2 ab. ), (ii) (1, 2, 3), (iii) ( 3α+8,α+12,6α 16

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "2 ab. ), (ii) (1, 2, 3), (iii) ( 3α+8,α+12,6α 16"

Transkript

1 Řešení úloh... Hroch dostane 80 mg prvního a 80 mg druhého přípravku.. V hospodě je 0 čtyřmístných šestimístných a osmimístné stoly.. i) pro ab právě jedno řešení: x = 5b ab y = a+5 ab pro a = 5 ab = nekonečně mnoho řešení: x = + 5t y = t pro ab = a 5 žádné řešení. ii) Nemá řešení pro c + b a 0 nekonečně mnoho řešení pro c + b a = 0. iii) Nemá řešení pro a = nekonečně mnoho řešení pro a = v ostatních případech právě jedno řešení. iv) Pro všechna a b c právě jedno řešení: x = + b + 5c y = a b c z = a + b + c. v) Pro a = nekonečně mnoho řešení: x = t y = t z = pro a = 0 žádné řešení pro a a 0 právě jedno řešení: x = a y = 0 z =.. První přípravek 8 t druhý t třetí t kde t = Nejlevnější řešení je pro t =. 5. i) ) ii) ) iii) α+8α+α ) iv) 0 0 0) 5 0) 8 ).. i) 8) ii) ) iii) 0 0 0). 7. Např. rovnice x = 0. Homogenní soustava nemůže mít právě dvě řešení neboť každá jejich lineární kombinace by byla opět řešením. 8. Společné body odpovídají řešením soustavy dvou rovnic o třech neznámých. Protože je soustava homogenní roviny procházejí počátkem) je takových řešení nekonečně mnoho. 9. Ne neboť hodnost matice soustavy je vždy menší než počet neznámých buď nemají žádné řešení nebo nekonečně mnoho. 0. i) rovnoběžné ii) mimoběžné.. V první síti tečou ve větvích proudy 5 0 A A a 5 A. Ve druhé síti tečou ve větvích proudy A A a A.. i) t t + ) ii) žádné řešení iii) ).. i) různoběžné průsečík P = ) ii) rovnoběžné.. i) různoběžné průsečík P = 5 7) ii) různoběžné průsečík P = ).... a) 8 8 5i b) +i c) d) 09i e) 0.. a) 5 b) c) d) 09 e) 0.. a) + i; i b) 0 c) i d) 0; e) + i; + i f) ; + i; i g) ; + i; i.. a) cos π + i sin π ) b) cos π + i sin π ) c) cos π + i sin π ) d) cos π + i sin π ). 5. a) uzavřený kruh se středem v bodě + 0i) a poloměrem b) prázdná množina c) doplněk otevřeného kruhu se středem v bodě + i) a poloměrem d) mezikruží se středem v bodě 0 i) a poloměry 9 resp. vnitří kružnice do množiny patří vnější nikoli...5. AB = CD = AD = a+ 0 a+ a+ a 0 a+ a+ a a+ ) a a 0 a CA = ) ; ead bc) 0 ead bc) a a 5 a 5 5 ed eb 0 ec ae ad bc BC = ) CB = ; ).. ;

2 7.. a) ve schodovitém tvaru jsou A B B 5 trojúhelníkové jsou B 5 B b) definované součty jsou A + B A + B A + B součiny A B A B 5 A B A B A B A B A B 5 A B A B A B B A B A B A B A B A B A 5 B A c) ha = deta = 5 ha = deta = i + ) + ) ha = deta = ha = deta = 8 i) ha 5 = deta 5 = 5 hb = detb = hb = hb = hb = hb 5 = ) hb =. 5. AE n = E m A = A. 7. Neplatí 0 například matice ; je horní trojúhelníková a přesto není ve schodo- 0 viém tvaru. Platí například tvrzení: Je-li čtvercová matice ve schodovitém tvaru pak je horní trojúhelníková. Také platí tvrzení: Regulární čtvercová matice je horní trojúhelníková právě tehdy když má schodovitý tvar. 8. a) b) c). 9. n n... nn ) inverzí. 0. a) ) n n) b) ) n n) c) ) n n)...5. a) nezávislé b) závislé.. a) závislé pro a = a = jinak nezávislé b) nezávislé pro každé a.. Jsou ortogonální nejsou ortonormální.. a) b = 5 a = 9 b) a = b = 0 a = b =. 5. x = 0 s s 0). 8. a) např. α 0 b) např. α = β = γ = c) α 0 β 0 γ a) ± π b) b = ± ); a b =. 0. e = e + e e e = e e = e + e + e ); e = e + e + e e = e + e ) e = e ; S = Závislé.. S = ; T = T = ; e = e e + e e = 5 e e e + e e = e + e + e e ) e ) = e + e e cos ϕ sin ϕ b) 0 ) c) ne.. ±.. T =. 5. T = T T ; sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 0 ; T 0 cos ϑ sin ϑ ; na pořadí obecně závisí.. T D = [ 0 0] sin ϑ cos ϑ. a) R { } b) k Z kπ + kπ + π + ) c) [ + ] d) R {0} e) R {0} f) 0) ) ).. a) lichá b) lichá c) sudá d) lichá e) lichá.. a) π b) π c) π d) π.. a) x ) x + ); kladné v R b) x +)x x +); kladné v R c) x+)x )x 5); kladné ) 5 ); záporné ) 5) d) x )x +x+); kladné ); záporné ) e) x + )x + ) x; kladné ) 0 ); záporné ) 0) f) x + )x )x + x + ); kladné ) ); záporné ). 5. a) x = 5y+ y ; R { 5 } b) x = + ln y ln 0 ; R c) x = lny + y + ); R d)

3 x = π + arctan y) + kπ pro k sudé; x = π arctan y) + k+)π pro k liché; k Z kπ + π k+)π + π ) e) x = y pro x > 0; x = y pro x < 0 f) x = lny + y ) pro x > 0; x = lny + y ) pro x < 0.. a) x + + x +x x + x x b) x x + 7 x+5 c) x ) + +x ) + x+) + x x+) + +x ) + x ) d) +x ) x+) + x+ +x ) e) + + x x x+ + x + x ). 7. a) 7 b) c) d) e) 0 f) g) 0 h). 8. a) neexistuje b)...7. a) e x) x lnx) ) x ; 0 ) b) 7 x) e 5 x) x ln7) + 5); R c) e x) sin x) cos x)); R ; a ) e) + x) x ; 0 ) x + x) d) x+a f) +tanx)) + tanx ) ) x ln); R g) tanx) ln) ) + tanx) ) ln); k Z kπ k+)π ) h) + x x+ ; ) i) x x) x lnx) + + x ); R x + x x+) ) x lnx) x ) x+) j) ; 0 ).. a) Df = R {0} klesající na Df inflexní bod 0 konkávní na 0) konvexní na 0 ). asymptota y = 0. b) Df = R { } průsečíky [ 0] [0 ] stac. body { 5 } rostoucí na 5) ) klesající na 5 ) inflexní bod konkávní na ) konvexní na ) ) asymptoty y = x x =. c) Df = k Z kπ k + )π) průsečíky [ π + kπ 0] k Z stac. body π + kπ k Z rostoucí na kπ k + )π) k Z klesající na k + )π k + )π) k Z konvexní na Df asymptoty y = kπ k Z. d) Df = R průsečíky [ π + kπ 0] k Z [0 ] stac. body kπ k Z rostoucí na π + kπ π + kπ) k Z klesající na kπ π + kπ) k Z inflexní body π + k π konkávní π + k π π + k π ) k Z konvexní π + k π π + k π ) k Z perioda π. e) Df = R {0} stac. bod rostoucí na 0) ) klesající na 0 ) konkávní na Df asymptoty y = 0 x = 0. f) Df = R { } průsečíky [ 0] [ 0] [0 ] stac. bod 0 rostoucí na 0 ) ) klesající na 0) inflexní body { } konkávní na ) konvexní na ) ) asymptoty y = x = 0. g) Df = R { } průsečík [0 ] stac. body {0 } rostoucí na ) 0 ) klesající na ) 0) inflexní bod konkávní na ) konvexní na ) asymptoty y = x x =. h) Df = R {} průsečíky [ 0] [ 0] [0 ] rostoucí na Df inflexní bod konkávní na ) konvexní na ) asymptoty y = x + x =. i) Df = R {0 } stac. body { } rostoucí na 0) 0 ) klesající na ) ) ) ) konkávní na 0) ) konvexní na ) 0 ) asymptoty y = 0 x = 0 x = x =. j) Df = [ ) průsečíky [ 0] [ 0] [0 / ] stac. bod v bodě extrém rostoucí na [ ) ) klesající na ) konvexní na Df {} asymptota y = x. k) Df = R průsečík [0 0] stac. bod rostoucí na )

4 klesající na ) inflexní bod konkávní na ) konvexní na ) asymptota y = 0. l) Df = R {0} rostoucí na Df konkávní na 0) konvexní na 0 ) asymptoty y = y = 0 x = 0. m) Df = R průsečíky [0 ] stac. bod 0 rostoucí na 0 ) klesající na 0) konkávní na R. n) Df = ) průsečíky [ 0] [ 0] [0 ] stac. bod 0 rostoucí na 0) klesající na 0 ) konvexní na Df.. a) min ; max 9 b) min ; max c) min ; max 8 d) min ; max 9 e) min sinsin)); max sinsin)).. 0 m/s; m/s. 5. R. 7. a) 0 b) 0 c) e d) e) f) g) h). 8. a) 0 b) c) e d) e. 9. a) cosx) sinx)+ x b) cosx) +cosx) ) c) ln sinx) cosx)+ ) d) cos x) + cos x) cos x) e) cosx) + cosx) cosx) f) lnx + ) + lnx + ) + lnx + ) g) lnx + ) + lnx+)+ lnx+) h) x +a ) /) i) x x + x 9 + x+ x + x+ 9 x) j) cosx) k) + ln) l) cos + x ) m) x arctan ) n) x + ln + + x + x x + x + x x ) + arctanx) o) x) 8 arcsinh ) 7 p) ex cosx) sinx)) q) lnx). 0.a = h =...8. S = πr m = r.. S = π S = m = π m = π.. S =.. S = S = πr.. a) S = r arccos r v r r v r r v r ) ) b) S = πab c) S = av a. 7. a) V = πr v J = mr z = v b) V = πr v J = 0 mr z = v c) V = πr J = 5 mr z = 0 d) V = πa b J = 5 ma z = 0 e) V = πv r v) J = mv0r 5vr+v ) 0r v) z = r v) r v). 8. a) J = mr b) J = ml J = ml +md. 9. a) T = 0 0 πb) T = 0 0 πb ). 0. l = a.. a) S = πrv J = πr v X t = v ; b) S = πr r + v J = πr r + v X T = v od vrcholu); c) S = πr J = 8 πr X T = 0.. a) M = a X T = a J y = 8 5 a ; b) M = aπ + π ln + π π); c) M = ) ) e π ) X T = 5 +e π e π ; Y T = 5 +e π e π J X = 9 eπ ) J Y = 9 eπ ) J Z = eπ ); d) M = πr X T = 0 Y T = 0 J X = J Y = πr J Z = πr ; e) M = r Y T = r J X = r 8 5 ; f) M = r X T = Y T = 0 J X = J Y = r J Z = r...5. a)! b) c) ) 5 + ) 5 + 5) 5+ d) ) 5 e) f) g) např. P = P 7 = P 8 = + ) P 9 = + )+ ) P 0 = + )+ )+ )+ ).. a) b) 9 5 c) d) 8.. a) a ϑ)n b) k n i= i) ϑ i ϑ) n i c) n k) ϑ k ϑ) n k l. 7. πd. b) p + q p q c) p q d) p q + p q a) 0 a) k b) 00 k k+00. a) 00 b) a) p q)+q p) 8 b) 8... a) { ) 5 ) 0 ) 0 ) 5 0 )} b) P = P = 7 0 P = 0

5 P = 8 5 P 5 = 7 0 c) d) 08 e).. a) {0; 0) ; 05) ; 05) ; 05) ; 005)} b) 9; c) 05.. a) k = b) 9 c) d) x 05 = x 05 = x 075 = e) F x) = 0 pro x < 0 F x) = x pro 0 x F x) = pro x >.. a) k = b) F x) = x x+ pro x > 0 F x) = 0 pro x 0 c) 0 d) x 05 = x 05 = x 075 =. 5. k = c = F x) = 0 pro x < F x) = x x pro x F x) = pro x > F x) = 0 pro x < 0 F x) = x x pro 0 x F x) = pro x >. c) f : ln ln g : a) { 0) ) ) ) 5 ) ) 7 ) 8 5 ) 9 ) 0 ) ) )} b) F x) = 0 pro x F x) = pro x ] F x) = 0 pro x ] F x) = pro x 5] F x) = pro x 5 ] F x) = 5 pro x 7] F x) = pro x 7 8] F x) = pro x 8 9] F x) = 0 pro x 9 0] F x) = pro x ] F x) = pro x > c) d) ± 07. pro x 0 ] F x) = 5.

6 ... a) ano b) ne c) ano d) ano e) ne f) ano g) ano.. a) např. P = {σ 0 = ) σ = )} není normální podgrupou b) např. podmnožina P všech sudých čísel je normální podgrupou Z/P je grupa zbytkových tříd modulo c) např. podmnožina všech diagonálních regulárních matic není normální podgrupou d) např. P = {Z 0 Z } je normální podgrupou příslušná faktorgrupa je grupa všech zbytkových tříd modulo. 5. σ ν = 5 ) ν σ = 5 ) σ = 5 ) σ 5 = 5 ).. Označímeli σ 0 = ) σ = ) σ = ) σ = ) σ = ) a σ 5 = ) σ 0 σ σ σ σ σ 5 σ 0 σ 0 σ σ σ σ σ 5 σ σ σ 0 σ σ 5 σ σ σ σ σ 5 σ 0 σ σ σ σ σ σ σ 5 σ 0 σ σ σ σ σ σ σ σ 5 σ 0 σ 5 σ 5 σ σ σ σ 0 σ 7. a) okruh ano těleso ne b) ani okruh ani těleso c) okruh ano těleso ne d) N ani okruh ani těleso Z okruh ano těleso ne Q R C jsou okruhem i tělesem. 8. Např. podokruh sudých čísel v Z. 9. a) ne b) ne c) ano báze např. B = { x... x n } dimv = n + d) ne e) { ne f) ano ) báze např. )} B = { )} dimv = g) ano báze např. B = dimv =. 0. a) α = α = 0 α = b) α = α = α = c) { α = ) α = ) α = α )} =.. a) ano báze např B = dimp= doplňující vektor např ) b) ano báze např. B = { )} dimp = doplňující vektor např. 0) c) ne d) ne e) ano báze např. B = { x x } dimp = 0 0 doplňující vektory např. {x x } f) ano báze např. B = {x + )x ) x + )x )x x + )x )x } dimp = doplňující vektory např. { x}.. a) dimv = bází jsou jakékoli tři lineárně nezávislé vektory doplněk V = { o} dimv = báze např. B = {0 ) 0)} doplněk např. V = [ 0 0) ] V + V = R = V V V = V b) dimv = bází mohou být např. kterékoli dva z vektorů v zadání doplněk např. V = [ 0 0 0) 0 0 0) ] dimv = bází mohou být např. kterékoli dva z vektorů v zadání doplněk např. V = [ 0 0 0) 0 0 0) ] V +V = R V V = o c) dimv = bází mohou být např. kterékoli dva z vektorů v zadání doplněk např. V = [ x x x 5 x ] dimv = zadané vektory jsou bází V doplněk např. V = [ x x x 5 x 5 ] dimv + V ) = V + V = [ x + x + x ] dimv V ) = V V = [ x + x + ] d) { dimv = ) báze a doplněk )} viz dopl předchozí příklad dimv = báze např. B = [ ) něk např. V = báze např. { 0 0 ) ] V + V = Mat dimv V ) = )}.. dimr + = báze např. B = {} izomorfismus

7 např. R + u ln u R.... a) ne b) ano c) ano d) ne e) ano.. b) Im = [ 0 ) 0) ] c) 0 e) Ker = [ ) ] ) Ker = { o} Im = [ ) 0) ] Ker = [ 0) 0 ) ] Im = R.. a) např. fx y z) = x y + z x y + z x y + z) b) např. fx y z) = x + ) y x + y 0) 9 5 d) např. fx y) = x y x y). 5. A = 7 Ker = { o} 0 ) 0 0 Im = [ 0) 0 5) ] A =.. a) ano b) ne b) Ker = {c c R} Im = P n x) d = h = n c) ne matice A = a i j ) a i j = j pro j =... n + i = j jinak ai j = 0 A = b i j ) bi j = pro j =... n + i = j jinak b i j = 0 matice má pod hlavní diagonálou jedničky jinak samé nuly).... a) nemá reálné vlastní hodnoty b) λ = 0 k = L = [ ) ] λ = k = L = [ ) ] c) λ = 0 k = L = [ ) ] d) λ = k = L = [ 0) 0 ) ] e) λ = k = L = [ 0 0) 0 0) 0 0 ) ] λ = k = L = [ ) ].. ab) např. otočení o úhel ϕ kπ v R nebo zobrazení z cvičení a. c) např. zobrazení z cvičení b c d d) např. zobrazení z cvičení 5 ef) skalární násobek identického zobrazení. 5. λ = 0 k = n + L = [ ].

8 Literatura použitá při cvičení: Nicholson Keith: Elementary Linear Algebra with Applications Wadsworth Publishers of Canada Toronto. Musilová Jana; Krupka Demeter: Lineární a multilineární algebra UJEP Brno 998 Budíková Marie; Mikoláš Štěpán; Osecký Pavel: Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika sbírka příkladů MU Brno 99. Gillman Leonard; McDowell Robert: Matematická analýza SNTL Praha 980. Herman Jiří; Kučera Radan; Šimša Jaromír: Seminář ze středoškolské matematiky MU Brno 99. Poděkování: Michal Lenc přečtení) Jiří Bartoš obrázky) Jakub Zlámal Josef Klusoň Tomáš Nečas Martin Mráz Lenka Czudková Tomáš Tyc Ondřej Přibyla Marie Budíková...

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Matematika 1 sbírka příkladů

Matematika 1 sbírka příkladů Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.

Z teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi. Lineární funkcionál Z teorie je nutné znát pojm: lineární funkcionál jádro hodnost a defekt lineárního funkcionálu Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definován funkcionál ϕ : C C pro každé

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

Operace s maticemi

Operace s maticemi Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179

Více

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x

1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x 1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1)

Výsledky úloh. 1. Úpravy výrazů + x 0, 2x 1 2 2, x Funkce. = f) a 2.8. ( ) ( ) 1.6. , klesající pro a ( 0, ) ), rostoucí pro s (, 1) Výsledky úloh. Úpravy výrazů.. +, + R.., a 0, a b.., a ± b, a b a b a +.. + a +, 0, a.., a 0; ± ; n + a.. a + b 9, > 0.7., a ± b a b m n.8., m 0, n 0, m n.9. a, a > 0 m + n.0., ;0; ;;.., k.. tg, k sin.

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka

Požadavky ke zkoušce. Ukázková písemka Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty

ALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava tel (553 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 1: Matice a determinanty 1 Přehled základních pojmů a tvrzení Základní pojmy Číselná

Více

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0

α 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Operace s maticemi. 19. února 2018

Operace s maticemi. 19. února 2018 Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice

Více

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

x 1 + 3x 2 x 3 = 4 2x 1 + x 2 = 4 x 1 x 2 + 2x 3 = 5 (d) 4x 1 + x 2 x 3 = β 1 x 2 + x 3 = β 2 2x 1 + 3x 2 2x 3 = β 3

x 1 + 3x 2 x 3 = 4 2x 1 + x 2 = 4 x 1 x 2 + 2x 3 = 5 (d) 4x 1 + x 2 x 3 = β 1 x 2 + x 3 = β 2 2x 1 + 3x 2 2x 3 = β 3 Zde jsou uvedeny příklady ze cvičení ke knize Matematika prakticky i korektně. Tyto příklady jsou také náhradními příklady za neúčast pro studenty kombinované formy. Není však nutné aby studenti spočítali

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)

A0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení) A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..

Více

7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory 7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost

Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n

Více

Linearní algebra příklady

Linearní algebra příklady Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY

VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 Matematka I A ukázkový test 1 pro 2018/2019 1. Je dána soustava rovnc s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napšte Frobenovu větu (předpoklady + tvrzení). b) Vyšetřete

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na bájný zikkurat tvaru komolého kolmého jehlanu s větší podstavou u země vede

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést

maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ] 1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague

Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná

Více

Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management

Matematika. Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ. Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika Obálka ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE MASARYKŮV ÚSTAV VYŠŠÍCH STUDIÍ Bakalářský program: Ekonomika a management Matematika doc. RNDr. Stanislav Kračmar, CSc. www.muvs.cvut.cz Evropský

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 017, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

CVIČNÝ TEST 38. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 38. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 38 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro a b a b zjednodušte výraz ( a b a ) ( b a b ). VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Jedním

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

VZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C)

VZOROVÝ TEST PRO 2. ROČNÍK (2. A, 4. C) VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 4. C) max. body 1 Vypočtěte danou goniometrickou rovnici a výsledek uveďte ve stupních a radiánech. cos x + sin x = 1 4 V záznamovém archu uveďte celý postup řešení. Řešte

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.

Matice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule. Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 41. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 41 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán magický čtverec, pro nějž platí,

Více

AVDAT Vektory a matice

AVDAT Vektory a matice AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18

MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro 1. ročník, skupina A 2017/18 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

Derivace goniometrických funkcí

Derivace goniometrických funkcí Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí

Více

pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A

pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy

Více

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita

Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad

Více

ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS)

ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS) ALG2: Lineární Algebra (Skripta Horák, jako doplněk i skripta Kovár v IS) Info ke zkoušce: zkouška Algebra 2 je typu kolokvium (= ústní zkouška), tj. u zkoušky není žádná písemka, jen ústní část. Máte

Více

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2016/17 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ

Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2016/17 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 6/7 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te

Více

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/

ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více