstupních prvků úlohy pomocí zobrazení zvaného kruhová inverze z roviny vzorů do roviny obrazů. Úlohu poté řešíme v rovině obrazů, tj. vycházíme z obrazů vstupních prvků. (Obecně není vhodné použít k převedení úlohy jakékoliv zobrazení, neboť ve shodných i podobných zobrazeních by se úloha řešila stejným způsobem, tudíž by převedení nepřineslo žádné usnadnění. Kruhová inverze může nabídnout usnadnění úlohy tím, že dokáže zobrazovat přímky na kružnice popř. i na přímky, kružnice na jiné kružnice popř. i na přímky, některé body mohou zůstat samodruhé a někdy se vlastní bod může zobrazit na bod nevlastní. Tím může dojít k zásadní změně úlohy v rovině obrazů a při vhodně zvolené kruhové inverzi k jejímu značnému zjednodušení.) Po vyřešení úlohy v rovině obrazů se pomocí stejné kruhové inverze můžeme vrátit zpět do roviny vzorů, neboť kruhová inverze je zobrazení involutorní. Výsledek úlohy v rovině obrazů je tedy obrazem původního hledaného výsledku v rovině vzorů. Zkonstruujeme-li tedy obraz výsledného obrazu v téže kruhové inverzi, dostaneme původně hledané řešení, jako kdybychom žádné převedení pomocí zobrazení neprováděli, což vyplývá z involuce použitého zobrazení. (Opakovaná involuce neboli složení involutorního zobrazení samo se sebou dává identitu.) Kruhová inverze je dána základní kružnicí z a kružnice je dána středem a poloměrem. Za střed základní kružnice z zvolíme bod B, čímž tento bod přejde v kruhové inverzi na bod nevlastní. Zadané přímky p a q se zobrazí na kružnice p a q. Kdybychom měli k dispozici hledané kružnice, zobrazily by se v této kruhové inverzi na přímky společné tečny kružnic p a q. Úlohu tedy řešíme pozpátku, tj. budeme hledat společné tečny kružnic p a q v rovině obrazů a poté nalezené přímky k 1 a k 2, které představují obrazy původně hledaných kružnic k 1 a k 2 převedeme kruhovou inverzí zpět do roviny vzorů.
Popis konstrukce: Popis konstrukce nebyl popsán ve všech detailech, neboť se předpokládá, že řešitel zná principy kruhové inverze, popř. používá při konstrukcích nástroje dynamické geometrie, jako je např. použitý program Cabri II Plus, ve kterém si řešitel může nadefinovat vlastní tlačítka a k nim přiřazené funkce z tzv. makrokonstrukcí. Program pak sám zkonstruuje po vybrání příslušné funkce přímku v kruhové inverzi, kružnici v kruhové inverzi a stejně tak mohla být nadefinována makrokonstrukce pro společné tečny kružnic, čímž by se popis konstrukce i vlastní konstrukce ještě zjednodušily.
Konstrukce: p ' x X p O1 z k2 k1 k1 B k2 y q' Y T1 O2 T2 ST q kt S Nyní si ukážeme třetí způsob řešení metodou množin bodů daných vlastností, u které jsme si již uvedli, že vyžaduje použití ICT (počítače a některého z programů dynamické geometrie). Tento třetí způsob může být sice teoreticky známý již žákům střední školy a dokonce si jej mohou zkusit zkonstruovat na papír pomocí tužky, pravítka, kružítka a také křivítka, ale jelikož je tato metoda založena na přesném nalezení geometrického místa bodů, kterým je průnik dvou parabol, není možné tuto konstrukci provést rukou natolik přesně, aby výsledné kružnice splnily zadané vlastnosti. Chceme-li mít na papíře jednoznačně danou parabolu, většinou nám stačí mít přesně danou řídící přímku a přesně dané ohnisko. Tím je parabola jednoznačně definovaná a není třeba ji ani vykreslovat. Pokud přesto chceme danou křivku opravdu vykreslit, postupujeme tak, že si sestrojíme několik bodů paraboly dle její bodové definice. Tyto body lze pomocí pravítka a kružítka sestrojit velmi přesně. Ale bohužel se jedná pouze o několik izolovaných bodů z nekonečně mnoha. Dále jsme také schopni průběh paraboly v okolí jejího vrcholu
částečně nahradit obloukem hyperoskulační kružnice. Poté už nám nezbývá nic jiného, než na oblouk hyperoskulační kružnice navázat křivítkem a pokračovat přes sestrojené jednotlivé body. Pro určitý náhled na průběh této křivky by tato konstrukce mohla být dostačující. Chceme-li ale najít dva konkrétní body v rovině, jejichž pozice v rámci kartézského souřadného systému musí být zcela jednoznačně určená a tyto body chceme získat jako průsečíky dvou parabol, nezbývá z důvodu přesnosti nic jiného než využít přesnosti počítačů a příslušných počítačových programů. Z těchto programů můžeme jmenovat např. Cabri II Plus, GeoGebra, GeoNext, C.a.R. apod. Tyto programy dynamické geometrie jsou dnes již na školách dostatečně zastoupeny, neboť některé z nich jsou volně dostupné a zcela zdarma. Řešení pomocí hledání množin bodů daných vlastností Danou úlohu, která má tři podmínky (kružnice se má dotýkat přímky p, kružnice se má dotýkat přímky q a kružnice má procházet bodem B) si můžeme rozložit na tři dílčí úlohy a každou dílčí úlohu řešit samostatně a na závěr provedeme průnik získaných dílčích výsledků. 1. Nalezení množiny středů kružnic, které se dotýkají přímky p a procházejí bodem B. 2. Nalezení množiny středů kružnic, které se dotýkají přímky q a procházejí bodem B. 3. Nalezení množiny středů kružnic, které se dotýkají přímky p a přímky q. V prvních dvou případech se jedná o nalezení paraboly, neboť dotýká-li se kružnice přímky a zároveň prochází bodem, který na této přímce neleží, má střed hledané kružnice stejnou vzdálenost jak od dané přímky, tak od daného bodu, což je definice paraboly. Ve třetím případě musí středy hledaných kružnic ležet na ose úhlu určeného přímkami p, q, jemuž náleží bod B. Této vlastnosti bylo využito při prvním způsobu řešení zadané úlohy, proto již tuto možnost z důvodu opakování se nepoužijeme. Taktéž je zbytečné hledání bodu jakožto průsečíku tří čar : dvou parabol a jedné přímky. Řešení tedy budeme hledat na základě průniku 1. a 2. dílčího úkolu, tj. na základě průniku dvou množin bodů daných vlastností, které obě definují parabolu. Hledáme tedy průsečíky dvou parabol. První parabola p 1 je definovaná řídící přímkou p a ohniskem B. Druhá parabola p 2 je definovaná řídící přímkou q a ohniskem B. Program Cabri II Plus sestrojuje kuželosečky buď z pěti daných bodů, nebo je schopen kuželosečku vykreslit jako množinu bodů míst, kde všude se může určitý bod vyskytovat v závislosti na pozici jiného bodu. Při řešení použijeme druhou metodu s využitím funkce Množina, neboť k vykreslení paraboly nám stačí sestrojit pouze dva její body.
Popis konstrukce: Konstrukce: o2 p p2 D1 r2 k1 P3 S1 O2 B O1 k2 P2 S2 k2 k1 P4 P1 r1 D2 p1 o1 q
Po konstrukcích byly ve všech případech vynechány diskuse, neboť diskuse k úloze včetně podrobného rozboru možností rozložení vstupních prvků a z toho plynoucí počty řešení byla provedena hned po jejím zadání. Z vybraného rozložení vstupních prvků bylo zřejmé, že úloha bude mít dvě řešení. V příspěvku jsme si ukázali jednu z možností, jak motivovat matematicky nadané žáky a studenty k hledání řešení úloh s využitím ICT a tím využít a rozvíjet jejich potenciál. Nadaní žáci rádi pracují s počítačem a především s internetem, který jim zajišťuje stálý přístup k informacím. Tyto média jim umožňují určitou samostatnost při svém bádání, mohou si vyhledávat složitější úlohy, uspokojovat svou zvídavost a dychtivost v nekonečném světě informací, mohou komunikovat se svými vrstevníky a kooperovat na řešení složitějších úloh popř. i konzultovat své problémy s řešením s odborníky z oboru. Příspěvek vznikl v rámci realizace projektu Inovace kombinované formy studijního oboru Matematika se zaměřením na vzdělávání, reg. č. CZ.1.07/2.2.00/18.0015 realizovaného na Katedře matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Palackého v Olomouci. Literatura 1. CALÁBEK, P., ŠVRČEK, J., VANĚK, V. Péče o matematické talenty v České republice. Olomouc: VUP, 2008. ISBN 978-80-244-1884-1. 2. VANĚK, V., NOCAR, D. E-learningová podpora matematicky talentovaných žáků. In MAKOS 2005. Zlín: UTB, 2006. ISBN 80-7318-360-9. Mgr. David Nocar, Ph.D. Katedra matematiky PdF UP v Olomouci Žižkovo nám. 5, 77140 Olomouc E-mail: david.nocar@upol.cz Telefon: +420 585 635 709 Mgr. Eva Bártková, Ph.D. Katedra matematiky PdF UP v Olomouci Žižkovo nám. 5, 77140 Olomouc E-mail: eva.bartkova@upol.cz Telefon: +420 585 635 716