No. 14. Jiří Hlaváček, Michal Hlaváček. Ekonomicky racionální altruismus

No. 14 Jiří Hlaváček, Michal Hlaváček Ekonomicky racionální altruismus 1

Obsah ltruismus : zvláštní případ sounáležitosti se společenstvím... 3 Modely altruistické alokace... 4 Pravděpodobnost (ekonomického) přežití úměrná relativní rezervě : Paretovo rozdělení pravděpodobnosti... 6 Model absolutní solidarity... 8 Model minimalizace míry rizika současného zániku obou subjektů... 10 Model minimalizace rizika zániku větší části společenství... 12 Model maximalizace střední hodnoty početní síly společenství... 18 2

ltruismus : zvláštní případ sounáležitosti se společenstvím Standardní mikroekonomie pojednává o sobeckém subjektu, který sleduje výhradně vlastní blahobyt. V ekonomickém chování některých subjektů se však objevuje i zájem o blaho jiných subjektů. V určité míře je každý člověk ochoten vzdát se vlastního prospěchu (například vlastních finančních prostředků) ve prospěch svých blízkých. Projevuje se sounáležitost se společenstvím, kterého je (nebo se cítí být) jedinec součástí, například s rodinou, firmou, obcí, vlastí či jen se společenstvím slušných lidí. I pod pojmem altruismus se míní nesobecké vzdání se vlastního majetku ve prospěch druhé osoby resp. druhých osob, například poskytnutí finančního daru. ltruismus a sounáležitost se společenstvím je přirozenou součástí lidské etiky. Už klasik ekonomie dam Smith ve svém etickém údivu nad člověkem zdůrazňuje etickou stránku lidského chování, které je i v ekonomické rovině determinováno nejen vlastním hmotným prospěchem 1. Podstatnými (i když v současné době zdaleka ne dominantními) jsou i projevy, principy a pohnutky vzájemnosti, dilema volby mezi sounáležitostí a protivnictvím, etická asymetrie souhry a protihry i transcendentní obětavost 2. ltruismus se proto obvykle klade do protikladu k sobeckému homo oeconomicus. 1 ltruistou ovšem není subjekt poskytující dotaci ve snaze zvýšit vlastní prospěch (například zlepšení image firmy a tím její ziskovost pomocí sponzoringu vrcholového sportovce nebo populárního sportovního klubu). ltruismus motivovaný očekávanou kompenzací bývá označován jako "měkký". Pokud donátor neočekává žádné kompenzace, hovoříme o altruismu "tvrdého jádra". 3. ltruista tvrdého typu je nezávisle na normách 1 "Jakkoliv člověk může být považován za sobeckého, existují evidentně v jeho povaze určité principy, které ho zainteresovávají na štěstí druhých a to tak, že nic z toho nemá, kromě potěšení, že vidí jejich štěstí.". Viz Smith. (1969).Ve své teorii altruismu popsal vztah silných praktických pohnutek a slabých etických pohnutek (principů) jako mechanismus útlumu sebezájmu. 2 Za další významnou a dnes už klasickou úvahu o motivech člověka k poskytování daru je považována esej o daru Mauss M (1966) 3 Rozlišení tvrdého a měkkého altruismu zavedl zakladatel sociobiologie E.O. Wilson. Viz Wilson E.O (1978) 3

konkrétních skupin puzen ke konání dobra a cítí se šťasten, může-li obdarovat. Charakteristickým je pro něj nevykalkulovaný pocit uspokojení z užitku jiných osob. ltruistické chování může být jako součást životaschopného společenství : vyšší míra sounáležitosti členů společenství projevená vyšším darem obvykle 4 ceteris paribus zvyšuje naděje na přežití tohoto společenství v boji o přežití s jinými skupinami. ltruismus, dokonce i altruismus "tvrdého jádra", lze tudíž chápat i v intencích ekonomického paradigmatu homo oeconomicus, chápeme-li jej jako speciální případ sounáležitosti se společenstvím 5. Pociťuje-li altruista sounáležitost s jinými subjekty a pokládá je za součást svého já, je poskytnutí finanční podpory na úkor čistě osobního prospěchu rozhodnutím vysvětlitelným (v podstatě neoklasickou) maximalizací užitku. Je-li cílem subjektu minimalizovat ohrožení zánikem, pak tento jakožto člen (sympatizant) společenství vykazuje averzi nejen k situacím s vysokou mírou ekonomického ohrožení své osoby, nýbrž i k situacím s vysokou mírou ekonomického ohrožení druhých, zejména pak členů společenství, se kterými (v té či oné míře) pociťuje sounáležitost 6. Modely altruistické alokace Je-li předpokládaným individuálním kritériem altruisty - donátora subjektivní pravděpodobnost (ekonomického) přežití chápaného včetně 4 Nikoli nutně. ltruista může neracionálním sebeobětováním v určitých případech ohrozit společenství. Například krajní sebeobětavost jednoho člena rodiny může ohrozit jeho individuální přežití a tím zničit i rodinu. Blíže viz Hlaváček J. a kol. (1999), odst. 10.4. 5 Viz Etzioni, (1995). "Já" v jeho pojetí obsahuje "my, které je součástí každého individua.. Společenský a etický rozměr lidských preferencí podle Etzioniho zákonitě posiluje stabilitu a obvykle i kvalitu ekonomického rozhodování. 6 Za míru sounáležitosti (loajality) se společenstvím pokládá Hirschman subjektivní pravděpodobnost, přikládanou individuem úspěšnosti svého protestu (prosazení svého slova, voice ) v rámci společenství. Druhou alternativou je odchod ze společenství ( exit ). Členství ve společenství je tedy podle Hirschmana prostředkem k prosazení svého hlasu (viz např. Hlaváček, J.,Tříska, D. (1991), s.126-133. Z hlediska charakteru společenství je Hirschmanovo pojetí společenství velmi široké: za členství pokládá i například množinu kupujících výrobek dané firmy, exit je pak prostě přechod kupujícího k jiné komoditě (z důvodu nízké kvality vzhledem k ceně) a loajalita je věrností (větší či menší, poměřeno mírou pravděpodobnosti setrvání resp. exitu) kupujícího. Naproti tomu z hlediska motivu členství je Hirschmanovo pojetí omezené: společenství je pro individuum výhradně prostředkem k prosazení vlastního zájmu, což vylučuje například společenství vytvořená z potřeby vzájemnosti, z potřeby sdílet slasti a strasti s jinými lidmi. Viz 4

členství ve svých společenstvích, míra (velikost) sounáležitosti se do jeho rozhodovací úlohy promítá jako relativní velikost averze k situacím ohrožujícím přežití subjektů daného společenství resp. společenství jako celku. Pojmem relativní zde míníme relativní vzhledem k velikosti averze k situacím ohrožujícím přežití samotného individua. Vyšší míra sounáležitosti pro dané společenství oproti ostatním společenstvím nemusí znamenat, že je subjekt dříve opustí: záleží na situaci a množině přípustných řešení jeho rozhodovací úlohy. Vyšší míra sounáležitosti pro dané společenství znamená, že opuštění daného společenství je pro individuum relativně (oproti ostatním společenstvím) větší újmou, ke které však může být subjekt situací dotlačen. Proto nepřebírám Hirschmanův termín loajalita a používám termín sounáležitost : člověk může (v daný moment a pod tlakem okolností) přestat být loajální k nějakému společenství, nicméně s ním intenzivně soucítí a své nečlenství pociťuje jako újmu (která umožní vyhnout se újmě větší). Sounáležitost je věc preferencí individua, loajalita je věcí jeho chování. 7 Subjekty pociťující sounáležitost samozřejmě nestaví své zájmy a zájmy společenství proti sobě (jako egoista), nýbrž spíše vedle sebe: hledají takovou alternativu rozhodnutí, která podpoří současné přežití jak své osoby, tak společenství resp. jiných subjektů. Chovají se pak altruisticky : na úkor vlastního hmotného prospěchu poskytují prostředky jiným subjektům, kteří jsou nebo které pokládá za členy společenství, ať už jde o společenství organizačně ukotvené, nebo o neformální společenství. V dalším textu uvedeme několik příkladů modelů altruismu, kdy altruista (donátor, mecenáš) poskytuje finanční dotaci příjemcům dotace, čímž snižuje jejich ohrožení zánikem za cenu sebeohrožení. Ukážeme, jak zásadně se mění optimální výše daru (dotace) podporovanému subjektu Hirschman E.O. (1970) 7 To můžeme ilustrovat pomocí modelu situační averze k riziku v knize Hlaváček J. a kol., (1999), s. 176 182. Podnikatel, cítící se členem společenství solidních (mj. nadměrně neriskujících) subjektů, se pod tíhou situace musí (v zájmu maximalizace pravděpodobnosti přežití) vzdát členství v tomto společenství a zahájí velmi riskantní (ale alespoň nějakou šanci na přežití poskytující) akce. Může to pociťovat jako větší újmu než případné opuštění sdružení podnikatelů, které by mu ovšem zvýšení pravděpodobnosti přežití nepřineslo. Sounáležitost (váha společenství v kritériu individua) je vyšší u prvního společenství (solidní podnikatelé), přesto (v důsledku určité situace, tedy určité množiny přípustných řešení v rozhodovací úloze) zachová subjekt loajalitu k druhému společenství (sdružení podnikatelů). 5

resp. alokace dotace jednotlivým podporovaným subjektům v závislosti na tom, jaké je kriterium donátora. Pravděpodobnost (ekonomického) přežití úměrná relativní rezervě : Paretovo rozdělení pravděpodobnosti Předpokládejme, že přežití každého z obou subjektů závisí výhradně na jeho důchodu. Předpokládejme dále, že (donátorem pociťovaná) pravděpodobnost přežití každého z obou subjektů je úměrná podílu jeho rezervy (oproti hranici zóny zániku b) na jeho důchodu. Distribuční funkce tohoto rozdělení má tvar : F(x)=(x-b)/x pro x b F(x)= 0 pro x<b a funkce hustoty pravděpodobnosti je : f(x)=b/x 2 pro x b f(x)= 0 pro x<b 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Řada1 Řada2 0,2 0-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-0,2 Obr. 1 : Rozdělení pravděpodobnosti podle relativní rezervy: Paretovo rozdělení prvního stupně s hranicí zóny jistého zániku b = 1: Řada 1 : hustota rozdělení f(x) Řada 2 : distribuční funkce F(x) 6

Jedná se o Paretovo rozdělení prvního stupně 8. Paretovo rozdělení vykazuje nulovou pravděpodobnost pro důchod na hranici zóny přežití a pravděpodobnost konvergující k jedné při zvyšování důchodu nad všechny meze, a to pro oba subjekty. Pro jednoduchost v prvních dvou modelech předpokládáme dva subjekty: dotovaného příjemce (jeho důchod budeme značit d) a samotného altruisty-donátora (s počátečním důchodem 0, jeho důchod po realizaci dotace značíme a). Pokud předpokládáme, že dotace je jediným příjmem příjemce, představuje důchod dotovaného příjemce d zároveň i výši poskytované dotace. Pravděpodobnost přežití zde interpretujeme jako subjektivně pociťovanou představu o schopnosti přežít. Přitom předpokládáme, že počáteční důchod donátora ve výši 0 umožňuje přežití obou s (donátorem pociťovanou) nenulovou pravděpodobností: 0 > D +, kde D je hranice zóny zániku příjemce dotace, je hranice zóny zániku donátora (pod těmito hranicemi ztrácí subjekty schopnost ekonomicky přežít). plikací Paretova rozdělení prvního stupně na obě uvažované pravděpodobnosti přežití dostaneme : p 1 (d) = 0 pro d<d = (d - D) / d pro d D p 2 (a) = 0 pro a< = (a - ) / a pro a kde a, je důchod a hranice zóny zániku altruisty - donátora 8 Paretovo rozdělení se používá například při zkoumání příjmů obyvatelstva. Obecné Paretovo rozdělení stupně a s hranicí b má distribuční funkcí F(x)=1-(b/x) a pro x b, F(x)=0 pro x<b, a funkcí hustoty pravděpodobnosti f(x)=(a/b).(b/x) a+1 pro x b f(x)=0 pro x<b. 7

d, D je důchod a hranice zóny zániku příjemce dotace, Tomu odpovídají nesymetrické distribuční funkce η(d) = 0 pro d < D = D/d 2 pro d D resp. η(a) = 0 pro a < = /a 2 pro a. Předpokládejme přitom, že donátor je přesvědčen, že oba subjekty mají nenulovou pravděpodobnost přežití, tj. d >D a >. O pravděpodobnosti přežití obou subjektů tedy předpokládáme jednak nulovou hodnotu pro důchod na hranici M i a dále předpokládáme, že pravděpodobnost přežití konverguje k jedné při zvyšování důchodu nad všechny meze, a to pro oba subjekty. Model absolutní solidarity Kriteriem donátora je v tomto modelu maximum pravděpodobnosti současného přežití obou, která je dána součinem jejich pravděpodobností přežití. Donátor zde tedy altruisticky hodnotí svoje ohrožení stejně jako ohrožení příjemce dotace. Předpokládejme, že jediným ohrožením obou subjektů je nízký objem finančních prostředků. Kritériem donátora je v tomto případě funkce: p(d,a) = p 1 (d). p 2 (a) = (D. - d. - a.d + d.a) / (d.a) Donátor tudíž řeší optimalizační úlohu: max d+a 0 p(d,a) Řešení této úlohy vázaného extrému lze převést na řešení úlohy volného extrému pomocí Lagrangeovy funkce, tedy na úlohu: max L(d,a, λ ) = max [p(d,a) + λ (0 -d a)] Derivováním funkce L podle všech třech proměnných d,a, λ dostáváme nutné podmínky pro optimum: d..(d - D)= a.d.(a -) d + a = 0 8

Pokud je ohrožení obou členů stejné, tj. D =, je řešením samozřejmě rovnoměrné rozdělení důchodu 9 : d = a = 0 / 2 pro případ D =. Pokud platí D >, je řešením úlohy zvýhodnění ohroženějšího donátora. Přitom tato míra zvýhodnění ohroženějšího dotovaného subjektu s růstem důchodu 0 klesá (z hodnoty d/a=/d při důchodu 0 =+D k (D/) pro růst 0 nade všechny meze, tedy vyšší počáteční důchod donátora vede k rovnoměrnějšímu rozdělení). Pokud ovšem je počáteční důchod donátora tak nízký, že to vylučuje současné přežití obou, tedy pro případ 0 < D +, klesá výše dotace na nulu a druhý člen (příjemce dotace) může být donátorem obětován, a to přesto, že je tento "tvrdým altruistou". To nastane, pokud je sám donátor odolnějším subjektem, tj. pokud je schopen přežít i při důchodu, který příjemci dotace k přežití nestačí, tj. pokud platí <D. Pokud je naopak odolnějším subjektem příjemce dotace, dojde k sebeobětování "tvrdě" altruistického donátora. Závislost výše dotace na výši počátečního důchodu donátora ukazují následující dva obrázky. Na obr. 2 je odolnějším subjektem donátor, na obr. 3 příjemce dotace. V prvním případě se ukazuje, že navzdory tomu, že donátor, který je "tvrdým" altruistou, nadřazuje zájem celku nad svůj zájem, může ho právě tento zájem celku vést k tvrdému ekonomickému chování vůči druhému subjektu (viz obr. 2): 9 V optimu musí platit, že marginální přesun prostředků od prvního subjektu ke druhému sníží pravděpodobnost jeho zániku ve stejné míře, jako se zvýší pravděpodobnost zániku prvního subjektu. Neboli : derivace pravděpodobnosti zániku podle množství získaných prostředků m i musí být shodné. Odtud lze odvodit optimální poměr, ve kterém donátor rozdělí disponibilní důchod M 0. Například pro Paretovo rozdělení druhého stupně (a=2,b=1) platí pro tento optimální poměr 2 m 2 M 3 2 = m M, 1 1 tedy pro M 1 M 2, je řešením zvýhodnění ohroženějšího subjektu, přičemž míra zvýhodnění roste pomaleji než vzájemný poměr ohrožení 9

d d= 0 d/a=d/ d=d( 0 ) d/a= (D/) D+ 0 Obr. 2: Výše dotace v závislosti na počátečním důchodu donátora 0 v modelu absolutní solidarity, je-li odolnější subjektem donátor Je-li odolnějším subjektem příjemce dotace, může upřednostnění zájmu celku donátora dovést k sebeobětování (viz obr. 3) : d d= 0 d= 0 /2 D D+ 0 Obr. 3: Výše dotace v závislosti na počátečním důchodu donátora M 0 v modelu absolutní solidarity, je-li odolnější subjektem příjemce dotace Chování donátora je tedy logicky dáno nejen konkrétním altruistickým kriteriem, nýbrž i situací jednotlivých subjektů (v našem případě konkrétně relací jejich odolnosti resp. ohroženosti zánikem). Tvrdé ekonomické chování může být výsledkem racionálního rozhodování subjektu, který je pokud jde o kriterium navýsost altruistického charakteru. Model minimalizace míry rizika současného zániku obou subjektů V tomto modelu je opět "tvrdým" altruistou, byť s odlišným kriteriem, než byl tvrdý altruista v modelu v minulém odstavci: tentokrát donátor maximalizuje pravděpodobnost přežití alespoň jednoho člena společenství. 10

Této variantě altruisty "tvrdého typu" jde pouze o to, aby jeden z obou přežil, ale je mu zcela lhostejné, zda to bude on nebo ten druhý. Pravděpodobnost přežití alespoň jednoho subjektu lze vyjádřit jako součet tří sčítanců. První sčítanec vyjadřuje pravděpodobnost přežití prvního a zániku druhého subjektu, druhý sčítanec vyjadřuje pravděpodobnost přežití druhého a zániku prvního subjektu a třetí sčítanec vyjadřuje pravděpodobnost přežití obou: p = p(d, a) = p 1 + p 2 p 1.p 2 = (d-d)/d + (a-)/a - (d-d)/d. (a-)/a Předpokládáme opět, že počáteční důchod donátora 0 nevylučuje současné přežití obou subjektů, tedy dotovaného příjemce i altruisty : 0 > D + Rozhodování donátora v tomto případě (při kriteriální funkci studované v tomto odstavci, tedy při maximalizaci pravděpodobnosti přežití alespoň jednoho člena) můžeme opět modelovat úlohou vázaného extrému: max p(d,a) d+a 0 a pomocí převedení této úlohy vázaného extrému na řešení úlohy volného extrému pomocí Lagrangeovy funkce získáme úlohu: max L(d,a, λ ) = max [(p(d,a) + λ.(0 - d - a)) d+a 0 d+a 0 Stejně jako v minulém odstavci derivováním Lagrangeovy funkce odvodíme nutné podmínky pro polohu maxima : d = a d + a = 0 Optimem je tedy rozdělení d = a = 0 /2. Pokud počáteční důchod donátora 0 neumožní současné přežití obou členů, tedy pokud platí 0 < D +, optimální strategie donátora se zásadně mění: namísto rovnoměrné podpory obou přesune veškeré prostředky na odolnějšího člena. Pokud je jím on sám, tj. pokud platí D >, klesne dotace pro případ 0 < D + na nulu a příjemce dotace je stejně jako v minulém odstavci altruistou "tvrdého altruistického typu" obětován. Pokud je ovšem odolnějším příjemce dotace (tj. < D ), zvolí mecenáš sebezničení, které umožní přežití druhého subjektu. 11

Závislost výše dotace na počátečním důchodu donátora pro oba případy ukazují následující obrázky 4 a 5: d d= 0 d= 0 /2 D D+ 0 Obr. 4: Výše dotace v závislosti na počátečním důchodu donátora 0 v modelu minimalizace míry rizika současného zániku obou subjektů - případ s relativně ohroženějším příjemcem dotace d d= 0 d= 0 /2 D D+ 0 Obr. 5: Výše dotace v závislosti na počátečním důchodu donátora 0 v modelu minimalizace míry rizika současného zániku obou subjektů - případ s relativně ohroženějším donátorem Stejně jako v předchozím modelu: za jistých podmínek může (ale nemusí) být racionální altruista okolnostmi donucen k neúprosně tvrdému ekonomickému chování. Model minimalizace rizika zániku větší části společenství V tomto modelu altruistického chování donátora je jeho kritériem maximalizace pravděpodobnosti přežití větší části společenství. Předpokládejme společenství o třech členech, přičemž společenství zaniká, zaniknou-li dva z jeho členů. Tento model umožní popsat rozhodování typu 12

"gambit": jeden z dotovaných může být obětován v zájmu přežití zbývajících subjektů. Nejprve budeme v tomto modelu předpokládat největší odolnost ze všech tří subjektů u donátora, který zaniká se 100% pravděpodobností při úrovni důchodu, i-tý příjemce dotace při úrovni důchodu D i (i=1,2). Příjemce dotace očíslujeme tak, že: D 1 D 2, tedy druhý příjemce dotace je ze všech tří subjektů relativně nejohroženější. Předpokládejme dále, že počáteční důchod donátora 0 umožňuje přežití alespoň dvou subjektů s nenulovou pravděpodobností: 0 > +D 1 Zónou ohrožení společenství, a tudíž i jednotlivých jeho členů je množina: (a, d 1,d 2 ) [a d 1 D 1 ] [a d 2 D 2 ] [a d 2 D 2 ] Pravděpodobnost přežití společenství (podle předpokladu modelu popisovaného v tomto odstavci tedy pravděpodobnost přežití alespoň dvou jeho členů) lze vyjádřit (označíme-li opět p i pravděpodobnost přežití i- tého subjektu) jako: p = p(a, d 1, d 2 ) = p 1. p 2 (1-p 3 ) + p 1. p 3 (1-p 2 ) + p 2. p 3 (1-p 1 ) + +p 1. p 2.p 3, p 1 = (a - ) / a, p 2 = (d 1 - D 1 ) / d 1, p 3 = (d 2 - D 2 ) / d 2 Rozhodování donátora zde modeluje úloha vázaného extrému: max p(a, d 1, d 2 ) a+d 1 +d 2 0 V úvahu připadají dvě strategie: buď vyrovnat pravděpodobnosti přežití všech tří členů (strategie ), nebo obětovat nejslabšího a srovnat pravděpodobnosti dvou silnějších (strategie B). Při jakékoli jiné strategii, 13

než je jedna z dvou uvedených, by totiž bylo možné přesunem od ohroženějšího k méně ohroženému maximalizovanou kriteriální funkci donátora zvýšit. Porovnejme tyto dvě strategie, pokud jde o kritérium společenství (maximální pravděpodobnost přežití alespoň dvou členů neboli minimalizace pravděpodobnosti zániku více než jednoho člena). Strategie (úsilí o přežití všech tří členů): by bylo vůbec přežití všech tří subjektů možné, musí především platit, že počáteční důchod donátora převyšuje součet hraničních hodnot pro přežití všech tří subjektů : 0 > +D 1 +D 2 Optimum nastane, budou-li pravděpodobnosti přežití všech tří subjektů shodné (jinak by přesun prostředků zvýšil kriteriální funkci donátora). Vyrovnání pravděpodobností přežití pro všechny tři subjekty (při využití celého důchodu 0, což je při daném kritériu podmínka splněná v optimu automaticky) nastane pro toto rozdělení celkového důchodu 0 : a = 0. /(+D 1 +D 2 ) d i = 0. D i /(+D 1 +D 2 ) pro i = 1,2 Pravděpodobnost přežití alespoň dvou subjektů při strategii můžeme vyjádřit jako: p = (a - ).(d 1 - D 1 ) / (a.d 1 )+ (a - ).(d 2 - D 2 ) / (a.d 2 )+ +(d 1 - D 1 ).(d 2 - D 2 ) / (d 2.d 1 ) Strategie B (úsilí o přežití dvou ze tří členů): Vyrovnání pravděpodobnosti přežití pro dva odolnější subjekty (při využití celého důchodu 0, což je opět při daném kritériu podmínka splněná v optimu automaticky) nastane pro toto rozdělení celkového důchodu 0 : 14

vyjádřit jako: a = 0. /(+D 1 ) d 1 = 0. D 1 /(+D 1 ) d 2 = 0 Pravděpodobnost přežití obou odolnějších subjektů při strategii B lze p B = (a - ).(d 1 - D 1 ) / (a.d 1 ) Porovnejme obě studované strategie. Strategie zvětšuje počet případů přežití, ovšem za cenu nižšího přídělu každému subjektu a tudíž většího rizika jeho zániku. Naproti tomu strategie B omezuje počet úspěšných případů na jediný (přežití dvou nejodolnějších), ovšem pravděpodobnosti jejich přežití jsou oproti strategii vyšší, protože díky odepsání nejslabšího subjektu mají vyšší důchod. Pro posouzení, která z obou strategií je výhodnější, řešme rovnici p - p B = 0 Po dosazení dostáváme kvadratickou nerovnici s neznámou 0 (velikost počátečního důchodu donátora) a s parametry, D 1, D 2 (hranice zóny zániku altruisty - donátora a obou příjemců dotace) : 2.(+D 1 ). 2 0 -[4.(+D 1 ) 2 +6.(+D 1 ).D 2 +3.D 2 2 ]. 0 +(+D 1 +D 2 ) 3 =0 Diskriminant této kvadratické rovnice je pro každé 0 kladný : D = [4.(+D 1 ) 2 +6.(+D 1 ).D 2 +3.D 2 2 ] 2-8. (+D 1 ). (+D 1 +D 2 ) 3 = =8.(+D 1 ) 4 +24.(+D 1 ) 3.D 2 +36.(+D 1 ).D 2 2 +28.(+D 1 ).D 3 2 +9.D 4 2 > 0 Zkoumaná kvadratická rovnice má proto dvě reálná řešení H 1 > H 2, přičemž strategie (přežití všech tří subjektů) je lepší než strategie B (přežití dvou odolnějších) právě pro 0 (H 2, H 1 ), neboť pouze v tomto intervalu je p > p B. Dosazením lze ovšem ukázat, že H 2 < +D 1 +D 2, tedy že strategie B je jedinou možnou strategií pro 0 H 1 a druhé řešení kvadratické rovnice H 2 nás proto nemusí zajímat. Označíme H=H 1. Platí pro něj (označíme-li C=+D 1 ): H=[4C 2 +6C.D 2 +3D 2 2 + (8C 4 +24C 3.D 2 +36C 2.D 2 2 +28C.D 3 2 +9D 4 2 )]/(4C) Dokázali jsme, že pro dostatečně vysoký počáteční důchod donátora 0 >H je lepší strategie (přežití všech tří subjektů), pro nižší počáteční důchod donátora 0 <H je lepší strategie B (likvidace nejméně odolného 15

subjektu) 10, pro 0 =H jsou obě strategie vzhledem ke kriteriu donátora (úsilí o přežití alespoň dvou subjektů) rovnocenné. Závislost důchodů všech tří subjektů po poskytnutí dotace donátorem znázorňuje následující obr. 6 : důchod subjektu donátor odolnější příjemce dotace ohroženější příjemce dotace D 2 +D 1 H 0 Obr. 6: Distribuce důchodů jednotlivých subjektů v modelu maximalizace pravděpodobnosti přežití alespoň dvou členů tříčlenného společenství při snižování počátečního důchodu donátora 0 pro případ < D 1 < D 2 Pokud je 0 < H, je tedy z pohledu donátora optimální obětovat méně odolného příjemce dotace (strategie B), naopak pro 0 H je lepší udržovat při životě oba příjemce dotace (strategie ). Subjekt, který je (vzhledem ke jeho nižší odolnosti) při dostatečně vysokém počátečním důchodu ( 0 H) preferován, je při poklesu počátečního důchodu pod hraniční úroveň ( 0 < H) zcela odepsán. Velmi malá změna důchodu vede k radikální změně ve vztahu donátor - méně odolný příjemce dotace. Je to dobře vidět z následujícího obrázku 7, na kterém porovnáváme pravděpodobnosti p, p B. 10 Přesněji : pro 0 (0,+D 1 ) úloha nemá řešení, dva subjekty přežít nemohou. Pro 0 (+D 1,+D 1 +D 2 ) je strategie B jedinou možnou strategií,protože důchod nestačí k přežití všech tří subjektů. Pro 0 (+D 1 +D 2,H) je strategie B lepší než strategie (i když i ta přichází v úvahu), pro 0 ( H, + )je naopak lepší strategie. 16

p,p B p p p B p B +D 1 +D 1 +D 2 H 0 jak tomu bude v případě, že jsou dotované subjekty stejně odolné (resp. není-li donátor schopen jejich odlišnou odolnost rozeznat)? Znázorňuje to následující obrázek 7: důchod subjektu donátor šťastnější příjemce dotace méně šťastný příjemce +D 1 H 0 Obr. 7: Distribuce důchodů jednotlivých subjektů v modelu maximalizace pravděpodobnosti přežití alespoň dvou členů tříčlenného společenství při snižování počátečního důchodu donátora 0 pro případ < D 1 = D 2 Pokud jsou oba dotovaní stejně odolní (ale méně odolní než je sám donátor), je donátorovi lhostejné, koho z nich při poklesu počátečního důchodu 0 pod úroveň H obětuje (bude souhlasit s osudovým losem mezi oběma příjemci dotace). Pokud by byl nejméně odolným sám donátor, tj. pokud < min (D 1, D 2 ), je pro něj při poklesu důchodu pod hraniční úroveň 0 <H optimální sebedestrukce. Tvrdě altruistický a se společenstvím zcela ztotožněný donátor v tomto případě ztrácí pud sebezáchovy a je ochoten k nejvyšší oběti, ačkoliv při vyšším počátečním důchodu 0 >H naopak preferuje (co do výše důchodu) sebe před oběma příjemci dotace. Hraniční úroveň počátečního důchodu donátora H, při které se mění jeho strategie, je přitom nejnižší pro případ, že jsou všechny tři subjekty stejně 17

odolné : = D 1 = D 2 = 0 /3. Pro tento případ dosazením do vzorce pro výpočet H dostáváme H=.(31+ 529)/8 =54/8 = 6,75 Pro obecný případ D 1 D 2 tudíž platí, že H 6,75 Například pro případ =D 1 =D 2 /2 platí (po zaokrouhlení) H=.(26+ 410)/4 = 9 Z naší analýzy je zřejmé, že z chování donátora nelze jednoznačně usuzovat na jeho kriterium, nemáme-li informace o všech parametrech jeho rozhodovací úlohy. Tvrdě altruistický racionální donátor se totiž může chovat nejen vysoce obětavě, ale (pokud preferování sebe sama nejvíce přispěje ke společenskému prospěchu) i zdánlivě sobecky. Může v určitých případech podporovat jiný subjekt na úkor vlastního ohrožení, aby při malém snížení svého důchodu tento subjekt (chtělo by se říct nelítostně) zlikvidoval, vše ve prospěch společenského kriteria. Model maximalizace střední hodnoty početní síly společenství V tomto modelu je kritériem altruistického donátora maximalizace očekávané hodnoty počtu přežívajících členů společenství. Předpokládejme opět společenství o třech členech s hranicemi zóny zániku, D 1, D 2, přičemž společenství (s jehož zájmem je donátor - altruista plně ztotožněn) je ohroženo nízkým počtem přežívajících členů. Úhrn 0 počátečních důchodů všech subjektů opět umožňuje přežití s nenulovou pravděpodobností: 0 > + D 1 +D 2. Předpokládáme opět vyšší odolnost donátora a stejnou odolnost obou příjemců dotace: < D 2 = D 2 18

Opět předpokládáme Paretovské rozdělení pravděpodobnosti prvního stupně (parametr a=1), tedy rozdělení podle relativní rezervy, kdy se pravděpodobnost přežití při růstu důchodu nade všechny meze blíží k jedné a je nulová při nepřekročení hranice jistého zániku b. Pravděpodobnosti přežití jsou tedy: p 1 (a)=(a-)/a p 2 (d 1 )=(d 1 -D 1 )/d 1 p 3 (d 2 )=(d 2 -D 2 )/d 2, Kriteriální funkce donátora má pak pro případ maximalizace očekávané hodnoty počtu členů tvar: p(a, d 1, d 2 ) = p 1 (a)+p 2 (d 1 )+p 3 (d 2 ) Rozhodování donátora lze popsat úlohou vázaného extrému: max p(a, d 1, d 2 ) a+d 1 +d 2 0 Řešení této úlohy vázaného extrému lze převést na řešení úlohy volného extrému pomocí Lagrangeovy funkce, tedy na úlohu: max L(a, d 1, d 2,λ) = max [p(a, d 1, d 2 )+λ( 0 - a - d 1 - d 2 )] Položíme-li opět parciální derivace Lagrangeovy funkce podle všech čtyř jejích proměnných rovny nule, dostáváme nutné podmínky pro maximum: /a 2 = D 1 /d 1 2 = D 2 /d 2 2 a + d 1 +d 2 = 0 společenství: Odtud snadno odvodíme následující optimální alokaci prostředků ve 0 a = D1 1 + + d 1 D1 0 = D1 1 + + D2 D2 19

d 2 D2 0 = D1 1 + + D2 Prostředky se ve společenství alokují ve prospěch ohroženějších, avšak v menší míře diferenciace než v předchozích modelech: a : d = D. 1 : d 2 : D1 : Stejně jako v předchozích modelech povede snižování celkového důchodu 0 k nespojité změně alokace s tím, že tomuto příjemci bude jeho dotace donátorem odebrána a rozdělena mezi samotného donátora a odolnějšího příjemce přímo úměrně odmocnině z jejich hraničních (kritických) důchodů. * * * Ukázali jsme, že altruismus donátora může mít více podob. Konkrétní podoba jeho kriteria zásadním způsobem ovlivňuje jeho rozhodování o rozdělení prostředků mezi příjemce dotace. Navíc i při nezměněném kriteriu může dojít k náhlé změně strategie racionálního donátora : ten, byť "tvrdě" altruisticky povyšuje zájem společenství nad zájem osobní, může být situací doveden ke "gambitu", tedy k tvrdému odepsání jednoho subjektu ve prospěch společenství jako celku. 2 20