Matematia I Predná'ajúci: prof RNr Igor Podlun$, Sc http://wwwtues/podluny/ # etory a U# olo: etory Aritmetic$ etoro$ priestor Lineárna záislos% a nezáislos% etoro Hodnos% sústay etoro Salárny súin etoro Matice, záladné unárne a inárne operácie s mi Súin matíc pod&a ayleyho, Hadamarda, Kronecera Hodnos% Eialentné úpray matíc y Osah na dnes etory a y a ich lastnosti Inerzná Sústay lineárnych roníc Matico$ zápis sústa lineárnych roníc Rie'enie sústa lineárnych roníc Existencia rie'ení a ich poty Gaussoá eliminaná metóda rameroo praidlo Inerzná etoro$ súin Zmie'an$ súin lastné hodnoty a lastné etory y Nech M zísaná z A typu n n odstránením i riadu íslo i a stpca íslo j det(a definoaný ao a det(a a n Iné oznaenie: A M j typu (n (n det(a a det(m a det(m + ( n+ a n det(m n n
( y rádu a a, môme použiť rížo 8 s + + ( + + + 8 ( + 9 y y''ieho rádu det A det A ( a det M j ( a det M i a A, j a A, j i,,, n j,,, n Rozlad poda aéhooe stpca aleo riadu + + + + + + + + + + + + + + lastnosti determinanto I Prílady $potu determinanto Nech A štorcoá rádu n A znila z A ýmenou doch riado (stĺpco, potom det(a det( A znila z A násoením aého riadu ( A onštantou, potom minant 7 8 9 áma 7 8 ( + + 8 Tento ýsledo môme intertoať aj nasledujúcim det( det(a A znila z A pripočítaním lineár ominácie iných riado (stĺpco aému riadu (stĺpcu A, potom Násoenie riadu (stpca on'tantou sa dá intertoa% ao yratie spoloného suinite&a za zna deter det( det(a 7 8
Prílady $potu determinanto lineárna ominácia riado ( + tomto idíme hneď, [ + 9 ( 9 ] Prílady $potu determinanto rozlad pod&a riadu (stpca s najä'ím potom núl ( + ( + ( + (+ ( 9 lastnosti determinanto II Nech A štorcoá rádu n A A T znila transponoaním A, potom det(a T det(a A šety pry aého riadu ( A sú roné, potom det(a A A troholníoá, potom j determinant roný súčinu pro na hla uhloprieče: det(a a a a nn A A a sú oide štorcoé rádu n, potom det(a det(a zdet( Inerzná elenie doch ísel: a : a a a Nemusíme ediet delit Staí edie% násoi% a uroa% Tie# ieme, #e a a a a Ta#e potreume nieo ao a
Inerzná Inerzná Pre 'torcoé : A A A A I dnotoá a M A ( det (M Pridruená A: A A A n A A A A n algeric doplno pra a Násoenie tu oyajné (ayleyho násoenie A n A n A nn A det(a A Inerzná Inerzná A det(a A Existu, a det(a Nasledujúce trdenia sú eialentné: A regulárna det(a regulárne (majú Matice det(a singulárne (nemajú det A K A existu Množina etoro pozostáajúca z riado (stĺpco A lineárne nezáislá Hodnosť A sa roná počtu j riado a počtu j stĺpco
Riešenie Riešenie Riešenie a A, A singulárna teda a A,tj tj singulárna aateda a, tj singulárna neexistu ARITMETIKÉ A MATIE neexistu neexistu ARITMETIKÉ A MATIE roný, tj regulárna teda roný, regulárna roný tj, tj aregulárna existu existu existu Prílad ypočítajme da Prílad ypočítajme da ARITMETIKÉ A MATIE a A Prílad ypočítajme A MATIE da ARITMETIKÉ $poet inerz aa $poet inerz ARITMETIKÉ A MATIE a A det(a c d Matica singulárna Inerzná nestu Riešenie rezentu sudeterminant, torý znine ynechaním riad- rezentu sudeterminant, torý znine u aj-tého pôod (ynechaním riadsudeterminant, torýynechaním znine riad rezentu det( ( u a j-tého pôod ( ( u a j-tého pôod + +,, ( ( c + + + + d + ( +,, (,, ( ( (, ( + + + + ( ( ( (,, Riešenie singulárna Prílad ypočítajme Prílad daypočítajme da ARITMETIKÉ A MATIE a A aa ypočítajme da c d d c dc Riešenie a A, tj d Riešenie neexistu Riešenie a A, tj singulárna a A, tj singulárna roný, tj neexistu existu singulárna, tj regulárna a A a teda determinant regulárna Analogicy, c Keď Test: neexistu neexistu ao dchádzajúcom a A, tj singulárna 8 c Keďcdeterminant, regulárna Analogicy Keď determinant, regulárna Analogicy neexistu ao roný regulárna, tj dchádzajúcom ao dchádzajúcom + +, existu (, ( roný, tj regulárna A MATIE existu u a j-tého pôod ( (, ( + + + + + (, (, + (, (, Prílad ypočítajme da ezentu sudeterminant, torý znine ynechaním riad- (, ( (, (,, ARITMETIKÉ A MATIE j-tého pôod ( (,,, ( ( (, (,, ( (, (, + rezentu znine +torý ( a A sudeterminant, riad ynechaním + (, ( + + + + + (, (, ( da Prílad (,,, ypočítajme, a j-tého pôod ( ( ( ARITMETIKÉ u A MATIE Analogicy c Keď determinant, regulárna rezentu sudeterminant, torý znine ynechaním riad ao dchádzajúcom + determinant, regulárna Analogicy ckeď ( A MATIE a pôod uao a j-tého ( A, ARITMETIKÉ + dchádzajúcom (, + c Test: + + ( d det( + c Keď determinant, regulárna Analogicy ( + roný, tj regulárna rminant A, tj singulárna roný, tj regulárna existu 7 ca neexistu existu rminant roný, tj regulárna rezentu sudeterminant, torý znine ynechaním riad ua j-tého pôod ( zná existu ARITMETIKÉ A MATIE ce rezentu sudeterminant, torý znine ynechaním riad+ rezentu ( (+, u a j-tého pôod (, sudeterminant, torý znine ynechaním riad ARITMETIKÉ + + + + + + + + + + + + + $poet inerz + $poet inerz ( (,, (, ( ( + + + ARITMETIKÉ MATIE ( ao dchádzajúcom + +, ( Analogicy A determinant, regulárna ( + (,,, + + + + dchádzajúcom, (, ( Prílad ypočítajme ngoa + + + + + +, (, (, (, ( c d Riešenie + + + + + + + ARITMETIKÉ A MATIE, ( (, (, ( (, ( (,, a A (+ (+, (,, da c Keď determinant, regulárna Analogicy existu ý použime rádu a determinanto rádu neexistu dchádzajúcom inerz ao možnosť si looú ( d ý uázal, časoá ma roný, ( E eialentných riadoých upraíme, prejtj regulárna c Keď determinant regulárna Analogicy Riešenie ao yššia existu looú na tar, de d čiarou horná ao dchádzajúcom yčíslenie y to doonca dného deter rezentu sudeterminant, torý znine ynechaním riadtroholníoá (pry pod hlanou diagonálou sú roné nule d ý uázal, časoá ma a singulárna + A, tj 9 + yššia ao u a j-tého pôod ( ma (, ( rádu a determinanto rádu použime ý d ý uázal, časoá neexistu dného deter, y to doonca yčíslenie možnosť ý si inerz looú ý yššia ao a determinanto rádu rádu použime d +uázal, časoá ma- + (, (, roný, tj regulárna inerz možnosť si looú ( E eialentných riadoých upraíme prej yššia ao dného deter y to doonca rezentu ynechaním riad+ yčíslenie + ( E sudeterminant, torý znine eialentných riadoých upraíme prej (, (, y + to doonca yčíslenie dného deter-( E + existu looú na tar, de d čiarou horná rádu ( a, ( determinanto rádu ý-na tar, de d ( použime + u a j-tého pôod + looú čiarou horná ( (, (, ( A, + singulárna tj + (+ (+, a ( ( +,,,, ( + + + + (,, (, ARITMETIKÉ (, A MATIE (,d ma neexistu ý uázal, časoá Riešenie + ( yššia ao, + (, roný (+ d + tj regulárna,,, ( deter y + to doonca a singulárna c, (+ (+ yčíslenie (, A dného, tj +
, I] a A Metóda eialentnch úpra a aaritmetiké a A MATIE n a a an [A, I], ARITMETIKÉ A MATIE, (+ (+ an an a nn ARITMETIKÉ A MATIE + +, (, ( ( ARITMETIKÉ A MATIE + eialentné úpray, (+, (+ a ARITMETIKÉ a an + (+ A MATIE,, ( (+ a a an ( + A + + +,, ( ( ( uázal, časoá ma ý d an an a nn yššia ao + yto doonca yčíslenie dného deter časoá ý d ma ( uázal, rádu ý a použime rádu determinanto yššia ao inerz možnosť si looú yčíslenie deter y to doonca dného d uázal, časoá ma eialentných upraíme prej ý a determinanto rádu rádu ( E použime ý- yššia riadoých looú ao horná na tar, de d čiarou d ý uázal,možnosť časoá si ma inerz looú y to pod doonca yčíslenie dného hlanou troholníoá (pry diagonálou sú roné nule deter yššia ao ( E eialentných riadoých upraíme prej a deterdeterminanto rádu použime ý yčíslenie rádudného y to doonca looú na tar, de dčiarou horná si looú ý možnosť rádu (pry a determinanto rádu použime troholníoá pod hlanou diagonálou súinerz roné nule d ý uázal, časoá ma( E eialentných riadoých upraíme prej inerz možnosť silooú ( E looú eialentných yššia riadoých ao prej natar, de d čiarou horná ( E upraíme looú detroholníoá todoonca yčíslenie dného pod y na tar, (pry horná deterhlanou diagonálou sú roné nule d čiarou ( E rádu (pry rádu sú použime ý a determinanto hlanou diagonálou troholníoá pod roné nule inerz si looú možnosť riadoých +R upraíme prej ( E eialentných ( E looú tar, de na horná +R čiarou d ( E diagonálou +R sú roné (pry pod hlanou troholníoá nule +R +R +R +R ( E +R +R +R +R +R +R +R +R hornú Máme troholníoú z&aa Poraume j na úpraou diagonálnu $poet inerz Metóda eialentnch úpra ARITMETIKÉ A MATIE Prílad ypočítajme da ARITMETIKÉ A MATIE $poet inerz $poet inerz časoá ma- + +, ( (d ý uázal,, Metóda eialentnch úpra yššia ao (+ y to doonca yčíslenie dného deter- Nájs# rádu a determinanto rádu použime ý d inerz c si looú možnosť ( E eialentných riadoých upraíme prej : looú na tar, de d čiarou horná d ý uázal, časoá mapod hlanou yššia ao (pry diagonálou sú roné nule Riešenie troholníoá y to doonca yčíslenie dného deter rádu a determinanto rádu použime ý- si looú a A, tj singulárna inerz možnosť ( E eialentných riadoých upraíme prej neexistu looú na tar, de d čiarou horná ( E súroné nule troholníoá (pry pod hlanoudiagonálou roný, tj regulárna existu ( E ARITMETIKÉ A MAT +R úpraách, ay sme d čiarou dostali di Následne poračume +R +R nálnu Posledným room hodné násoenie riado, +R +R rezentu sudeterminant, torý znine ynechaním riad ARITMETIKÉ A MATIE naľao dnotoá taom inerz +R ARITMETIKÉ A MATIE maticou naprao od čiary u a j-tého pôod ( d čiarou poračume Následne poračume úpraách, ay sme dostali diago- Následne úpraách, ay sme d čiarou dostali diago + + nálnu Posledným room hodné násoenie riado, ay, ARITMETIKÉ MATIE násoenie A (, nálnu ay ( Posledným room hodné riado, naľao dnotoá taom inerznou inerznou naľao dnotoá taom maticou ARITMETIKÉ A MATIE + + naprao od čiary naprao čiary ( ( od maticou, Následne úpraách, ay sme d čiarou dostali diago poračume nálnu násoenie riado, ay Posledným room hodné Následne poračume úpraách, ay sme čiarou dostali diago d inerznou Posledným naľao dnotoá taom nálnu room hodné násoenie riado, ay maticou inerznou naprao od čiary naľao dnotoá taom od čiary maticou naprao ( ( c Keď determinant, regulárna Analogicy ao dchádzajúcom ( ( ( ( ( +, (+, ( ( ( ( +, (+ (, Inerzné môme použiť aj pri riešení nietorých typo matico + + roníc, ( (, môme použiť Inerzné aj pri riešení nietorých typo maticoých Prílad inerz riešme maticoé ronice môme roníc použiť Inerzné pri riešení nietorých ' ( ' ( ' ( aj typo maticoých Pomocná looá : $poet inerz Metóda eialentnch úpra