STOCHASTICKÁ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH PROCESŮ V MATLABU

STOCHASTICKÁ ANALÝZA NESTACIONÁRNÍCH PROCESŮ V MATLABU David Kvapil UNIS, a.s., Brno Absrak Příspěvek popisuje sochasickou analýzu a malabovské modelování nesacionárních procesů v echnomerii. Sumarizují se známé poznaky o sabilizaci rendu i rozpylu, navrhuje se možný způsob řešení siuace, kdy daa vykazují nesacionariu ve sřední hodnoě i v rozpylu. Empiricky zjišěná provozní eplárenská daa, vořící vysokofrekvenční časové řady, se vyznačují v čase proměnlivou variabiliou (měnlivá volailia), což vede k vážným problémům při použií klasických lineárních (S)AR(I)MA modelů (nesplnění homoskedasiciy a normaliy). Jsou pozorovány shluky volailiy, je indikováno lepokurické pravděpodobnosní rozdělení. Je použio GARCH modelování, pracující s (v čase se měnícími) podmíněnými saisikami podmíněnou sřední hodnoou a podmíněným rozpylem. Pro samonou analýzu byly vyvořeny vlasní malabovské skripy, sejně jako jsou využívány běžné malabovské funkce saisického, opimalizačního a GARCH oolboxu. Na provozních daech je konkréně demonsrován posup při vybudování GARCH modelu. Sabilizace rendu Při modelování reálných provozních eplárenských da se dospělo k siuaci, kdy zkoumané časové řady měřených fyzikálních veličin vykazovaly nesacionariu ve sřední hodnoě i nesacionariu v rozpylu. Pokusíme se sumarizova známé poznaky o sabilizaci rendu i rozpylu, navrhnou možný způsob řešení akovéo siuace a na ukázkovém příkladě naznačíme konkréní posup sochasické analýzy a modelování ARCH procesů v Malabu. Pro procesy nesacionární ve sřední hodnoě rozlišujeme deerminisický rend a sochasický rend. U deerminisického rendu chápeme nesacionariu jako funkci času, j. k modelování používáme např. polynomický rend, příp. periodický rend f 0.... d d, resp. f p cos sin j j j j j ARMA p, q : B Y B je požadováno, aby proces byl kauzální, j. p všechny kořeny polynomu z z... pz ležely vně jednokové kružnice. Pokud nějaký kořen leží na jednokové kružnici, mluvíme o procesu nesacionárním se sochasickým rendem, pokud leží uvniř jednokového kruhu, mluvíme o nesacionárním procesu explozivního ypu. Nesacionární proces obsahující sochasický rend lze převés na sacionární diferencováním. Zavedeme diferenční operáor Pro modely Y Y Y B Y, Y Y Y Y Y Y Y B Y, d d d d d Y Y Y Y... Yd B Y. Nesacionární proces se sochasickým rendem se nazývá inegrovaný smíšený model ARIMA p, dq,, formálně jej zapisujeme pomocí operáoru zpěného chodu

a položíme-li d ARIMA pdq,, : B B Y B d W B Y, pak je W sacionární ARMA, p q proces. Poznamenejme, že číslo d nemusí bý obecně celé. Pak jej nazýváme frakcionální paramer, d d B vyjadřuje frakcionální diferenci a hovoříme o frakcionálně inegrovaných operáor procesech ARFIMA p, dq,. Jde o procesy s dlouhou paměí, jejich charakerisickou vlasnosí je, že hodnoy ACF neklesají s rosoucím zpožděním exponenciálně, ale hyperbolicky. Sabilizace rozpylu Procesy, kde není splněna podmínka neměnnosi rozpylu v čase (homoskedasicia), je věšinou možné vhodně ransformova. Siuace nesabilního rozpylu nasává především v případech, kdy náhodná veličina Y má rozdělení závislé na jediném parameru, kerý obecně nemusí mí pro všechna sejnou hodnou. Hledá se pak neriviální funkce g ak, aby náhodná veličina Z gy měla rozpyl nezávisející na. Tao úloha obecně nemá řešení, používá se však určiých užiečných aproximací. Při předpokladu exponenciální závislosi směrodané odchylky na sřední hodnoě 0 se nejčasěji se uvažují případy od 0 (řada je homoskedasická) až po (pak exisuje lineární závislos). Při volbě lze odsrani heeroskedasiciu (pro řadu Y 0 ) např. jednou z následujících ransformací: Box Coxova mocninná ransformace příp. mocninná ransformace Z Z Y pro 0, ln Y pro 0, Y pro 0, ln Y pro 0. Pokud hodnoy náhodné veličiny nejsou kladné, můžeme použí jednu z následujících ransformací: Box Coxova mocninná ransformace s posunuím Z Y a pro 0, ln Y a pro 0, kde a je akové reálné číslo, aby všechny realizace byly kladné, příp. mocninná ransformace se znaménky Z Y sgn Y pro 0, sgn Yln Y pro 0. Poznamenejme ale, že při nesplnění podmínky Y 0 nebo když pozorované hodnoy jsou blízké nule, je možno řadu ransformova posunuím pouze s vědomím značného rizika znehodnocení původní řady a znevěrohodnění výsledného modelování. Navíc mocninná ransformace není spojiá pro 0, proo je řeba se vyhýba malým nenulovým hodnoám parameru.

Odhad ransformačního parameru mocninné ransformace se pak provede pomocí maxima logarimu věrohodnosní funkce n n l ln s ln yi, kde s ˆ, i yi 0, zi ln yi 0, pro ekvidisanní hodnoy... m (pro dosaečně velké m ) z vhodně zvoleného inervalu, vypočíá hodnoy l,, kde, R, a hodno. Bylo odvozeno asympoické rozdělení saisiky ˆ a hledá argumen ˆ maxima ěcho K l l ~ a lze ako zkonsruova jednosranný asympoický inerval spolehlivosi pro paramer ˆ ˆ P K P l l P l l j. všechna splňující nerovnos ˆ l D l leží v inervalu spolehlivosi a jsou edy přijaelná. Tesování hypoéz: esujeme H 0 : 0 proi alernaivě H: 0. Nejdříve budeme esova H :. Pokud 0 H 0 nezamíneme, j. l D, nemusíme daa ransformova. Pokud předchozí hypoézu zamíneme, můžeme esova další H : 0. Pokud 0 H 0 nezamíneme, j. l 0 D l D, ransformace bude ve varu z ln y. Pokud však bude ˆ 0, provedeme ransformaci i i l D l D z y ˆ. Algorimus pro řešení prakických úloh:. Zkonrolujeme vsupní daa, aby byla nezáporná, jinak příp. přičeme kladnou konsanu.. Vekor da rozložíme na kráké úseky o délce 4 až údajů. 3. V každém úseku provedeme robusní odhady sřední hodnoy ˆi (průměr, medián) a rozpylu ˆi (max-min, mezikvarilové rozpěí). 4. Předpokládáme, že plaí, logarimováním dosaneme ln ln ln a neznámé odhadneme meodou nejmenších čverců díky hodnoám v ln ˆ i i, u ln ˆ i i v regresním modelu vi aui i, kde a ln i ~ WN 0,. 5. Pro odhad ˆ ˆ, pomocí -saisiky zkonsruujeme inerval spolehlivosi ˆ eno inerval bude obsahova nulu, j. 0 I ˆ ˆ 0 Iˆ I ˆ, volí se ransformace zi ln yi. Jinak se volí i i i i I. Pokud, daa se nebudou ransformova. Pokud z y ˆ.,

3 Procesy s proměnlivými režimy Jiným východiskem při řešení ohoo problému je přisoupení k modelování procesů s proměnlivými režimy modely TAR (Threshold Auoregressive), modely MSW (Markov Swiching), případně modely ARCH/GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy). Empiricky bylo zjišěno, že vysokofrekvenční časové řady se vyznačují v čase proměnlivou variabiliou, hovoří se o měnlivé volailiě. To vede k vážným problémům při použií klasických lineárních (S)AR(I)MA modelů (Box Jenkinsova meodologie). Bylo zjišěno, že s variabiliou může souvise úroveň a síla auokorelace v časových řadách. Charakerisické rysy akovýcho analyzovaných časových řad edy nemohou bý plně zachyceny jen lineárními modely, předpokládající pouze jeden yp závislosi korelační závislos. Nelineární modely vycházejí z nějaké nelineární funkce řady sejně rozdělených nezávislých náhodných veličin, akže předpokládají obecnější formu závislosi než pouze korelační. Změnu volailiy (edy i auokorelace) časové řady lze chápa jako změnu v režimu chování časové řady, kerá může bý způsobena různými fakory deerminisickými i nesysemaickými a nepredikovaelnými. V 80.leech 0.sol. (Engle) vznikla koncepce modelování volailiy časových řad (modely ypu ARCH), kerá byla posupně rozpracována a byla navržena řada dalších modelů volailiy. Svůj původ mají yo modely v ekonomerii, posupně se začínají uplaňova i v echnomerii. Modely ARCH pracují s podmíněnou sřední hodnou a podmíněným rozpylem. Mějme např. sacionární auoregresní model prvního řádu AR(), ~ IID 0, kde X X,, kerý lze vyjádři ve formě Nepodmíněná sřední hodnoa veličiny X. 3 3... X je nulová, edy 0 E X. Podmíněná sřední hodnoa E je sřední hodnoa veličiny X za předpokladu, že náhodné veličiny nabyly v časech,,... konkréních hodno. Závisí na volbě podmínky, je její funkcí uo funkci označujeme jako funkci regresní. Pro proces AR() je podmínkou určiá hodnoa náhodné veličiny v čase, j. podmíněná sřední hodnoa veličiny obecným ARMAX p, qn, modelem kde A k, je regresní maice. Nepodmíněný rozpyl veličiny E X X, X je závislá na čase. Podmíněnou sřední hodnou lze vyjádři p q n, X C X A i i j j k, k i j k X pro proces AR() je DX, je edy neměnný v čase. Podmíněný rozpyl se označuje jako funkce skedasická, jejíž průběh ak charakerizuje měnivos rozpylu veličiny X v závislosi na hodnoách veličin X, X,.... Podmíněný rozpyl veličiny X je D X, je edy aké neměnný v čase (je funkcí homoskedasickou).

Uvedené vlasnosi jsou charakerisické pro všechny sacionární a inveribilní procesy, j. pro procesy ypu AR, MA a ARMA. Podívejme se nyní na nesacionární procesy, konkréně inegrované procesy. Uvažujme proces náhodné procházky kde ~ IID0, X X,, kerý lze vyjádři ve varu X 3..., akže nepodmíněná sřední hodnoa je nulová, j. EX 0. Podmíněná sřední hodnoa čase. Nepodmíněný rozpyl DX D X je opě funkcí homoskedasickou. E X X je závislá na je lineární funkcí časové proměnné. Podmíněný rozpyl Tyo vlasnosi jsou charakerisické pro všechny ypy inegrovaných procesů, j. pro řídu modelů ARIMA. S uvedenými ypy modelů se pracuje velmi dobře, neboť je lze jednoduše ransformova na gaussovský proces bílého šumu. Problemaika bodových a inervalových odhadů paramerů ohoo procesu je ve saisické eorii dobře rozpracována. Prakicky se při idenifikaci modelu časové řady posupuje následovně: vybere se nějaký model, nejčasěji podle varu ACF a PACF, odhadnou se jeho paramery. Ve druhé fázi se provádí diagnosická konrola modelu, ve keré se ověřuje, zda příslušná ransformace analyzovaného procesu vede k procesu gaussovského bílého šumu. Na základě odhadů paramerů se vypočíají residua a jejich prosřednicvím se esuje auokorelace, heeroskedasicia a normalia nesysemaické složky modelu. V případě věšiny empirických eplárenských denních časových řad se vyskyuje siuace, kdy nejsou splněny podmínky, za kerých lze použí lineární modely ypu ARMA či ARIMA není splněna především podmínka homoskedasiciy a normaliy. Pokud provedeme grafické znázornění rozdělení hodno časové řady, zjisíme, že má zv. lepokurické rozdělení pravděpodobnosi akové rozdělení je špičaější a má lusší (delší) konce (Fa Tails) ve srovnání s rozdělením normálním. Exisují dvě koncepce řešení problému nesplnění podmínek lineárního modelu řídy AR(I)MA. První koncepce (Engle, 984) vychází z předsavy, že problém je v ypu modelu časové řady. Tao předsava je založena na myšlence, že podíváme-li se na analyzovanou časovou řadu, všimneme si, že se její variabilia sejně jako úroveň v čase mění. Uvažované lineární modely jsou oiž založeny na podmínce, že se sice podmíněná sřední hodnoa v čase mění, ale podmíněný rozpyl je konsanní, což však mnohdy neodpovídá realiě. Je edy vhodné navrhnou modely, keré by splňovaly předpoklad v čase se měnícího podmíněného rozpylu (příp. podmíněné sřední hodnoy a podmíněného rozpylu). Podsané je, že ao koncepce nemění původní požadavek normaliy. Druhá koncepce vychází z předsavy (Mandelbro, 60.léa), že problém není v modelu časové řady, ale v požadavku normaliy rozdělení, kerý není reálný. Věšina denních časových řad je charakerisická rozdělením, keré je špičaější a má lusší konce než rozdělení normální. Tao druhá koncepce má fundamenální charaker a její další rozpracování by znamenalo revoluční zásah do celé oblasi saisického modelování. 4 Modely volailiy Uvažujme sochasický proces, u kerého předpokládáme nulovou podmíněnou sřední hodnou E E 0 a podmíněný rozpyl D D E E E, přičemž je relevanní minulá informace až do času. Tyo požadavky splňuje model procesu ve varu

kde E e, D e, 0 e, 0 E ee i pro i 0,,,... (nezávislé veličiny s nulovou sřední hodnoou a jednokovým rozpylem). Je-li rozdělení náhodné veličiny e za podmínky informace, kerá je k dispozici v čase, normované normální, j. e ~ N 0,, poom je rozdělení náhodné veličiny za podmínky informace, kerá je k dispozici v čase, rovněž normální, avšak s podmíněným rozpylem, kerý se mění v závislosi na čase, j. ~ N 0,. Dále plaí E E 4 4 E e, j. špičaos nepodmíněného rozdělení je věší nebo rovna špičaosi normovaného normálního rozdělení, přičemž rovnos nasane ehdy, jsou-li podmíněné rozpyly konsanní. Jednolivé modely volailiy spočívají ve formulaci vývoje podmíněného rozpylu v čase. Lineární modely volailiy jsou charakerisické ím, že podmíněný rozpyl je lineární funkcí veličin,,..., p. Nelineární modely jsou schopné posihnou různé asymerické jevy, např. pákový efek, kdy se kladné a záporné šoky do podmíněného rozpylu nepromíají symericky, jak o předpokládají lineární modely volailiy. Základními lineárními modely volailiy jsou ARCH(q) a GARCH(p,q) modely. Proces ARCH(q) Podmíněný rozpyl je,... q q kde 0 a,..., 0. Too lze zapsa i pomocí operáoru zpěného posunuí B, pro kerý je j B j, pak q q B B... qb. Model ARCH(q) lze vyjádři v auoregresním varu modelu AR(q) procesu kde,... q q. Proces ARCH(q) je slabě sacionární, leží-li kořeny polynomiální rovnice q... q 0 B B B vně jednokového kruhu. Nepodmíněný rozpyl procesu je D E q i, edy je konsanní v čase a proces je nepodmíněně homoskedasický. Zejména pak model ARCH() má var podmíněného rozpylu. Úpravou lze získa auoregresní var modelu i

. Jesliže 0 kde e,, pak je proces gaussovského bílého šumu (za podmínky normaliy). Je-li příliš vysoké, je rozpyl procesu ARCH() nekonečně velký. Proces je slabě sacionární, jesliže. Nepodmíněná sřední hodnoa, resp. nepodmíněný rozpyl jsou E 0, resp. D E. Podmíněný rozpyl je kladný pro 0 a 0. Čvrý momen je konečný pro 3, ehdy proces generuje daa, kerá mají rozdělení špičaější a jeho konce jsou lusší v porovnání s rozdělením normálním, K E E 3 4 3 Model ARCH je charakerisický ím, že lze pomocí něj zachyi shluky volailiy v časové řadě. To plyne z oho, že jesliže je v absoluní hodnoě vysoké, lze očekáva i v absoluní hodnoě vysoké. Vysoké (příp. nízké) hodnoy časové řady budou následovány vysokými (příp. nízkými) hodnoami jakéhokoliv znaménka.. Proces GARCH(p,q) Má podmíněný rozpyl ve varu......, q q p p kde p 0, q 0, 0, i 0 pro i,..., q, j 0 pro j,..., zpěného posunuí jej lze vyjádři ve varu q p B B... B B B... B q p Model GARCH(p,q) je ak možné psá ve varu nebo pomocí operáoru zpěného posunuí B B. q p m p i i i i i i B B B, kde. Jedná se edy o model ARMA(m,q) pro p 0, model se ransformuje na ARCH(q). Je-li p 0, kde m max p, q q, pak je p. Pomocí operáoru. Jesliže je proces gaussovského bílého šumu. Model GARCH(p,q) lze vyjádři jako ARCH( ), edy model ARCH s mnoha zpožděními lze aproximova modelem GARCH s méně zpožděními, resp. s menším počem paramerů. Model. Nepodmíněný rozpyl procesu je GARCH(p,q) je slabě sacionární, jesliže EX D X p q 0 p q. Zejména pak podmíněný rozpyl procesu GARCH(,) má var

h, kde 0, 0, 0. Pomocí operáoru zpěného posunuí píšeme B. Úpravou jej můžeme přepsa do varu modelu ARMA(,), kde. Proces je slabě sacionární pro. Nepodmíněný rozpyl procesu je D, E edy je konsanní v čase a proces je nepodmíněně homoskedasický. Proces GARCH(,) sejně jako procesy ARCH generují řady hodno, keré mají rozdělení špičaější a s lusšími konci v porovnání s normálním rozdělením. Špičaos rozdělení náhodných veličin má pro 3 var jinak je. Auokorelační funkce procesu je E K, E 4 3, k k pro k,3,.... Hodnoy auokorelační funkce s rosoucím zpožděním k exponenciálně klesají, rychlos poklesu závisí na velikosi souču. Blíží-li se eno souče hodnoě jedna, je pokles auokorelační funkce velmi pozvolný. Hodnoy parciální auokorelační funkce rovněž s rosoucím zpožděním exponenciálně klesají. Obecně lze vrdi, že var ACF a PACF procesu odpovídá varu ěcho funkcí modelu ARMA(p,q). Proces GARCH(,) je z prakického hlediska zajímavý ím, že jím lze aproximova proces ARCH s mnoha zpožděními. Dalšími lineární modely jsou IGARCH, FIGARCH, GARCH-M, nelineární modely jsou pak EGARCH, IEGARCH, FIEGARCH, GJR-GARCH, QGARCH, SV model aj. Proces výsavby modelů volailiy lze rozděli do následujících kroků: a) Určení vhodného lineárního nebo nelineárního úrovňového modelu pro danou časovou řadu. b) Tesování nulové hypoézy podmíněné homoskedasiciy proi alernaivní hypoéze podmíněné heeroskedasiciy lineárního nebo nelineárního ypu. c) Odhadování paramerů zvoleného lineárního nebo nelineárního modelu podmíněné heeroskedasiciy. d) Ověření vhodnosi daného modelu diagnosickými esy. e) Modifikace modelu, je-li o řeba. f) Užií modelu pro popisné nebo predikční účely.

5 Analýza provozních eplárenských da Sručně naznačíme průběh sochasické analýzy získaných reálných provozních eplárenských da. Na následujícím obrázku je graficky znázorněn časový průběhu hodno eplo výsupní vody na výsupu z výměníkové sanice (Teplo Přerov, a.s., Palackého ulice) během jednoho dne (leden, 007). Obr.: Časový průběhu hodno eplo výsupní vody na výsupu z výměníkové sanice Pro vekor da (označíme jej A ) vyvoříme malabovský skrip BJmodel.m, kerý provede idenifikaci Box Jenkinsova modelu. Konkréně z daného vekoru da spočíá výběrový průměr, výběrový rozpyl, zobrazí korelogramy ACF a PACF, zobrazí periodogram a spočíá maici vořenou hodnoami FPE krieria pro jednolivé ARMA modely prvek s minimální hodnoou na pozici i, j ARMA i, j (indexuje se od nuly). Dosáváme indikuje model >> BJmodel(A) vyberovy prumer: 55.093 vyberovy rozpyl: 3.60564 hodnoy FPE krieria pro jednolive ARMA modely:.0e+003 * 3.030737060 0.909536533 0.344405345 0.66364044939 0.0063776099 0.0063488044 0.00636436964 0.00638666986 0.00634048368 0.006364554 0.00638704943 0.006378666 0.00637473969 0.00639879685 0.00644859 0.0064407768 Z éo maice se jako nejvhodnější jeví model ARMA(,0), neboť prvek na pozici (,) má nejmenší hodnou. Korelogramy na následujícím obrázku aké naznačuje, že by se mohlo jedna o proces ARMA(,0).

Obr.: Korelogramy ACF a PACF Periodogram na následujícím obrázku neindikuje exisenci nějakých význačných frekvencí. Obr.3: Periodogram Vyvoříme malabovský skrip ARMAmodel.m, kerý může pomoci v ověření správnosi volby modelu ARMA(,0). Je založen na ověřování nekorelace residuí pomocí Pormoneau esu, přičemž by mělo plai, že hodnoa Pormoneau saisiky Q by měla bý menší než kriická hodnoa esu. Navíc spočíá hodnoy sřední residuální chyby, sřední kvadraické chyby a sřední absoluní chyby. Dosáváme ak: >> ARMAmodel(A,,0) Discree-ime IDPOLY model: A(q)y() = e() A(q) = - 0.973 (+-0.0949) q^- Esimaed using ARMAX from daa se yc Loss funcion.58739 and FPE.5896 Sampling inerval: hodnoa Pormoneau saisiky: Q = 5.59

kriicka hodnoa : kri = 5.93 prumerna rezidualni chyba: ME = -0.0005438 prum. kvadraicka chyba: MSE =.5867 prum. absoluni chyba: MAE = 0.45705 Vidíme, že hodnoa Pormoneau saisiky Q 5.59 je podsaně vyšší než kriická hodnoa esu k 5.93. Sesavíme hisogram naměřených da a porovnáme jej s normálním rozdělením. Obr.4: Hisogram naměřených da Vidíme, že se zřejmě jedná o daa pocházející z lepokurického rozdělení, edy špičaější rozdělení s lusějšími konci oproi rozdělení normálnímu. Tes normaliy: malabovský jbes provede Jarque Berův es nulové hypoézy, že daa pocházejí z normálního rozdělení s neznámou sřední hodnoou a neznámým rozpylem, proi alernaivě, že daa nepocházejí z normálního rozdělení. Tes je založen na myšlence současného esování šikmosi a špičaosi. Kromě nenormaliy může k zamínuí nulové hypoézy vés i fak, že hodnoy nejsou homoskedasické. Tesovací saisika má var k n JB s 6 4 3 kde n je poče da ve vzorku, s, resp. k je výběrová šikmos, resp. špičaos. Za planosi nulové hypoézy má rozdělení se dvěma supni volnosi. >> [h,p,jbsa,kri] = jbes(a, 0.05); >> [h,p,jbsa,kri] ans =.00000000000 0.0000000000 7.04309899435 5.949566574, Tedy nulovou hypoézu na 5%-ní hladině významnosi zamíáme, daa nepocházejí z normálního rozdělení.

Vyvoříme malabovký skrip esnezprvku.m (es nezávislosi prvků výběru) a provedeme pomocí něj es auokorelace. Teno skrip provádí es časové závislosi prvků výběru, případně závislos související s pořadím jednolivých měření, pomocí koeficienu auokorelace prvního řádu. Nulová hypoéza vrdí, že není příomna auokorelace. Tes rozhodne o jejím zamínuí či nezamínuí na zvolené hladině významnosi. Navíc určí hodnou esovací saisiky a rozpěí kriického oboru. Aplikujeme-li jej na naši časovou řadu A, výsledkem je: >> esnezprvku(a) *** H0: neni auokorelace *** H0 zamiame - exisuje auokorelace esovaci saisika: 6.845 hranice kriickeho oboru: -.96660000.96660000 Tedy na 5%-ní hladině významnosi nulovou hypoézu zamíáme, v daech exisuje auokorelace. Provedeme diferencování časové řady a pracujeme dále s řadou prvních diferencí A >> A=diff(A); Průběh prvních diferencí je na následujícím obrázku, ze kerého jsou jasně parné shluky volailiy. Obr.5: První diference Pomocí malabovské procedury arches provedeme Engelův ARCH-es, kerý zjišťuje příomnos podmíněné heeroskedasiciy (edy ARCH efeku). Nulová hypoéza vrdí, že časová řada residuí sesává z nezávislého idenicky rozděleného gaussovského šumu IID 0,, edy že neexisuje ARCH efek. Konsruuje se regresní model ˆ ˆ ˆ... ˆ u, q q na jehož základě se získá index deerminace R. Tesové krierium ve varu TR, kde T je poče da, má za předpokladu planosi nulové hypoézy asympoicky rozdělení q. >> [H,p,sa,kri] = arches(a-mean(a), [ 3 4 5 0 5 0]', 0.05); >> [H,p,sa,kri] ans =.000000000000 0.0574377745 4.9733075496986 3.8445880694

.000000000000 0.0050506933 0.57633366064 5.99464547080.000000000000 0.0048495566.330684653 7.84779035.000000000000 0 39.05570965 9.4877903678.000000000000 0 5.3778733859.07049769356.000000000000 0 55.533609867 8.30703805375.000000000000 0 59.56550344 4.9957903978.000000000000 0 6.98487349 3.404384430 Tedy na 5%-ní hladině významnosi zamíáme nulovou hypoézu, pro q,,3,4,5,0,5 i 0 je v modelu příomna podmíněná heeroskedasicia. GARCH modelování Malabovský es pomocí věrohodnosního poměru lraioes pomůže odhali paramery modelu GARCH(p,q). >> spec = garchse('p',,'q',,'display','off'); >> spec = garchse('p',,'q',,'display','off'); >> spec = garchse('p',,'q',,'display','off'); >> spec = garchse('p',,'q',,'display','off'); >> [coeff,errors,llf] = garchfi(spec,a); >> [coeff,errors,llf] = garchfi(spec,a); >> [coeff,errors,llf] = garchfi(spec,a); >> [coeff,errors,llf] = garchfi(spec,a); Posupně provedeme několik esů, z nichž je parné, že model GARCH(,) má nejlepší výsledky. >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans = 0 0.9997384590 0.0000007657 3.84458806945 >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans =.00000000 0.000000000006 49.9075790439689 3.84458806945 >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans =.000000000 0.000000000006 49.90757783058 3.84458806945 >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans = 0.000000000000000 -.8779784369550 3.84458806945

>> [H,pValue,Sa,CriicalValue] = lraioes(llf,llf,,0.05); >> [H,pValue,Sa,CriicalValue] ans = 0 0.7056984883038.8779784369550 3.84458806945 Vyvoříme malabovský skrip GARCHmodel.m, kerý sesrojí maici hodno AIC, resp. BIC krieria pro rozhodování o řádu modelu GARCH prvek s minimální hodnoou na pozici i, j indikuje model GARCH i, j. V našem případě dosaneme: >> GARCHmodel(A,) hodnoy AIC krieria pro jednolive GARCH modely:.0e+003 * 4.0753050559 4.78457675073 4.7530493385 4.796783930703 hodnoy BIC krieria pro jednolive GARCH modely:.0e+003 * 4.483983988679 4.99048568570 4.4954346890 4.045980654847 I odud se jeví model GARCH(,) jako nejlepší volba. Připravíme si malabovskou srukuru ohoo modelu. >> spec = garchse('p',, 'Q', ) spec = Commen: 'Mean: ARMAX(0,0,?); Variance: GARCH(,) ' Disribuion: 'Gaussian' C: [] VarianceModel: 'GARCH' P: Q: K: [] GARCH: [] ARCH: [] Provedeme odhad paramerů užiím malabovské procedury garchfi. >> [coeff,errors,llf,efi,sfi] = garchfi(spec,a); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Diagnosic Informaion Number of variables: 5 Funcions Objecive: Gradien: garchllfn finie-differencing

Hessian: finie-differencing (or Quasi-Newon) Nonlinear consrains: armanlc Gradien of nonlinear consrains: finie-differencing Consrains Number of nonlinear inequaliy consrains: 0 Number of nonlinear equaliy consrains: 0 Number of linear inequaliy consrains: Number of linear equaliy consrains: 0 Number of lower bound consrains: 5 Number of upper bound consrains: 5 Algorihm seleced medium-scale %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% End diagnosic informaion max Line search Direcional Firs-order Ier F-coun f(x) consrain seplengh derivaive opimaliy Procedure 0 6 334.5-0.05 9 33.87-0.048 0.0078 66 448 9 33.3-0.035 0.065 48 666 3 4 33.84-0.089 0.056 43 40 4 48 87.97-0.045 0.5-80.9 479 5 54 69.63 0.78e+003 3.04e+004 6 64 57.44 0 0.065 57 7.5e+003 7 7 50. 0 0.5 40.e+004 8 8 3.5 0 0.5 54.6 4.3e+003 9 87 0.07 0 38.7 9.59e+003 0 93 09.36 0.39 5.4e+003 99 085.66 0-4.74 3.3e+003 06 08.6 0 0.5.6 8.3e+003 3 08. 0.8 3.76e+003 4 8 08.5 0-0.0778.e+003 5 4 08.44 0 0.07 64 6 30 08.4 0 0.00345 64. 7 36 08.4 0 -.34e-005.75 8 4 08.4 0.76e-009 0.007 Hessian modified Opimizaion erminaed: magniude of search direcion less han *opions.tolx and maximum consrain violaion is less han opions.tolcon.

Acive inequaliies (o wihin opions.tolcon = e-007): lower upper ineqlin ineqnonlin 4 Boundary Consrains Acive: Sandard Errors May Be Inaccurae. >> garchdisp(coeff,errors) Mean: ARMAX(0,0,0); Variance: GARCH(,) Condiional Probabiliy Disribuion: Gaussian Number of Model Parameers Esimaed: 5 Sandard T Parameer Value Error Saisic ----------- ----------- ------------ ----------- C -0.0966 0.064-0.743 K 0.00584 8.0975e-005 8.759 GARCH() 0.9639 0.0009 795.9 ARCH() 0 0.00684 0.0000 ARCH() 0.0386 0.0047 3.6876 Dosáváme ak GARCH(,) model: Y 0.0966, 0.00584 0.9639 0.0386. Provedeme simulaci da daných výše uvedeným modelem: >> [e,s] = garchsim(coeff,000); >> garchplo(e,s) Průběhy residuí a podmíněné směrodané odchylky simulovaného procesu jsou na následujícím obrázku.

Obr.6: Residua a podmíněné směrodané odchylky Na závěr vyvoříme předpovědi (v horizonu 50 pozorování), keré porovnáme s výsledky získané simulací našeho modelu. >> hor=50; >>[sigmaforecas,meanforecas,sigmatoal,meanrmse]=garchpred(coeff,a,hor); >> npahs=000; >> [esim,ssim,ysim] = garchsim(coeff,hor,npahs,0,[],[],efi,sfi,a(end)); >> figure >> plo(sigmaforecas,'.-b') >> hold('on') >> grid('on') >> plo(sqr(mean(ssim.^,)),'.r') >> ile('predpoved smerodane odchylky') >> legend('predpoved','simulace')

Obr.7: Předpoveď směrodané odchylky >> figure() >> plo(meanforecas,'.-b') >> hold('on') >> grid('on') >> plo(mean(ysim,),'.r') >> ile('predpoved residui') >> legend('predpoved','simulace',4) Obr.8: Předpověď residuí >> figure(3) >> plo(meanrmse,'.-b') >> hold('on') >> grid('on') >> plo(sd(ysim'),'.r') >> ile('sredni chyba predpovedi residui') >> legend('predpoved','simulace')

6 Závěr Obr.9: Sřední chyba předpovědi residuí Naše výsledky nejsou produkem ukončeného a uzavřeného projeku, jsou pouze jednou z čásí běžícího úkolu modelování a predikce spořeby epelné energie. Modely GARCH jsou běžně používané a časo aplikované v ekonomerii. Našim záměrem bylo demonsrova užií ěcho sochasických modelů v echnomerii, přičemž samoná analýza probíhala v prosředí MATLABu. Lieraura [] Anděl, J.: Maemaická saisika, SNTL/ALFA, Praha, 978 [] Anděl, J.: Saisická analýza časových řad, SNTL, Praha, 976 [3] Arl, J. Arlová, M.: Finanční časové řady, Grada, Praha, 003 [4] Arl, J. Arlová, M.: Konsrukce předpovědí na základě modelů GARCH, Aca oeconomica pragensia 0: (7), VŠE, Praha, 00 [5] Arl, J.: Moderní meody modelování ekonomických časových řad, Grada, Praha, 999 [6] Arl, J. Radkovský, Š.: Význam modelování a předpovídání volailiy časových řad pro řízení ekonomických procesů, Poliická ekonomie 48: (), VŠE, Praha, 000 [7] Budíková, M. Lerch, T. Mikoláš, Š.: Základní saisické meody, skripum MU, Brno, 005 [8] Cipra, T.: Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii, SNTL, Praha, 986 [9] Forbelská, M.: Sochasické modelování jednorozměrných časových řad, skripum MU, Brno, 009 [0] Hebák, P. a kol.: Vícerozměrné saisické meody,, 3, Informaorium, Praha, 005, 007 [] Likeš, J. Machek, J.: Maemaická saisika, MVŠT seši IV, SNTL, Praha, 983 [] Likeš, J. Machek, J.: Poče pravděpodobnosi, MVŠT seši X, SNTL, Praha, 98 [3] Meloun, M. Miliký, J.: Saisická analýza experimenálních da, Academia, Praha, 004 [4] Rao, R. C.: Lineární meody saisické indukce a jejich aplikace, Academia, Praha, 978 David KVAPIL UNIS, a.s. Jundrovská 33, 64 00 Brno, CZ dkvapil@unis.cz