Parabola a jej analytické vyjadrenie

VoKu25-T List 1 U: Parabolu poznáš, nie? Parabola a jej analtické vjarenie RNDr. Viera Voičková Ž: Ale áno. Pri kvaratických funkciách sme sa ich nakreslili viac než osť. U: Máš pravu. Grafom kvaratickej funkcie je krivka, ktorá sa volá parabola. Na obrázku máš graf kvaratickej funkcie f : = 2. = 2 O Prejeme rovno k jej efinícii. V rovine nech je aná priamka a bo, ktorý na nej neleží. Parabolou nazývame množinu všetkých boov tejto rovin, ktoré majú rovnakú vzialenosť o priamk ako aj o bou. Parabolu označujeme veľkým písmenom P. P = {X E 2 ; X = X } Ž: Hm... Mslel som si, že parabolu obre poznám, tea jej tvar. Táto efinícia ma prekvapila... U: Veel b si na záklae tejto efinície nájsť aspoň jeen bo parabol? Ž: Máme priamku a bo. Rovnaká vzialenosť o priamk aj o bou... Zostrojím kolmicu na priamku z bou a v polovici mám jeen bo parabol. U: Výborne. Máš to aj na obrázku. Tento bo označíme V. Nazveme ho vrchol parabol. V Našiel b si aj iné vhovujúce bo? Ž: Asi áno. Zvolím si ľubovoľnú vzialenosť. Zostrojím kružnicu so streom a s polomerom rovnajúcim sa tejto vzialenosti. Potom zostrojím rovnako vzialenú rovnobežku s priamkou. Tam, ke sa pretnú vznikne ďalší bo parabol, vlastne mi vzniknú rovno va bo. Je to aj na obrázku. k A V B p

VoKu25-T List 2 U: Súhlasím. Až na to, že vzialenosť, ktorú si zvolíme, musí bť väčšia ako je polovica vzialenosti bou o priamk. Ž: Máte pravu. Inak b som neostal žiaen priesečník. U: Takto b sme mohli pokračovať ďalšími bomi, až b sme ostali parabolu. o A B V Bo nazývame ohnisko parabol. Priamka sa nazýva riaiaca alebo irekčná priamka. Parabola má jenu os. Je to priamka kolmá na irekčnú priamku precházajúca ohniskom. Priesečník osi a parabol je bo V a nazýva sa vrchol parabol. Ž: Zatiaľ mi je všetko jasné. Vrchol parabol bol ôležitý aj pri kreslení grafov kvaratických funkcií. U: Povieme si aké analtické vjarenie má parabola. Ž: Bue mať rovnicu, tak ako kružnica, elipsa alebo priamka? U: Áno. Rovnica parabol závisí o jej poloh v sústave súraníc. M sa bueme zaoberať len takými parabolami, ktorých os je rovnobežná s osou alebo osou sústav súraníc. Ž: Čiže napr. ako tu na obrázku? O = V U: Áno. To je jenouchý príkla. Os parabol leží na súranicovej osi. Vrchol parabol je bo S[0; 0]. A irekčná priamka je zase rovnobežná s osou. Ovoíme rovnicu tejto parabol. Začneme efiníciou. Ž: Parabola je množina všetkých boov rovin, ktoré majú rovnakú vzialenosť o priamk ako aj o bou. U: Výborne. Zoberieme si ľubovoľný bo parabol X[; ]. Poľa efinície preň platí: Vjaríme si tieto vzialenosti. X = X. Ž: Potrebujem súranice ohniska a rovnicu riaiacej priamk. Z obrázka viem len súranice vrcholu, t. j. V [0; 0].

VoKu25-T List 3 U: Označme vzialenosť ohniska a riaiacej priamk p. = p Číslo p sa nazýva parameter parabol a určuje jej tvar. Nakoľko bo neleží na priamke, platí p > 0. Vzialenosť vrcholu o ohniska je rovnaká ako o irekčnej priamk, preto V = 1 2 p. Ohnisko zároveň leží na osi, preto má súranice... Ž: -ová súranica je nulová a -ová je 1 2 p, [0; 1 2 p]. U: Súhlasím. Direkčná priamka je rovnobežná s osou a precháza boom [0; 1 p] ležiacim 2 na -ovej osi, preto jej rovnica je: : = 1p. 2 1 p 2 X 1 p 2 O = V X[; ] X U: Vjaríme si vzialenosti X a X. Ž: Vzialenosť bou X o priamk vino rovno z obrázku. Tvorí ju veľkosť -ovej súranice bou X a vzialenosť irekčnej priamk o osi. Tea: X = + 1 2 p. U: Výborne. Vzialenosť boov X a vjaríme zase poľa vzorca pre vzialenosť voch boov. Nakoľko X[; ] a [0; 1 p], platí: 2 ( ) 2 1 X = 2 + 2 p. Tieto vjarenia osaíme o rovnice: Ž: Dosazujem: X = X. + 1 2 p = 2 + ( ) 2 1 2 p. U: Túto rovnicu bueme upravovať, ab sme získali nejaký jej krajší tvar. Začneme tým, že obe stran rovnice umocníme na ruhú. Pri umocnení nezabunme na to, že ľavú stranu umocňujeme ako vojčlen poľa vzorca (a + b) 2.

VoKu25-T List 4 Ž: Umocňujem: 2 + p + 1 4 p2 = 2 + 1 4 p2 p + 2. 2 aj 1 4 p2 sa mi očíta! Dostávam: U: Alebo po úprave: A to je rovnica našej parabol. Ž: Uf! To je nejaká jenouchá rovnica! U: Ak ju upravím na tvar: tak b ti to malo bť známe. Ž: To je prepis kvaratickej funkcie. p = 2 p. 2 = 2p. = 1 2p 2, U: Už na začiatku sme poveali, že parabola je grafom kvaratickej funkcie. Druhá vec, ktorú si treba všimnúť je to, že len jena premenná,, vstupuje v ruhej mocnine. Ž: Naozaj! Pri úpravách nám člen 2 vpaol. U: Poveali sme, že sa bueme zaoberať len takými parabolami, ktorých os je rovnobežná s niektorou osou sústav súraníc. Druhá možnosť umiestnenia parabol v sústave súraníc je na ďalšom obrázku. O = V Ž: Parabola sa otočila. Direkčná priamka je hore. U: Je rovnica je potom: 2 = 2p. Ž: Pribulo len znamienko mínus na pravej strane. U: Áno. Znamienko pri člene 2p vjaruje ako je parabola otočená. Ďalšie ve možnosti umiestnenia parabol v sústave súraníc sú na ďalších obrázkoch.

VoKu25-T List 5 O = V V = O Os parabol teraz leží na osi a irekčná priamka je rovnobežná s osou. Prvá parabola otočená vpravo má rovnicu: 2 = 2p. Druhá parabola otočená vľavo má rovnicu: 2 = 2p. Ž: Zase sa líšia len znamienkami. Doprava je plus a oľava mínus. V uhej mocnine je neznáma. U: Uveieme si ešte rovnice parabol, ktorých vrchol nie je v začiatku sústav súraníc. Parabolu posunieme tak, že jej os bue rovnobežná s osou a irekčná priamka s osou. Nech vrchol parabol je bo V [m; n]. Rovnica takejto parabol je potom: ( m) 2 = 2p( n). o n O V [m; n] m Ž: Jasné. Výraz ( m) a ( n) vjarujú posunutie vrchola parabol.

VoKu25-T List 6 U: Zhrnieme to aj pre ostatné prípa. Kažá parabola, ktorá má os rovnobežnú s osou, vrchol V [m; n] a parameter p, je vjarená jenou z rovníc: ( m) 2 = 2p( n) alebo ( m) 2 = 2p( n). Kažá parabola, ktorá má os rovnobežnú s osou, vrchol V [m; n] a parameter p, je vjarená jenou z rovníc: ( n) 2 = 2p( m) alebo ( n) 2 = 2p( m). Uveené rovnice nazývame vrcholovými rovnicami parabol. Ž: Asi preto, že tam vstupujú súranice vrchola parabol. U: Okrem vrcholovej rovnice parabol poznáme aj všeobecnú rovnicu parabol. Vznikne úpravou vrcholovej rovnice roznásobením zátvoriek a umiestnením všetkých členov na jenu stranu rovnice. Všeobecná rovnica parabol má tvar: pričom A, B, C R. 2 + A + B + C = 0 alebo 2 + A + B + C = 0, Ž: Hm... Vž je len jena neznáma v ruhej mocnine. U: Napriek tomu parabola patrí ku kvaratickým útvarom, jej rovnica je kvaratická.

VoKu25-1 List 7 Príkla 1: V sústave súraníc v rovine zakreslite parabol ané nasleujúcim analtickým vjarením: a) 2 = 4, b) ( 2) 2 = 6( + 1). Určte súranice vrchola, ohniska a rovnicu irekčnej priamk. Ž: Parabol sú ané vrcholovými rovnicami. U: Máš pravu. Pripomeniem len, že vrcholová rovnica parabol má jeen z týchto tvarov v rámčeku, ( m) 2 = 2p( n), ( m) 2 = 2p( n), ( n) 2 = 2p( m), ( n) 2 = 2p( m), ke vrchol parabol je bo V [m; n], p je parameter parabol vzialenosť ohniska o irekčnej priamk. Os parabol je rovnobežná s niektorou osou sústav súraníc. Ž: Začnem s úlohou a). Máme anú parabolu: 2 = 4. Keže rovnica sa volá vrcholová, mal b som veieť z nej včítať súranice vrchola parabol. Tu je to jenouché. Vrchol parabol je bo V [0; 0]. U: Súhlasím. Aký parameter má parabola? Ž: To je tiež ľahké. Parameter to je to číslo, ktoré vstupuje v rovnici, tea p = 4. U: Nesúhlasím. Ak sa pozrieš na uveené tvar rovníc parabol, viíš, že platí 2p = 4. Čo znamená, že p = 2. Veel b si poveať ako je umiestnená parabola v sústave súraníc? S ktorou osou sústav súraníc je rovnobežná jej os? Ž: Hm... V ruhej mocnine je neznáma. To znamená, že os parabol je rovnobežná s osou... U: Ak si to nevieš zapamätať, ám ti malú pomôcku. Ak je v ruhej mocnine, znamená to, že parabola prestavuje kvaratickú funkciu, a preto môže bť otočená len hore alebo ole. Jej os je rovnobežná s osou. Ak je v ruhej mocnine, parabola neprestavuje graf funkcie, je otočená oprava alebo oľava, jej os je rovnobežná s osou. Ž: Pochopil som. V našom prípae je v ruhej mocnine, je to funkcia, a preto je os parabol rovnobežná s osou. Na pravej strane máme klané číslo 4, preto je otočená hore. U: Dobre. Určme teraz súranice ohniska parabol. Ohnisko sa nacháza na osi parabol, v našom prípae na osi. Jeho vzialenosť o vrchola parabol je rovná polovici vzialenosti ohniska a irekčnej priamk.

VoKu25-1 List 8 Ž: Jasné! Parameter je p = 2, jeho polovica je 1. Preto ohnisko má súranice U: Správne. A teraz rovnica irekčnej priamk. [0; 1]. Ž: Direkčná priamka je rovnobežná s osou a nacháza sa po parabolou. U: Áno. Vzialenosť vrchola a irekčnej priamk je 1, tak ako aj vzialenosť vrchola a ohniska To znamená, že precháza boom [0; 1] ležiacim na -ovej osi, jej rovnica je: : = 1. Ž: Už len zakreslím parabolu o sústav súraníc. Zakreslím ohnisko, vrchol a irekčnú priamku, nakoniec aj parabolu otočenú nahor. 1 O = V 1 Ž: Pokračujem úlohou b): ( 2) 2 = 6( + 1). Určím súranice vrchola parabol. Sú to čísla v zátvorkách akurát s opačným znamienkom. Vrchol parabol je bo V [2; 1]. U: Moment! Musíš sa pozrieť aj na poraie. Prvá súranica je vž, preto sa musíš pozrieť na zátvorku ( + 1). Ž: Jáj! Máte pravu. Čiže V [ 1; 2] U: Teraz už súhlasím. Aký parameter má parabola? Ž: Parameter je 6 eleno 2, t. j. p = 3. U: S ktorou osou sústav súraníc je rovnobežná os parabol? Ž: Chcete veieť ako je umiestnená v sústave súraníc? V ruhej mocnine je neznáma. To znamená, že to nie je funkcia, parabola je naležato, môže bť oprava alebo oľava. Jej os je rovnobežná s osou. U: Áno. Navše pri parametri máme záporné znamienko, preto bue parabola otočená oľava. Určme súranice ohniska parabol. Ž: Hm... to je teraz ťažšie ako v precházajúcom prípae. U: Pomôžeme si obrázkom. Vznačíme si na ňom vrchol V [ 1; 2] a os parabol. Je to rovnobežka s osou precházajúca cez vrchol. V 1 2 O o

VoKu25-1 List 9 Ohnisko sa nacháza na osi parabol. Ž: Aha! Jeho -ová súranica je 2. U: Áno. Prvú súranicu určíme pomocou parametra. Ž: Jasné! Parameter je p = 3, jeho polovica je 3. Túto honotu opočítam o prvej súranice 2 vrchola, 1 3 = 5. Ohnisko má súranice 2 2 [ 5 2 ; 2]. U: Správne. A teraz rovnica irekčnej priamk. Ž: Direkčná priamka je rovnobežná s osou a nacháza sa vpravo o parabol. Teraz k prvej súranici vrchola pripočítam polovicu parametra, 1 + 3 = 1. Rovnica irekčnej priamk 2 2 je : = 1. Nakoniec zakreslím parabolu o sústav súraníc. 2 5 2 2 V O 1 1 2 o Úloha 1: V sústave súraníc v rovine zakreslite parabol ané nasleujúcim analtickým vjarením: a) 2 = 2( 3), b) ( + 4) 2 = 8( 2). Určte súranice vrcholu, ohniska a rovnicu irekčnej priamk. Výsleok: a) o o, p = 1, V [3; 0], [ 7; 0], : = 5, 2 2 b) o o, p = 4, V [ 4; 2], [ 4; 0], : = 4

VoKu25-2 List 10 Príkla 2: Napíšte analtické vjarenie parabol, ak je ané jej ohnisko [4; 2] a irekčná priamka : = 4. U: Akú rovnicu parabol poznáš? Ž: Poznám vrcholovú a všeobecnú rovnicu parabol. Viac sa mi však páči vrcholová. U: Dobre. Tvar vrcholovej rovnice parabol závisí o jej poloh v sústave súraníc. Skúsme na záklae zaania určiť jej polohu. Ž: Direkčná priamka je : = 4. To je priamka rovnobežná s osou. Preto os parabol je zase rovnobežná s osou. U: Výborne. Parabola, ktorej os je rovnobežná s osou má jenu z týchto rovníc: ( m) 2 = 2p( n) alebo ( m) 2 = 2p( n), ke vrchol parabol je bo V [m; n], a p je parameter parabol. Ž: Parameter parabol b som veel určiť. Je to vzialenosť ohniska o irekčnej priamk. Použijem vzorec na určenie vzialenosti bou o priamk. U: Počkaj! Bue ti stačiť aj obrázok. V sústave súraníc si načrtneme ohnisko [4; 2], irekčnú priamku : = 4 a os parabol o precházajúcu boom. o 4 p 2 O 4 Ž: Naozaj! Vzialenosť ohniska o priamk vino z obrázka. Je to 6, čiže p = 6. U: Zároveň pomocou obrázka určíme aj súranice vrchola parabol. Ž: Vrchol leží na osi parabol v stree mezi ohniskom a priamkou. V [4; 1]. U: Správne. Ako je parabola otočená? Ž: Ohnisko musí bť vo vnútri parabol a parabola nepretína irekčnú priamku... Parabola je otočená ole. U: To znamená, že v rovnici vstupuje záporné znamienko. Môžeme napísať vrcholovú rovnicu parabol. Ž: Zopakujem si to: V [4; 1], parameter p = 6, 6 2 = 12 a k tomu znamienko mínus. Rovnica parabol je: ( 4) 2 = 12( 1). U: Výborne.

VoKu25-2 List 11 Úloha 1: Napíšte analtické vjarenie parabol, ak je ané ohnisko [3; 1] a irekčná priamka : = 1. Výsleok: ( + 1) 2 = 8( 1) Úloha 2: Napíšte analtické vjarenie parabol, ktorá má vrchol v začiatku sústav súraníc a ohnisko [2; 0]. Výsleok: 2 = 8 Úloha 3: Napíšte analtické vjarenie parabol, ktorá má vrchol V [2; 5] irekčnú priamku : = 5. Výsleok: ( 2) 2 = 20( + 5)

VoKu25-3 List 12 Príkla 3: Rozhonite, či nasleujúca rovnica je analtickým vjarením parabol: 2 + 4 6 + 3 = 0. V prípae, že ie o parabolu, určte súranice jej vrchola a parameter. Ž: Je to všeobecná rovnica parabol. U: Mohla b bť. Zistíme to jej úpravou na vrcholový tvar. Ako vzerá vrcholová rovnica parabol? Ž: Je to rovnica tpu: ( m) 2 = 2p( n) alebo ( m) 2 = 2p( n). U: Pričom m, n sú súranice vrchola parabol a p je jej parameter. Na roziel o všeobecnej rovnice, je člen s, ktorý je v ruhej mocnine, upravený na štvorec. Ž: To mslíte asi tú zátvorku ( m) 2, však? U: Presne tak. Znamená to urobiť úpravu na štvorec. Ž: Hm... tak to si ám najprv ohroma člen s. U: A ostatné člen áme na pravú stranu. Ž: Zopakujem si anú rovnicu: Takže: 2 + 4 6 + 3 = 0. 2 6 = 4 3. U: Pozrieme sa na ľavú stranu. Chceme, ab sme tam mali výraz tvaru a 2 2ab + b 2. Ž: Chýba mi člen b 2. Asi b som si ho mal nejako vrobiť... U: Člen 2ab má tvar 6, čo sa á napísať aj ako 2 3. Ž: Z toho je jasné, že b = 3. Chýbajúci člen b 2 bue 3 2 = 9. U: Takže ho pripočítame na ľavú stranu. A ab platila rovnosť, musíme ho pripočítať aj na pravú stranu rovnice. Preto: 2 6+9 = 4 3+9. Ž: Aha! Na ľavej strane máme poľa vzorca ( 3) 2 a na pravej strane spočítam 3 + 9 = 6, to znamená: ( 3) 2 = 4 + 6. U: Súhlasím. Upravíme ešte pravú stranu tak, ab sme z nej mohli prečítať parameter parabol. Koeficient pri vberieme pre zátvorku. Ž: Na pravej strane vberiem ( 4) pre zátvorku a ostávam: ( 3) 2 = 4( 3 2 ). U: A to je vrcholová rovnica parabol. Veel b si mi poveať aké sú súranice jej vrchola a aký je jej parameter?

VoKu25-3 List 13 Ž: Súranice vrchola - to sú čísla v zátvorkách, ale s opačným znamienkom, čiže V [3; 3 2 ]. Parameter p = 2. U: Výborne. Úloha 1: Rozhonite, či nasleujúca rovnica je analtickým vjarením parabol: 2 2 4 + 1 = 0. V prípae, že ie o parabolu, určte súranice jej vrcholu a jej parameter. Výsleok: V [1; 0], p = 2 Úloha 2: Rozhonite, či nasleujúca rovnica je analtickým vjarením parabol: 2 3 2 + 7 = 0. V prípae, že ie o parabolu, určte súranice jej vrcholu a jej parameter. Výsleok: V [2; 1], p = 3 2

VoKu25-4 List 14 Príkla 4: Určte rovnice všetkých parabol, ktorých os je rovnobežná s osou, ich parameter je 2 a precházajú bomi A[ 2; 4] a B[6; 0]. U: Akú rovnicu parabol poznáš? Ž: Poznám vrcholovú rovnicu parabol. U: Dobre. Tvar vrcholovej rovnice parabol závisí o jej poloh v sústave súraníc. Naša parabola má mať os rovnobežnú s osou. Ž: Parabola, ktorej os je rovnobežná s osou má jenu z týchto rovníc: ( n) 2 = 2p( m) alebo ( n) 2 = 2p( m), ke vrchol parabol je bo V [m; n], a p je parameter parabol. U: Výborne. Na určenie rovnice parabol potrebujeme parameter a súranice vrchola parabol. Ž: Parameter poznám, p = 2. U: Súhlasím. Preto parabola bue mať jenu z týchto rovníc: ( n) 2 = 4( m) alebo ( n) 2 = 4( m). Ž: Hm... Ako ale zistím súranice vrchola? U: Máme ané va bo A a B, ktoré patria parabole. Ak aný bo patrí parabole, musia jeho súranice vhovovať rovnici parabol. Ž: Aha! Dosaím súranice boov A a B o rovnice a získam tak ve rovnice s neznámmi m, n. U: Máme však ve možnosti pre rovnicu parabol. Začnime preto s prvou, nech parabola má rovnicu: ( n) 2 = 4( m). Ž: Dosaím najprv súranice bou A, za číslo 2 a za číslo 4: Potom súranice bou B, 6 a 0: (4 n) 2 = 4( 2 m). (0 n) 2 = 4(6 m). U: Upravíme pravé stran a ostávame sústavu rovníc: (4 n) 2 = 8 4m Na riešenie navrhujem použiť sčítaciu metóu. n 2 = 24 4m.

VoKu25-4 List 15 Ž: Druhú rovnicu vnásobím ( 1) a rovnice sčítam: (4 n) 2 n 2 = 8 4m 24 + 4m. Po úprave mi vpane m. Na ľavej strane umocním zátvorku, ostávam: 16 8n + n 2 n 2 = 32. Hurá! Vpane mi aj n 2 a získavam jenouchú rovnicu: 8n = 48, z čoho n = 6. U: Výborne. Ž: Dopočítam súranicu m. Dosaím n = 6 napr. o ruhej rovnice n 2 = 24 4m a ostávam: 36 = 24 4m, z čoho Vrchol parabol je bo V [ 3; 6]. U: Parabola má rovnicu: m = 3. ( 6) 2 = 4( + 3). U: A teraz ruhá možnosť. Nech parabola má rovnicu: ( n) 2 = 4( m). Ž: Buem postupovať rovnako. Dosaím súranice bou A, 2 a 4 a potom súranice bou B, 6 a 0. Dostávam sústavu rovníc: (4 n) 2 = 8 + 4m n 2 = 24 + 4m. Druhú rovnicu vnásobím ( 1) a rovnice sčítam: (4 n) 2 n 2 = 8 + 4m + 24 4m. Ľavá strana je taká istá ako v precházajúcom prípae a na pravej strane mám 32: 16 8n = 32. To znamená, že U: Súhlasím. n = 2.

VoKu25-4 List 16 Ž: Dosaím n = 2 napr. o ruhej rovnice n 2 = 24 + 4m a ostávam: 4 = 24 + 4m, z čoho m = 7. Vrchol parabol je bo V [7; 2] a jej rovnica je: U: Výborne. Úloha má ve riešenia. ( + 2) 2 = 4( 7). Úloha 1: Určte rovnice všetkých parabol, ktorých os je rovnobežná s osou, majú vrchol V [3; 5] a precházajú boom A[0; 2]. Výsleok: ( 3) 2 = 3( 5) Úloha 2: Určte rovnice všetkých parabol, ktorých os je rovnobežná s osou a precházajú bomi C[0; 1], D[ 2; 7] a E[5; 14]. Výsleok: ( 1) 2 = + 2

VoKu25-5 List 17 Príkla 5: Do parabol 4 = 2 vpíšte rovnostranný trojuholník ABC tak, ab vrchol A bol totožný s vrcholom parabol a vrchol Ba C ležali na parabole. Vpočítajte súranice boov A, B, C a ĺžku stran tohto trojuholníka. Ž: Pochopil som obre? Mám o parabol vpísať trojuholník? U: Áno. Znamená to, že všetk vrchol trojuholníka ABC ležia na parabole. Ž: Bo A poznám, má to bť vrchol parabol. Na záklae jej rovnice 4 = 2 viem, že A[0; 0]. U: Súhlasím. Ž: Ako zistím súranice boov B a C? U: Pomôžeme si obrázkom. Z rovnice parabol vieme, že jej os je rovnobežná s osou sústav súraníc. Vrchol je v začiatku sústav súraníc. Načrtneme parabolu a o nej rovnostranný trojuholník ABC. 2 = 4 B b O = A b 2 4 b C Ž: Bo B a C sú umiestnené pekne smetrick. U: Samozrejme. Parabola je osovo súmerná poľa svojej osi a aj rovnostranný trojuholník je osovo súmerný poľa osi precházajúcej jeným z jeho vrcholov kolmo na protiľahlú stranu. Ž: To ale znamená, že bo B a C majú rovnakú prvú súranicu. U: Správne. Aj to vužijeme. Venujeme sa najprv bou B. Nech má súranice B[ B ; B ]. Bo B patrí parabole, preto jeho súranice vhovujú rovnici parabol. Ž: Dosaím ich o rovnice a ostávam: 4 B = 2 B.

VoKu25-5 List 18 U: Pre jenouchosť označme B = b. Potom platí: Bo B má súranice B[ b2 4 ; b]. B = b2 4. Ž: Aha! A pre bo C platí C[ b2 ; b]. Prvá súranica je rovnaká a ruhá je opačná. 4 U: Dobre, máme pomocou neznámej b určené súranice boov B a C. Trojuholník ABC je rovnostranný. Čo to znamená? Ž: Má rovnako lhé stran, rovnaké vnútorné uhl... U: Informácia o stranách nám bue stačiť. Platí: BC = AB. Vjarime si tieto veľkosti pomocou súraníc. Ž: Na určenie vzialenosti voch boov použijem vzorec. Bo B[ b2 ; b] a bo C[ b2 ; b], preto 4 4 platí: (b ) 2 2 BC = 4 b2 + (b + b) 4 2. Poobne, keže A[0; 0] platí: (b ) 2 2 AB = 4 0 + (b 0) 2. U: Výborne. Porovnaním oboch veľkostí ostávame rovnicu: (b ) 2 2 (b ) 4 b2 2 2 + (b + b) 4 2 = 4 0 + (b 0) 2. Jej vriešením získame neznámu b. Ž: No... Nie je to veľmi pekná rovnica. U: Na oboch stranách vstupujú omocnin, preto umocníme obe stran rovnice na ruhú. Zároveň nul na pravej strane môžeme vnechať. Ž: Po umocnení ostávam: ( b 2 4 b2 4 ) 2 ( ) b + (b + b) 2 2 2 = + b 2. 4 Ten prvý člen vnechám, je to presa nula, neviem, čo ho toľko opisujem... Mám tea rovnicu: ( ) b (b + b) 2 2 2 = + b 2. 4 U: Tá už nevzerá tak hrozivo, prava? Vriešiš ju?

VoKu25-5 List 19 Ž: Pokúsim sa. Umocním zátvork: 4b 2 = b4 16 + b2. Ostránim zlomok, tea vnásobím rovnicu 16: A nakoniec ostávam rovnicu: 64b 2 = b 4 + 16b 2. 48b 2 b 4 = 0. U: Je to síce rovnica štvrtého stupňa, ale pomerne jenouchá. Stačí vbrať b 2 pre zátvorku. Ž: OK. Vzerá to takto: Z toho máme riešenia: b 2 (48 b 2 ) = 0. b = 0, a b = ± 48 = ±4 3. U: Súhlasím. Ak sa pozrieme na obrázok, viíme, že riešenie b = 0 nevhovuje. Ž: Jasné, to b nebol trojuholník, lebo všetk vrchol b splnuli o jeného bou. U: To znamená, že máme riešenie b = 4 3. Súranice boov boli B[ b2 ; b] a C[ b2 ; b]. Preto 4 4 po osaení b = 4 3 ostávame: B[12; 4 3] a C[12; 4 3]. Je zrejmé, že použitím ruhého riešenia b = 4 3 ostávame len vmenené súranice boov B a C. Ž: Vpočítam ešte ĺžku stran trojuholníka, napr. pomocou boov A[0; 0] a B[12; 4 3]. AB = (12 0) 2 + (4 3 0) 2 = 144 + 48 = 192 = 8 3. Veľkosť stran trojuholníka ABC je 8 3.