ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE

ČESKÁ ZEMĚDĚLSKÁ UNIVERZITA V PRAZE Fakulta životního prostředí Katedra vodního hospodářství a environmentálního modelování Obor: Environmentální modelování Modelování odtoku z povodí pomocí Boussinesqovy rovnice (Diplomová práce) Autor: Veronika Kajtárová Vedoucí: Ing. Jiří Pavlásek, Ph.D. 8

Prohlašuji, že jsem celou diplomovou práci na téma Modelování odtoku z povodí pomocí Boussinqovy rovnice vypracovala samostatně za použití uvedené literatury a podle pokynů vedoucího diplomové práce. V Praze dne 3. dubna 8 Veronika Kajtárová

Poděkování Děkuji všem, kteří mě doprovázeli, podporovali a pomáhali mi při studiu a při psaní diplomové práce, nejdříve svému vedoucímu diplomové práce Ing. Jiřímu Pavláskovi, Ph.D, dále svému manželovi, rodičům, sestrám, přátelům a také Bohu.

Modeling of outflow from catchment using Boussinesq equation Abstract This diploma work is focused on modeling of outflow from small sylvan catchments. Total runoff from catchment is build by base flow and direct runoff. Direct runoff is build by surface runoff and by subsurface runoff and develops as a quick reaction on precipitation. Base flow is build by ground water and develops as a slow reaction on a long lasting precipitation. This work solves the outflow from sloping area using Dupuit assumption and second Boussinesq approximation. The Boussinesq equation is solved by separation of space and time variables. Some of equations are carried out by the numerical method Runge-Kutta. For model calibration and verification are used data, which are obtained from experimental catchment Modrava in Šumava (experimental catchment of ČZU). The model is able to simulate the base flow and also the direct runoff.

Obsah Obsah Obsah... ÚVOD... ROZBOR LITERATURY.... Voda v půdě.... Proudění vody v půdě...3.3 Vlastnosti půdního prostředí...3.3. Pórovitost...3.3. Storativita...5.3.3 Homogenita, heterogenita...5.3.4 Izotropie, anizotropie...6.4 Proudění podzemní vody...6.4. Darcyho zákon...7.4. Meze platnosti Darcyho zákona...8.4.3 Nasycená hydraulická vodivost...9.4.4 Počáteční podmínky....4.5 Okrajové podmínky....4.6 Hydraulický přístup....4.7 Dupuitovy postuláty....4.8 Boussinesqova rovnice...4.4.9 Boussinesqova první a druhá aproximace...5 3 ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC...9 3. Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině...9 3. Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině...3 4 MODEL ODTOKU PODZEMNÍ VODY...6 5 VÝSLEDKY A DISKUZE...9 5. Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině...9 5. Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině...3 5.3 Kalibrace a verifikace modelu...36 5.4 Simulace...37 6 ZÁVĚR...39 7 PŘÍLOHY...4 7. Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině...4 7. Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině...44 7.3 Kalibrace modelu...49 7.4 Verifikace modelu...57 Seznam použitých symbolů...6 Seznam literatury...63

Úvod ÚVOD Tato diplomová práce zaměřená na problematiku malých lesních povodí řeší odtok vody z povodí. Celkový odtok z povodí je tvořen základním odtokem a přímým odtokem. Přímý odtok tvořen povrchovým a podpovrchovým odtokem vzniká jako rychlá reakce na srážkovou událost. Základní odtok, což je většinová část celkového odtoku, tvořen odtokem podzemní vody, vzniká jako pomalá reakce povodí na dlouhodobou dotaci vody do podzemí z trvalé pokrývky sněhu, či z dlouhodobých dešťů. Krátkodobé, třebaže vydatné, deště se na základním odtoku téměř nepodílejí, neboť k povrchu podzemní vody nestihnou dotéct, způsobují však rychlé navýšení průtoků v říčním profilu, přívalové deště pak povodňovou událost. Pro člověka, zvířata a rostliny nemají krátkodobé deště příliš velký význam, neboť většina vody i ze silného přívalového deště z krajiny během pár dnů zmizí a také období beze srážek jsou delší než období se srážkami. Naopak podzemní voda jako zásoba vody v povodí poskytuje stálý přísun vody do půdy, toků, vodních nádrží, studní, a tak slouží jako zdroj života pro rostliny, živočichy i pro člověka. Tato práce si klade za cíl namodelovat odtok vody z povodí, především odtok základní a také odtok přímý, pomocí Boussinesqovy rovnice. V první části diplomové práce je uveden přehled základních vztahů a zákonitostí popisujících problematiku proudění podzemní vody. Dále jsou upraveny rovnice pro řešení proudění podzemní vody na svahu pomocí separace časových a prostorových proměnných. Tyto rovnice jsou použity pro modelování odtoku podzemní vody z malých lesních horských povodí. Při kalibraci a verifikaci modelu jsou použita data naměřená na pokusném povodí Modrava nacházejícím se na Šumavě.

Rozbor literatury ROZBOR LITERATURY. Voda v půdě Veškerá voda nacházející se pod zemským povrchem bývá označována termínem podpovrchová voda. Voda dopadající na povrch půdy částečně infiltruje, vlivem gravitace se pohybuje směrem dolů a akumuluje se nad nepropustným podložím. Prostředí, kterým voda proudí pod povrchem půdy je tvořeno pevnou fází a volnými prostory (póry, puklinami, kavernami apod.). Podle relativního vyplnění skulin a pórů vodou může být podpovrchová voda rozdělena na několik horizontálních zón. Na obr.. je schematicky znázorněno rozdělení podpovrchové vody v homogenním prostředí. Podle toho, zda jsou všechny póry zcela vyplněny vodou, či nikoliv, rozlišujeme zónu nasycenou (zvodnělou) a zónu nenasycenou (zónu provzdušnění aerace). Nasycená zóna zahrnuje částečně pásmo kapilární vody a celé pásmo podzemní vody. Nenasycená zóna zahrnuje tři pásma: pásmo půdní vody, přechodné pásmo a částečně pásmo kapilární vody (Valentová 7). Obr.. Rozdělení vody ve vertikálním profilu (Valentová 7). Podzemní voda je shora ohraničena volnou hladinou podzemní vody a zdola nepropustným podložím. Na volné hladině podzemní vody je hydraulický tlak roven tlaku atmosférickému (Šilar 996).

Rozbor literatury. Proudění vody v půdě Proudění vody v půdě je většinou nestacionární. Proud vody v půdě je neustálený (nestacionární), jestliže se průtok v dané průtočné ploše mění s časem a v daném okamžiku je v různých průtočných plochách různý (závisí tedy na dráze). Rychlost proudu vody v nasyceném prostředí počítaná na základě makroskopicky pozorovaných veličin je označována jako makroskopická rychlost (též zdánlivá rychlost), odpovídající průměrné rychlosti v celé ploše průřezu porézním prostředím (jako kdyby půdní zrna neexistovala), tj. kontinuální přístup. Skutečná rychlost vody v pórech je ale velmi různá v závislosti na konfiguraci půdních pórů (rytmická proměnlivost průřezů pórů, existence neprůchodných pórů, zakřivenost pórů apod.). Tato skutečná rychlost je průměrem mikroskopických rychlostí pro jednotlivé průřezy pórů. Mikroskopické rychlosti jsou velmi variabilní, zvětšují se s velikostí pórů, se vzdáleností od stěn pórů od středu jejich průřezové plochy. Dále je třeba podotknout, že voda pevně vázaná na povrchu stěn pórů (částic) není pohyblivá a zmenšuje tak průtočný profil pórů. Proto se místo pórovitosti používá tzv. efektivní pórovitost. Upřesňuje se tím objem pórů s pohyblivou vodou (Drbal 984)..3 Vlastnosti půdního prostředí.3. Pórovitost Vztah pro výpočet pórovitosti uvádí Tourková (4): Vp n = V (.) kde: n - pórovitost [-] Vp - objem pórů [L 3 ] V - celkový objem zeminy [L 3 ] Na pórovitost má vliv tvar i vzájemné uložení zrn, jak je patrno z obr., který znázorňuje několik typických případů pravidelného uspořádání kulových částic ve vrstvě. U volně nasypaných vrstev složených z běžných zrnitých nebo krystalických materiálů se pórovitost pohybuje v rozmezí od,3 do,5 (Novák a Rieger ). 3

Rozbor literatury Obr.. Pórovitost různě uspořádaných vrstev kulových částic (Novák a Rieger ). Efektivní pórovitost se nazývá rovněž účinná pórovitost a vyjadřuje objem gravitační vody, který vyteče z plně nasyceného vzorku zeminy. Se stoupající velikostí zrna zeminy pórovitost obvykle klesá a efektivní pórovitost stoupá (obr..3). Tab.. znázorňuje zařazení zemin do zrnitostních kategorií podle velikosti zrna. Příklady efektivní pórovitosti: štěrk 5%, písek %, pískovec % a jíl 3% (Tourková 4). Tab.. Zrnitostní kategorie dle Kopeckého doplněné podrobnějším dělením I. Kategorie a základním dělením skeletu (Drbal 984). Označení Pojmenování Podrobné dělení kategorie kategorie Průměr zrn [mm] Pojmenování Průměr zrn [mm] koloidní jíl <, I. jílnaté částice <, fyzikální jíl <, jemný prach, -, II. prachové částice, -,5 III. práškový písek,5 -, IV. písek, -, štěrk drobný, - 6, skelet >, štěrk střední 6, - 63, štěrk hrubý 63, - 5, kameny >5, Obr..3 Závislost efektivní pórovitosti na velikosti zrn (Valentová 7). 4

Rozbor literatury.3. Storativita Objem vody v elementu kolektoru s volnou hladinou je při jednotkové horizontální ploše dán výškou volné hladiny podzemní vody (viz obr..4). Obr..4 Schéma pro definici storativity v kolektoru s volnou hladinou (Valentová 7). Jestliže v důsledku proudění podzemní vody je množství vody opouštějící uvažovaný element větší než množství přitékající vody, dojde k poklesu hladiny. Zásobnost kolektoru se definuje výrazem: S = V v A h (.) kde: S - storativita [-] V - změna objemu vody v elementu kolektoru [L 3 ] A - horizontální plocha elementu kolektoru [L ] h - pokles hladiny podzemní vody v elementu kolektoru [L] Pro hlinité písky se hodnota storativity pohybuje v rozmezí,5 až,5, pro jemnozrnné až hrubozrnné písky v rozmezí,9 až,3. Hodnota storativity kolektoru s volnou hladinou je často nahrazována efektivní pórovitostí..3.3 Homogenita, heterogenita Porézní prostředí je homogenní vzhledem k dané vlastnosti (např. hydraulické vodivosti), jestliže ve všech bodech je tato vlastnost stejná. Jestliže se vlastnost mění v závislosti na poloze v oblasti, jedná se o prostředí nehomogenní (heterogenní) (obr..5). 5

Rozbor literatury.3.4 Izotropie, anizotropie Prostředí je izotropní vzhledem k nějaké vlastnosti, jestliže je tato vlastnost v daném bodě nezávislá na směru v uvažovaném prostředí. V opačném případě je prostředí neizotropní (anizotropní) (obr..5). Anizotropie vzhledem k hydraulické vodivosti je vyvolána strukturou porézního materiálu a způsobuje vyšší propustnost pro vodu v některém směru. Obr..5 Možné kombinace homogenity a izotropie (Valentová 7)..4 Proudění podzemní vody Řídícími silami, které ovlivňují pohyb vody v nasycené zóně, je gravitace a tlakový gradient. V hydraulice podzemní vody se pracuje s hydraulickou výškou. H = z + p ρg (.3) kde: H - hydraulická výška [L] z - geodetická výška [L] p - tlak vody v daném bodě pod hladinou podzemní vody [L -.M.T - ] ρ - hustota vody [M.L -3 ] g - tíhové zrychlení [L.T - ] p = h p ρ g (.4) kde: h p - tlaková výška neboli hloubka daného bodu pod hladinou podzemní vody [L] 6

Rozbor literatury Obr..6 Schematický nákres piezometru (přístroj k určování hydraulické výšky) (Valentová 7)..4. Darcyho zákon Jako pohybová rovnice se v hydraulice podzemní vody běžně aplikuje empirický Darcyho zákon (aparatura, pomocí níž byl odvozen, je znázorněna na obr..7): ( H H ) L Q = KS (.5) kde: Q - průtok [L 3.T - ] K - nasycená hydraulická vodivost [L.T - ] S - průřezová plocha sloupce [L ] (H -H ) - ztráta hydraulické výšky při průtoku vody sloupcem zeminy [L] L - délka sloupce [L] Obr..7 Aparatura Darcyho experimentu (Valentová 7). Jeho diferenciální forma pro jednorozměrné proudění vody v homogenním prostředí vypadá takto: 7

Rozbor literatury dh v = K dl (.6) kde: v - Darcyovská rychlost proudění vody [L.T - ] dh/dl - gradient hydraulické výšky hydraulický gradient [-] Koeficientem úměrnosti je nasycená hydraulická vodivost, základní hydraulická charakteristika daného porézního materiálu, která má rozměr rychlosti. Nasycená hydraulická vodivost je v případě neizotropního prostředí popsána pomocí tenzoru: K K = K K x x xy xz,,, K K K xy y y zy,,, K K K xz yz z z (.7) kde: K ii - složky tenzoru nasycené hydraulické vodivosti [L.T - ] Zobecněný tvar Darcyho zákona pro trojrozměrné proudění vody v anizotropním prostředí vyjadřují rovnice: v x = K xx H x K xy H y K xz H z (.8) v y = K yx H x K yy H y K yz H z (.9) v z = K zx H x K zy H y K zz H z (.).4. Meze platnosti Darcyho zákona Darcyho zákon je lineární zákon, vyjadřující lineární závislost makroskopické neboli zdánlivé rzchlosti na hydraulickém gradientu. Tato lineární závislost neplatí pro celé rozmezí hodnot gradientu hydraulické výšky mezi nulou a, je omezena dolní i horní limitní hodnotou gradientu (obr..8). Při průsaku velmi jemnozrnným materiálem s nízkou propustností existuje limitní hodnota hydraulického gradientu, při které ustává pohyb kapaliny. Druhé omezení použitelnosti Darcyno zákona je při průsaku velmi hrubozrnným materiálem, při kterém dochází k nelineární závislosti mezi růstem gradientu potenciálu a růstem rychlosti. 8

Rozbor literatury Obr..8 Závislost rychlosti proudění na gradientu potenciálu (Valentová 7). Horní limit platnosti Darcyho zákona může být překročen při proudění v krasových vápencích a dolomitech a ve vulkanických horninách s kavernami. Proudění podzemní vody se děje většinou tak, že je Darcyho zákon aplikovatelný (Valentová 7)..4.3 Nasycená hydraulická vodivost Velikost nasycené hydraulické vodivosti závisí na vlastnostech porézního prostředí i na vlastnostech proudící kapaliny. Tabulka. a tabulka.3 uvádí orientační hodnoty nasycené hydraulické vodivosti při proudění vody v různých druzích zeminy. Tab.. Orientační hodnoty hydraulické vodivosti (Valentová 7). Koeficient nasycené druh zeminy hydraulické vodivosti [m/s] jíl <. -8 písčitá hlína <. -6 hlinitý písek ulehlý ( - 5). -6 písek s příměsí jílu ( - ). -6 hlinitý a jemný písek ( - 5). -5 hrubozrnný písek ( - 5). -4 štěrkopísek ( - ). -4 štěrk ( - 5). -3 9

Rozbor literatury Tab..3 Informativní hodnoty hydraulické vodivosti podle hrubé závislosti na zrnitosti půda (Drbal 984). koeficient hydraulické vodivosti [m/s] poznámka rašeliny ( - ). -7 K klesá s růstem rozložení jíly ( - ). -7 obvykle <. -7 písky ( - 6). -5 obvykle > 3,5. -5 Drbal (984) uvádí klasifikaci propustnosti půd (tab..4). Tab..4 Klasifikace propustnosti půd (Drbal 984). koeficient hydraulické vodivosti Klasifikace propustnosti [inch/hour] [m/s] velmi nízká <,5 < 3,5.-7 nízká,5 -, 3,5. -7 -,4. -6 středně nízká, -,8,4. -6-5,6. -6 střední,8 -,5 5,6. -6 -,8. -5 středně vysoká,5-5,8. -5-3,5. -5 vysoká 5, - 3,5. -5-7,. -5 velmi vysoká > > 7,. -5.4.4 Počáteční podmínky Počáteční podmínky charakterizují stav proudění v celé řešené oblasti v počátečním čase (t=) sledovaného procesu: H = f (x,y,z,t) (.) kde: f - známá funkce x,y,z - souřadnice libovolného bodu [L] t - čas [T] Vztah (.) vyjadřuje, že pro libovolný bod o souřadnicích x,y,z známe v čase t= hydraulickou výšku. Počáteční podmínky se uplatní při řešení nestacionární úlohy, kde se průběh hydraulické výšky s časem mění.

Rozbor literatury.4.5 Okrajové podmínky Obr..9 Příklad proudění mezi dvěma řekami (Valentová 7). Přehled jednotlivých typů okrajových podmínek uvádí Valentová (7): a) Hranice s předepsanou hodnotou hydraulické výšky (okrajová podmínka prvního typu, nazývaná také Dirichletova). Ve všech bodech hranice řešené oblasti nebo na její části známe hodnotu hydraulické výšky po celou dobu zkoumaného procesu: H = f (x,y,z) nebo H = f (x,y,z,t) (.) První případ vyjadřuje stacionární okrajovou podmínku, zatímco ve druhém případě je okrajová podmínka závislá na čase. Okrajové podmínky tohoto typu se vyskytuj vždy tam, kde je oblast proudění ve styku s otevřenou vodní hladinou: řekou, jezerem apod. V případě na obrázku.9 jsou úseky AB a EF úseky hranice s předepsanou hydraulickou výškou. b) Hranice s předepsaným tokem (okrajová podmínka druhého typu, nebo také Neumanova). Ve všech bodech hranice je známá hodnota toku ve směru kolmém na hranici: v n = f (x,y,z,t) (.3) kde: v n - složka rychlosti kolmá k hranici oblasti [L.T - ] Speciálním případem této okrajové podmínky je nepropustná hranice, kdy v n =. V obrázku.9 je úsek AF hranicí s předepsaným tokem. c) Polopropustná hranice (smíšená okrajová podmínka, nebo Newtonova (někdy také Cauchyho) okrajová podmínka). Tento typ okrajové podmínky se vyskytuje tam, kde je oblast proudění v kontaktu s otevřeným vodním zdrojem (nebo jiným porézním prostředím), ale je od něj oddělena polopropustnou vrstvou.

Rozbor literatury d) Volná hladina. V obr..9 se jedná o úseky BC, CD a DE. Protože hodnota tlaku na hladině podzemní vody je rovna nule, je hydraulická výška rovna výšce geodetické: H (x,y,z,t) = z nebo H (x,y,z,t) z = (.4) e) Výronová plocha. Jde o součást volné hladiny podzemní vody, v obr..9 se jedná o úseky BC a DE. Výronovou plochou voda vystupuje na hranici porézního prostředí a volně po ní stéká. Pro výronovou plochu opět platí, že tlaková výška je rovna nule: H (x,y,z,t) = z (.5).4.6 Hydraulický přístup Hydraulický přístup představuje zjednodušený postup řešení proudění podzemní vody. U většiny zvodní je jejich výška relativně malá ve srovnání s horizontálními rozměry. Na základě toho se předpokládá, že proudění má převážně vodorovný směr a jeho vertikální složky se zanedbávají. Tento přístup se používá také při řešení zvodní s volnou hladinou..4.7 Dupuitovy postuláty Hodnota hydraulické výšky a rychlosti proudění v libovolném bodě zvodně je funkcí prostorových souřadnic a času a jejich hodnoty je teoreticky možné získat řešením platných diferenciálních rovnic. Na obr..a je vykreslen úsek zvodně s volnou hladinou. V případě stacionárního proudění je volná hladina proudnicí a v každém bodě hladiny má vektor hustoty toku směr tečny k této hladině. Velikost hustoty toku je možné vyjádřit pomocí Darcyho zákona jako: v s = K dh ds = K dz ds = K sinθ (.6) kde: v s - vektor hustoty toku ve směru osy x [L.T - ] θ - úhel, který svírá tečna k hladině s vodorovným směrem [-] Ekvipotenciály jsou křivky kolmé na proudnice. V roce 863 publikoval Dupuit řešení proudění ve zvodni s volnou hladinou založené na zjednodušujících postulátech. Sklon hladiny podzemní vody je většinou velmi malý:

Rozbor literatury / až /, a proto je možné směr proudění pokládat za horizontální. Dupuitovy postuláty je možné vyjádřit následujícím způsobem: a) Hydraulická výška H(x,y,z) je rovna výšce hladiny podzemní vody h(x,y), proudnice jsou vodorovné přímky a ekvipotenciály svislice. b) Gradient potenciálu je dán sklonem volné hladiny a je po svislici konstantní: dh (x, y, z ) = dh (x, y ) dx dx kde: h (.7) - výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím [L] Obr.. Dupuitovy postuláty (Valentová 7). Je-li úhel θ velmi malý, je možné nahradit sin θ =dh/ds sklonem hladiny tg θ = dh/dx. Ekvipotenciály jsou svislice a hydraulická výška není funkcí vertikální souřadnice z (tzn. H=h(x) místo H=h(x,z)), viz obr..b. Darcyovskou rychlost lze pomocí Dupuitových postulátů vyjádřit jako: vx = K dh dx, h=h(x) (.8) Průtok vztažený na jeden metr šířky zvodně (specifický průtok): qx = h(x ) v (x )dz x (.9) kde: qx - specifický průtok ve směru osy x [L.T-] Integrací rovnice (.9) při zavedení vztahu (.8) dostáváme rovnici pro výpočet specifického průtoku ve směru osy x pro homogenní prostředí: 3

Rozbor literatury dh q x = K h( x) dx (.).4.8 Boussinesqova rovnice Protože podle Dupuitových postulátů je hydraulická výška na svislici konstantní, je také rychlost proudění po svislici konstantní. Je-li h výška hladiny v bodě kolektoru X, můžeme složky specifického průtoku vyjádřit jako qx=vx.h a qy=vy.h. Obr.. Bilanční elementární objem kolektoru s volnou hladinou (Valentová 7). Provedeme-li bilanci množství vody v objemu, viz obr.., dostáváme rovnici kontinuity ve tvaru: q q x y h x y t x y t + R x y t = S x y t (.) x y t kde: R - přítok na hladinu podzemní vody [L.T - ] Vertikální přítok či odtok R (na obr.. značeno N) má kladnou hodnotu, představuje-li infiltrované množství srážek, může být funkcí polohy a času (Valentová 7). Rovnice kontinuity vyjadřuje zákon zachování hmoty, neboli algebraický součet hmotnosti vstupující do určitého objemu a hmotnosti z něho vystupující se rovná změně hmotnosti v tomto objemu (Drbal 984). Po úpravě rovnice kontinuity (.) a po dosazení rovnice (.) dostaneme rovnici proudění v homogenním neizotropním prostředí: 4

Rozbor literatury 5 t h S R y h h K y x h h K x y x = + + (.) Pro proudění v homogenním izotropním prostředí, které je dotováno vertikálním přítokem dostáváme rovnici známou jako Boussinesqova rovnice. Tato rovnice je nelineární: t h K S K R y h h y x h h x = + + (.3) Při odvození uvedených rovnic se zavádí další zjednodušující postulát: Darcyho zákon platí i při nestacionárním proudění. Chyby, kterou se použitím tohoto postulátu dopouštíme, je tím větší, čím rychleji se proudění mění s časem. Zanedbáváme vliv setrvačných sil (Valentová 7). Koopmans () uvádí Boussinsqovu rovnici ve tvaru: t h R z h h z K y h h y K x h h x K z y x = + + + µ (.4) kde: µ drenážní pórovitost [-].4.9 Boussinesqova první a druhá aproximace Pro řešení proudění podzemní vody na nakloněném nepropustném podloží se převážně používá Boussinesqových aproximací, které byly odvozeny pro řešení drenážní soustavy na svahu. Tyto aproximace vycházejí z dvou různých verzí Dupuitova postulátu aplikovaného na nakloněné nepropustné podloží: a) Ve své první publikaci v roce 877 vycházel Boussinesq z předpokladu, že hladina podzemní vody a proudnice jsou skoro rovnoběžné s nakloněným nepropustným podložím, a proto je hydraulický potenciál konstantní v rovině kolmé na nepropustné podloží. Tento předpoklad použili také Henderson a Wooding (964) a Childs (97). b) V druhé publikaci v roce 94 uvedl Boussinesq teorii, že proudnice jsou horizontální, což je základní Dupuitův předpoklad. Tento postup je určen pro mírnější svahy a dále ho použili Schmid a Luthin (964). Rozdíl v koordinačních systémech při řešení proudění podzemní vody na svahu je znázorněn na obr...

Rozbor literatury z + M z * N q x q x h M + h N* H + H* x M + x N* θ θ x + x * a b Obr.. Koordinační systémy při řešení proudění podzemní vody na svahu a) Boussinesqova první aproximace (BPA). b) Boussinesqova druhá aproximace (BDA). Diferenciální rovnici pro ustálené proudění podzemní vody na svahu v homogenním prostředí odvozenou pomocí Boussinesqovy první aproximace (BPA) uvádí Lesaffre (987) ve tvaru: d dx + h + dh dx + + + R R sh + = K K (.5) kde: x + - osa koordinačního systému pro BPA [L] h + - výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím pro BPA [L] s - sklon nepropustného podloží (tan θ) [-] Lesaffre (987) uvádí také tvar diferenciální rovnice pro Boussinesqovu druhou aproximaci (BDA): d dx dh dx R K * * * h sh + = * * (.6) kde: x * - osa koordinačního systému pro BDA [L] h * - výška hladiny podzemní vody nad nepropustným podložím pro BDA [L] Výchozí vztahy pro odvození diferenciální rovnice (.6) jsou: rovnice (.7) vyjadřující hydraulický potenciál, pohybová rovnice (.8) odvozená z Darcyho zákona s ohledem na Boussinesqovu druhou aproximaci a rovnice kontinuity (.9). * * * ϕ( x ) = h x tanθ (.7) 6

Rozbor literatury kde: ϕ(x + ) - hydraulický potenciál [-] θ - sklon nepropustného podloží [l] * * * dh * * q x ( x ) = K( h ) h + sh K( h ) dx (.8) dq x = * * ( x ) Rdx (.9) Obě aproximace musejí vést ke stejným výsledkům, jestliže je nepropustné podloží horizontální (v tomto případě zaniká rozdíl v koordinačních systémech) a při malých sklonech se liší minimálně (Wooding a Chapman, 966). Po zavedení parametru σ upravil Lesaffre (987) diferenciální rovnice (.5) a (.6) pro Boussinesqovu první i druhou aproximaci do shodného tvaru: d du h dh du σ h + = (.3) kde: u = x R K - substituovaná proměnná pro BPA i pro BDA [L] ( R K ) s σ = - pro Boussinesqovu první aproximaci [-] R K s σ = - pro Boussinesqovu druhou aproximaci [-] R K Rovnicí (.3) je pro další úpravu rovnic pro proudění podzemní vody na svahu vyřešen rozdíl v koordinačních systémech pro Boussinesqovu první a druhou aproximaci. Dále jsou v textu použity (mimo grafického znázornění) proměnné bez indexů + a * s platností pro obě aproximace. Řešení rovnic (.5) resp. (.6) pro drenážní systém, kdy jsou drény uložené na nepropustném podloží uvádějí Towner (975) resp. Schmid a Luthin (964). Tito autoři uvádějí, že hladina mění svůj tvar v kritickém bodě řešení. Tato změna nastává při hodnotě σ =. Při hodnotách σ < je proudění rozdělené mezi oba drény. Při hodnotách σ > proudí voda pouze k dolnímu drénu. Rozdíly mezi Boussinesqovou první a druhou aproximací jsou patrné ze vzorců odvozených pro jednotlivé aproximace. Obecně se uvažuje, že Boussinesqova druhá aproximace je omezena na mírnější sklony, ale dosud neexistuje detailnější popis podmínek, pro které je platná (Hartani, Lesaffre a Zimmer, ). 7

Rozbor literatury Boussinesqova první aproximace (BPA) byla zavedena do výpočtů pro návrh drenážních systémů Woodingem a Chapmanem (966) a Childsem (97). Tito autoři uvádějí rozdíly ve vypočtených hodnotách pro BPA a BDA. Towner (975) porovnal výsledky z viskózního modelu s hodnotami vypočtenými na základě BPA a uvádí, že výsledky jsou přijatelné i pro větší sklony. Rozdíly se mírně zvyšují s rostoucím poměrem R/K. V další publikaci uvádí Marei a Towner (975), že při porovnání BPA a BDA je správná teorie, že proudnice jsou rovnoběžné s nepropustným podložím. Na základě těchto studií použil BPA Lesaffre (987) při odvození analytického vztahu pro návrh drenážních soustav na skloněném nepropustném podloží. Při porovnání maximální výšky hladiny odvozené pomocí Boussinesqovy druhé aproximace (BDA) a výsledků studie viskózního modelu, které provedli Guitjens a Luthin (965), se rozdíly mezi vypočtenými hodnotami a modelem zvyšují s rostoucím sklonem a vyšším poměrem R/K. Zároveň ale uvádějí, že při sklonech do,3 jsou chyby relativně malé. Porovnání výsledků odvozených pomocí BDA s viskózním modelem do sklonu nepropustného podloží,8 provedli Ram a Chauhan (987) a uvádějí dobrý souhlas v porovnávaných hodnotách. Pro účely návrhu drenáže dokonce doporučují pro půdy se středními sklony použít rovnice odvozené pro horizontální nepropustnou vrstvu. Z BDA vycházel také McEnroe (994) při návrhu odvodnění skládek. U BPA se ale narozdíl od BDA obtížněji určují okrajové podmínku, a proto je BDA stále využívána při navrhování odvodňovacích soustav, které se většinou provádějí na územích s nižší sklonitostí. 8

Řešení diferenciálních rovnic 3 ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC 3. Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině Při ustáleném proudění podzemní vody na svahu, kdy se předpokládá, že voda proudí stále pouze směrem ze svahu dolů, nastává při hodnotě σ = změna ve tvaru hladiny podle obr. 3. (pro Boussinesqovu první aproximaci). Při hodnotách σ < se na horním konci svahu vytvoří výška h [L]. Při hodnotách σ je výška hladiny na horním konci svahu nulová. Po integraci rovnice (.3) dostaneme tvar: dh h σ h + u = c (3.) du kde c je integrační konstanta. Pro vyšetření hodnoty této konstanty musíme provést analýzu tvaru hladiny v bodě A (obr. 3.). z + z + h + B A H + A B H + a θ C x + b θ C x + Obr. 3. Změny tvaru hladiny podzemní vody při různých hodnotách faktoru σ pro Boussinesqovu první aproximaci: a) σ <, b) σ. Sklon hladiny dh/dx v x A = je za předpokladu, že voda na horním konci svahu neproudí, roven sklonu nepropustného podloží. Okrajové podmínky v bodě A jsou pro zjištění konstanty c následující: dh dh s x = x A = h = h u = = s = dx du R K Rovnice (3.) byla upravena pro okrajové podmínky v bodě A na tvar: s h σ = c (3.) R K 9

Řešení diferenciálních rovnic a byla řešena zvlášť pro Boussinesqovu první a druhou aproximaci. Pokud dosadíme do upravené rovnice vzorec σ z BPA, bude mít rovnice dvě různé hodnoty konstanty c závislé na hodnotě výšky hladiny h. Pro hodnoty h >, což odpovídá hodnotám faktoru hladiny σ <, bude mít konstanta hodnotu c = h s R K. Pro nulovou hodnotu výšky hladiny na konci svahu bude mít i konstanta c nulovou hodnotu (h =, c = ). Pokud budeme řešit konstantu pro BDA zjistíme, že první a druhý člen v závorce je totožný. Závorka má tedy nulovou hodnotu a pro libovolnou hodnotu h bude i hodnota konstanty c nulová. Poloha maximální výšky hladiny na ose x se vypočte z podmínky nulového sklonu hladiny v x = x H jako: H + c = σ (3.3) R K x H Pro další úpravu rovnice (3.) nahradíme v = u c a w = h/v a rovnici upravíme na tvar: w wdw = σw + dv v (3.4) Pokud zjišťujeme podmínky řešení rovnice (3.4), vypočítáváme ve zlomku na levé straně kvadratickou rovnici, která má reálné kořeny v případě, že σ >, a nereálné pro hodnoty σ <. Tento fakt odpovídá změně tvaru hladiny podzemní vody v kritické hodnotě σ =. Pro tyto tři rozdílné hodnoty parametru σ dále řešíme rovnici (3.4) a získáme vzorce pro výpočet maximální výšky hladiny podzemní vody při ustáleném proudění. Pro hodnotu σ = upravíme rovnici (3.4) na tvar: wdw dv = ( w ) v (3.5) kde v = u c u = R K x w = h/v Následnou integrací dostaneme: ln (3.6) w ( w ) = ln v + c

Řešení diferenciálních rovnic Konstantu c vypočteme pomocí okrajových podmínek v místě maximální výšky hladiny podzemní vody, kdy předpokládáme, že sklon hladiny dh/dx je nulový, h = H, v = H, w =. c = ln H 4 (3.7) + Pokud dále řešíme rovnici (3.6) pro okrajové podmínky h = h L, v = v L dostaneme rovnici pro výpočet maximální výšky hladiny podzemní vody pro σ = ve tvaru: v ( ) L 4hL H = h L vl exp (3.8) hl vl Pro hodnotu σ > řešíme rovnici (3.4) a po integraci získáme tvar: ln( σ w σ λ σ c (3.9) 3 λ w σ + λ w w + ) + ln = ln v + kde λ = σ Hodnota konstanty c 3 vypočtená pomocí okrajových podmínek h = H, v = σh, w = /(σ) má hodnotu: σ (σ ) σ λ c 3 = ln H + ln (3.) λ (σ ) σ + λ Dalším řešením rovnice (3.9) pro okrajové podmínky h = h L, v = v L odvodíme vzorec pro výpočet maximální výšky hladiny podzemní vody pro hodnoty σ >, který můžeme psát jako: ( ) ( ) hl vl σ λ h σh v + v ( (σ ) σ + λ ) ( h v σ + λ ) ( (σ ) σ λ ) H = (3.) L L L L L L Řešením rovnice (3.4) pro hodnoty σ < dostaneme po integraci následující rovnici: σ λ ln σ w σ ( w w + ) + arctan = ln v + c4 σ (3.) λ λ kde λ = σ Pro zvolené okrajové podmínky h = H, v = σh, w = /(σ) má konstanta c 4 hodnotu:

Řešení diferenciálních rovnic σ (σ ) σ c 4 = ln H + arctan (3.3) λ λ Pokud rovnici (3.) dále řešíme pro případ h = h L, v = v L, odvodíme rovnici pro výpočet maximální výšky hladiny podzemní vody pro hodnoty σ < ve tvaru: H σ h L vl σ (σ σ ( h σh v + v ) exp arctan arctan ) = L L L L λ λ λ (3.4) V rovnicích (3.5) až (3.4) se vyskytuje proměnná v respektive v L, jejíž hodnoty jsou závislé na hodnotě konstanty c. Tato konstanta má nulovou hodnotu pro σ = a σ >. V těchto případech lze dosadit do rovnic hodnoty v = x R K respektive v L = L R K. Pokud řešíme rovnice pro σ < je hodnota konstanty c závislá na postupu zvoleného řešení. Pokud se rovnice řeší pomocí Boussinesqovy druhé aproximace je hodnota konstanty také nulová a platí výše uvedená substituce. Při použití Boussinesqovy první aproximace je hodnota konstanty vyjádřená vzorcem c = hs R K a tudíž v = x R K h s R K a = L R K h s R K. v L Hodnotu výšky hladiny na horním konci svahu, h, lze získat řešením rovnice (3.) pro okrajové podmínky h = h L, v = v L a následným dosazením x =, h = h, Po úpravě získáme implicitní vztah: v = h s R K. h v σ σ ( s R K ) σ L = exp arctan arctan (3.5) + σs R K + σ ( ) s R K σ σ Tato rovnice může být řešena iteracemi, kdy počáteční hodnotu h pro výpočet v L zvolíme rovnu nule. Počet iterací potřebných k výpočtu hodnoty h jsou čtyři až deset. Tvar hladiny podzemní vody můžeme získat řešením rovnice (3.) metodou Runge-Kutta čtvrtého řádu (Rektorys, ). Jako počáteční hodnoty pro řešení zvolíme hodnoty maximální výšky hladiny podzemní vody pomocí rovnic (3.8), (3.) a (3.4) a její polohy na ose x (3.3).

Řešení diferenciálních rovnic 3. Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině V této kapitole je opět použit symbol * pro Boussinesqovu druhou aproximaci. Při odvození vztahů pro neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině v hydraulickém systému, znázorněném na obr. 3., budeme předpokládat tyto charakteristiky hydraulického systému: a) Hydraulický potenciál ϕ je konstantní v rovině kolmé na nepropustné podloží a je závislý pouze na výšce hladiny podzemní vody: ϕ ( x, z, t) = h( x, t) (3.6) b) Tvar hladiny podzemní vody je konstantní pro definovanou maximální výšku hladiny podzemní vody. Lze tedy provést následující separaci proměnných: h ( x, t) = H ( t) W ( X, H ) (3.7) c) Půdní materiál lze považovat za homogenní. d) Voda proudí pouze směrem ze svahu, tzn. že na horním konci svahu voda neproudí (není zde žádný recipient) Podobný postup při úpravě rovnice kontinuity uvádí Lesaffre a Zimmer (988). Rovnici kontinuity můžeme napsat ve tvaru: q x ( x, t) h( x, t = R( t) µ ) (3.8) x t z * h * (t) h * (t) H * (t) H * (t) x * θ h L * L * Obr. 3. Hydraulický systém pro odvození rovnic neustáleného proudění na svahu pro Boussinesqovu druhou aproximaci. 3

Řešení diferenciálních rovnic Rovnici kontinuity (3.8) můžeme upravit, za předpokladu na následující tvar: dh( t) dw ( X, H) dq x ( x) = R( t) dx µ L W X H H t dx dt (, ) + ( ) dh (3.9) Při integraci rovnice (3.9) od x = do x = x získáme tvar: X dh ( t) dw ( X, H ) q x ( x) = R( t) x µ L W ( X, H ) + H ( t) dx (3.) dt dh Úpravou této rovnice pro podmínku x = L získáme rovnici pro průtok na jednotku plochy hydraulického systému, kterou můžeme psát: dh ( t) Q ( t) = R( t) µ B( H ) (3.) dt kde: Q - průtok na jednotku plochy Q = q x /L [L.T - ] B(H) - první faktor tvaru hladiny [-] dw ( X, H ) B ( H ) = W ( X, H ) + H ( t) dx (3.) dh Druhou integrací rovnice kontinuity - integrací rovnice (3.) od x = do x = L získáme tuto rovnici: L q x L dh ( t) L ( x) dx = R( t) µ C( H ) (3.3) dt kde: C(H) - druhý faktor tvaru hladiny [-] dw ( X, H ) C ( H ) = ( X ) W ( X, H ) + H ( t) dx (3.4) dh Integrací pohybové rovnice (.8) v mezích od x = do x = L obdržíme: L L hl h qx ( x) dx = skh ( t) P( H ) K (3.5) kde: P(H) - třetí faktor tvaru hladiny [-] P ( H ) = W ( X, H ) dx (3.6) 4

Řešení diferenciálních rovnic Dosazením rovnice (3.5) do rovnice (3.3) obdržíme rovnici neustáleného proudění podzemní vody na svahu pro Boussinesqovu druhou aproximaci ve tvaru: dh ( t) ( h h ) = R( t) L L C( H ) sklh ( t) P( H ) K L µ (3.7) dt Hodnoty faktorů tvaru hladiny, B(H), C(H), P(H), a případně výšky hladiny h pro známé hodnoty maximální výšky hladiny, H, a výšky hladiny h L vypočteme z rovnic pro ustálené proudění na svahu. Tyto výpočty se musí opakovaně provádět pro každou novou hodnotu H. Kombinací rovnice kontinuity s upravenou pohybovou rovnicí (.8) dostaneme diferenciální rovnici pro proudění podzemní vody na svahu pro Boussinesqovu druhou aproximaci ve tvaru: dh ( x, t) dt d dx dh ( x, t) dx dh ( x, t) dx * * * * * * * * µ = R( t) + K h ( x, t) sk (3.8) * * * Rovnice pro výpočet pohybu maximální hladiny podzemní vody pro Boussinesqovu druhou aproximaci má tvar: * * ( h ) h L * * * dh ( t) R( t) L skl H ( t) P( H ) + K = (3.9) dt * µ L C( H ) * Průtok na jednotku plochy drenážní soustavy se vypočte podle rovnice: * * ( h ) h * * * B( H ) R( t) L skl H ( t) P( H ) + K L Q( t) R( t) * = (3.3) C( H ) L Rovnici (3.9) lze vypočítat pomocí metody Runge-Kutta čtvrtého řádu (Rektorys, ). 5

Model odtoku podzemní vody 4 MODEL ODTOKU PODZEMNÍ VODY Na základě uvedených rovnic (3.), (3.3), (3.8), (3.), (3.4), (3.), (3.4), (3.6), (3.9) a (3.3) (v modelu je tedy použita Boussinesqova druhá aproximace) byl sestaven model neustáleného proudění podzemní vody na nakloněné nepropustné rovině. Model z velké části řeší ustálené proudění, které je nutné pro odvození tvarů hladiny podzemní vody, a z části řeší neustálené proudění podzemní vody na svahu. Pro výpočty byl použit program Scilab-3... Model je sestaven za předpokladů uvedených v kapitole 3..: půdní prostření je homogenní nepropustné podloží není zakřivené recipienty leží na nepropustném podloží hladina podzemní vody je volná Vstupní parametry modelu pro řešení proudění na svahu jsou: délka svahu L = 6 m sklon nepropustného podloží s =,3 rozloha povodí A = 63 m časové rozložení odtoku Q [l.s - ] z povodí časové rozložení srážek R [mm] na povodí koeficient ztráty deště koef (různý pro různé roky) výška hladiny na konci svahu h L = m počet výpočtových bodů na ose x n = časový krok výpočtu fluktuace hladiny dt = 36 s Parametry modelu, které jsou pro dané povodí kalibrovány: hodnota nasycené hydraulické vodivosti K pro rychlou odezvu (dolní mez: K =, m.s - ; horní mez: K =, m.s - ) hodnota nasycené hydraulické vodivosti K pro pomalou odezvu (dolní mez: K =, m.s - ; horní mez: K =, m.s - ) 6

Model odtoku podzemní vody drenážní pórovitost µ pro rychlou odezvu (dolní mez: µ =,; horní mez: µ =,6) drenážní pórovitost µ pro pomalou odezvu (dolní mez: µ =,; horní mez: µ =,35) Rovnice (3.) a (3.9) jsou řešeny metodou Runge-Kutta čtvrtého řádu (Rektorys, ): y n+ k k k k 3 4 = yn + h 6 = f ( x, y ) n = f x ( k + k + k + k ) ( x + h, y + h k ) n n = f x n + = f n + h, yn + h k h, n y n + h k 3 3 4 (4.) kde: x n - nezávislá proměnná v kroku n [L] y n k x h y n+ - proměnná závislá na proměnné x n v kroku n [L] - proměnné metody Runge-Kutta pro odhad y n+ [L] - krok výpočtu [L] - proměnná závislá na proměnné x n v kroku n+ [L] n - počet výpočtových kroků [-] Graficky je tato metoda vyjádřena na obr 4.: Obr. 4. Metoda Runge-Kutta čtvrtého řádu (Rektorys, ). Jako výchozí hodnota výpočtu fluktuace maxima hladiny (rovnice (3.9)) byla použita hodnota vypočtená z naměřeného průtoku (rovnice (3.8) nebo (3.) nebo (3.4)). Simulace rychlé odezvy začíná vždy od inflexního bodu výtokové křivky. V rovnici (3.3) byly parametry tvaru hladiny B(H), C(H) z důvodů stability výpočtu považovány za shodné. 7

Model odtoku podzemní vody Při kalibraci parametrů K a µ pro rychlou odezvu byl k simulovaným průtokům přičten základní odtok odhadnutý z naměřených dat, aby se tvar křivek lépe porovnával. Do výpočtu vstupovaly nulové srážky. Při kalibraci parametrů K a µ pro pomalou odezvu nebyl k simulovaným průtokům přičten základní odtok a do výpočtu vstupovaly nulové srážky. K ověření správnosti namodelovaných průtoků (rovnice (3.3)) byla použita data naměřená na povodí Modrava na Šumavě (pokusné povodí Katedry vodního hospodářství a environmentálního modelování Fakulty životního prostředí ČZU Praha). Jako kriterium shody měřených a modelovaných dat byl použit koeficient determinace: KD n i= = n ( Qmer Qsim ) ( Qmeri pqmer) i= i i (4.) kde: KD - koeficient determinace [-] Qmer i - průtok měřený v čase i [L 3.T - ] Qsim i - průtok simulovaný v čase i [L 3.T - ] pqmer - průměrná hodnota naměřených průtoků [L 3.T - ] Pro kalibraci i pro verifikaci byly vybrány různorodé úseky, aby byla zajištěna co největší objektivita. Výsledný model je rozdělen na dvě části. První část simuluje rychlou odezvu povodí, druhá část simuluje pomalou odezvu povodí. Do první části vstupují nulové srážky, do druhé části vstupují měřené srážky přenásobené koeficientem ztráty deště. Součet těchto dvou částí představuje výsledný simulovaný průtok. 8

Výsledky a diskuze 5 VÝSLEDKY A DISKUZE 5. Ustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině Pro výpočet tvaru hladiny podzemní vody při ustáleném proudění byly využity vzorce (3.), (3.3), (3.8), (3.), (3.4), (3.), (3.4) a (3.6). Data vzniklá při výpočtech maximální výšky hladiny podzemní vody a její polohy na ose x pro různé sklony nepropustného podloží jsou uvedena v grafu 5.. (BPA), v grafu 5. (BDA), v tab. 7. (BPA) a v tab. 7. (BDA). V tab. 5. jsou uvedeny výsledky porovnání vypočtených hodnot s hodnotami získanými při laboratorním experimentu na viskózním modelu, který provedli Guitjens a Luthin (965).,,9,9,8 H/L,8,7,6,5,4,3,,7,6,5,4,3, xh/l,,,,,,,3,4,5,6,7,8 R/K H s=, H s=, H s=,3 H s=,4 H s=,5 xh/l s=,5 xh/l s=, xh/l s=, xh/l s=,3 xh/l s=,4 xh/l s=,5 H s=,5 Graf 5. Závislost maximální výšky hladiny podzemní vody a její polohy na ose x na poměru R/K pro Boussinesqovu první aproximaci. 9

Výsledky a diskuze,,9,9,8 H/L,8,7,6,5,4,3,,7,6,5,4,3, xh/l,,,,,,,3,4,5,6,7,8 R/K H/L s=, H/L s=, H/L s=,3 H/L s=,4 H/L s=,5 xh/l s=,5 xh/l s=, xh/l s=, xh/l s=,3 xh/l s=,4 xh/l s=,5 H/L s=,5 Graf 5. Závislost maximální výšky hladiny podzemní vody a její polohy na ose x na poměru R/K pro Boussinesqovu druhou aproximaci. Z porovnání výsledků odvozených na základě Boussinsqových aproximací a výsledků z viskózního modelu (tab. 5.) lze konstatovat, že hodnotám naměřeným při experimentu lépe odpovídá Boussinesqova první aproximace. Experiment byl uskutečněn pro podmínky drenážní soustavy na svahu, tzn. že oba okraje byly odvodněny. Model sestavený pro tuto diplomovou práci počítá s odvodněním pouze u dolního okraje svahu, u horního okraje k odvodnění nedochází. Proto lze pro srovnání použít buď minimální sklon a odvozené vzorce aplikovat pouze na jednu polovinu soustavy, a nebo vyšší sklony, kdy hodnota faktoru sigma σ >. V tabulce jsou pro porovnání orientačně uvedeny i hodnoty, kdy σ >,5. V těchto případech má výška hladiny na horním okraji svahu malou hodnotu a její vliv na výšku maximální hladiny není podstatný. Rozdíly ve výsledcích odvozených pomocí obou aproximací a hodnot z viskózního modelu se zvyšují s rostoucí hodnotou R/K. U Boussinesqovy první aproximace však rozdíly nepřesahují 6 % naměřených hodnot, ve většině případů se rozdíl pohybuje do %. U Boussinesqovy druhé aproximace rozdíly rostou se zvyšujícím se sklonem nepropustného podloží a dosahují hodnot více než 4 %. Tato aproximace byla autorem určena pro mírné 3

Výsledky a diskuze svahy. Rozdíly ve vypočtených hodnotách pro BPA a BDA se také zvyšují s rostoucím sklonem nepropustného podloží. Pro sklon,3 jsou rozdíly v obou aproximacích podobné, což opravňuje užití BDA pro simulaci odtoku z experimentálního povodí, kde sklon svahu má hodnotu,3 (tedy hodnotu menší než,3). Tab. 5. Porovnání vypočtených hodnot maximální výšky hladiny s hodnotami z viskózního modelu, které uvádějí Guitjens a Luthin (965) (hodnoty BPA jsou převedeny na souřadnicový systém BDA, který byl použitý na viskózním modelu). sklon,,3,4,5,6,7 viskózní R/K model H/L H/L BPA sigma BPA difference BPA - model H/L BDA sigma BDA difference BDA - model H/L % H/L %,57,67,5,4,9,7,5,4,9,7,343,9,85,3,5,34,85,3,5,34,45,64,5, -, -,6,5, -, -,6,66,333,568, -,49 -,9,568, -,49 -,9,864,587,939, -,8-4,,939, -,8-4,,77,73,77,8763 -,3 -,39,655,93 -,75 -,4,446,99,74,6786,84 7,83,96,73 -,3-3,9,65,36,45,565,89 6,37,47,6 -,69-5,5,885,639,84,4596,,98,69,54 -, -,8,7,59,64,843,3 5,9,58,7 -,64 -,5,436,97,944,96 -,7 -,88,79,9578 -,8 -,84,69,66,5,76 -,5 -,,38,84 -,8 -,93,93,88,774,5944 -,44 -,48,45,6555 -,367-5,6,84,595,597,443,,3,467,4835 -,8-7,39,488,,966,765 -,54-5,58,747,37 -,74-36,63,67,35,77,8996 -,74-5,8,977,9644 -,375-38,34,94,887,75,7383 -,8 -,64,86,85 -,6-46,7,73,55,543,766,38 7,7,39,857 -,4-9,3,54,,95,69 -,59-6,9,673,3363 -,337-5,,654,8,,964 -,8-6,66,843,73 -,439-5,8,938,786,656,8877 -,3-7,84,4,9795 -,643-56,33,33,588,67,863,39 6,8,49,967 -,79-43,67,456,893,847,5643 -,46-5,43,548,639 -,345-6,9,638,333,54,973 -,8-5,56,737,3857 -,596-8,8,97,786,6,43 -,63 -,7,8,496 -,768-75,4 3

Výsledky a diskuze 5. Neustálené proudění na nakloněné nepropustné rovině Při výpočtu vzorců (3.9) a (3.3) pro neustálené proudění na svahu je nejdůležitější přesné stanovení faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H), rovnice (3.), (3.4) a (3.6), které se odvozují za podmínek ustáleného proudění. Průběh hodnot těchto faktorů v závislosti na maximální výšce hladiny podzemní vody je pro sklony,5 až, znázorněn v grafech 7. (graf 5.3 je totožný s grafem 7.) až 7.5 (BPA) a v grafech 7.6 až 7. (BDA). V tab. 5. a 5.3 jsou uvedeny výsledky porovnání vypočtených hodnot s hodnotami, které uvádějí Hartani, Lesaffre a Zimmer ().,8,6,4, B(H) C(H) P(H),8,6 B(H) C(H) P(H),4,,,,3,4,5,6,7,8,9 H/L Graf 5.3 Závislost faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) na výšce hladiny podzemní vody H/L pro Boussinesqovu první aproximaci a sklon nepropustného podloží,5. 3

Výsledky a diskuze Z grafů závislostí hodnot faktorů tvaru hladiny na maximální výšce hladiny podzemní vody jsou patrné dvě části průběhu. Při nízkých hodnotách maximální výšky hladiny roste s rostoucí výškou hladiny také hodnota faktorů tvaru hladiny. Při vyšších hodnotách maximální výšky hladiny hodnoty faktorů mírně klesají a přibližují se hodnotám těchto faktorů odvozených pro ustálené proudění na horizontální nepropustné rovině, které jsou konstantní pro všechny výšky maximální hladiny. Místo, ve kterém dochází ke změně průběhu křivek, se pro větší sklony vyskytuje u vyšších hodnot maximální hladiny. Tato oblast se přibližně vyskytuje v místě, kde je hodnota faktoru hladiny podzemní vody σ =,7, kdy se začíná ve větší míře projevovat vliv výšky hladiny na horním okraji svahu. Tab. 5. Porovnání vypočtených hodnot faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) a maximální výšky hladiny s hodnotami, které uvádějí Hartani, Lesaffre a Zimmer () (část A). H/L P B C sklon R/K sigma článek článek článek článek H/L BPA P BPA B BPA C BPA Hartani Hartani Hartani Hartani,8,3,8,,753,569,78,997,3,656,935,9633,38,,87,5634,7979,666,9,75,979,9795,35,55,756,56,86,34,83,769,9869,978,7,35,55,554,8356,4593,77,76,64,964,89,4,454,5438,863,667,558,6997,996,959,56,53,35,56,943,958,399,6494,986,938,44,6,34,55,939,8,33,669,97,88,4,8,,445,96,8,3,4534 6,97 4,3673,,9,74,3774,88,773,74,46,835,643,6,,46,346,895,6377,47,3496,777,5698,5,3,39,3333,798,597,4,3375,7654,559, 4,,,58,547,7,,35,7 -,4,5,,564,3587,885,77,54,3496,773,574,5,,47,84,75,7784,399,754,73,4798,3,3,364,56,76,6739,349,454,68,4534,,4,3,34,748,5887,37,5,664,437,98,54,84,,6868,58,7,3,6558,45,56,5,7,436,664,969,63,338,676,3944,36,5,3,5,59,843,8,95,5478,369,9 5,,3,376,593,86,9,9889,63 9,58 33

Výsledky a diskuze Tab. 5. Porovnání vypočtených hodnot faktorů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) a maximální výšky hladiny s hodnotami, které uvádějí Hartani, Lesaffre a Zimmer () (část B). sklon,8,3 difference BPA článek Hartani difference BPA - článek Hartani difference BPA - článek Hartani difference BPA - článek Hartani H/L % P % B % C %,69 4,,836 5,6,484 5,95,4647 48,4,4 3,53,47 8,6,8 8,5,396 4,45,37 3,,558 9,7,89 8,33,86 88,3,66 3,6,59 9,3,78 6,97,738 76,9,4 8,58,559 9,7,39 3,34,6,67,48,95,33 7,48,89 8,3 -,653-7,5,7 8,8,954 5,94,47 4,85 -,699-9,9,,6,9,75 5,945 85,44 4,353 97,6,,7,5,8,34,4 -,448-38,4,,6,35,6 -,388-5,4 -,49-43,7,,6,4,3 -,36-4,6 -,466-44,68, -, -,77 -,7 -,43-367,45 -,9537 38,36 -,4-4,48 -,9 -,67 -,455-5,89 -,466-8,7 -,8-4,46 -,88 -,69 -,38-5,34 -,494-85,33 -,5-4,4 -,7 -,86 -,459-6,75 -,3835-84,58 -,3-4,9 -,9 -,89 -,444-6,73 -,366-83,99 -, -4,37 -,89 -,74 -,3-4,7 -,3438-8,8 -,7-4,33 -,98 -,87 -,88-3,9 -,54-64,43 -,5-4,47 -,98 -,9 -,444-8, -,753-86,87 -, -3,9 -,487-4,93,65 95,8 9,78 97,4 Tab. 5.3 Porovnání vypočtených hodnot maximální výšky hladiny s hodnotami, které uvádějí Hartani, Lesaffre a Zimmer (). sklon,8 H/L difference R/K sigma článek H/L BPA BPA - článek Hartani (mm/h) Hartani H/L % 39,,445,8695,48 49,3 5,38,576,676, 4,,593,7,883,3,439 33,9,7,55,754,83,39 3,36,636,35,547,77,7 3,67,444,47,45,556,5 8,93,8,536,349,398,49,3,8,8588,88,89,,34,74,38,38,38,,,5,636,99,99, -,8 34

Výsledky a diskuze Po porovnání výsledků odvozených na základě BPA a výsledků, které uvádějí Hartani, Lesaffre a Zimmer (), také odvozených na základě BPA je vidět, že rozdíly v hodnotách maximální výšky hladiny a faktoru tvaru hladiny P(H) se opět zvyšují s rostoucí hodnotou R/K a také s rostoucím svahem, přičemž největší shody dosahují pro sklon,8 (u parametru P(H) také sklon pro,3) a σ >,8, kdy diference téměř nepřesahuje % V těchto případech má výška hladiny na horním okraji malou hodnotu a její vliv na výšku maximální hladiny není podstatný (výsledků, které uvádějí Hartani, Lesaffre a Zimmer (), bylo dosaženo za předpokladu odvodnění horního i dolního okraje výpočtové oblasti, lze proto pro srovnání použít buď minimální sklon a odvozené vzorce aplikovat pouze na jednu polovinu soustavy, a nebo vyšší sklony, kdy hodnota faktoru sigma σ > ). Uspokojivá je též shoda maxima hladiny a parametru B(H) pro svah,3, kdy se diference pohybuje kolem 5%. Největší rozdíly vykazuje parametr C(H): 8 až 9% 35

Výsledky a diskuze 5.3 Kalibrace a verifikace modelu Parametry modelu (který pro modelování odtoku vody z povodí používá Boussinqovu druhou aproximaci) K a µ pro rychlou odezvu byly kalibrovány na datech z let, a 6 a verifikovány na datech z let 998, 999 a 4. Pro pomalou odezvu byly kalibrovány na datech z let,, 4 a 6 a verifikovány na datech z let 999, a 3. Výsledky kalibrací jsou znázorněny v grafech 7. až 7.6 a výsledky verifikací v grafech 7.7 až 7.3. Kalibrace parametrů K a µ se neřídila koeficientem determinace ale výsledky znázorněnými v grafech 7. až 7.6. Při rychlé i pomalé odezvě je odtoková křivka s klesajícím µ strmější a s klesajícím K pozvolnější. Po kalibraci byly vybrány tyto parametry: nasycená hydraulická vodivost pro rychlou odezvu: K =, m.s - nasycená hydraulická vodivost pro pomalou odezvu: K =, m.s - drenážní pórovitost pro rychlou odezvu: µ =, drenážní pórovitost pro pomalou odezvu: µ =,5 Parametr K =, m.s - svědčí pro druh zeminy: hlinitý a jemný písek (tab..), nebo písek (tab..3) se střední propustností (tab..4). Parametr K =, m.s - svědčí pro druh zeminy: štěrk (tab..), nebo hrubší písek (tab..3) s velmi vysokou propustností (tab..4). Parametr µ =,5 i µ =, svědčí pro velikost zrna = -4 mm a menší (obr..3), která spadá do zrnitostní kategorie: koloidní jíl (tab..). Verifikace těchto parametrů se zdařila: KD pro pomalou odezvu se pohybuje v rozmezí,53 až,77 KD pro rychlou odezvu se pohybuje v rozmezí,98 až,998 Nízké hodnoty KD pro pomalou odezvu jsou zapříčiněny srážkami a dotací vláhy ze sněhové pokrývky, které vedou k rozkolísanému průběhu měřených průtoků. Občasné zuby ve výtokových křivkách jsou způsobeny nedokonalým výpočtem hladiny podzemní vody pro ustálené proudění, tato nedokonalost se promítá do výpočtu parametrů tvaru hladiny B(H), C(H) a P(H) a nakonec do výpočtu průtoku. 36

Výsledky a diskuze 5.4 Simulace Výsledný model spojující simulaci pomalé i rychlé odezvy povodí byl vyzkoušen na datech z let 999, a 6, kde byla prokázána schopnost modelu modelovat odtok vody z povodí. Při simulaci průtoků z roku 999 (graf 5.4) byla použita jedna rychlá odezva (Q=,5 l/s) a jedna pomalá odezva (Q=3, l/s). Při simulaci průtoků z roku (graf 5.5) byla použita jedna rychlá odezva (Q=5,5 l/s) a jedna pomalá odezva (Q=3,5 l/s). Při simulaci průtoků z roku 6 (graf 5.6) byla použita jedna rychlá odezva (Q=6,3 l/s) a jedna pomalá odezva (Q=6, l/s). Zdánlivý neúspěch simulace roku 6 (KD =,4) byl způsoben tím, že do výpočtu byla zahrnuta pouze jedna povodňová vlna (pro simulaci by bylo vhodné požít také další dvě výrazné povodňové vlny: Q=4,9 l/s a Q=7,7 l/s) a že v první polovině uvedeného časového úseku se na měřeném odtoku významně podílí dotace vláhy z tajícího sněhu, jejíž hodnoty pro výpočet nebyly k dispozici. 8 5 6 4 5 Q (l/s) 8 Qmer Qsim + Qsim 5 3 R (mm) 6 R 35 4 4 45 5 38 4 4 44 46 48 5 5 54 56 58 referenční čas (hod) Graf 5.4 Simulace průtoků z roku 999, koeficient ztráty deště =,5 (KD =,84). 37