Přednáška 10. Kroucení prutů

Transkript

1 Přednáška 1 Kroucení prutů 1) Kroucení prutu s kruhovým průřezem ) Volné kroucení prutu s průřezem a) Masivním b) Tenkostěnným otevřeným c) Tenkostěnným uzavřeným ) Ohybové (vázané) kroucení Příklady Copyright (c) 11 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, Faculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1. or any later version published by the Free Software Foundation; with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU Free Documentation License" found at 1

2 Rovnoměrné kroucení kruhové tyče Původní poloha bodu y =r cos z =r sin x x x = L x y z Nová poloha bodu po natočení průřezu cos y v=r cos x =r cos r x sin r x! sin z w=r sin x =r sin r x cos r x! Posuny bodu, pokud ϕx << 1 y v=r cos x r cos r x sin = z x w=r sin x r sin r x cos = y x z y α α+ϕx r z+w y+v z

3 Rovnoměrné kroucení kruhové tyče Pole posunů v x, y, z = z x x w x, y, z= y x x Rovnoměrné kroucení x x x = L Pole deformací x x u v xy = = z = z = z y x dx L x x w u xz = = y = y =y x z dx L v w yz = = x x x x = z y θ Poměrné (relativní) zkroucení V rovině xy nedochází ke smykovým deformacím.

4 Rovnoměrné kroucení kruhové tyče napětí max =G R Pole napětí Smykové čáry (izolinie napětí) xy x, y, z =G xy = G z y xz x, y, z =G xz =G y max =G R, = A AT [,xy [ xy cos xz sin xy sin cos xz sin xy cos xz sin xy sin cos xz sin, xy, xz, xz ][ ][ ][ R ] xy xz 1 1 = cos sin xy cos sin = sin cos xz sin cos Rotace tenzoru napětí zde funguje stejně jako rotace vektoru napětí. xs = xz ' xy '= z ] y xy = xs sin xz = xs cos z y α r s xs =G r z

5 Vztah smykových napětí a kroutícího momentu Nenulové složky napětí xy x, y, z = G z xz x, y, z =G y x y z M x = xz y xy z da A M x = G y G z da=g y z da A A Polární moment setrvačnosti průřezu xy da xz da I p = y z da= r da=i y I z A A M x =G I p Tuhost kruhového průřezu v kroucení Poměrné (relativní) zkroucení prutu 5

6 Příklad ověřte ekvivalenci smykového napětí a Kruhová tyč o poloměru R max =G R R dr M x = r obvod G R r r dr R rameno napětí R r R R M x = G r dt=g Vzorec s využitím polárního moment setrvačnosti průřezu R R R M x =G I p =G =G 6

7 Základní rovnice krouceného prutu [ ] d x x d GI p m x x = dx dx Natočení ϕx(x) dm x x mx x = dx d x x x x = dx Zkroucení θx(x) Vnější zatížení mx(x) M x x =GI p x x Moment (x) Napětí τxy, τxz 7

8 Příklad rovnoměrné kroucení kruhové tyče Určete průběh smykového napětí a průběh natočení 8 knm x Ø, m G=8 GPa L= m + 8 knm + L + 1.7e rad ϕx x x x = =6.7e- rad/m GI p d x x x x = dx 6.7e rad/m θx R I p =I y I z = =1.571e- m x x = x x dx =6.7e- x C 1 x L= = 6.7e- =1.7e- rad max =5.9 MPa y max =5.9 MPa x = z max =G x x R=5.9 MPa 8

9 Deplanace průřezu Při kroucení obecně ztrácejí průřezy rovinnost, s výjimkou rotačně symetrických průřezů, tj. kruhu a mezikruží. Deplanace = ztráta rovinnosti průřezu Pole posunutí s uvážením funkce deplanace ψ(y,z) u y, z = x y, z Původní rovina průřezu před zkroucením. Funkce deplanace pro obdélníkový průřez, x, m. 9

10 Volné kroucení obecného průřezu Pro deplanační funkci lze odvodit Laplaceovu rovnici y, z y, z = y z Řešení rovnice pro obdélníkový průřez a okrajové podmínky viz dále. Odvození Laplaceovy rovnice: vyjdeme z pole posunů, uvažujeme nejprve rovnoměrné kroucení d x x = =konst. dx u x, y, z = y, z v x, y, z = z x x w x, y, z= y x x yz = v w z y zx = w u x z u v xy = y x xy x, y, z = z y xz x, y, z = y z yz x, y, z = x x x x= 1

11 Volné kroucení obecného průřezu Pole napětí xy =G xy xz =G xz xz x, y, z =G xy x, y, z =G z y y z Cauchyho rovnice rovnováhy x yx zx X = x y z y, z y, z G = y z y, z y, z = y z 11

12 Okrajová podmínka Laplaceovy rovnice Smykové napětí na okraji průřezu působí ve směru tečny y ==n y xy n z xz xy =G z, xz =G y y z ny nz =n y z n z y y z =n y z n z y n xy ny xz z nz = Na hranici je předepsána normálová derivace deplanační funkce (Neumannova podmínka) Řešení Laplaceovy rovnice pro obdélník b=., h=. m. 1

13 Volné kroucení obecného prutu Při známé deplanační funkci lze vyjádřit složky napětí xy =G z, xz =G y y z Kroutící moment M x = xz y xy z da=g A A y z y z da z y Ik Moment tuhosti průřezu ve volném kroucení M x =G I k Tuhost průřezu ve volném kroucení Poměrné (relativní) zkroucení prutu 1

14 Volné kroucení masivního průřezu Přibližné řešení pro masivní průřez obecného tvaru A Ik I p τmax je nutné určit přímo z deplanační funkce Přesné řešení pro obdélník z Laplaceovy rovnice xy h>b xz = max xz = max max b<h 9 b h b h 19b Ik= 1 5 h n=,1,... n 1 h 1 tanh 5 b n 1 1

15 Volné kroucení úzkého obdélníka Ponecháme první člen sumy a za předpokladu b<<h b h 19b h b h b Ik 1 5 tanh = 1.6 b h h Smykové napětí je ve směru b rozloženo přibližně lineárně max = b Ik xy h Pozn. Napětí τxy a τxz je určeno z deplanační funkce. Výsledný moment od smykového napětí τxz dává přesně polovinu momentu. Druhou polovinu momentu tvoří malé napětí τxy, které ovšem působí na velkém rameni. max xz = max b 15

16 Volné kroucení otevřeného tenkostěnného průřezu Otevřený tenkostěnný průřez Střednice průřezu mm h=1 mm h5= mm 175 mm 5 δ=δ=5 5 δ1=5 h1=175 h=1 δ5=5 h=175 δ=5 5 mm Moment tuhosti v kroucení je součtem momentů tuhosti z jednotlivých větví 1 Ik h n max = max Ik Největší smykové napětí vzniká v nejtlustší větvi! 16

17 Příklad tenkostěnný otevřený průřez Pro tenkostěnný průřez z předešlé stránky určete rozložení napětí a vzájemné natočení koncových průřezů. Prut je délky m. M x =1.95 knm, G=8.77 GPa 1.5 I k = h= =.e-5 m n 1.95e- max = max=.5=19. MPa Ik.e-5 Rozložení napětí po tloušťce střednic 1.95 = = =.81e- m 1 GI k 8.77e+6.e-5 τmax=19. MPa τmax=19. MPa m = dx =.81e-=1.e- rad =.8 o 17

18 Příklad tenkostěnný otevřený průřez Simulace kroucení pomocí metody konečných prvků (kvadratické prostorové prvky brick). Díky vetknutí prutu je bráněno volné deplanaci. Vzájemné natočení krajních průřezu vychází o % menší, tj..655o. Konzola délky m. Deformace zvětšeny 5x. Deplanace průřezu ve m od vetknutí. Deformace zvětšeny 5x. Posuny u udány v metrech. Smyková napětí. 18

19 Volné kroucení uzavřeného tenkostěnného průřezu Smykový tok je konstantní podél střednice průřezu, smykové napětí je rozloženo rovnoměrně po tloušťce Uzavřený tenkostěnný průřez Střednice průřezu : s dx 1 s1 dx= t xs= 1 s1 = s 1 s 1 dx δ (s) dx s s x Smykový tok t xs t xs t xs s dx x = Smykové napětí t xs xs xs xs t xs xs = s Největší napětí vzniká v nejtenčí části! 19

20 Volné kroucení uzavřeného tenkostěnného průřezu Příspěvek segmentu střednice číslo n ke kroutícímu momentu s n T hn F n F n = xs n hn =t xs h n F n n =t xs hn n =t xs n Ωn Dvojnásobná plocha opsaná průvodičem Celkový kroutící moment M x = F n n=t xs n n n =h n n n M x =t xs =t xs s ds 1. Bredtův vzorec

21 Volné kroucení uzavřeného tenkostěnného průřezu = plocha = plocha Z deplanační funkce uzavřeného průřezu lze odvodit. Bredtův vzorec = GI k Ik= ds s. Bredtův vzorec Moment tuhosti ve volném kroucení GIk Torzní tuhost průřezu. U uzavřených průřezů řádově převyšuje torzní tuhost průřezů otevřených (při podobných tvarech průřezů). 1

22 Odvození. Bredtova vzorce x s, vs u v s xs t xs xs = = = = s x G G G Střednice x vs v s x, = x vs u = = s G x G s Integrace po obvodě průřezu musí vést ke stejnému posunu u, tj. C1=. s M x s ds u= ds ds C 1= C 1 G G M x ds M x ds =, =, I k= G G Ik ds s

23 Příklad porovnání průřezů stejných ploch v kroucení.9 m.8 m. m Porovnejte Ik, θ, ϕ, τmax. Délka prutu m, = knm, G=15 GPa..5 m Úzký obdélník A=. m A=. m b h b Ik= 1.6 h I k =e-6 m. m Masivní průřez.1 m.9 m Uzavřený tenkostěnný průřez A=. m A Ik I p =.5 =.15 m 1 I p =. =66.7e-6 m 1 ds.5 = s. =5 = =6.5e- rad/m GI k = =8.e- rad/m GI k Ik= =65e-6 m ds s = =.e- rad/m GI k x = L=1.5e- rad max b=.69 MPa Ik x = L=1.67e- rad 9M max x =1.69 MPa b h x = L=.6e- rad t max = xs = =.6 MPa min min I k =e-6 m

24 Příklad porovnejte Ik, τmax následujících průřezů max max max R R R =.1 R =.1 R Kruhová trubka Kruhová tyč Rozříznutá trubka I k =I p = R I k =I p = R.9 R R I k =I p. R 1 1 I k = R =.1 R R I k =.1 max = M R= x Ip R max = M R=5.8 x Ip R max = =.1 R Ik Ik max =15 R

25 Ohybové (vázané) kroucení K ohybovému kroucení dochází, pokud průřezy nemohou volně deplanovat. Vznikají sekundární napětí σx, τxy, τxz. Tyto sekundární napětí jsou významé pro tenkostěnné průřezy, zejména otevřené. Možné příčiny omezení deplanace x Vetknutí Změna průřezu Osamělý kroutící moment Ohybové kroucení nastává v inženýrské praxi velmi často, volné kroucení naopak zřídka. 5

26 Otázky 1. Kterých šest složek napětí a deformace je nulových při volném kroucení?. Co označuje deplanační funkce? Jakým způsoben se vypočte na obecném průřezu?. Které průřezy nikdy nedeplanují, u kterých je deplanace naopak význačná?. Jaký je vztah mezi deplanační funkcí a momentem tuhosti ve volném kroucení? 5. Napište moment tuhosti ve volném kroucení pro masivní průřez, tenký obdélník, otevřený tenkostěnný průřez a tenkostěnný uzavřený průřez. 6. Učiňte totéž pro maximální smykové napětí. 7. Ve kterých částech tenkostěnných otevřených a uzavřených průřezů vzniká největší smykové napětí? 8. Které typy průřezů mají nejmenší moment tuhosti ve volném kroucení? 9. Co je ohybové (vázané) kroucení a za jakých podmínek vzniká? 1. Jak není prut namáhán, pokud vnější zatížení prochází středem smyku? Created /11 in OpenOffice., Ubuntu 1. by Vít Šmilauer 6