Parabola a jej analytické vyjadrenie

Podobné dokumenty
Funkcia - priradenie (predpis), ktoré každému prvku z množiny D priraďuje práve jeden prvok množiny H.

Súmernosti. Mgr. Zuzana Blašková, "Súmernosti" 7.ročník ZŠ. 7.ročník ZŠ. Zistili sme. Zistite, či je ľudská tvár súmerná

Kvadratické funkcie, rovnice, 1

Na aute vyfarbi celé predné koleso na zeleno a pneumatiku zadného kolesa vyfarbi na červeno.

Iracionálne rovnice = 14 = ±

VoKu21-T List 1. Kružnica. RNDr. Viera Vodičková

Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia

Limita funkcie. Čo rozumieme pod blížiť sa? y x. 2 lim 3

Všeobecná rovnica priamky v rovine

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

To bolo ľahké. Dokážete nakresliť kúsok od prvého stromčeka rovnaký? Asi áno, veď môžete použiť tie isté príkazy.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

1. Otec, mama a dcéra majú spolu 69 rokov. Koľko rokov budú mať spolu o 7 rokov? a) 76 b) 90 c) 83 d) 69

VECIT 2006 Tento materiál vznikol v rámci projektu, ktorý je spolufinancovaný Európskou úniou. 1/4

Prevody z pointfree tvaru na pointwise tvar

KrAv02-T List 1. Polynómy. RNDr. Jana Krajčiová, PhD.

i j, existuje práve jeden algebraický polynóm n-tého stupˇna Priamym dosadením do (2) dostávame:

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

M úlohy (vyriešené) pre rok 2017

Ak stlačíme OK, prebehne výpočet a v bunke B1 je výsledok.

VaFu16-T List 1. Kvadratická funkcia. RNDr. Beáta Varinčíková

Skákalka. Otvoríme si program Zoner Callisto, cesta je Programy Aplikácie Grafika Zoner Callisto.

Rozklad mnohočlenov na súčin

Starogrécky filozof Demokritos ( pred n.l) Látky sú zložené z veľmi malých, ďalej nerozdeliteľných častíc - atómov

Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině

Zvyškové triedy podľa modulu

Kolmost rovin a přímek

Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu. Obrázok Časový plán projektu, určite kritickú cestu

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

Gymnázium, Brno, Elgartova 3

Vzdělávací karetní. Vzdělávací pomůcka. Určeno dětem od 3 do 5 let. volí libovolné otázky případně pořadí dětí, které budou na tahu.

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)

3 Determinanty. 3.1 Determinaty druhého stupňa a sústavy lineárnych rovníc

Začínam so zadaním z NEPOUŽÍVAME ROZSAH POKIAĽ HO MUSÍME PRESKOČIŤ

7.CVIČENIE. Základy HTML

Kreslenie vo Worde Chceme napríklad nakresliť čiaru priamku. V paneli ponúk klikneme na Vložiť a v paneli nástrojov klikneme na Tvary.

Funkcionální řady. January 13, 2016

Riešené úlohy Testovania 9/ 2011

Imagine. Popis prostredia:

TC Obsahový štandard - téma Výkonový štandard - výstup

3D origami - tučniak. Postup na prípravu jednotlivých kúskov: A) nastrihanie, alebo natrhanie malých papierikov (tie budeme neskôr skladať)

ČÍSELNÉ RADY. a n (1) n=1

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

8. Relácia usporiadania

Test z matematiky na prijímacie skúšky do 1. ročníka osemročného štúdia

Zápis predmetov do AiSu na aktuálny akademický rok

1. Word 4. ročník Formát odseku Tabulátory. Word tabulátory Odseky naformátujte podľa vzoru Predvolené zarážky tabulátora

MANUÁL K TVORBE CVIČENÍ NA ÚLOHY S POROZUMENÍM

F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)

Kombinatorická pravdepodobnosť (opakovanie)

Analytická geometrie lineárních útvarů

Naformátuj to. Naformátuj to. pre samoukov

Parametrická rovnice přímky v rovině

Studentove t-testy. Metódy riešenia matematických úloh

D- 1.strana D- 2.strana D- 3.strana D. - SPOLU TEST I. ČASŤ TEST

PODPROGRAMY. Vyčlenenie podprogramu a jeho pomenovanie robíme v deklarácii programu a aktiváciu vykonáme volaním podprogramu.

PRIEMYSELNÁ INFORMATIKA DISKRÉTNE LINEÁRNE RIADENIE

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice

Průřezové charakteristiky základních profilů.

Riešenie cvičení z 3. kapitoly

RIEŠENIE NIEKTORÝCH ÚLOH LINEÁRNEJ ALGEBRY V PROSTREDÍ MS EXCEL. 1. Zadáme prvky matice A a B do buniek pracovného hárku zošita MS Excel

Diplomový projekt. Detská univerzita Žilinská univerzita v Žiline Matilda Drozdová

1. LABORATÓRNE CVIČENIE

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

17 Kuželosečky a přímky

Informačný list 1. Čo je energia? Všetci potrebujeme energiu! Energia doma

ZOBRAZOVANIE NA VÝKRESOCH - ZÁKLADY PREMIETANIA

1.5 Spoločné a rozdielne vlastnosti kvapalín a plynov PL KEGA 130UK/2013

Ako funguje stav účtu - prehľad o platbách na zdravotné odvody

Súťaž Vráťme knihy do škôl je tu už po 5-krát!

Nikdy nie je na škodu vedieť urobiť si najprv s mínuskami aspoň trochu poriadok. Ak viete vypočítať nasledujúce príklady, nebude to pre vás ťažké.

1. súkromné gymnázium v Bratislave, Bajkalská 20, Bratislava A. 2 B. 6 C. 9 D. 14 A. 21 B. 36 C. 24 D. 33

Je to voľne dostupný programový balík (free software), ktorý sa používa na meraniach.

Katolícka univerzita v Ružomberku Pedagogická fakulta Katedra matematiky. Diferenciálny počet očami G. W. Leibnitza

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

MOCNINY A ODMOCNINY Eva Zummerová

Strojový kód, assembler, emulátor počítača

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

AR, MA a ARMA procesy

Fotogrammetrie. Rekonstrukce svislého snímku

Ďalší spôsob, akým je možné vygenerovať maticu je použitie zabudovaných funkcií na generovanie elementárnych matíc.

NEVLASTNÁ VODIVOSŤ POLOVODIČOVÉHO MATERIÁLU TYPU P

Úroveň strojového kódu procesor Intel Pentium. Adresovanie pamäte

Pracovné prostredie MS EXCEL 2003.

Želáme Vám veľa úspechov a naďalej veľkú zábavu s matematikou.

Automatický timer pre DX7 návod na inštaláciu a manuál

Aritmetické operácie v rôznych číselných sústavách. Ľudmila MACEKOVÁ, KEMT-FEI-TUKE, sep. 2017

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Grafické riešenie sústav lineárnych rovníc a nerovníc

Textový editor WORD. Práca s obrázkami a automatickými tvarmi vo Worde

Microsoft Outlook. Stručný prehľad základných funkcií. Ing.Anna Grejtáková, SPP DFBERG

Odkazy na pravidlá sú podľa aktuálnych pravidiel na stránke Slovenská verzia pravidiel sa pripravuje

Súťaž Vráťme knihy do škôl je tu už po 7-krát!

KOMISNÝ PREDAJ. Obr. 1

Postup registrácie certifikátov do Windows

MATEMATICKA OLYMPIADA

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Transkript:

VoKu25-T List 1 U: Parabolu poznáš, nie? Parabola a jej analtické vjarenie RNDr. Viera Voičková Ž: Ale áno. Pri kvaratických funkciách sme sa ich nakreslili viac než osť. U: Máš pravu. Grafom kvaratickej funkcie je krivka, ktorá sa volá parabola. Na obrázku máš graf kvaratickej funkcie f : = 2. = 2 O Prejeme rovno k jej efinícii. V rovine nech je aná priamka a bo, ktorý na nej neleží. Parabolou nazývame množinu všetkých boov tejto rovin, ktoré majú rovnakú vzialenosť o priamk ako aj o bou. Parabolu označujeme veľkým písmenom P. P = {X E 2 ; X = X } Ž: Hm... Mslel som si, že parabolu obre poznám, tea jej tvar. Táto efinícia ma prekvapila... U: Veel b si na záklae tejto efinície nájsť aspoň jeen bo parabol? Ž: Máme priamku a bo. Rovnaká vzialenosť o priamk aj o bou... Zostrojím kolmicu na priamku z bou a v polovici mám jeen bo parabol. U: Výborne. Máš to aj na obrázku. Tento bo označíme V. Nazveme ho vrchol parabol. V Našiel b si aj iné vhovujúce bo? Ž: Asi áno. Zvolím si ľubovoľnú vzialenosť. Zostrojím kružnicu so streom a s polomerom rovnajúcim sa tejto vzialenosti. Potom zostrojím rovnako vzialenú rovnobežku s priamkou. Tam, ke sa pretnú vznikne ďalší bo parabol, vlastne mi vzniknú rovno va bo. Je to aj na obrázku. k A V B p

VoKu25-T List 2 U: Súhlasím. Až na to, že vzialenosť, ktorú si zvolíme, musí bť väčšia ako je polovica vzialenosti bou o priamk. Ž: Máte pravu. Inak b som neostal žiaen priesečník. U: Takto b sme mohli pokračovať ďalšími bomi, až b sme ostali parabolu. o A B V Bo nazývame ohnisko parabol. Priamka sa nazýva riaiaca alebo irekčná priamka. Parabola má jenu os. Je to priamka kolmá na irekčnú priamku precházajúca ohniskom. Priesečník osi a parabol je bo V a nazýva sa vrchol parabol. Ž: Zatiaľ mi je všetko jasné. Vrchol parabol bol ôležitý aj pri kreslení grafov kvaratických funkcií. U: Povieme si aké analtické vjarenie má parabola. Ž: Bue mať rovnicu, tak ako kružnica, elipsa alebo priamka? U: Áno. Rovnica parabol závisí o jej poloh v sústave súraníc. M sa bueme zaoberať len takými parabolami, ktorých os je rovnobežná s osou alebo osou sústav súraníc. Ž: Čiže napr. ako tu na obrázku? O = V U: Áno. To je jenouchý príkla. Os parabol leží na súranicovej osi. Vrchol parabol je bo S[0; 0]. A irekčná priamka je zase rovnobežná s osou. Ovoíme rovnicu tejto parabol. Začneme efiníciou. Ž: Parabola je množina všetkých boov rovin, ktoré majú rovnakú vzialenosť o priamk ako aj o bou. U: Výborne. Zoberieme si ľubovoľný bo parabol X[; ]. Poľa efinície preň platí: Vjaríme si tieto vzialenosti. X = X. Ž: Potrebujem súranice ohniska a rovnicu riaiacej priamk. Z obrázka viem len súranice vrcholu, t. j. V [0; 0].

VoKu25-T List 3 U: Označme vzialenosť ohniska a riaiacej priamk p. = p Číslo p sa nazýva parameter parabol a určuje jej tvar. Nakoľko bo neleží na priamke, platí p > 0. Vzialenosť vrcholu o ohniska je rovnaká ako o irekčnej priamk, preto V = 1 2 p. Ohnisko zároveň leží na osi, preto má súranice... Ž: -ová súranica je nulová a -ová je 1 2 p, [0; 1 2 p]. U: Súhlasím. Direkčná priamka je rovnobežná s osou a precháza boom [0; 1 p] ležiacim 2 na -ovej osi, preto jej rovnica je: : = 1p. 2 1 p 2 X 1 p 2 O = V X[; ] X U: Vjaríme si vzialenosti X a X. Ž: Vzialenosť bou X o priamk vino rovno z obrázku. Tvorí ju veľkosť -ovej súranice bou X a vzialenosť irekčnej priamk o osi. Tea: X = + 1 2 p. U: Výborne. Vzialenosť boov X a vjaríme zase poľa vzorca pre vzialenosť voch boov. Nakoľko X[; ] a [0; 1 p], platí: 2 ( ) 2 1 X = 2 + 2 p. Tieto vjarenia osaíme o rovnice: Ž: Dosazujem: X = X. + 1 2 p = 2 + ( ) 2 1 2 p. U: Túto rovnicu bueme upravovať, ab sme získali nejaký jej krajší tvar. Začneme tým, že obe stran rovnice umocníme na ruhú. Pri umocnení nezabunme na to, že ľavú stranu umocňujeme ako vojčlen poľa vzorca (a + b) 2.

VoKu25-T List 4 Ž: Umocňujem: 2 + p + 1 4 p2 = 2 + 1 4 p2 p + 2. 2 aj 1 4 p2 sa mi očíta! Dostávam: U: Alebo po úprave: A to je rovnica našej parabol. Ž: Uf! To je nejaká jenouchá rovnica! U: Ak ju upravím na tvar: tak b ti to malo bť známe. Ž: To je prepis kvaratickej funkcie. p = 2 p. 2 = 2p. = 1 2p 2, U: Už na začiatku sme poveali, že parabola je grafom kvaratickej funkcie. Druhá vec, ktorú si treba všimnúť je to, že len jena premenná,, vstupuje v ruhej mocnine. Ž: Naozaj! Pri úpravách nám člen 2 vpaol. U: Poveali sme, že sa bueme zaoberať len takými parabolami, ktorých os je rovnobežná s niektorou osou sústav súraníc. Druhá možnosť umiestnenia parabol v sústave súraníc je na ďalšom obrázku. O = V Ž: Parabola sa otočila. Direkčná priamka je hore. U: Je rovnica je potom: 2 = 2p. Ž: Pribulo len znamienko mínus na pravej strane. U: Áno. Znamienko pri člene 2p vjaruje ako je parabola otočená. Ďalšie ve možnosti umiestnenia parabol v sústave súraníc sú na ďalších obrázkoch.

VoKu25-T List 5 O = V V = O Os parabol teraz leží na osi a irekčná priamka je rovnobežná s osou. Prvá parabola otočená vpravo má rovnicu: 2 = 2p. Druhá parabola otočená vľavo má rovnicu: 2 = 2p. Ž: Zase sa líšia len znamienkami. Doprava je plus a oľava mínus. V uhej mocnine je neznáma. U: Uveieme si ešte rovnice parabol, ktorých vrchol nie je v začiatku sústav súraníc. Parabolu posunieme tak, že jej os bue rovnobežná s osou a irekčná priamka s osou. Nech vrchol parabol je bo V [m; n]. Rovnica takejto parabol je potom: ( m) 2 = 2p( n). o n O V [m; n] m Ž: Jasné. Výraz ( m) a ( n) vjarujú posunutie vrchola parabol.

VoKu25-T List 6 U: Zhrnieme to aj pre ostatné prípa. Kažá parabola, ktorá má os rovnobežnú s osou, vrchol V [m; n] a parameter p, je vjarená jenou z rovníc: ( m) 2 = 2p( n) alebo ( m) 2 = 2p( n). Kažá parabola, ktorá má os rovnobežnú s osou, vrchol V [m; n] a parameter p, je vjarená jenou z rovníc: ( n) 2 = 2p( m) alebo ( n) 2 = 2p( m). Uveené rovnice nazývame vrcholovými rovnicami parabol. Ž: Asi preto, že tam vstupujú súranice vrchola parabol. U: Okrem vrcholovej rovnice parabol poznáme aj všeobecnú rovnicu parabol. Vznikne úpravou vrcholovej rovnice roznásobením zátvoriek a umiestnením všetkých členov na jenu stranu rovnice. Všeobecná rovnica parabol má tvar: pričom A, B, C R. 2 + A + B + C = 0 alebo 2 + A + B + C = 0, Ž: Hm... Vž je len jena neznáma v ruhej mocnine. U: Napriek tomu parabola patrí ku kvaratickým útvarom, jej rovnica je kvaratická.

VoKu25-1 List 7 Príkla 1: V sústave súraníc v rovine zakreslite parabol ané nasleujúcim analtickým vjarením: a) 2 = 4, b) ( 2) 2 = 6( + 1). Určte súranice vrchola, ohniska a rovnicu irekčnej priamk. Ž: Parabol sú ané vrcholovými rovnicami. U: Máš pravu. Pripomeniem len, že vrcholová rovnica parabol má jeen z týchto tvarov v rámčeku, ( m) 2 = 2p( n), ( m) 2 = 2p( n), ( n) 2 = 2p( m), ( n) 2 = 2p( m), ke vrchol parabol je bo V [m; n], p je parameter parabol vzialenosť ohniska o irekčnej priamk. Os parabol je rovnobežná s niektorou osou sústav súraníc. Ž: Začnem s úlohou a). Máme anú parabolu: 2 = 4. Keže rovnica sa volá vrcholová, mal b som veieť z nej včítať súranice vrchola parabol. Tu je to jenouché. Vrchol parabol je bo V [0; 0]. U: Súhlasím. Aký parameter má parabola? Ž: To je tiež ľahké. Parameter to je to číslo, ktoré vstupuje v rovnici, tea p = 4. U: Nesúhlasím. Ak sa pozrieš na uveené tvar rovníc parabol, viíš, že platí 2p = 4. Čo znamená, že p = 2. Veel b si poveať ako je umiestnená parabola v sústave súraníc? S ktorou osou sústav súraníc je rovnobežná jej os? Ž: Hm... V ruhej mocnine je neznáma. To znamená, že os parabol je rovnobežná s osou... U: Ak si to nevieš zapamätať, ám ti malú pomôcku. Ak je v ruhej mocnine, znamená to, že parabola prestavuje kvaratickú funkciu, a preto môže bť otočená len hore alebo ole. Jej os je rovnobežná s osou. Ak je v ruhej mocnine, parabola neprestavuje graf funkcie, je otočená oprava alebo oľava, jej os je rovnobežná s osou. Ž: Pochopil som. V našom prípae je v ruhej mocnine, je to funkcia, a preto je os parabol rovnobežná s osou. Na pravej strane máme klané číslo 4, preto je otočená hore. U: Dobre. Určme teraz súranice ohniska parabol. Ohnisko sa nacháza na osi parabol, v našom prípae na osi. Jeho vzialenosť o vrchola parabol je rovná polovici vzialenosti ohniska a irekčnej priamk.

VoKu25-1 List 8 Ž: Jasné! Parameter je p = 2, jeho polovica je 1. Preto ohnisko má súranice U: Správne. A teraz rovnica irekčnej priamk. [0; 1]. Ž: Direkčná priamka je rovnobežná s osou a nacháza sa po parabolou. U: Áno. Vzialenosť vrchola a irekčnej priamk je 1, tak ako aj vzialenosť vrchola a ohniska To znamená, že precháza boom [0; 1] ležiacim na -ovej osi, jej rovnica je: : = 1. Ž: Už len zakreslím parabolu o sústav súraníc. Zakreslím ohnisko, vrchol a irekčnú priamku, nakoniec aj parabolu otočenú nahor. 1 O = V 1 Ž: Pokračujem úlohou b): ( 2) 2 = 6( + 1). Určím súranice vrchola parabol. Sú to čísla v zátvorkách akurát s opačným znamienkom. Vrchol parabol je bo V [2; 1]. U: Moment! Musíš sa pozrieť aj na poraie. Prvá súranica je vž, preto sa musíš pozrieť na zátvorku ( + 1). Ž: Jáj! Máte pravu. Čiže V [ 1; 2] U: Teraz už súhlasím. Aký parameter má parabola? Ž: Parameter je 6 eleno 2, t. j. p = 3. U: S ktorou osou sústav súraníc je rovnobežná os parabol? Ž: Chcete veieť ako je umiestnená v sústave súraníc? V ruhej mocnine je neznáma. To znamená, že to nie je funkcia, parabola je naležato, môže bť oprava alebo oľava. Jej os je rovnobežná s osou. U: Áno. Navše pri parametri máme záporné znamienko, preto bue parabola otočená oľava. Určme súranice ohniska parabol. Ž: Hm... to je teraz ťažšie ako v precházajúcom prípae. U: Pomôžeme si obrázkom. Vznačíme si na ňom vrchol V [ 1; 2] a os parabol. Je to rovnobežka s osou precházajúca cez vrchol. V 1 2 O o

VoKu25-1 List 9 Ohnisko sa nacháza na osi parabol. Ž: Aha! Jeho -ová súranica je 2. U: Áno. Prvú súranicu určíme pomocou parametra. Ž: Jasné! Parameter je p = 3, jeho polovica je 3. Túto honotu opočítam o prvej súranice 2 vrchola, 1 3 = 5. Ohnisko má súranice 2 2 [ 5 2 ; 2]. U: Správne. A teraz rovnica irekčnej priamk. Ž: Direkčná priamka je rovnobežná s osou a nacháza sa vpravo o parabol. Teraz k prvej súranici vrchola pripočítam polovicu parametra, 1 + 3 = 1. Rovnica irekčnej priamk 2 2 je : = 1. Nakoniec zakreslím parabolu o sústav súraníc. 2 5 2 2 V O 1 1 2 o Úloha 1: V sústave súraníc v rovine zakreslite parabol ané nasleujúcim analtickým vjarením: a) 2 = 2( 3), b) ( + 4) 2 = 8( 2). Určte súranice vrcholu, ohniska a rovnicu irekčnej priamk. Výsleok: a) o o, p = 1, V [3; 0], [ 7; 0], : = 5, 2 2 b) o o, p = 4, V [ 4; 2], [ 4; 0], : = 4

VoKu25-2 List 10 Príkla 2: Napíšte analtické vjarenie parabol, ak je ané jej ohnisko [4; 2] a irekčná priamka : = 4. U: Akú rovnicu parabol poznáš? Ž: Poznám vrcholovú a všeobecnú rovnicu parabol. Viac sa mi však páči vrcholová. U: Dobre. Tvar vrcholovej rovnice parabol závisí o jej poloh v sústave súraníc. Skúsme na záklae zaania určiť jej polohu. Ž: Direkčná priamka je : = 4. To je priamka rovnobežná s osou. Preto os parabol je zase rovnobežná s osou. U: Výborne. Parabola, ktorej os je rovnobežná s osou má jenu z týchto rovníc: ( m) 2 = 2p( n) alebo ( m) 2 = 2p( n), ke vrchol parabol je bo V [m; n], a p je parameter parabol. Ž: Parameter parabol b som veel určiť. Je to vzialenosť ohniska o irekčnej priamk. Použijem vzorec na určenie vzialenosti bou o priamk. U: Počkaj! Bue ti stačiť aj obrázok. V sústave súraníc si načrtneme ohnisko [4; 2], irekčnú priamku : = 4 a os parabol o precházajúcu boom. o 4 p 2 O 4 Ž: Naozaj! Vzialenosť ohniska o priamk vino z obrázka. Je to 6, čiže p = 6. U: Zároveň pomocou obrázka určíme aj súranice vrchola parabol. Ž: Vrchol leží na osi parabol v stree mezi ohniskom a priamkou. V [4; 1]. U: Správne. Ako je parabola otočená? Ž: Ohnisko musí bť vo vnútri parabol a parabola nepretína irekčnú priamku... Parabola je otočená ole. U: To znamená, že v rovnici vstupuje záporné znamienko. Môžeme napísať vrcholovú rovnicu parabol. Ž: Zopakujem si to: V [4; 1], parameter p = 6, 6 2 = 12 a k tomu znamienko mínus. Rovnica parabol je: ( 4) 2 = 12( 1). U: Výborne.

VoKu25-2 List 11 Úloha 1: Napíšte analtické vjarenie parabol, ak je ané ohnisko [3; 1] a irekčná priamka : = 1. Výsleok: ( + 1) 2 = 8( 1) Úloha 2: Napíšte analtické vjarenie parabol, ktorá má vrchol v začiatku sústav súraníc a ohnisko [2; 0]. Výsleok: 2 = 8 Úloha 3: Napíšte analtické vjarenie parabol, ktorá má vrchol V [2; 5] irekčnú priamku : = 5. Výsleok: ( 2) 2 = 20( + 5)

VoKu25-3 List 12 Príkla 3: Rozhonite, či nasleujúca rovnica je analtickým vjarením parabol: 2 + 4 6 + 3 = 0. V prípae, že ie o parabolu, určte súranice jej vrchola a parameter. Ž: Je to všeobecná rovnica parabol. U: Mohla b bť. Zistíme to jej úpravou na vrcholový tvar. Ako vzerá vrcholová rovnica parabol? Ž: Je to rovnica tpu: ( m) 2 = 2p( n) alebo ( m) 2 = 2p( n). U: Pričom m, n sú súranice vrchola parabol a p je jej parameter. Na roziel o všeobecnej rovnice, je člen s, ktorý je v ruhej mocnine, upravený na štvorec. Ž: To mslíte asi tú zátvorku ( m) 2, však? U: Presne tak. Znamená to urobiť úpravu na štvorec. Ž: Hm... tak to si ám najprv ohroma člen s. U: A ostatné člen áme na pravú stranu. Ž: Zopakujem si anú rovnicu: Takže: 2 + 4 6 + 3 = 0. 2 6 = 4 3. U: Pozrieme sa na ľavú stranu. Chceme, ab sme tam mali výraz tvaru a 2 2ab + b 2. Ž: Chýba mi člen b 2. Asi b som si ho mal nejako vrobiť... U: Člen 2ab má tvar 6, čo sa á napísať aj ako 2 3. Ž: Z toho je jasné, že b = 3. Chýbajúci člen b 2 bue 3 2 = 9. U: Takže ho pripočítame na ľavú stranu. A ab platila rovnosť, musíme ho pripočítať aj na pravú stranu rovnice. Preto: 2 6+9 = 4 3+9. Ž: Aha! Na ľavej strane máme poľa vzorca ( 3) 2 a na pravej strane spočítam 3 + 9 = 6, to znamená: ( 3) 2 = 4 + 6. U: Súhlasím. Upravíme ešte pravú stranu tak, ab sme z nej mohli prečítať parameter parabol. Koeficient pri vberieme pre zátvorku. Ž: Na pravej strane vberiem ( 4) pre zátvorku a ostávam: ( 3) 2 = 4( 3 2 ). U: A to je vrcholová rovnica parabol. Veel b si mi poveať aké sú súranice jej vrchola a aký je jej parameter?

VoKu25-3 List 13 Ž: Súranice vrchola - to sú čísla v zátvorkách, ale s opačným znamienkom, čiže V [3; 3 2 ]. Parameter p = 2. U: Výborne. Úloha 1: Rozhonite, či nasleujúca rovnica je analtickým vjarením parabol: 2 2 4 + 1 = 0. V prípae, že ie o parabolu, určte súranice jej vrcholu a jej parameter. Výsleok: V [1; 0], p = 2 Úloha 2: Rozhonite, či nasleujúca rovnica je analtickým vjarením parabol: 2 3 2 + 7 = 0. V prípae, že ie o parabolu, určte súranice jej vrcholu a jej parameter. Výsleok: V [2; 1], p = 3 2

VoKu25-4 List 14 Príkla 4: Určte rovnice všetkých parabol, ktorých os je rovnobežná s osou, ich parameter je 2 a precházajú bomi A[ 2; 4] a B[6; 0]. U: Akú rovnicu parabol poznáš? Ž: Poznám vrcholovú rovnicu parabol. U: Dobre. Tvar vrcholovej rovnice parabol závisí o jej poloh v sústave súraníc. Naša parabola má mať os rovnobežnú s osou. Ž: Parabola, ktorej os je rovnobežná s osou má jenu z týchto rovníc: ( n) 2 = 2p( m) alebo ( n) 2 = 2p( m), ke vrchol parabol je bo V [m; n], a p je parameter parabol. U: Výborne. Na určenie rovnice parabol potrebujeme parameter a súranice vrchola parabol. Ž: Parameter poznám, p = 2. U: Súhlasím. Preto parabola bue mať jenu z týchto rovníc: ( n) 2 = 4( m) alebo ( n) 2 = 4( m). Ž: Hm... Ako ale zistím súranice vrchola? U: Máme ané va bo A a B, ktoré patria parabole. Ak aný bo patrí parabole, musia jeho súranice vhovovať rovnici parabol. Ž: Aha! Dosaím súranice boov A a B o rovnice a získam tak ve rovnice s neznámmi m, n. U: Máme však ve možnosti pre rovnicu parabol. Začnime preto s prvou, nech parabola má rovnicu: ( n) 2 = 4( m). Ž: Dosaím najprv súranice bou A, za číslo 2 a za číslo 4: Potom súranice bou B, 6 a 0: (4 n) 2 = 4( 2 m). (0 n) 2 = 4(6 m). U: Upravíme pravé stran a ostávame sústavu rovníc: (4 n) 2 = 8 4m Na riešenie navrhujem použiť sčítaciu metóu. n 2 = 24 4m.

VoKu25-4 List 15 Ž: Druhú rovnicu vnásobím ( 1) a rovnice sčítam: (4 n) 2 n 2 = 8 4m 24 + 4m. Po úprave mi vpane m. Na ľavej strane umocním zátvorku, ostávam: 16 8n + n 2 n 2 = 32. Hurá! Vpane mi aj n 2 a získavam jenouchú rovnicu: 8n = 48, z čoho n = 6. U: Výborne. Ž: Dopočítam súranicu m. Dosaím n = 6 napr. o ruhej rovnice n 2 = 24 4m a ostávam: 36 = 24 4m, z čoho Vrchol parabol je bo V [ 3; 6]. U: Parabola má rovnicu: m = 3. ( 6) 2 = 4( + 3). U: A teraz ruhá možnosť. Nech parabola má rovnicu: ( n) 2 = 4( m). Ž: Buem postupovať rovnako. Dosaím súranice bou A, 2 a 4 a potom súranice bou B, 6 a 0. Dostávam sústavu rovníc: (4 n) 2 = 8 + 4m n 2 = 24 + 4m. Druhú rovnicu vnásobím ( 1) a rovnice sčítam: (4 n) 2 n 2 = 8 + 4m + 24 4m. Ľavá strana je taká istá ako v precházajúcom prípae a na pravej strane mám 32: 16 8n = 32. To znamená, že U: Súhlasím. n = 2.

VoKu25-4 List 16 Ž: Dosaím n = 2 napr. o ruhej rovnice n 2 = 24 + 4m a ostávam: 4 = 24 + 4m, z čoho m = 7. Vrchol parabol je bo V [7; 2] a jej rovnica je: U: Výborne. Úloha má ve riešenia. ( + 2) 2 = 4( 7). Úloha 1: Určte rovnice všetkých parabol, ktorých os je rovnobežná s osou, majú vrchol V [3; 5] a precházajú boom A[0; 2]. Výsleok: ( 3) 2 = 3( 5) Úloha 2: Určte rovnice všetkých parabol, ktorých os je rovnobežná s osou a precházajú bomi C[0; 1], D[ 2; 7] a E[5; 14]. Výsleok: ( 1) 2 = + 2

VoKu25-5 List 17 Príkla 5: Do parabol 4 = 2 vpíšte rovnostranný trojuholník ABC tak, ab vrchol A bol totožný s vrcholom parabol a vrchol Ba C ležali na parabole. Vpočítajte súranice boov A, B, C a ĺžku stran tohto trojuholníka. Ž: Pochopil som obre? Mám o parabol vpísať trojuholník? U: Áno. Znamená to, že všetk vrchol trojuholníka ABC ležia na parabole. Ž: Bo A poznám, má to bť vrchol parabol. Na záklae jej rovnice 4 = 2 viem, že A[0; 0]. U: Súhlasím. Ž: Ako zistím súranice boov B a C? U: Pomôžeme si obrázkom. Z rovnice parabol vieme, že jej os je rovnobežná s osou sústav súraníc. Vrchol je v začiatku sústav súraníc. Načrtneme parabolu a o nej rovnostranný trojuholník ABC. 2 = 4 B b O = A b 2 4 b C Ž: Bo B a C sú umiestnené pekne smetrick. U: Samozrejme. Parabola je osovo súmerná poľa svojej osi a aj rovnostranný trojuholník je osovo súmerný poľa osi precházajúcej jeným z jeho vrcholov kolmo na protiľahlú stranu. Ž: To ale znamená, že bo B a C majú rovnakú prvú súranicu. U: Správne. Aj to vužijeme. Venujeme sa najprv bou B. Nech má súranice B[ B ; B ]. Bo B patrí parabole, preto jeho súranice vhovujú rovnici parabol. Ž: Dosaím ich o rovnice a ostávam: 4 B = 2 B.

VoKu25-5 List 18 U: Pre jenouchosť označme B = b. Potom platí: Bo B má súranice B[ b2 4 ; b]. B = b2 4. Ž: Aha! A pre bo C platí C[ b2 ; b]. Prvá súranica je rovnaká a ruhá je opačná. 4 U: Dobre, máme pomocou neznámej b určené súranice boov B a C. Trojuholník ABC je rovnostranný. Čo to znamená? Ž: Má rovnako lhé stran, rovnaké vnútorné uhl... U: Informácia o stranách nám bue stačiť. Platí: BC = AB. Vjarime si tieto veľkosti pomocou súraníc. Ž: Na určenie vzialenosti voch boov použijem vzorec. Bo B[ b2 ; b] a bo C[ b2 ; b], preto 4 4 platí: (b ) 2 2 BC = 4 b2 + (b + b) 4 2. Poobne, keže A[0; 0] platí: (b ) 2 2 AB = 4 0 + (b 0) 2. U: Výborne. Porovnaním oboch veľkostí ostávame rovnicu: (b ) 2 2 (b ) 4 b2 2 2 + (b + b) 4 2 = 4 0 + (b 0) 2. Jej vriešením získame neznámu b. Ž: No... Nie je to veľmi pekná rovnica. U: Na oboch stranách vstupujú omocnin, preto umocníme obe stran rovnice na ruhú. Zároveň nul na pravej strane môžeme vnechať. Ž: Po umocnení ostávam: ( b 2 4 b2 4 ) 2 ( ) b + (b + b) 2 2 2 = + b 2. 4 Ten prvý člen vnechám, je to presa nula, neviem, čo ho toľko opisujem... Mám tea rovnicu: ( ) b (b + b) 2 2 2 = + b 2. 4 U: Tá už nevzerá tak hrozivo, prava? Vriešiš ju?

VoKu25-5 List 19 Ž: Pokúsim sa. Umocním zátvork: 4b 2 = b4 16 + b2. Ostránim zlomok, tea vnásobím rovnicu 16: A nakoniec ostávam rovnicu: 64b 2 = b 4 + 16b 2. 48b 2 b 4 = 0. U: Je to síce rovnica štvrtého stupňa, ale pomerne jenouchá. Stačí vbrať b 2 pre zátvorku. Ž: OK. Vzerá to takto: Z toho máme riešenia: b 2 (48 b 2 ) = 0. b = 0, a b = ± 48 = ±4 3. U: Súhlasím. Ak sa pozrieme na obrázok, viíme, že riešenie b = 0 nevhovuje. Ž: Jasné, to b nebol trojuholník, lebo všetk vrchol b splnuli o jeného bou. U: To znamená, že máme riešenie b = 4 3. Súranice boov boli B[ b2 ; b] a C[ b2 ; b]. Preto 4 4 po osaení b = 4 3 ostávame: B[12; 4 3] a C[12; 4 3]. Je zrejmé, že použitím ruhého riešenia b = 4 3 ostávame len vmenené súranice boov B a C. Ž: Vpočítam ešte ĺžku stran trojuholníka, napr. pomocou boov A[0; 0] a B[12; 4 3]. AB = (12 0) 2 + (4 3 0) 2 = 144 + 48 = 192 = 8 3. Veľkosť stran trojuholníka ABC je 8 3.