ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky dvou čar a označujeme je velkými písmeny latinské abecedy. Přímky označujeme malými písmeny latinské abecedy. Roviny označujeme malými písmeny řecké abecedy (,,,...). Na každé přímce a v každé rovině je nekonečně mnoho bodů, jsou to příklady nekonečných bodových množin. Když bod A splývá (je totožný) s bodem B píšeme A = B. Když bod A je různý od bodu B píšeme A B. Obdobně mluvíme o splývajících, resp. totožných (různých) přímkách a píšeme p = q (p q). Přímka a její části Každá přímka je jednoznačně určena dvěma různými body. Jinak řečeno libovolnými dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Přímku p zadanou body A B označujeme AB (zapisujeme p = AB). Leží-li bod C na přímce p (přímka p prochází bodem C) zapisujeme C p. Neleží-li bod D na přímce p (přímka p neprochází bodem D) zapisujeme D p. O bodech ležících (neležících) na přímce říkáme, že jsou (nejsou) incidentní s přímkou. Pokud přímka prochází (neprochází) bodem, říkáme, že přímka je (není) s bodem incidentní. Bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky a je jejich společným počátkem. Počátek P je společným bodem obou polopřímek. Každý jiný bod přímky p je vnitřním bodem jedné z obou polopřímek. Polopřímku s počátečním bodem P a vnitřním bodem A značíme PA. Opačnou polopřímku k polopřímce PA značíme PA. Dva geometrické útvary budeme pokládat za shodné, když je lze přemístěním ztotožnit. Např. jsou shodné každé dvě přímky, každé dvě polopřímky. Nejsou shodné každé dvě úsečky. Úsečka AB je průnik polopřímek AB a BA; přitom A B. Body A, B se nazývají krajní body úsečky. Ostatní body úsečky AB jsou její vnitřní body. Všechny vnitřní body úsečky AB tvoří množinu, kterou nazýváme vnitřek úsečky AB. Je tedy z obrázku zřejmé, že AB AB, AB BA, AB AB. Velikost úsečky AB představuje vzdálenost bodů A, B. Velikost úsečky AB značíme AB = a. Pro velikost úsečky někdy používáme označení délka úsečky. V některých případech písmenem a označujeme přímo úsečku. Uvažujeme-li dva splývající body A = B, mluvíme o nulové úsečce. Její délka je rovna nule. Shodné úsečky mají stejné délky. Shodnost úseček AB a CD zapisujeme AB CD. Pro shodné úsečky platí AB CD. Bod S, který úsečku AB dělí na dvě shodné úsečky, se nazývá střed úsečky. Platí AS SB Základní planimetrické pojmy... Strana 1
Jestliže platí úsečka AB. AB CD, říkáme, že úsečka AB je kratší než úsečka CD nebo že úsečka CD je delší než Součtem úseček o délkách a, b je každá úsečka, jejíž délka je a + b. Rozdílem úseček o délkách a, b (a b) je každá úsečka o délce a b. Vzájemná poloha přímek Dvě různoběžné přímky různoběžky mají jeden společný bod, průsečík. Je-li P průsečík různoběžek a, b, píšeme a b = P, příp. P a b. Skutečnost, že přímky jsou různoběžné, zapisujeme a X b. Dvě různé rovnoběžné přímky rovnoběžky nemají žádný společný bod. Rovnoběžnost přímek a, b píšeme a b, a b. Úsečky a polopřímky, které leží na rovnoběžných přímkách, nazýváme také rovnoběžné. Dvě přímky, které mají společné všechny své body, jsou splývající (totožné). Tento případ je považován za zvláštní případ rovnoběžnosti. Píšeme a b a b. Rovnoběžné přímky označujeme v obrázcích a náčrtcích pomocí dvojice rovnoběžných čárek, které jsou umístěny na daných rovnoběžných přímkách. Daným bodem můžeme vést nekonečně mnoho přímek, ale pouze jedna z nich je rovnoběžná s přímkou zadanou. Rovnoběžnost je vztah tranzitivní: je-li a b a b c, pak je také a c. Polorovina Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hranicí neboli hraniční přímkou. Hraniční přímka p patří do obou polorovin. Každý bod roviny, který neleží na hraniční přímce, je vnitřním bodem jedné z obou polorovin. Polorovinu s hraniční přímkou p a vnitřním bodem M značíme pm, je-li p = AB, pak pm = ABM Část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami a, b, tj. průnik polorovin ab, ba, kde A a, B b se nazývá rovinný pás; značíme (a, b). Základní planimetrické pojmy... Strana 2
Úhel Dvě polopřímky VA, VB dělí rovinu na dva úhly AVB. Úhly můžeme označovat i pomocí malých písmen řecké abecedy AVB. Polopřímky VA, VB se nazývají ramena. Bod V je vrchol úhlu. Každý bod úhlu, který neleží na žádném z ramen VA, VB je vnitřním bodem úhlu AVB. Měřením úhlu dostaneme nezáporné reálné číslo, kterému říkáme velikost úhlu. Velikost úhlu AVB značíme AVB Kvůli jednoznačnosti se u úhlu, který uvažujeme, kreslí oblouček. klasifikace úhlů podle velikosti nulový ostrý pravý tupý přímý plný 0. Ramena úhlu VA a VB splývají. Neobsahuje žádné vnitřní body. 0 90 90 90 180 180 360 Společný název pro úhly ostré a tupé jsou úhly kosé. Geometrický útvar se nazývá konvexní, právě když úsečka s krajními body v libovolných dvou bodech útvaru je částí tohoto útvaru. Konvexním úhel AVB je konvexní útvar ( ), nekonvexní úhel AVB je nekonvexní útvar ( ). Říkáme, že dva úhly jsou shodné, právě tehdy, když je možno jeden přemístit tak, že splynou. Píšeme pak AVB CUD. Shodné úhly mají stejnou velikost. Osa úhlu je polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu, která úhel rozdělí na dva shodné úhly. Součtem úhlů o velikostech, rozumíme každý úhel, jehož velikost je +. Každé dva konvexní úhly se dají sečíst. Neplatí to však pro úhly nekonvexní. Rozdílem úhlů o velikostech, ( ) je každý úhel o velikosti. Základní planimetrické pojmy... Strana 3
Dvojice úhlů Dva konvexní úhly AVB, AVC, které mají společné rameno VA a ramena VB, VC jsou navzájem opačné polopřímky, se nazývají úhly vedlejší. Součet vedlejších úhlů je přímý úhel. Pravý úhel je takový úhel, který je shodný se svým vedlejším úhlem. Všechny pravé úhly jsou shodné, Dva konvexní úhly AVB, CVD, jejichž ramena VA, VD a rovněž tak VB, VC jsou navzájem opačné polopřímky, se nazývají vrcholové úhly. Druhou dvojicí vrcholových úhlů jsou konvexní úhly AVC a BVD. Vrcholové úhly jsou shodné. Dva konvexní úhly AVB, BVC, které mají společné rameno VB a jejichž součet je pravý úhel se nazývají úhly doplňkové. Jsou dány dvě různé přímky a, b a přímka p, která je protíná v různých bodech A, B; říkáme, že přímky a, b jsou proťaty příčkou p. Dvojice úhlů, ;, ;, ;, se nazývají úhly souhlasné. Dvojice úhlů, ;, ;, ;, se nazývají úhly střídavé Jestliže jedna dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou p přímek a, b jsou úhly shodné, pak přímky a, b jsou rovnoběžné. Jsou-li přímky a, b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlů vyťatých příčkou p přímek a, b jsou úhly shodné. Dvě různoběžné přímky určují dvojici ostrých a dvojici tupých vrcholových úhlů nebo dvě dvojice vrcholových pravých úhlů. Základní planimetrické pojmy... Strana 4
Odchylka přímek Odchylkou dvou přímek a, b v rovině nazýváme: a) v případě různoběžných přímek velikost ostrého nebo pravého úhlu, který přímky svírají b) v případě rovnoběžných přímek velikost nulového úhlu. V případě = 90 nazýváme různoběžky přímkami navzájem kolmými neboli kolmicemi. Je-li přímka a kolmá k přímce b, píšeme a b. Průsečík kolmice s danou přímkou se nazývá pata kolmice. Daným bodem A lze vést k dané přímce p jedinou kolmici. Je-li a b a a c, pak je b c; je-li b c a a b, pak je a c ( ). Úsečky a polopřímky, které leží na kolmých přímkách, nazýváme také kolmé. Přímka, která prochází středem úsečky je k ní kolmá, se nazývá osa úsečky ( ). Vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost rovnoběžek Bod P je pata kolmice k vedené bodem A k přímce a. Vzdálenost bodu A od přímky a nebo naopak vzdálenost přímky a od bodu A je vzdálenost bodů A, P ( ); značíme ji Aa, platí tedy Aa AP. Je-li A a, je Aa = 0. 1 A, B jsou průsečíky rovnoběžných přímek a, b s libovolnou kolmicí k těmto přímkám. Vzdálenost rovnoběžných přímek a, b je vzdálenost bodů A, B. Značíme ji ab, platí tedy ab AB. Je-li a = b, je ab = 0. Základní planimetrické pojmy... Strana 5