1 OHYB NOSNÍKŮ - MNDLNOVSKÉ ŘEŠENÍ 1 1 Ohyb nosníků - mindlinovské řešení Předpoklady o přemístění průřezů Zatížení působí v rovině xz, která je i rovinou symetrie Ω v(x) = 0 m Průhyb se po výšce mění málo (vzhledem k hodnotě průhybu) w(x) = w(x) Průřez zůstává i po deformaci rovinný, ne však nezbytně kolmý k deformované střednici u(x) = u(x, z) = ϕ y (x)z Navrženy nezávisle Timošenkem [6], Reissnerem [5] a Mindlinem [4].
2 GEOMETRCKÉ ROVNCE 2 2 Geometrické rovnice Kinematika přemístění průřezu nenulové složky vektoru deformace ε x (x) = u(x) x γ zx (x) = w(x) x = x (ϕ y(x)z)) = dϕ y(x) z = κ y(x)z + u(x) = dw(x) z + z (ϕ y(x)z) = dw(x) kde κ y označuje pseudokřivost ohybové čáry. + ϕ y(x), Bernoulli-Navier [7, kap..2] Mindlin Obor platnosti h/l < 1/10 h/l < 1/3 Průřez Rovinný, kolmý Rovinný γ zx 0 0 (vliv smyku) Neznámé w(x) w(x), ϕ y (x) ϕ y (x) = dw(x) nezávislé
3 FYZKÁLNÍ ROVNCE 3 3 Fyzikální rovnice Pro jednoduchost zanedbáme vliv ε 0 σ x (x, z) = E(x)ε x (x, z) = E(x)κ y (x)z ( dw(x) τ zx (x) = G(x)γ zx (x) = G(x) ) + ϕ y(x) Nenulové vnitřní síly M y (x) = σ x (x, z)z dy dz = E(x)κ y (x) A(x) A(x) z 2 dy dz = E(x) y (x)κ y (x) = E(x) y (x) dϕ y(x) ( ) dw(x) Q c z(x) = τ zx (x) dy dz = G(x) A(x) + ϕ y(x) A(x) ( ) dw(x) = G(x)A(x) + ϕ y(x) (1) dy dz
3 FYZKÁLNÍ ROVNCE 4 Rozložení smykových napětí τ zx po obdélníkovém průřezu Bernoulli-Navier Mindlin Konstitutivní rce: τ = Gγ 0 konstantní Podmínky rovnováhy kvadratické? [7, kap..2.5] Modifikujeme vztah pro posouvající sílu tak, aby podmínka rovnováhy byla splněna alespoň ve smyslu průměrné energie smykových členů ( ) dw(x) Q z (x) = k(x)q c z(x) = k(x)g(x)a(x) + ϕ y(x) (2) Součinitel k(x) závisí na tvaru průřezu, pro obdélník uvažujeme k = 5/6. Domací úkol 1. k = 2 y/(a A S 2 y (z) b 2 (z) da) Odvoďte obecný vztah pro korekční součinitel
4 PODMÍNKY ROVNOVÁHY 5 4 Podmínky rovnováhy (a) (b) Podmínka rovnováhy svislých sil (a) dq z (x) Momentová podmínka rovnováhy (b) dm y (x) + f z (x) = 0 (3) Q z (x) = 0 (4) Podrobné odvození viz domácí úkol č. 1, přednáška 1
5 ŘÍDCÍ ROVNCE 6 5 Řídicí rovnice d d ( E(x) y (x) dϕ y(x) ( ( dw(x) k(x)g(x)a(x) ) k(x)g(x)a(x) )) + ϕ y(x) + f z (x) = 0 (5) ( ) dw(x) + ϕ y(x) = 0 (6) 5.1 Kinematické okrajové podmínky: x u Kloub w = 0 Vetknutí w = 0, ϕ y = 0 5.2 Statické okrajové podmínky x p Q z (x) = Q z (x) M y (x) = M y (x)
6 SLABÉ ŘEŠENÍ 7 6 Slabé řešení Pro zkrácení zápisu budeme používat rovnice (3) (4) namísto (5) (6) Rovnici (3) zvážíme δw(x), rovnici (4) δϕ y (x) a zintegrujeme přes. Dostáváme ( ) dqz (x) 0 = δw(x) + f z (x) ( ) dmy (x) 0 = δϕ y (x) Q z (x) pro všechna δw(x) a δϕ y (x) splňující kinematické okrajové podmínky. ntegrace per partes 0 = [δw(x)q z (x)] b a 0 = [δϕ y (x)m y (x)] b a d(δw(x)) Q z (x) + d(δϕ y (x)) M y (x) δw(x)f z (x) δϕ y (x)q z (x)
6 SLABÉ ŘEŠENÍ 8 Vyjádření hraničních členů z okrajových podmínek 0 = [ δw(x)q z (x) ] d(δw(x)) p Q z (x) + δw(x)f z (x) 0 = [ δϕ y (x)m y (x) ] d(δϕ y (x)) p M y (x) δϕ y (x)q z (x) Slabé formulace podmínek rovnováhy (dosazení za V z z (2) a za ohybový moment M y z (1)) ( d(δw(x)) dw(x) k(x)g(x)a(x) [ δw(x)qz (x) ] p + ) + ϕ y(x) = δw(x)f z (x) (7)
6 SLABÉ ŘEŠENÍ 9 d(δϕ y (x)) E(x) y (x) dϕ y(x) + (8) ( ) dw(x) δϕ y (x)k(x)g(x)a(x) + ϕ y(x) = [ δϕ y (x)m y (x) ] p
7 DSKRETZACE MKP 10 7 Diskretizace MKP Konstrukci nahradíme n uzlovými body a (n 1) prvky V každém uzlu zavádíme průhyb w i a pootočení ϕ yi Neznámé jsou vektory uzlových průhybů r w a pootočení r ϕ Diskretizace deformačních neznámých w(x) N w (x)r w ϕ y (x) N ϕ (x)r ϕ Diskretizace váhových funkcí δw(x) N w (x)δr w δϕ y (x) N ϕ (x)δr ϕ dw(x) B w (x)r w dϕ y (x) B ϕ (x)r ϕ d(δw(x)) B w (x)δr w d(δϕ y (x)) B ϕ (x)δr ϕ
7 DSKRETZACE MKP 11 Soustava podmínek rovnováhy K ww r w + K wϕ r ϕ = R w K ϕw r w + K ϕϕ r ϕ = R ϕ Kompaktní zápis K ww K ϕw K wϕ K ϕϕ r w r ϕ = R w R ϕ K (2n 2n) r (2n 1) = R (2n 1) K ϕw = K wϕ T matice K je opět symetrická díky členům (δw(x)) kga(x)ϕ y (x) v (7) a δϕ y (x)kga(x)w (x) v (8)
7 DSKRETZACE MKP 12 Domací úkol 2. Odvoďte vztahy pro matice K ww, K wϕ, K ϕw, K ϕϕ a vektory R w, R ϕ.
8 SMYKOVÉ ZAMKNUTÍ 13 8 Smykové zamknutí Pro h/l 0 by se výsledky mindlinovského prvku měly blížit klasickému bernoulli-navierovskému řešení (zanedbatelný vliv smyku). Pokud ale volíme funkce N w a N ϕ lineární, výsledek je pro štíhlé nosníky příliš tuhý přílišný vliv smyku, tzv. smykové zamknutí (shear locking). 8.1 Statické zdůvodnění ( dw(x) Posouvající síla: Q z (x) = k(x)g(x)a(x) Ohybový moment: M y (x) = E(x) y (x) dϕ y(x) Hrubý rozpor se Schwedlerovou větou dm y (x) Q z (x) = 0 ) + ϕ y(x) konstantní lineární
8 SMYKOVÉ ZAMKNUTÍ 14 8.2 Kinematické zdůvodnění Aby přibližné řešení poskytovalo správnou odpověď, musí být správně schopno popsat případ čistého ohybu (viz např. [3, Kapitola 3.1]): κ y (x) = dϕ y(x) Pro zvolenou diskretizaci ( w(x) w 1 1 x ) L ( ϕ y (x) ϕ 1 1 x ) L = κ = konst γ zx (x) = dw(x) + ϕ y(x) = 0 + w 2 x L + ϕ 2 x L dw(x) 1 L (w 2 w 1 ) dϕ y (x) 1 L (ϕ 2 ϕ 1 )
9 SELEKTVNÍ NTEGRACE 15 Požadavek nulového smykového zkosení γ zx (x) 1 L (w 2 w 1 ) + ϕ 1 + x L (ϕ 2 ϕ 1 ) = 0 Předchozí výraz nesmí záviset na souřadnici x ϕ 2 ϕ 1 = 0 κ y 1 L (ϕ 2 ϕ 1 ) = 0 κ 9 Selektivní integrace Smykové zkosení je uvažováno konstantní po celém prvku, jeho hodnota odpovídá hodnotě uprostřed intervalu γ zx (x) 1 L (w 2 w 1 ) + ϕ 1 + 1 2 (ϕ 2 ϕ 1 ) = 1 L (w 2 w 1 ) + 1 2 (ϕ 1 + ϕ 2 ) Kinematika: prvek je v pořádku, umožňuje popsat čistý ohyb Statické hledisko: Q z (x) = k(x)g(x)a(x)γ xz (x) konstantní, M y zůstává konstantní Schwedlerova věta není hrubě porušena
10 BUBLNOVÁ (HERARCHCKÁ) FUNKCE 16 10 Bublinová (hierarchická) funkce Z kinematické analýzy vyplývá, že zamknutí je způsobeno nedostatečným stupněm aproximace průhybu w(x) Přidáme kvadratický člen k aproximaci w(x): ( w(x) w 1 1 x ) x + w 2 + αx(x L) L L Požadavek čistého ohybu γ zx (x) = dw(x) + ϕ y(x) 1 L (w 2 w 1 ) + α(2x L) + ϕ 1 + x L (ϕ 2 ϕ 1 ) = 1 L (w 2 w 1 ) αl + ϕ 1 + x L (ϕ 2 ϕ 1 + 2αL) = 0
10 BUBLNOVÁ (HERARCHCKÁ) FUNKCE 17 Nezávislost na x Výsledné aproximace w(x) w 1 ( α = 1 2L (ϕ 1 ϕ 2 ) ) 1 x L ) ϕ y (x) ϕ 1 ( 1 x L x + w 2 L + 1 2L (ϕ 1 ϕ 2 ) x(x L) x + ϕ 2 L Ze statického hlediska se prvek chová podobně jako předchozí formulace Q z je konstantní, M y je též konstantní Průhyby aproximovány jak pomocí uzlových posunů, tak i pootočení [2] tzv. spojená interpolace (linked interpolation) J. Bernoulli J.-L. Lagrange C.-L. Navier R.-D. Mindlin B. F. de Veubeke
11 METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČNTELŮ 18 11 Metoda Langrangeových součinitelů Připomeňme slabou momentovou podmínku rovnováhy (8) pro konstrukci s M y = 0, konstantním E, G a obdélníkovým průřezem: 0 = E y = E bh3 12 + 5 6 d(δϕ y (x)) d(δϕ y (x)) E 2(1 + ν) bh dϕ y (x) d(δϕ y (x)) dϕ y (x) ( dw(x) δϕ y (x) + 5 1 1 + ν h 2 dϕ y (x) + kga ) + ϕ y(x) ( dw(x) δϕ y (x) ( dw(x) δϕ y (x) / 12 Ebh 3 ) + ϕ y(x) ) + ϕ y(x) = 0 Podmínka nulového smykového zkosení pro h 0 tzv. penalizační metoda
11 METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČNTELŮ 19 Pro štíhlé nosníky a lineárně-lineární aproximaci způsobuje smykové zamknutí, jelikož {}}{ 1 h 2 libovolné {}}{ δϕ y (x) musí 0 pro všechna x {( }} ){ dw(x) + ϕ y(x) = 0 Pokud zavedeme novou nezávislou proměnnou pro zajištění podmínky γ xz = 0 pro h 0, odstraníme vliv aproximace w(x) a ϕ y (x) Ke slabým podmínkám rovnováhy (7) (8) přidáme podmínku ( δλ(x) γ zx (x) dw(x) ) ϕ y(x) = 0, (9) kde γ zx (x) je nyní nezávislá proměnná a δλ(x) je další váhová funkce. Konstitutivní rovnice pro posouvající sílu se zjednoduší na Q z (x) = k(x)g(x)a(x)γ xz (x)
11 METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČNTELŮ 20 Slabé podmínky rovnováhy mají nyní tvar 0 = d(δw(x)) k(x)g(x)a(x)γ zx (x) [ δw(x)q z (x) ] p δw(x)f z (x) 0 = + 0 = d(δϕ y (x)) E(x) y (x) dϕ y(x) δϕ y (x)k(x)g(x)a(x)γ zx (x) [ δϕ y (x)m y (x) ] p ( δλ(x) γ zx (x) dw(x) ) ϕ y(x) Abychom nakonec získali symetrickou matici tuhosti, volíme váhovu funkci δλ(x) ve tvaru δλ(x) = k(x)g(x)a(x)δγ xz (x)
11 METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČNTELŮ 21 Poslední rovnice se po těchto úpravách změní na ( 0 = δγ xz (x)k(x)g(x)a(x) γ zx (x) dw(x) Nyní stačí zvolit aproximace ) ϕ y(x) γ xz (x) N γ (x)r γ a dosadit do jednotlivých rovnic. Po standardních úpravách získáváme K ww K wϕ K wγ r w R w K ϕw K ϕϕ K ϕγ r ϕ = R ϕ K γw K γϕ K γγ r γ 0 Soustava rovnic vyplývající z této metody je větší pouze zdánlivě. Proměnné r γ jsou vnitřní a lze je eliminovat (vyjádřit v závislosti na proměnných r w a r ϕ ), viz [1, str. 234 235]
11 METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČNTELŮ 22 Tato formulace funguje i pro lineární aproximaci w(x) a ϕ y (x), pokud volíme aproximaci γ jako konstantní po prvku. Kinematika: Smykové zamknutí ošetřeno podmínkou (9) Statika: Posouvající síla je konstantní díky zvolené aproximaci, ohybový moment je opět konstantní Domací úkol 3. Odvoďte matici tuhosti ohýbaného prvku založenou na Lagrangeových součinitelích. Uvažujte lineární průběh průhybů w(x), lineární průběh pootočení ϕ y (x) a konstantní hodnotu γ xz na daném prvku. Ukažte, že po eliminaci γ xz získáte stejnou matici tuhosti jako u předchozích formulací. Prosba. V případě, že v textu objevíte nějakou chybu nebo budete mít námět na jeho vylepšení, ozvěte se prosím na zemanj@cml.fsv.cvut.cz.
11 METODA LANGRANGEOVÝCH SOUČNTELŮ 23 Opravy verze -001: str. 1, škrtnuto jedno mění, str. 2. v posledním řádku tabulky připsáno a škrtnuto ϕy (x), str. 5, 6, 13, 18, 20: jazykové úpravy, str. 15: přehozeni vědátoři podle věku, (na chyby upozornil J. Šejnoha), str. 9: připsána δ u váhy ϕy, str. 12 14 : prohození indexů u w 1 w 2 a ϕ 1 ϕ 2, (na chyby upozornila A. Kučerová), str. 5: prohození obrázků, str. 6, opraven člen Mz (opravy po přednášce) Opravy verze 000: str. 5, opraven vzorec v domácím úkolu (na chybu upozornila A. Somolová) str. 2: opraveno předmístění na přemístění, opraven člen x na z, str. 10: opravena matrice na matice (na chyby upozornil M. Wierer) Opravy verze 001: str. 2: opraven termín křivost na pseudokřivost (na chybu upozornil M. Kozel) Opravy verze 002: str. 3: nahrazeno v průměru výrazem ve smyslu průměrné energie smykových členů (vylepšení navrhl R. Valenta), str. 13: opraveno se na je (na chybu upozornil J. Skoček), str. 9: připsány členy δ u derivací váhových funkcí, str. 14: oprava obrázku (opravy po přednášce), str. 18: zpřesněn výraz pro váhovou funkci δλ Opravy verze 003: Nová formátovací makra, označeny důležité vztahy, opraveno označení pro řádkové matice z A na A. Doplněny opravy po předkladu do angličtiny, str. 2: smazáno jedno mění (na chybu upozornil M. Jandera), v celé přednášce zaměněno ztuhnutí na zamknutí (na chyby upozornil R. Pekař). Opravy verze 004: str. 14: opraven překlep v bernoulli-navierovském řešení (na chybu upozornil P. Hlaváček). Verze 005
REFERENCE 24 Reference [1] Z. Bittnar and J. Šejnoha, Numerické metody mechaniky, vol., ES ČVUT, Praha, 1992. [2] B. F. de Veubeke, Displacement and equilibrium models in the finite element method, nternational Journal for Numerical Methods in Engineering 52 (2001), 287 342, ediční řada Classic Reprints Series, původně publikováno v Stress Analysis (O. C. Zienkiewicz and G. S. Holister, editořı), John Wiley & Sons, 1965. [3] A. brahimbegović and F. Frey, Finite element analysis of linear and non-linear planar deformations of elastic initially curved beams, nternational Journal for Numerical Methods in Engineering 36 (1993), 3239 3258. [4] R. D. Mindlin, nfluence of rotatory inertia and shear in flexural motions of isotropic elastic plates, Journal of Applied Mechanics 18 (1951), 31 38.
REFERENCE 25 [5] E. Reissner, The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates, Journal of Applied Mechanics 12 (1945), 69 76. [6] S. Timoshenko, On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars, Philosophical Magazine 41 (1921), 744 746. [7] J. Šejnoha and J. Bittnarová, Pružnost a pevnost 10, Vydavatelství ČVUT, Praha, 1997.