5. Modifikovaný exponenciální rend Tvar rendu Paraer: α, β, Tr = + α β, =,..., n ( β > 0) Hodí se k odelování rendu s konsanní podíle sousedních diferencí Aspoick oezen (viz obr., α < 0,0 < β <, > 0) α < β Obr.: graf odifikovaného exp.rendu s paraer 0,0 < <, > 0 Odhad paraerů: Rozdělení souboru pozorování na ři sejně velké řein o délce (pokud není n=3 nějaká pozorování na začáku řad vnecháe) Sečee pozorování v jednolivých řeinách a obdržíe 2 3 2 3 αβ Tr = + αβ Tr = + ( β ) αβ Tr = + β + ( β ) β 2+ ( β ) β Řešení sousav obdržíe odhad a,b,c ve varu 3 2 b = 2 b a = 2 2 b( b ) c = ( ) ab( b ) ( b )
Příklad (T. Cipra: Analýza časových řad s aplikacei v ekonoii, SNTL, Praha 986) Odhadněe odifikovaný exponenciální rend pro časovou řadu průěrné spořeb asa (V kg) v ČSSR v leech 960 až 980, kerá je dána ve řeí sloupci následující abulk. Přio časový index pro rok 960 polože rovný jedné. Odhadněe spořebu asa pro rok 98. Rok 960 56,8 96 2 58,6 962 3 58,6 963 4 58,3 964 5 59, 965 6 6,7 966 7 62 967 8 62,9 968 9 69 969 0 68,9 970 7,9 97 2 73,7 972 3 75,8 973 4 76,7 974 5 78,4 975 6 8, 976 7 8 977 8 8,4 978 9 83,2 979 20 84,3 980 2 85,6 Řešení Grafický zázna da 90 80 70 60 50 40 30 20 0 0 0 5 0 5 20 25
7 = 2/3 = 7 S = = 45, ; S 2 = = 498, 9 ; S 3 = = 575 / = / 7 4 = 8 S3 S2 575 498,9 b = = = 0,986325, S2 S 498,9 45, 0,986325 a = 498,9 45, = 37, 7 2 0,986325 0,986325 ( ) ( ) 6 7 ( 0,986325 ) ( 0,986325 ) = 89, 586 45, ( 37,6) 0,986325 c = 7. Odhadnuý odifikovaný exponenciální rend a současně vrovnaná časová řada se ed počíají podle vzorce 2 = 5 ˆ = 89,586 37,6 0, 986325. Předpověď pro rok 98 je: ˆ22 = 89,586 37,6 0,986325 = 87, 939. Skuečná hodnoa pro rok 98 bla 86,6 kg. 6. Logisický rend Užií : Ekonoická oblas užií v odelech popávk po předěech dlouhodobé spořeb nebo při odelování vývoje, výrob a prodeje někerých druhů výrobků. Logisický rend paří ezi rendové funkce ve varu S křivk. Každá S-křivka vezuje na časové ose pě základních vývojově odlišných fází cklu (cklus = časové období od prosazení nových sil jako např.echnologií a výrobků až do jejich zániku, poé dochází k vsřídání novýi silai na kvaliaivně všší úrovni). Jednolivé fáze ůžee charakerizova:.fáze období, kd se začínají forova nové progresivní síl. 2.fáze období, kd se nové progresivní síl začínají plně prosazova a rozhodující ěrou ovlivňova další vývoj. 3.fáze období, kd nové progresivní síl zcela ovládl další vývoj, ale už se objevují i síl opoziční, luící jejich účinek. 4.fáze období, kd vzniklé opoziční síl posupně nabývají rvalou převahu nad dosavadníi silai, keré pozbl progresivnosi a v důsledku oho se vývojové endence podsaně zpoalují. 5 fáze období, kd opoziční síl nabl rozhodující převahu a zcela uluil vývoj dosavadních sil. Vývoj se zasavuje až do dob prosazování dalších progresivních sil. 22 (Hronová, S., Hindels, R., Seger,J.: Saisika pro ekono, Professional Publishing, Praha 2002)
Tvar rendu Tr =, =,..., n ( β > 0, > 0) + α β lnα Inflexe v bodě = Je aspoick oezen Derivace serická kole bodu inflexe dtr = Tr Tr d První derivace rendové křivk = růsová funkce paří ezi zv. S-křivk serické kole inflexního bodu ( ) Odhad paraerů α, β, Logisický rend a jeho derivace ( α >,0 < β <, > 0 ) a) Logisický rend lze považova za inverzi odifikovaného exponenciálního rendu lze použí eodu pro odifikovaný exponenciální rend na řadu b) Princip zv. diferenčních odhadů paraerů: Míso s původní řadou pracujee s řadou prvních diferencí +
dtr d pozorováníi V derivaci = Tr ( Tr ) nahradíe rendovou složku Přednáška 4 Tr skuečnýi Aproxiujee d d = ( ) d d ( + ) + = + = d d. Řada prvních diferencí Po úpravách obdržíe d = ln β + Meoda nejenších čverců odhad pro, odhad β, Odhad α : α β = logariujee a sečee přes =,,n ( n + ) n ln(( / ) ) lnα = +.Rhodesův vzah 2 = n Příklad (Hronová, S., Hindels, R., Seger,J.: Saisika pro ekono, Professional Publishing, Praha 2002) V následující abulce jsou uveden údaje o ročních počech prodaných osobních počíačů obchodní firou v leech 987-200. Tendenci ve vývoji prodeje popiše logisickou rendovou funkcí. Rok čas poče prodaných osobních počíačů 987 20 988 2 50 989 3 90 990 4 80 99 5 280 992 6 800 993 7 460 994 8 2700 995 9 4800 996 0 7600 997 00 998 2 4 200 999 3 6 800 2000 4 7 600 200 5 8 400
Řešení Grafický zázna da 20000 8000 6000 4000 2000 0000 8000 6000 4000 2000 0 0 2 4 6 8 0 2 4 6 Použií odifikovaného exponenciálního rendu na řadu + α β α = = + β. Tr α Po subsiuci = Tr, =, = α, β = β obdržíe Tr Tr = + α β, což je odifikovaný exponenciální rend. Odhadnee paraer α, β, (odhad označíe a, b, c ). Poé z odhadů a, b, c určíe odhad paraerů α, β, (označíe a, b, c), a o b = b, c =, a = a c. c Odhad paraerů b 0,48348 b 0,48348 a 0,098726 a 839,068 c 5,37E-05 c 8628,04 Odhadnuý logisický rend: Původní a vrovnaná řada ˆ 8628,04 = + 839,068 0,48348
20000,00 8000,00 6000,00 4000,00 2000,00 0000,00 8000,00 vrovnaná řada původní řada 6000,00 4000,00 2000,00 0,00 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 Původní a vrovnané hodno řad čas Původní údaje Vrovnané hodno 20 20,93 2 50 43,23 3 90 89,20 4 80 83,55 5 280 375,69 6 800 760,65 7 460 507,52 8 2700 2869,93 9 4800 5097,04 0 7600 857,72 00 494,95 2 4 200 4329,04 3 6 800 6268,27 4 7 600 7407,26 5 8 400 807,4