Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Transkript

1 Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová

2 Obsah 1 Kuželosečk Kružnice Tečnakekružnici lipsa Rovniceelips Tečnakelipse Konstrukceelips Parabola Rovniceparabol Tečnakparabole Konstrukceparabol Hperbola Rovnicehperbol Tečnakhperbole Konstrukcehperbol

3 1 Kuželosečk Jak název napovídá, kuželosečk dostaneme, sekneme-li kuželovou plochu nějakou rovinou. Kuželová plocha je rotační a sečná rovina neprochází ani osou kuželové ploch(to bchom dostali pouze dvě různoběžk) ani jejím vrcholem(to b výsledkem bl jediný bod právě tento vrchol). To, jaká kuželosečka vznikne, závisí na vzájemné poloze sečné rovin a os kuželové ploch. Je-li rovina kolmá k ose, vznikne kružnice. Budeme-li zmenšovat úhel ψ mezi rovinou a osou, kružnice přejde v elipsu. Dalším stáčením sečné rovin(zmenšováním úhlu ψ) se elipsaprotahujeavokamžiku,kd ψnabdehodnot ϕ,tj.rovinajerovnoběžnásnějakou površkou kuželové ploch, je sečnou křivkou parabola. Jestliže ψ < ϕ, protne rovina obě části kuželové ploch a výsledkem bude hperbola. V dalším tetu probereme jednotlivé kuželosečk podrobněji. 1.1 Kružnice Kružnici jsme získali jako průsečnici rotační kuželové plocharovinkolmékoseploch.(tejnětakjsmemohli seknout jakoukoli jinou rotační plochu rovinou kolmou k její ose.) Umístíme-li kružnici o poloměru r do soustav souřadnic tak,žestředležívpočátku,budemítrovnici: = r 2. Kružnicesestředemvbodě [m,n]márovnici: ϕ ( m) 2 +( n) 2 = r 2. Obecná rovnice kružnice je: obr a+b+c=0, kde a 2 +b 2 4c >0. Zdejestřed [ a ] 2 ; b a 2 +b 2 4c apoloměr r= Tečna ke kružnici Mámekružnicisestředem [m;n]apoloměremranakružnicibod T[ 0 ; 0 ].Rovnice tečnkekružnicivedenábodem Tmátvar: ( 0 m)( m)+( 0 n)( n)=r 2. Bstrý čtenář si všimne, že rovnice tečn je podobná rovnici kružnice, pouze jedno ve výrazu ( m)( m)rovnicekružniceblonahrazeno 0 aobdobnějedno v( n)( n)se zaměniloza 0. 3

4 Příklad 1 Kružnicejedanárovnicí: =8.Nalezněterovnicetěchtečendanékružnice, kteréjsourovnoběžnéspřímkou p: 2+3=0. Řešení Nejprve určíme bod dotku hledaných tečen. Jsou to průsečík kružnice s přímkou q, která prochází středem kružnice a je kolmá k přímce p. třed kružnice má souřadnice[4/2; 2/2] = [2; 1],takžepřímkaqmárovnici: 3( 2) 2(+1)=0. Průsečík přímk a kružnice najdeme vřešením soustav rovnic: 3 2 = 8, upravenárovnicepřímk q = 8. Z první rovnice vjádříme a dosadíme do druhé rovnice. Po úpravě vjde: 2 4=0, ztoho 1 =0, 2 =4. Boddotkujsouted T 1 [0; 4], T 2 [4;2].Amůžemepsátrovnicetečen: t 1 : 2( 0)+3(+4)=0, t 1 : =0, t 2 : =0. t 2 : 2( 4)+3( 2)=0,cožupravenodá 1.2 lipsa lipsajedalšízkuželoseček.jetozároveň válcosečka, tj. průsečnice rotační válcové ploch a rovin, která není ani kolmákoseplochanisnírovnoběžná. ψ Geometrická definice říká, že elipsa je množina bodů X vrovině,kterémajíoddvoudanýchbodů, (ohnisek) konstantní součet vzdáleností, X + X =k. ϕ Z definice elips plne, že je to křivka smetrická podle dvouossmetrie.jednaosaprocházíohnisk,,říkáse jí hlavníosa,druhájekníkolmáaprocházístředemúsečk ;nazývásevedlejšíosa. Bod A, Bnaobrázku3senazývají hlavnívrchol elips, bod C, D jsou vedlejší vrchol elips, je její obr.2 střed. Vzdálenost hlavního vrcholu od středu elips se nazývá hlavní poloosa, značí se písmenkem a, vzdálenost vedlejšího vrcholu od středu elips je vedlejší poloosa, značí se b a vzdálenost ohniska od středu elips je ecentricita neboli výstřednost, značí se e. pojnice libovolného bodu M elips s ohnisk se nazývají průvodiče bodu M. 4

5 D a b M A e B obr.3 C Z obrázku je patrné, že konstanta k v definici elips je rovna dvojnásobku délk hlavní poloos, k=2a,neboť k= A + A =( A )+ A + =2 A =2a.Takže bod elips splňují: X + X =2a, kde a > e. (1) Toznamená,že D = D =aazpravoúhléhotrojúhelníka Ddostávámevztahmezi a, b, e: e 2 +b 2 = a 2. (2) Rovnice elips Odvodíme nní rovnici elips pro případ, kd elipsa je umístěna do soustav souřadnic tak, že střed elips splývá s počátkem a os elips jsou v osách soustav souřadnic. Předpokládáme,žehlavnípoloosajea,vedlejšípoloosajebaecentricitaje e= a 2 b 2.Ohniska majísouřadnice [ e,0], [e,0]aobecnýbodelipsje M[,].Dosadímedorovnice(1): (+e) ( e) =2a. A máme rovnici elips s hlavní poloosou a a ecentricitou e. Rovnici ještě převedeme na jednodušší tvar. Povýšíme na druhou a upravíme: (+e) ( e) =2a e 2. Dalším umocněním se zbavíme odmocnin a sečteme, co se sečíst dá. Získáme rovnici: 2 (a 2 e 2 )+a 2 2 = a 2 (a 2 e 2 ). Zazávorkudosadímezrovnice(2)acelourovnicivdělímesoučinem a 2 b 2.Výsledkemje rovniceelipssestředemvpočátkuapoloosami a, bvetvaru: 2 a 2+ 2 b2=1, kde a b >0. 5

6 tejnárovnice,kdeale b a >0,jerovněžrovniceelips(avšaktentokrátpostavené nahlavičku ). Hlavnípoloosajenní b,vedlejšíje aaohniskovávzdálenostje e= b 2 a 2.Ohniskaležínaose.Pokud a=b,je e=0,ohniskasplnousestředemadostaneme kružnici. Je-li elipsa umístěna v soustavě souřadnic tak, že os elips jsou rovnoběžné s osami soustav souřadnic, ale nemusí s nimi splývat(tj. střed nemusí být totožný s počátkem), je rovnice elips: obr.4 tzv. středový tvar rovnice elips, [m; n] je střed elips. ( m) 2 ( n)2 a 2 + b 2 =1, (3) n n obr. 5a) m obr. 5b) m Pro a b >0ležíohniskanavodorovnéose(obr.5a)amajísouřadnice [m a 2 b 2 ;n], [m+ a 2 b 2 ;n]. Jestližeplatíopačnánerovnost b a >0,ohniskaležínasvisléose(obr.5b), [m;n a 2 b 2 ], [m;n+ a 2 b 2 ]. Na závěr uvedeme obecnou rovnici elips: A 2 +B 2 +C+D+=0. Ab rovnice představovala vůbec nějakou křivku, musí být splněno: aoelipsupůjdevpřípadě,že A B >0. C 2 4A + D2 >0 4B 6

7 Příklad 1 lipsa je dána rovnicí: =0. Nalezněte středový tvar rovnice elips, určete souřadnice ohnisek, načrtněte obrázek. Řešení Zvýrazů2 2 4, vtkneme2a3adoplnímenačtverec: 2( 1) 2 +3(+2) 2 =2+12 2, dále vdělíme pravou stranou obr.6 ( 1) (+2)2 4 =1. Získali jsme rovnici elips ve středovém tvaru. Z ní můžeme včíst souřadnice středu [1; 2]avelikostpoloos: a= 6, b=2.potom e= 6 4= 2,takžeohniskamajísouřadnice [1 2; 2], [1+ 2; 2] Tečna k elipse Geometrick je tečna k elipse osou vnějšího úhlu průvodičů bodu dotku, viz obr. 7. Říkáme, že tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotku. Analtick podobně jako u kružnice stačí ve středové rovnici(3) elips nahradit jedno,resp. písmenkem 0,resp. 0,kde[ 0, 0 ]jsousouřadnicebodudotku,arovnicetečn jetu: ( 0 m)( m) a 2 + ( 0 n)( n) b 2 =1. (4) T Q t obr.7 7

8 Odvozenírovnicebdalotrochupráce.Vjdesezpodmínk,žetečnakelipsemá s elipsou jediný společný bod(matematick příslušná kvadratická rovnice má jediné řešení, tj. diskriminant je roven nule) a dále bod dotku musí ležet na elipse, tj. jeho souřadnice 0, 0 musísplňovatrovnicielips. Příklad 2 Jedánaelipsa: =6apřímka t: = /2+q.Určetehodnotuqtak,ab přímka t bla tečnou zadané elips, a nalezněte souřadnice bodu dotku. Řešení Hodnotuq určímezpodmínk,žetečnamáselipsouspolečnýjedinýbod.hledámeted průsečík přímk t a elips a požadujeme, ab příslušná úloha měla pouze jedno řešení. Jinými slov řešíme soustavu: =6 Z druhé rovnice dosadíme do první: = /2+q 2 +2( 2 /4 q+q 2 )+4 2+4q=6 aupravíme 3 2 +( 4q+4)+4q 2 +8q 12=0. (1) T 1 t 1 Dostali jsme kvadratickou rovnici pro neznámou (souřadnici bodu dotku) s parametrem q. Hodnota parametru musí být taková, ab získaná kvadratická rovnice pro tutohodnotuqmělajedinéřešení.toznamená, že diskriminant rovnice musí být roven nule: obr.8 T 2 t 2 D=16q 2 32q+16 48q 2 96q+144=0. Rovnici postupně upravíme: 32q 2 128q+160 = 0/:( 32) q 2 +4q 5 = 0. Hledanáq jsou: q 1 =1, q 2 = 5.Danáelipsamáteddvěvzájemněrovnoběžnétečn orovnici = /2+q.Prvníje t 1 : = /2+1,druhá t 2 : = /2 5.-ové souřadnice bodů dotku získáme vřešením rovnice(1) pro vpočtené hodnot parametru q, -ové dopočteme z příslušných rovnic tečen: q=1: =0 =0, = 0/2+1=1. q= 5: =0 = 4, =4/2 5= 3. Boddotkujsou T 1 [0;1], T 2 [ 4; 3]. 8

9 1.2.3 Konstrukce elips Povíme si, jak sestrojit elipsu, známe-li velikosti poloos a, b. Jeden způsob je tzv. proužková konstrukce. Proužková, protože při ní můžeme použít vhodně upravený proužek papíru, ale stejně dobře poslouží třeba pravítko. Na proužku papíru délk a si vznačíme délku b podle obrázku. Nní pohbujeme proužkem a vezvolenésoustavěsouřadnictak,žebod Y seposouvápoose, b bod Xpooseabod Mopisujeelipsu. Y X M Jiná konstrukce bere na pomoc oskulační kružnice. To jsou kružnice,kterémajívdanémboděkřivkskřivkouspolečnoutečnuavblízkémokolíbodu jsou stejnězakřivené,takževokolízmíněnéhobodukřivkaaoskulačníkružnicepraktick splývají.(geometři to definují přesněji, ale m si vstačíme s tímto vmezením.) Budeme používat pouze oskulační kružnice ve vrcholech elips. Jak získáme jejich střed M apoloměr,jevidětzobrázku10.trojúhelník BD doplníme na obdélník BDP. X estrojímeúhlopříčku DBazbodu P na níkolmici.taprotnehlavníosuvbodě O 1, Y středuoskulačníkružnicevbodě Bavedlejšíosuvbodě O 2,středuoskulačníkružnice v bodě D. Poloměr těchto oskulačních kružnicjsou 1= O 1 B, 2= O 2 D. obr.9 V místech, kde oskulační kružnice již elipsu špatně aproimují(odchlují se od ní), můžeme konstrukci doplnit několika bod, sestrojenými na základě definice. Na úsečce AB si zvolíme pomocný bod X, čili AX + XB = 2a a sestrojíme kružnicové oblouk k 1 (, r 1 = AX ), k 2 (, r 2 = XB ).Průsečíkkružnicjsoubodelips-taktodostaneme dvabodelipsadalšídvazískámezáměnouohnisekcobstředůkružnic(naobr.10jsou kvůli přehlednosti konstrukce sestrojené pouze první dva bod). D P A X O 1 B C obr. 10 O 2 9

10 1.3 Parabola ϕ Další v pořadí kuželoseček je parabola. Jak již blo zmíněno, je to průsečnice kuželové ploch a rovin, která je rovnoběžná právě s jednou površkou(přímkou kuželové ploch), tj. ψ=ϕ.narozdílodkružniceaelipsjeparabolaotevřená křivka. ϕ Geometrická definice: Parabola je množina bodů v rovině, jejichž vzdálenost od pevné přímk d je stejná jako vzdálenostodpevnéhobodu,kterýnapřímceneleží Xd = X. Přímce dseříkářídícípřímka,bod jeohnisko. Parabola má jednu osu smetrie(přímka o na obrázku 12),kteráprocházíohniskemajekolmákřídícípřímce.Vpolovině vzdálenosti mezi ohniskem a řídící přímkou leží vrcholparabol V.pojnice Ma MQ,kde Qjepatakolmice obr. 11 zbodu nařídícípřímku dabod Mobecnýbodparabol, jsouprůvodičebodu M.Vzdálenost d seobvkleznačí písmenem p a nazývá se parametr parabol(v některých učebnicích půlparametr). Q d M V o obr Rovnice parabol Umístíme parabolu do soustav souřadnic tak, že osa parabol splývá s osou, vrchol je v počátku a ohnisko leží napravo od řídící přímk. Vzdálenost ohniska od řídící přímk označíme p,toznamená,žesouřadniceohniskajsou [p/2;0],arovniceřídícípřímk dje: = p/2.proobecnýbod M[,]tedplatí. Md = M, 10

11 +p/2 = ( p/2) / 2, 2 p 2 p 2 +p+ 4 = 2 p+ 4 +2, 2 =2p. (1) Rovnice(1)jerovnicíparabolsvrcholemvpočátku,osouvose aohniskemnapravood vrcholu(obr. 13a).(Říkáme, že parabola je otevřená směrem doprava.) Pokud na pravé straně rovnice(1) změníme znaménko, 2 = 2p. (2) získámerovniciproparabolusvrcholemvpočátku,osouvose aohniskemnalevoodvrcholu (obr. 13b)- parabola je otevřená doleva. V V obr. 13a) obr. 13b) Leží-li osa parabol v ose, vrchol opět v počátku, dostaneme další dvě možnosti; parabola otočená nahoru(obr. 14a)) a parabola otočená dolu(obr. 14b)). Příslušné rovnice jsou: 2 =2p 2 = 2p V V obr. 14a) obr. 14b) Jestliže jevrcholparabolvbodě V[m;n]aosarovnoběžnásosou,jeparabola popsána rovnicí(3)(obr. 15- odpovídá znaménku plus v rovnici(3)), v případě os rovnoběžné s osou rovnicí(4). Rovnice se nazývají vrcholové rovnice parabol. ( n) 2 = ±2p( m) (3) ( m) 2 = ±2p( n) (4) 11

12 ( n) 2 =2p( m) V n o m obr.15 Parabola může být zadána rovněž obecnou rovnicí: kdebuď A=0, B 0, C 0,nebo B=0, A 0, D 0. A 2 +B 2 +C+D+=0, (5) Příklad 1 Parabolajedánarovnicí =0.Určetesouřadnicevrcholu,souřadniceohniska, rovnici os parabol a rovnici řídící přímk, načrtněte obrázek. Řešení Protoževrovnicijekvadratickýčlenvproměnné,budeosaparabolrovnoběžnásosou. Abchom zjistili souřadnice vrcholu, převedeme rovnici na vrcholový tvar(bude odpovídat rovnici(3)). Dvojčlen doplnímenačtverec aprovedeme další potřebné úprav: 3 ( ) +5 2=0, o ( ) = 5+2, ( ) 4 3 = 5+2, ( obr ) 2 = Z pravé stran poslední rovnice vtkneme 5 a poté rovnici vdělíme 3. Výsledkem je rovnice zadané parabol ve vrcholovém tvaru: ( + 2 ) 2 = 5 ( 2 ),

13 Zposlednírovnice včteme,žeparabolajeotevřenádoleva(znaménkominuszarovnítkem), hodnotaparametruje p= 5 [ ] 2 6 (srovnejsrovnicí(3))asouřadnicevrcholujsou V 3 ; 2.Nní 3 můžeme určit [ souřadnice ohniska. Protože ohnisko leží nalevo od vrcholu, je [m p/2; n], 1 včísleno 4 3] ; 2.Řídícípřímkamárovnici = m+p/2, tj. = arovniceos parabolje = Tečna k parabole tejně jako u elips tečna k parabole půlí vnější úhel průvodičů bodu dotku. Průvodiče jsouzdejednakkolmicezbodu T nařídícípřímku(vobr.17jetospojnice QT),jednak spojnice T. Analtické vjádření tečn dostaneme podobně jako u kružnice a elips. Rovnici parabol ve vrcholovém tvaru: t ( n) 2 =2p( m), d T nejprve přepíšeme na tvar Q ( n)( n)=p( m)+p( m). (6) Nníjedno napravéstraněrovnice(6)ajedno na levéstraněnahradímepříslušnousouřadnicí 0 resp. 0 bodu dotku. Získáme tak rovnici tečn: ( 0 n)( n)=p( 0 m)+p( m) (7) obr.17 Analogick se dostanou rovnice tečen pro další tři tp parabol. Parabola o rovnici: ( n) 2 = 2p( m), mávbodě T[ 0 ; 0 ]tečnuvjádřenourovnicí: ( 0 n)( n)= p( 0 m) p( m). (8) Předešlé se týkalo parabol s osami rovnoběžnými s osou. Parabol s osami rovnoběžnýmisosou jsoupopsánrovnicí: a jejich tečn mají analtické vjádření: ( m) 2 = ±2p( n) ( 0 m)( m)=±p( 0 n)±p( n), (9) přičemž znaménku plus v rovnici parabol odpovídá znaménko plus v rovnici její tečn a totéž pro znaménko minus. 13

14 Příklad 2 Parabolajedánarovnicí2(+1)=( 2) 2.Určeterovnicevšechpřímek,kteréprochází bodem M[5/2; 2]amajísparabolouprávějedenspolečnýbod. Řešení Načrtneme-li si obrázek(obr. 18), je zřejmé, že M je vnější bod parabol(vrchol parabol je V[2; 1],osajerovnoběžnásosou aparabolajeotevřenánahoru). To znamená, že hledané přímk budou tři, dvě tečn a jedna přímka rovnoběžná s osou parabol. Rovnici té m poslední přímk(označíme ji m) můžeme napsat ihned; m: = 5 2. t 1 t 2 T 2 [ ] 5 Průsečíkpřímk maparaboljebod M 2 ; 7,jeho 8 -ovou souřadnici jsme vpočítali z rovnice parabol. Rovnice tečen mají tvar(viz rce(9) kap ): obr.18 T 1 M ( 0 +1)+(+1)=( 0 2)( 2), (1) kde[ 0 ; 0 ]je(zatímneznámý)boddotku.prourčení jeho souřadnic potřebujeme dvě rovnice. Jedna z nich je daná podmínkou, že bod dotku leží na parabole: 2( 0 +1)=( 0 2) 2. A druhou dostaneme z požadavku, ab tečna procházela bodem M[5/2; 2], tj. ( 0 +1)+(( 2)+1)=( 0 2)( 5 2 2), cožupravenodá: 0= Řešíme ted soustavu rovnic: 0 = , (2) 2( 0 +1)=( 0 2) 2 (3) Z rovnice(2) dosadíme do rovnice(3): 2( )=( 0 2) 2, 0 = , =0 { 01 =1 a z rce(2) 01 = 1/2 02 =4 02 =1. Získalijsmeboddotku T 1 [1; 1/2], T 2 [4;1].Rovniceodpovídajícíchtečendostanemedosazenímsouřadnicbodůdotkudorovnice(1).Vjde t 1 : = +1/2, t 2 : =

15 1.3.3 Konstrukce parabol Předpokládáme, že je zadáno ohnisko parabol a řídící přímka. estrojíme osu parabol (procházíohniskemajekolmákřídícípřímce)avznačíme d vrchol parabol(leží na ose a půlí vzdálenost V O mezi ohniskem a řídící přímkou). Oskulační kružnice vevrcholumástřed(označímeho O)naose,poloměr r=2 O =pasamozřejměprocházívrcholem. Tam, kde se oskulační kružnice již výrazně odchluje od parabol, můžeme konstrukci doplnit několika bod, sestrojenými na základě definice(bod parabol musí mít od řídící přímk stejnou vzdálenost jako od ohniska). Zvolíme si ted nějakou vzdálenost v a sestrojímerovnoběžkuqsřídícípřímkouvevzdálenostivod řídícípřímk.abbodmležícínapřímceqblzároveň bodemparabol,musísplňovat M =v.toznamená, obr.19 žejeprůsečíkempřímkqakružnicek(;r= v).takto získáme vžd dvojici bodů parabol souměrných podle její os. 1.4 Hperbola Poslední z kuželoseček hperbolu dostaneme, jak již blo psáno, protneme-li kuželovou plochurovinou,kterásvírásosouplochúhelmenší,nežje úhelmeziosouapovrškamikuželovéploch(0 ψ < ϕ). Hperbola stejně jako parabola není uzavřená křivka, ale na rozdíl od parabol má hperbola dvě vzájemně oddělené části větve. Geometrická definice: Hperbola je množina ϕ bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, (ohnisek) konstantní rozdíl vzdáleností(braný v absolutní hodnotě). Tj. obecný bod X hperbol splňuje: X X =k, (1) ψ kde0<k<.tejnějakoelipsamáhperboladvěos smetrie; hlavní osa prochází ohnisk, vedlejší osa je osou úsečk,průsečíkosjestředhperbol.bodhperbol ležící na hlavní ose jsou vrchol hperbol, na obrázku obr jsoutobod A, B.Vzdálenostvrcholuhperbolodjejího středu je hlavní poloosa, budeme ji značit a, vzdálenost ohniska od středu je ecentricita, neboli výstřednost hperbol, označíme ji e. Na vedlejší ose neleží žádný bod hperbol, protože rozdíl vzdáleností libovolného bodu vedlejší os od ohnisekjevždnula.nicméněsezavádívedlejšípoloosa b,prokterouplatí: b 2 = e 2 a 2. Naobrázku21jetovzdálenost C nebo D. Novinkouvrodiněkuželosečekjsouasmptothperbol a 1, a 2.Jsoutopřímk, 15

16 které procházejí středem hperbol a v případě, že os hperbol jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami, mají směrnici ±b/a. hperbolou nemají žádný společný bod. Přímk, které rovněž procházejí středem a mají směrnici z intervalu( b/a; b/a), protínají hperbolu ve dvou bodech. a 1 b A e a D B M C a 2 obr. 21 Konstanta k v rovnici (1) je rovna, stejně jako u elips, dvojnásobku délk hlavní poloos, k=2a.jetovidětzobrázku: k= A A = B A = AB =2a.To znamená, že bod hperbol vhovují rovnici: X X =2a, kde a < e. (2) aparametr a, b, esplňují: e 2 = a 2 +b 2. (3) Rovnice hperbol Zvolíme soustavu souřadnic tak, ab střed hperbol ležel v počátku a os v osách soustavsouřadnic.pakohniskamajísouřadnice [ e;0], [e;0]abodhperbol M[;] musí splňovat rovnici: (+e) ( e) =2a, kterou dále upravíme do zapamatovatelného tvaru. Nejprve obě stran rovnice umocníme na druhou a osamostatníme zblou odmocninu: (+e) ( e) =2a e 2. 16

17 Znovu umocníme, abchom se odmocnin zbavili a posčítáme: 2 (e 2 a 2 ) a 2 2 = a 2 (e 2 a 2 ). Zazávorkudosadímezrovnice(3)avdělímesoučinem a 2 b 2.Získámerovnicihperbolse středemvpočátkuapoloosami a, bvetvaru: 2 a 2 2 b2=1. (4) Pokudbohniskaleželanaose,tj.[0; e], [0;e],dostalibchomprohperboluobdobnou rovnici, jen b se na pravé straně změnilo znaménko: agrafbmohlvpadattřebajakonaobr a 2 2 b2= 1 (5) a 1 M D b A e a B C a 2 obr. 22 Vrcholhperboljsounníbod C, D,hlavnípoloosaje b= C avedlejšípoloosaje a= A.Vztah e 2 = a 2 + b 2 platíitadarovniceasmptotjsouprohperbolu(4)i(5) stejné. a 1 : = b a, a 2: = b a. Odsune-li se střed hperbol do bodu [m; n], bude mít rovnice hperbol(pro hlavní osu rovnoběžnousosou -obr.23a)tvar: ( m) 2 ( n)2 a 2 b 2 =1, (6) 17

18 nebo(prohlavníosurovnoběžnousosou obr.23b): ( m) 2 ( n)2 a 2 b 2 = 1. (7) n n obr. 23a) m obr. 23b m Rovniceasmptotjsounní: n=± b a ( m). Konečně obecná rovnice hperbol je: A 2 +B 2 +C+D+=0, (8) kdekoeficient A, Bjsouobanenulovéamajírůznáznaménka: A B <0. Příklad 1 Hperbolajedanárovnicí: =0.Určetesouřadnicejejíchohnisek a rovnice asmptot a načrtněte obrázek. Řešení Nejprve zadanou rovnici převedeme na středový tvar(6) nebo(7). Příslušné dvojčlen doplníme na čtverec, 9(+2) 2 4( 3) 2 = 9, / 9 obr (+2) 2 ( 3)2 = Z poslední rovnice včteme souřadnice středu: [ 2; 3] avelikostipoloos a=1, b=3/2.ztohozískámerovnice asmptot: = ±3(+2)/2+3.centricituvpočteme ze vztahu(3): e= = 2. ouřadniceohnisekjsouted: [ 2;3 13/2], [ 2;3+ 13/2]. 18

19 1.4.2 Tečna k hperbole I u hperbol tečna půlí vnější úhel průvodičů(spojnic bodu dotku s ohnisk) s tím, že vnějškem hperbol se rozumí ta část rovin ohraničená hperbolou, která obsahuje střed hperbol.rovnicitečnvbodědotku T[ 0 ; 0 ]dostaneme,obdobnějakouostatníchkuželoseček,zrovnicehperbolzáměnoujednoho za 0 ajednoho za 0.Prohperbolu popsanou rovnicí(6) resp.(7) je rovnice tečn: ( m)( 0 m) a 2 ( n)( 0 n) b 2 = ±1. (9) a 1 Q T A B t a 2 obr. 25 Bod Qnaobr.25jesouměrněsdruženýsohniskem podletečn,ležínapřímce T a jeho vzdálenost od ohniska je 2a. Podobné vlastnosti měl bod Q souměrně sdružený s ohniskem podle tečn u elips. Příklad 2 Hperbola je dána rovnicí: ( 2) 2 (+2)2 = 1, (1) 4 9 Naleznětetečnhperbol,kteréjsourovnoběžnéspřímkou:3 4 14=0. Řešení Výpočet si značně zjednodušíme, budeme-li úlohu řešit v soustavě souřadnic posunuté do bodu [2; 2],tj.provedemesubstituci: = 2, = +2.Pakrovnicehperbolpřejde na tvar: = 1. (2) 9 a rovnice přímk na: 3 4 =0. 19

20 (Transformace přímk ovšem nebla třeba, protože pro řešení úloh potřebujeme pouze směrnicipřímk k=3/4atase,jakvidno,posunutímsoustavsouřadnicnemění.) Nní určíme souřadnice bodů dotku. Tečna k hperbole (2)vbodědotku T[ 0 ; 0 ]márovnici: T 1 t = 1, (3) 2 Ztoho = 9 0 ( ) , 2 t 2 takžesměrnicetečnjek= zadanépřímk k= 3 4 = atasemusírovnatsměrnici T 2 0=3 0. (4) obr. 26 Získalijsmejednurovniciproneznámé 0, 0.Druhourovnici dostaneme z podmínk, že bod dotku leží na hperbole, tzn. že jeho souřadnice musí splňovat rovnici(2) = 1. (5) Zrovnice(4)dosadímedo(5)aurčíme 0 = ± 2 3 a 0 =3 0 = ± 6 3.Získalijsme souřadnice [ bodů dotku ] v[ posunuté soustavě souřadnic. V původní soustavě jsou bod dotku 2 6 T ; 2, T ; 6 ] 2 a tečn mají rovnice: t 1 : = , t 2 : = Konstrukce hperbol Nakreslíme hperbolu, pro niž známe velikosti poloos a, b, kde a je hlavní poloosa a b vedlejší. Začneme tzv. charakteristickým obdélníkem se stranami 2a, 2b. Jeho úhlopříčk určují asmptot hperbol, středními příčkami procházejí os hperbol a střed obdélníka je středem hperbol. Ve vrcholech hperbol A, B sestrojíme oskulační kružnice. Jejich střed jsou průsečík hlavní os a kolmice k asmptotě vedené vrcholem charakteristického obdélníka.naobr.27je O 1 průsečíkhlavníosapřímk,kterájekolmákasmptotě a 1 aprocházíbodem M.Poloměroskulačníkružniceje O 1 A. Další bod hperbol získáme na základě definice. Na polopřímce AB zvolíme pomocný bod X tak,ab AX > A.Nnípoložíme X = AX, X = BX,potomrozdíl X X = AB =2aatedbod Xjebodemhperbol.Dostanemejejjakoprůsečík kružnic k 1 (; r 1 = AX ); k 2 (; r 2 = BX ).Díksmetriihperboltaktozískámebod dva,zaměníme-liohniskacobstředkružnic k 1, k 2,dostanemedalšídvabod. 20

21 a 1 a 2 M k 2 k 1 O 1 A B O 2 X X obr. 27 Malá poznámka nakonec Všechn kuželosečk(s výjimkou kružnice, pokud nechceme pracovat s nekonečnem) lze scho- vatpodjednu definici: d kuželosečka je množina bodů v rovině, které mají d ε >1 1 ε=1 konstantní poměr ε vzdáleností od pevného bodu X (ohniska) a od pevnépřímk d (zvané řídící direkční), která neprochází ohniskem. ε <1 Najdeme rovnici společnou pro všechn kuželosečk s tím, že tentokrát použijeme polární souřadnice r, ϕ. Polární osa budekolmá k řídící přímce ϕ o dajejípočátekumístímedoohniska.vzdálenost ohniskaodřídícípřímkoznačíme d 0, X[r,ϕ]jelibovolnýbod.Jehovzdálenostodohniskaje X =r aodřídícípřímkje d 1 = d 0 +rcosϕ.podledefinice r je: ε= d 0 +rcosϕ aztoho obr. 28 ε <1elipsu(ε=0kružnici). r= Atojeprodnešekvšechnomiléděti,dobrounoc. p 1 εcosϕ, kde p=εd 0, což je hledaná rovnice pro všechn kuželosečk. Pro ε > 1 dostaneme hperbolu, ε = 1 dá parabolu a 21