MATEMATIKA
Obsah. íselné obory... 3 2. Algebraické výrazy... 9 3. Rovnice a nerovnice...3 4. Funkce...9 5. Posloupnosti a finanní matematika...25 6. Planimetrie...30 7. Stereometrie...39 8. Analytická geometrie...46 9. Kombinatorika, pravdpodobnost a statistika...52 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT www.cermat.cz, www.novamaturita.cz 2
. íselné obory Vyznate na íselné ose obrazy ísel a. 0 2 Na íselné ose vyznate interval pro. 0 3 Najdte nejmenší pirozené íslo, pro které existuje interval, a tento interval vyznate na íselné ose. 0 4 Vypotte, kolikrát vtší je íslo než souet ísel a. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 U mapy je grafický pevod vzdáleností na map a ve skutenosti. cm 0 7,5 km Mítko mapy se vyjaduje ve tvaru, tedy cm na map pedstavuje cm ve skutenosti. 5 Uvete mítko mapy. 6 Vypotte: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 3
7 Vypotte, kolik korun je 5 setin procenta ze 2 miliard korun. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Auto vyjíždlo na cestu s polovinou nádrže. Po 00 kilometrech jízdy zbývala ješt tetina nádrže a pi píjezdu do cíle jen ptina nádrže. Množství spotebovaného paliva v nádrži je pímo úmrné ujeté vzdálenosti. 8 Vypotte, kolik kilometr auto ujelo. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Podle jízdního ádu má být vlak za 0 minut ve stanici. K nádraží mu zbývá 32 km jízdy. Vlak za každé 2 minuty ujede 3 kilometry krom posledního dvoukilometrového úseku, který mu trvá 5 minut. 9 Jaké pedpokládané zpoždní se objeví na nádražní informaní tabuli? A) žádné zpoždní B) 5 minut C) 0 minut D) 5 minut E) jiné zpoždní VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 0 Firma si útuje za vybavení kanceláe žaluziemi celkem 2 650 K. Z dodacího listu je patrné, že žaluzie byly o 954 K dražší než jejich instalace. 0 Kolik procent z útované ástky tvoí instalace žaluzií? A) 42 % B) 37,5 % C) 36 % D) 32 % E) 26,5 % Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 4
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Eva má hotovost 450 000 K a penžní ústav jí nabízí roní termínový vklad s 3% roní úrokovou mírou. Ped vyzvednutím ástky se z úroku odpoítá státem stanovená da ve výši 5 %. Kolik korun bude z tohoto roního termínovaného vkladu odvedeno na daních? A) 3 500 korun B) 2 250 korun C) 2 025 korun D) 000 korun E) jiná suma VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Podle daového sazebníku platného pro rok 200 stál výrobek vetn 20% dan 6 000 korun. 2 Kolik korun by stál, pokud by byl zatížen pouze 0% daní? (Výsledek je zaokrouhlen na celé koruny.) A) 5 280 korun B) 5 400 korun C) 5 500 korun D) 5 700 korun E) 5 980 korun VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Na trh se zavádí nový výrobek. V prvním týdnu se prodává za sníženou zavádcí cenu. Pt výrobk poízených za zavádcí cenu stojí tolik jako ti výrobky koupené za bžnou cenu. Porovnávají se ceny pepoítané na jeden výrobek. 3 O kolik procent je zavádcí cena za jeden výrobek nižší než bžná cena za jeden výrobek? A) více než o 30 % B) o 30 % C) o 20 % D) mén než o 20 % E) Bez uvedené ceny nelze požadovaný údaj urit. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 5
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Pan Novák si za veer vydlal o tvrtinu víc než pan Dung. Pan Dung za veei utratil 20 % svého výdlku, pan Novák utratil stejnou ástku. 4 Kolik procent svého veerního výdlku utratil pan Novák? A) 6 % B) 8 % C) 20 % D) 25 % E) jiné ešení VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 5 Celkem 960 obyvatel msta odpovdlo v referendu na otázku, má-li radnice i nadále podporovat provoz kina a divadla. Jejich odpovdi jsou zaznamenány v následující tabulce. podporovat divadlo nepodporovat divadlo podporovat kino 200 540 nepodporovat kino 70 50 5 Rozhodnte o každém z následujících tvrzení (5.5.4), zda je pravdivé (ANO), i nikoli (NE). 5. 5.2 5.3 5.4 Celkem 50 úastník referenda odmítá jak podporu kina, tak i divadla. Podpora provozu kina má dvakrát více píznivc než podpora provozu divadla. Necelých 8 % úastník referenda nechce podporovat provoz kina. Asi 74 % úastník referenda by rádo podpoilo pouze jeden z obou provoz. A N Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 6
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Ve fitcentru si vedou msíní statistiky. Dv ptiny návštvník chodí do fitcentra alespo dvakrát týdn, osmina z nich dokonce denn. tvrtina návštvník chodí jedenkrát týdn. Každá dvacátá osoba se po první návštv fitcentra víckrát nevrátí. Zbytek návštvník chodí nkolikrát do msíce, ale nepravideln. 6 Piate ke každé otázce (6. 6.4) odpovídající výsledek (A F): 6. 6.2 6.3 6.4 Kolik procent návštvník chodí do fitcentra alespo dvakrát týdn? Kolik procent návštvník chodí do fitcentra denn? Kolik procent návštvník chodí do fitcentra pravideln? Kolik procent návštvník chodí nkolikrát do msíce, ale nepravideln? A) 5 % B) 25 % C) 30 % D) 40 % E) 65 % F) jiná hodnota 7 Piate ke každému zápisu s absolutní hodnotou (7. 7.3) takové íslo (A E), aby po dosazení platila rovnost: 7. 7.2 7.3 A) B) C) D) E) jiné íslo Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 7
VÝSLEDKY ÚLOH íselné obory 0 2 0 3 2 3 0 4 25krát 5 : 50 000 6 9 000 000 7 000 000 8 80 km 9 D 0 D C 2 C 3 A 4 A 5 ANO, ANO, NE, ANO 6 D, A, E, C 7 D, C, B Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 8
2. Algebraické výrazy Vytknte a rozložte na souin: 2 Provete: 3 Provete: 3. 3.2 3.3 pro 4 Pro je dán výraz: 4. 4.2 Vypotte hodnotu výrazu pro. Vypotte, pro kterou hodnotu promnné je výraz roven nule. 5 Pro urete podmínky, pro nž má smysl výraz: 6 Pro a provete a upravte na co nejjednodušší tvar: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 9
7 Pro zjednodušte: 8 Pro provete: 9 Pro provete a zjednodušte: 0 Pro zjednodušte: Vyjádete jako jedinou mocninu se základem 2: 2 Pro zjednodušte: 3 Jsou dány dva výrazy s promnnou. Rozhodnte o každém z následujících tvrzení (3.3.4), zda je pravdivé (ANO), i nikoli (NE). 3. Pro má první z obou výraz smysl. A N 3.2 3.3 3.4 Pro má druhý z obou výraz smysl. Spolený jmenovatel obou výraz mže být. Pro kladné hodnoty promnné je souet obou výraz roven. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 0
4 Za jakých podmínek pro má výraz smysl? A) B) C) ; D) E) za jiných podmínek 5 Jaká je hodnota výrazu pro? A) B) C) D) E) 6 Pro které reálné hodnoty promnné není definován výraz A) pro B) pro a pro C) pro a pro D) pro jiné dv hodnoty E) Výraz je definován pro všechna reálná ísla.? Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT
VÝSLEDKY ÚLOH Algebraické výrazy 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 NE, ANO, ANO, ANO 4 D 5 C 6 E Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 2
3. Rovnice a nerovnice V oboru ešte:..2 ešení rovnic zapište ve tvaru zlomku v základním tvaru. 2 Z každého z následujících vztah vyjádete promnnou. 2. 2.2 3 V oboru ešte nerovnice a výsledek zapište intervalem. 3. 3.2 4 V oboru ešte soustavu nerovnic a výsledek zapište intervalem. 5 Pro je dána soustava rovnic: 5. 5.2 Vypotte hodnotu neznámé. Vypotte hodnotu neznámé. 6 V oboru ešte: 6. 6.2 6.3 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Neznámé íslo nejprve zmenšíme o tetinu své hodnoty, poté ješt o 40. Po vynásobení výsledku dvma získáme pvodní neznámé íslo. 7 Urete neznámé íslo. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pan Vlk má dv zamstnání. V prvním zamstnání vydlává 400 K za hodinu, ve druhém 300 K za hodinu. V prvním zamstnání stráví týdn o 0 hodin více než ve druhém a vydlá si tam za týden dvakrát více. 8 Vypotte, kolik hodin týdn stráví pan Vlk v prvním zamstnání. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Za nákup 2,5 kg merunk a,5 kg broskví se zaplatilo celkem 85 korun. Kilo broskví je o 2 koruny levnjší než kilo merunk. 9 Užitím rovnic vypotte, kolik korun se zaplatilo za meruky. Uvete celý postup ešení. CERMAT) 0 Pro a je dáno: Které z následujících tvrzení platí? A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 4
Neznámá spluje podmínky: Který zápis je ekvivalentní daným podmínkám? A) B) C) D) E) žádný z uvedených 2 Jaké je ešení nerovnice v oboru? A) B) C) D) E) 3 Jaké je ešení nerovnice v oboru? A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 5
4 Piate ke každé rovnici s neznámou (4. 4.4) interval (A F), do nhož patí ešení dané rovnice, pokud ešení existuje. 4. 4.2 4.3 4.4 A) B) C) D) E) F) rovnice nemá ešení VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Pravoúhelník o rozloze 2 000 m 2 byl rozdlen rovnou hranicí na dva obdélníky. Oba obdélníky se liší v délce jedné strany o 0 m. Obsahy obdélník jsou v pomru. 5 V jakém pomru jsou délky stran vtšího z obou obdélník? A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 6
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Martin byl s cestovní agenturou na nkolikadenním prázdninovém putování na kolech. Za rok si úpln stejnou cestu zopakoval soukrom s Terezkou. Cestování si však rozvrhli jinak než s agenturou. Pro každý den si naplánovali stejn dlouhý úsek, a to v prmru o desetinu kratší, než byla prmrná denní trasa s agenturou. Proto jejich cyklistické putování trvalo o dva dny déle než s agenturou. 6 Kolik dní trvalo cyklistické putování s cestovní agenturou? A) 4 B) 6 C) 8 D) 20 E) jiný poet dní VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Anežka nasbírá kbelík borvek za dv hodiny. Pepa za každou hodinu naplní jednu tetinu kbelíku. Oba pracují rovnomrným tempem. 7 Za jak dlouho by spolen naplnili až po okraj jeden kbelík? A) za hodiny B) za hodiny CERMAT) C) za hodiny D) za hodiny E) za delší dobu Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 7
VÝSLEDKY ÚLOH Rovnice a nerovnice 2 3 4 5 6 7 240 8 30 hodin 9 Cena za kg merunk K Cena za kg broskví K K K K Za meruky se zaplatilo 55 K. 0 E B 2 E 3 C 4 A, D, F, C 5 C 6 C 7 B Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 8
4. Funkce VÝCHOZÍ TEXT, TABULKA A OBRÁZEK K ÚLOZE Funkce je dána pedpisem, kde. 2 y O x..2.3 V tabulce doplte chybjící hodnoty funkce. Sestrojte graf funkce pro. Urete, pro kterou hodnotu promnné je. 2 Vypotte ob souadnice bodu, v nmž se protínají grafy funkcí a : 2. 2.2 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 9
3 Funkce a jsou ureny pedpisy: Na kterém z obrázk A E jsou správn sestrojeny grafy obou funkcí? A) B) y y O x O x C) D) O O x E) y O x Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 20
4 Piate ke každému grafu funkce (4. 4.3) odpovídající pedpis funkce (A E). 4. y O x 4.2 y O x 4.3 y O x A) B) C) D) 4. 4.2 E) 4.3 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 2
5 Grafem kvadratické funkce je parabola s vrcholem. Jakou hodnotu má druhá souadnice vrcholu? A) B) C) D) E) 6 V oboru ešte: 6. 6.2 6.3 7 Pro vypotte: 8 V oboru ešte: 8. 8.2 8.3 8.4 8.5 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 22
9 Piate ke každému pedpisu funkce (9. 9.4) odpovídající graf funkce (A F). 9. 9.2 9.3 9.4 y A) B) y O x O x C) D) y y O x O x y E) F) y O x Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT O x 23
VÝSLEDKY ÚLOH Funkce. 2 2.2 y O x.3 2 3 E 4 E, A, B 5 A 6 7 8 9 D, A, B, F Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 24
5. Posloupnosti a finanní matematika VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 2 Vzorec pro -tý len posloupnosti je:, kde Vypotte rozdíl: 2 Urete, kolikátý len posloupnosti je jedenáctkrát vtší než druhý len, tj.. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 3 5 Aritmetická posloupnost obsahuje len, z nichž první ti jsou a poslední ti. 3 Vypotte dvacátý len posloupnosti. 4 Vypotte souet všech 50 len posloupnosti: 5 Urete, kolikátým lenem posloupnosti je íslo. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 25
VÝCHOZÍ OBRÁZEK A TEXT K ÚLOHÁM 6 7 V zámecké dlažb byla vytvoena spirála, jejíž ást je znázornna na obrázku. Spirála je složena z 5 navazujících plkružnic. Délka první plkružnice je 22 dm a každá následující plkružnice je o 22 dm delší. s 6 Vypotte délku tetí plkružnice. 7 Uvete v metrech délku celé spirály. (Na obrázku je zobrazena pouze ást spirály.) 8 Rozhodnte o každé následující tveici ísel (8. 8.4), tvoí-li geometrickou posloupnost (ANO), i nikoli (NE): 8. A N 8.2 8.3 8.4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Posloupnost tvoí sedmnáct po sob jdoucích pirozených lichých ísel seazených vzestupn od nejmenšího k nejvtšímu. Prostední len je íslo 23. 9 Rozhodnte o každém z následujících tvrzení (9. 9.4), je-li pravdivé (ANO), i nikoli (NE). A N 9. Rozdíl dvou sousedních len je. 9.2 29 9.3 Všechny leny jsou vtší než 5. 9.4 Souet ty nejmenších len je 40. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 26
0 Ticátý len aritmetické posloupnosti je 00 a diference 3. Kolikátým lenem posloupnosti je íslo 280? A) 60. lenem B) 90. lenem C) 20. lenem D) 80. lenem E) lenem s jiným poadím VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Poíta byl poízen za 0 000 K. Každým následujícím rokem se z ceny poítae odepisuje vždy stejné procento ceny z pedchozího roku. Po tyech letech se hodnota poítae sníží pibližn na 300 K. Kolik procent (s pesností na %) se každým rokem odepisuje z ceny poítae? A) mén než 22 % B) 22 % C) 34 % D) 40 % E) více než 40 % VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Zdenk si potebuje pjit ástku 5 000 K. Dohodne se s vitelem, že mu dluh splatí bhem roku v pti pravidelných splátkách po 3 000 K. Ke každé splátce má navíc piplatit 5 % aktuálního dluhu. (Tedy pi první splátce je to 5 % z 5 000 K, pi poslední už jen 5 % ze 3 000 K.) 2 Kolik korun celkem piplatí Zdenk k dlužné ástce? A) 2070 K B) 2250 K C) 2750 K D) 3750 K E) jinou ástku Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 27
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 V Kocourkov se píjmy obyvatel každým rokem zvýší o 50 % oproti píjmm z pedchozího roku. Bhem každého dvouletého období však peníze ztratí polovinu své hodnoty. 3 Jak se zmní hodnota píjm po uplynutí 0 let? (Výsledek zaokrouhlete na procenta.) A) Zvýší se více než o 200 %. B) Zvýší se o 80 %. C) Nezmní se. D) Sníží se o 69 %. E) Sníží se o 94 %. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 tveice, kde, pedstavuje tyi po sob jdoucí leny aritmetické posloupnosti, tveice, kde, tyi po sob jdoucí leny geometrické posloupnosti. 4 Piate ke každému lenu (4. 4.4) odpovídající hodnotu (A F). 4. 4.2 4.3 4.4 A) B) C) D) E) F) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 28
VÝSLEDKY ÚLOH Posloupnosti a finanní matematika 2 3 4 5 6 7 8 NE, ANO, ANO, NE 9 NE, ANO, ANO, ANO 0 B D 2 B 3 B 4 A, E, D, B Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 29
6. Planimetrie VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Úsek, který se ve skutenosti ujde deseti kroky, je na plánu znázornn úsekou délky cm. Kruh na plánu má polomr 2,5 cm. Vypotte, kolika kroky se obejde po obvodu skutený kruh. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁCH 2 3 Ve tvercové síti je umístn rovnobžník. D C A B cm 2 Vypotte obsah rovnobžníku a výsledek uvete v cm 2. 3 V rovnobžníku urete pomr velikostí obou výšek. (Výsledek uvete v základním tvaru.) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Vzor na dlaždici tvoí tyi shodné obdélníky a tverec uprosted. Obvod každého z obdélník je cm. 4 4. Vypotte obvod celé dlaždice (. 4.2 Vypotte obsah dlaždice (). Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 30
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Do kružnice se stedem S a polomrem 3cm je vepsán šedý obrazec. C D S B A 5 Vypotte v cm 2 obsah šedého obrazce. 6 Délky základen lichobžníku jsou metr, metr, výška má velikost metr. Vypotte obsah plochy lichobžníku. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 7 8 Pozemek tvaru obdélníku je doasn perušen stavebním záborem (šedá plocha). Rovnobžné hranice záboru na obvodu pozemku jsou dlouhé 5 m a 25 m. Jedna šikmá strana záboru, která je oplocena, má délku 236 m. Nyní se pokrauje v oplocování 90 m dlouhé strany pozemku. 25 90 236 d 5 Rozmry v obrázku jsou uvedeny v metrech. 7 Vypotte obsah plochy stavebního záboru. 8 S pesností na celé metry vypotte šíku pozemku (). Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 3
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Okrasná ást zahrady má tvar obdélníku, jehož rozmry se liší o jediný metr. Po úhlopíce dlouhé 29 metr vede pšinka. 9 Urete délku a šíku okrasné zahrady. (Šíka pšinky se pi výpotu zanedbává.) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 0 tvercový travnatý pozemek se obchází po dvou stranách jeho obvodu celkem temi sty kroky. Neukáznný chodec dostal pokutu za to, že pozemek pešel po úhlopíce. 0 Vypotte, kolik krok neukáznný chodec ušetil a výsledek zaokrouhlete na desítky. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE V trojúhelníku platí: J L 2 K Urete hodnotu. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 2 3 V pravoúhlém trojúhelníku je pravý úhel pi vrcholu, úhel má velikost a strana má délku. B C α A 2 Vypotte délku strany. 3 Vypotte velikost výšky na peponu. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 32
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Na plánu jsou vyznaeny údaje poízené pi zamování vrtné vže ze dvou stanoviš a A 45,5 km 00 B V 4 4. Urete nejmenší úhel, pod kterým je možné od vže sledovat souasn ob stanovišt a. 4.2 Urete s pesností na celé metry pímou vzdálenost stanovišt od vrtné vže. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Pozemek tvaru plkruhu je teba oplotit. Na rovnou ást plotu se použije 28 metr pletiva. 5 Kolik celých metr pletiva bude nejmén poteba na zbytek plotu po oblouku? A) 44 metr B) 48 metr C) 52 metr D) 56 metr E) jiný poet 28 m Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 33
6 Délky stran trojúhelníku jsou 8 cm, 9 cm a 3 cm. Podobný trojúhelník má obvod o 5 cm vtší. Jaká je délka nejdelší strany podobného trojúhelníku? A) 20 cm B) 9,5 cm C) 9 cm D) 8 cm E) jiná délka VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Vnitní úhel trojúhelníku má velikost 40. Pro délky stran platí vztah. 7 Rozhodnte o každém z následujících tvrzení (7. 7.4), zda je pravdivé (ANO), i nikoli (NE). 7. Nejdelší strana je. A N 7.2 Nejvtší úhel má velikost 00. 7.3 Trojúhelník je rovnoramenný. 7.4 Osa strany je rovnobžná se stranou. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Svtelné paprsky svírají s vodorovnou podložkou úhel 50. Ty postavená kolmo k podložce je vysoká 80 cm. 8 Jak dlouhý stín (v cm) vrhá ty na položku? A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 34
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 V rovnoramenném trojúhelníku se základnou platí: 0; 75 C 0 A 75 c B 9 Jakou délku má základna? (Výsledky jsou zaokrouhleny na desetiny.) A) 4,9 B) 5,2 C) 5,5 D) 5,8 E) jinou délku 20 Trojúhelník má délky stran 3 cm, 5 cm a 7 cm. Jaký je souet velikostí dvou nejmenších vnitních úhl trojúhelníku? A) 22 B) 38 C) 60 D) 05 E) jiný Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 35
VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 2 D C A 30 70 7 cm B 2 Jaká je délka úhlopíky vypotená s pesností na desetiny centimetru? A) menší než 6, cm B) 6, cm C) 6,7 cm D) 7,0 cm E) vtší než 7,0 cm VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 22 Pozemek zakreslený v plánku má být rozdlen rovnou hranicí na dv ásti. T 75 2 km R 60 S 22 Jaká je délka hranice vypotená s pesností na desítky metr? A) 2 230 m B) 2 450 m C) 2 630 m D) 2 800 m E) 3 00 m Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 36
VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 23 c f e 40 0 40 a 23 Piate ke každé úsece (23. 23.3) její délku (A E): 23. strana 23.2 strana 23.3 úhlopíka A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 37
VÝSLEDKY ÚLOH Planimetrie 57 kroky 2 8 cm 2 3 5 : 2, resp. 2 : 5 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 A 6 B 7 ANO, NE, NE, ANO 8 E 9 B 20 C 2 C 22 B 23 E, D, C Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 38
7. Stereometrie VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 2 Drátný model pravidelného šestibokého hranolu s podstavnou hranou délky 8 cm má výšku 2 cm. Tleso se pelepí papírem, podstavy tmavým a pláš bílým. v v a a Vypotte v cm nejvtší možnou pímou vzdálenost dvou vrchol drátného hranolu. (Tloušku drátu zanedbáváme.) 2 Vypotte v cm 2 obsah bílého papírového plášt hranolu. 3 Vypotte, kolik centimetr mí polomr koule, jejíž objem je litr. (Údaj zaokrouhlete na desetiny centimetru.) VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 4 2,0 m 2,0 m,6 m 2,4 m 2,4 m 4 Vypotte v litrech objem vzduchu ve stanu. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 39
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Nádobu tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 0,5 dm 2 naplní ti tvrtlitrové hrnky vody až po okraj. 5 Jaká je výška nádoby? A) 37,5 cm B) 7 cm C) 5 cm D),5 cm E) jiný výsledek 6 Koule má polomr 0,3 m. Kolikrát vtší je objem koule s dvojnásobným polomrem? A) devtkrát B) osmkrát C) šestkrát D) tikrát E) mén než tikrát VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V uzaveném sklenném kvádru s hranami délek 30 cm, 60cm a 80 cm je obarvená kapalina. Postavíme-li kvádr na stnu s rozmry 30 cm 60 cm, dosáhne kapalina do výšky 40 cm. 7 V jaké výšce bude hladina kapaliny, postavíme-li kvádr na stnu s rozmry cm cm? (Tloušku stn kvádru zanedbáváme.) A) 20 cm B) 25 cm C) 30 cm D) 35 cm E) v jiné výšce Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 40
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 8 9 Z rotaního válce se vyrábí herní figura. Polovina válce je opracována na rotaní kužel, který tvoí klobouk figury. 8 Jakou ást objemu neopracovaného válce tvoí vyrobená figura? A) B) C) D) E) 9 Obvod podstavy válce je 30 cm a strana klobouku má délku 2 cm. Jaký je povrch klobouku? A),2 dm 2 B),4 dm 2 C),5 dm 2 D),8 dm 2 E) jiný povrch Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 4
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 0 Váleek se kutálí po podložce. Po jedné celé otoce se posune o 25 cm. 0 Jaký je polomr podstavy váleku? (Výsledek je zaokrouhlen na desetiny centimetru.) A) 4,0 cm B) 4, cm C) 4,2 cm D) 4,3 cm E) jiný polomr Piate ke každé úloze (..4) její ešení (A F)...2.3.4 Kolik stn má krychle? Kolik hran má osmiboký jehlan? Kolik vrchol má dvanáctiboký hranol? Kolik stn vetn podstav má hranol, který má 24 hran? A) 6 B) 0 C) 2 D) 20 E) 24 F) jiný výsledek Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 42
2 Piate ke každé zakreslené síti tlesa (2. 2.4) odpovídající název tlesa (A F). 2. 2.2 2.3 2.4 A) pravidelný trojboký jehlan B) pravidelný tyboký jehlan C) pravidelný šestiboký jehlan D) pravidelný trojboký hranol E) pravidelný šestiboký hranol F) Nelze, útvar není sítí žádného tlesa. 2. 2.2 2.3 2.4 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 43
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Ve tvercové síti je zobrazena sí kvádru. Jednotkou délky je díl, jednotkou obsahu je tverec a jednotkou objemu je krychlika. 3 Rozhodnte o každém z následujících tvrzení (3. 3.4), zda je pravdivé (ANO), i nikoli (NE): 3. 3.2 3.3 3.4 Nejmenší stna kvádru má obsah 0 tverc. Nejvtší stna kvádru má obsah 5 tverc. Objem kvádru je 30 krychliek. Ve složeném kvádru jsou tyi hrany s délkou 3 díly. A N Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 44
VÝSLEDKY ÚLOH Stereometrie 2 3 4 4 608 litr 5 C 6 B 7 C 8 D 9 D 0 A A, F, E, B 2 B, C, A, D 3 NE, ANO, ANO, ANO Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 45
8. Analytická geometrie VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE V rovin je umístn vektor. A O B..2 Urete velikost vektoru. Doplte souadnice libovolného vektoru, který je k vektoru kolmý a má dvojnásobnou velikost. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 V rovin je umístn bod. Dále platí. y O A x 2 2. 2.2 Zakreslete vektor. Popište souadnicemi koncový bod orientované úseky Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 46
3 Body a jsou sousedními vrcholy tverce. Vypotte obsah tverce. VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 4 O A 4 Pímka je urena bodem a smrovým vektorem. 4. 4.2 V kartézské soustav souadnic sestrojte pímku. Napište souadnice prseíku pímky se souadnicovou osou. VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 5 y O 5 Urete rovnici pímky (smrnicový nebo obecný tvar) umístné v kartézské soustav souadnic. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 47
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Pímka je urena bodem a normálovým vektorem. y O x 6 6. Zapište obecnou rovnici pímky. 6.2 V kartézské soustav souadnic narýsujte pímku. 7 Orientovaná úseka s poátením bodem je umístním vektoru. Který z uvedených bod je koncovým bodem této orientované úseky? A) B) C) D) E) 8 Pímka procházející bodem má smrový vektor. Která rovnice uruje pímku? A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 48
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 V kartézské soustav souadnic je umístna pímka. y p O x 9 Která rovnice uruje pímku? A) B) C) D) E) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 0 V kartézské soustav souadnic je sestrojena pímka. y p O x 0 Která z uvedených pímek je kolmá k pímce? A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 49
Trojúhelník má vrcholy Na které pímce leží výška trojúhelníku? A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 50
VÝSLEDKY ÚLOH Analytická geometrie 2. y 2 O A 2.2 3 4. 4 O 4.2 5 6. 6.2 y 6 O x p 7 D 8 D 9 D 0 E A Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 5
9. Kombinatorika, pravdpodobnost a statistika VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE V kódu je na prvním míst jedno z písmen A, B, C nebo D. Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné íslo od do 45. (Existují nap. kódy B22, A45 apod.) Urete poet všech takto vytvoených kód. 2 Urete neznámé íslo, jestliže platí: 3 Urete neznámé íslo, jestliže platí: VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Cesta prochází nkolika kižovatkami. Na každé kižovatce je možné zahnout doleva (L), doprava (P), nebo pokraovat v pímém smru (S). Prjezd dvma kižovatkami je možné zapsat dvojicí znak, nap. PP. 4 Kolika možnými zpsoby lze projet dvma kižovatkami? A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) 4 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 52
VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Na šachovnici, která má 5 x 5 polí, je vyznaena hlavní a vedlejší diagonála. 5 Kolika zpsoby je možné na polích šachovnice rozmístit ti stejné figury tak, aby byly všechny ti bu jen na hlavní, nebo jen na vedlejší diagonále? A) 6 B) 20 C) 30 D) 32 E) 33 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Frontu na lístky tvoí tyi dívky a šest chlapc. 6 Kolika rznými zpsoby se mohou osoby ve front seadit? A) B) C) D) E) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Pi zkoušce se zadávají ti otázky. První otázka se vybírá ze skupiny 0 otázek. Další dv otázky se vybírají z jiné skupiny 20 otázek. 7 Kolik rzných trojic otázek lze pi zkoušce zadat? A) 4 600 B) 4 000 C) 3 800 D) 900 E) jiný poet Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 53
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Dtské soutže se pravideln úastní malí i velcí chlapci a malá i velká dvata. Pravdpodobnost, že zvítzí dívka, je 0,6. Pravdpodobnost, že zvítzí malá dívka, je 0,4. Malý chlapec zvítzí s pravdpodobností 0,3. Jen obas zvítzí velký chlapec. 8 Piate ke každé otázce (8. 8.4) správnou odpov (A F). 8. 8.2 8.3 8.4 Jaká je pravdpodobnost, že zvítzí chlapec (malý nebo velký)? Jaká je pravdpodobnost, že zvítzí velká dívka? Jaká je pravdpodobnost, že zvítzí malé dít (chlapec nebo dívka)? Jaká je pravdpodobnost, že nezvítzí malá dívka? A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6 F) 0,7 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 V osudí jsou 2 bílé a 3 erné koule. Koule se vytahují po jedné a do osudí se nevracejí. 9 Piate ke každému jevu (9. 9.3) pravdpodobnost (A E), s níž mže nastat. 9. 9.2 9.3 První tažená koule bude bílá. První dv tažené koule budou erné. V první tažené dvojici koulí budou zastoupeny ob barvy. A) B) C) D) E) Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 54
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 0 Souet dvaceti položek je 6 000 korun. Po odebrání dvou položek v celkové hodnot 960 korun se prmrná hodnota položky zmní. 0 Vypotte, o kolik korun se zmní prmrná hodnota. VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE V obchodním centru zákaznice testovaly ti druhy parfém A, B, C. Svj hlas mohly dát pouze jednomu z parfém. Nkteré zákaznice se nedokázaly rozhodnout. Preference zákaznic jsou zaznamenány v tabulce. A B C nerozhodnuté Celkem etnost 40 20 200 Relativní etnost 20 % Vypotte, kolik zákaznic preferovalo vítzný parfém. VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOHÁM 2 3 Celkem 20 student psalo dva závrené testy A a B. V tabulce jsou uvedeny výsledky test, chybí pouze poet jedniek a dvojek v testu B. Známky 2 3 4 etnost známek Poet žák Prmr Medián Modus Test A 3 8 9 0 20 Test B 9 2 20 2 Urete medián a modus známek z testu A. 3 V obou testech bylo dosaženo stejné prmrné známky. Vypotte prmrnou známku z testu A a poet jedniek v testu B. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 55
VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Divadlo nabízí pro každé pedstavení celkem 220 vstupenek po 300 korunách a 80 vstupenek po 500 korunách. Bhem deseti pedstavení bylo šestkrát zcela vyprodáno a tyikrát se neprodala práv polovina dražších lístk. 4 Jaká je prmrná tržba na jedno z deseti pedstavení? A) 98 000 K B) 97 000 K C) 96 000 K D) 95 000 K E) jiná tržba VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 5 V grafu jsou uvedeny prmrné poty filmových divák v milionech (sledujte na ose vpravo) a prmrná výše vstupného do kina v dob od r. 988 do r. 2004 (sledujte na ose vlevo). Návštvnost klesala, ale vstupné se prbžn zvyšovalo. K 0 55 00 50 90 45 80 40 70 35 60 30 50 25 40 20 30 5 20 0 0 5 0 0 988 990 992 994 996 998 2000 2002 2004 mil. divák prmrné vstupné poet divák 5 Prmrná roní tržba za vstupné do kina se od roku 990 do roku 2000: A) v podstat nezmnila. B) zvýšila jen velmi mírn, nejvýše o 20 %. C) zhruba zdvojnásobila. D) zvýšila tém ptkrát. E) zvedla více než o 500 %. Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 56
VÝCHOZÍ TEXT A DIAGRAM K ÚLOZE 6 Na druhý stupe základní školy v Postrkov chodí místní pšky, ale všech 56 žák, kteí jsou z okolních obcí, dojíždí. V diagramu je uvedeno rozložení potu žák podle místa bydlišt. 6 Kolik žák dojíždí z Nemanína? A) 4 žák B) 8 žák C) 20 žák D) 24 žák E) jiný poet žák Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 57
VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 7 Každý z 20 hrá provádl ti trestné hody na koš a tikrát stílel po otoce. V tabulce jsou hrái rozdleni podle úspšnosti v obou steleckých disciplínách. (Napíklad tyem hrám se podailo promnit jeden trestný hod a dva hody po otoce.) 7 Piate ke každé otázce (7. 7.4) odpovídající výsledek (A F): 7. 7.2 7.3 7.4 Kolik hrá dalo stejný poet koš v obou disciplínách? Kolik hrá dalo celkem 4 koše? Kolik hrá udlalo alespo 4 chyby? Kolik hrá bylo lepších pi trestných hodech než ve stelb po otoce? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 F) 9 Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 58
VÝSLEDKY ÚLOH Kombinatorika, pravdpodobnost a statistika 2 3 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C, A, F, E 9 B, E, D 0 klesne o 20 korun 00 2 medián 2; modus 3 3 prmrná známka 2,3; poet jedniek 7 4 A 5 C 6 C 7 E, C, D, A Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání CERMAT 59