ZÁKLADY FINANČNÍ MATEMATIKY
Na přípravě skript se podíleli: Ing. Petr Borkovec - kap. 3, 4, 6 Ing. Roman Ptáček - kap. 1, 2, 5, 9 Ing. Petr Toman - kap. 7, 8 Technická úprava: Ing. Petr Borkovec Ing. Petr Borkovec, Ing. Roman Ptáček, Ing. Petr Toman, 2001 Lektor Ing. Radek Schmied, Ph.D. ISBN - 2 -
OBSAH: 1. JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ A DISKONTOVÁNÍ... 3 1.1 ZÁKLADNÍ POJMY... 3 1.2 ZÁKLADNÍ ROVNICE PRO JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ... 5 1.3 SOUČASNÁ A BUDOUCÍ HODNOTA PŘI JEDNODUCHÉM ÚROČENÍ... 6 1.4 DISKONTOVÁNÍ... 6 1.5 SROVNÁNÍ PŘEDLHŮTNÍHO A POLHŮTNÍHO ÚROČENÍ... 8 2. SLOŽENÉ ÚROČENÍ... 11 2.1 ZÁKLADNÍ ROVNICE SLOŽENÉHO ÚROČENÍ... 11 2.2 SOUČASNÁ A BUDOUCÍ HODNOTA PŘI SLOŽENÉM ÚROČENÍ... 12 2.3 VÝPOČTY ODVOZENÉ Z ROVNICE SLOŽENÉHO ÚROČENÍ... 12 2.4 KOMBINACE SLOŽENÉHO A JEDNODUCHÉHO ÚROČENÍ... 13 2.5 ÚROKOVÉ SAZBY... 14 3. SPOŘENÍ... 17 3.1 KRÁTKODOBÉ SPOŘENÍ... 17 3.2 DLOUHODOBÉ SPOŘENÍ... 21 3.3 KOMBINACE KRÁTKODOBÉHO A DLOUHODOBÉHO SPOŘENÍ... 22 4. DŮCHODY... 26 4.1 DŮCHOD BEZPROSTŘEDNÍ... 27 4.2 DŮCHOD ODLOŽENÝ... 30 4.3 DŮCHOD VĚČNÝ... 32 5. UMOŘOVÁNÍ DLUHU... 37 5.1 UMOŘOVÁNÍ DLUHU NESTEJNÝMI SPLÁTKAMI... 38 5.2 UMOŘOVÁNÍ DLUHU STEJNÝMI SPLÁTKAMI (ANUITAMI)... 39 6. KRÁTKODOBÉ CENNÉ PAPÍRY... 42 6.1 SMĚNKA... 42 6.2 OSTATNÍ KRÁTKODOBÉ CENNÉ PAPÍRY... 45 6.3 SKONTO... 45 7. OBLIGACE... 48 7.1 ZÁKLADNÍ POJMY... 48 7.2 CENA OBLIGACE... 50 7.3 VÝNOSNOST OBLIGACÍ... 52 7.4 BĚŽNÝ VÝNOS... 53 7.5 EFEKTIVNÍ VÝNOS... 53 7.6 VÝNOS DO DOBY SPLATNOSTI... 54 7.7 OBLIGACE MEZI KUPÓNOVÝMI PLATBAMI... 54 7.8 VÝNOSOVÉ KŘIVKY... 56 7.9 DURACE... 57 8. AKCIE... 61 8.1 ZÁKLADNÍ POJMY... 61 8.2 DRUHY AKCIÍ... 61 8.3 CENA AKCIE... 62 8.4 VÝNOSNOST AKCIÍ... 63 8.5 ŠTĚPENÍ AKCIÍ... 65 8.6 ODEBÍRACÍ PRÁVA... 65 9. MĚNOVÉ KURZY... 69 9.1 PROMPTNÍ MĚNOVÉ KURZY... 69 9.2 KŘÍŽOVÉ KURZY... 70 9.3 FORWARDOVÉ MĚNOVÉ KURZY... 73 10. POUŽITÁ LITERATURA... 76-1 -
Úvod Matematické operace ve finanční sféře nazýváme finanční matematikou. Ve starší literatuře najdeme také název politická aritmetika. Je však poplatný anglické literatuře starší doby a dnes se nepoužívá. Porozumění základním finančním a matematickým vztahům souvisejících s finančním trhem se dnes pomalu, ale jistě stává nutností nejen pro pracovníky bank, pojišťoven a makléřských společností. Odpovědi na otázky typu jak nejlépe uložit peníze, do čeho investovat, případně jak zhodnotit své finanční prostředky musí v současné době hledat téměř každý z nás. Najít správné odpovědi lze mimo jiné také pomocí finanční matematiky - matematika aplikovaná v oblasti financí, tj. v oblasti finančního trhu, jeho subjektů a nástrojů. Studia finanční matematiky se není zapotřebí obávat, základy finanční matematiky lze zvládnout se znalostí středoškolské matematiky, většina z nás však vystačí pouze s jednoduchými matematickými operacemi jako jsou sčítání, násobení a umocňování a k tomuto účelu může posloužit i tato publikace. Je sice určena především pro studenty všech oborů na PEF MZLU v Brně, ale využít ji může kdokoliv jiný z odborné i laické veřejnosti. Naší snahou bylo postupovat od věcí jednoduchých ke složitějším při zachování jednotlivých návazností. Proto je text rozčleněn do kapitol pojednávajících o úročení, spoření, důchodech, umořování dluhu a o některých cenných papírech, především o výpočtech jejich teoretických cen a výnosností. Důraz je kladen na jednotlivé vzorce potřebné pro zvládnutí základních výpočtů a na uvedení řešených příkladů vztahujících se k jednotlivým tématům. U vzorců, ve kterých je použita operace násobení, jsou oproti ustáleným zvyklostem pro přehlednost uvedeny všechny operátory krát (. ). Řešené příklady se vztahují vždy k předchozím vzorcům. Za každou kapitolou jsou pak další příklady k procvičení získaných poznatků. - 2 -
1. Jednoduché úročení a diskontování 1.1 Základní pojmy Každá hospodářská činnost si vyžaduje určitý kapitál. Podnikatelský subjekt (a vlastně nejenom on) používá svůj vlastní kapitál - vlastní zdroje, nebo kapitál získaný ze svého okolí - cizí zdroje. Většinou jej subjekt získává od finančních institucí jako půjčku, ale ovšem za úplatu. Touto úplatou je právě úrok. Čili úrok obecně představuje cenu za zapůjčení peněz. Z pohledu dlužníka představuje cenu za získání půjčky, případně úvěru a z pohledu věřitele představuje odměnu za dočasné poskytnutí peněz. Výše úroku závisí na úrokové sazbě. V ekonomice však existují tisíce různých úrokových sazeb, které je vždy potřeba definovat a použít jednu konkrétní úrokovou sazbu vhodnou pro náš případ. Úrokové sazby jsou v ekonomice velmi důležité, protože plní důležité funkce: 1. napomáhá garantovat tok běžných úspor do investic a tím podporuje ekonomický růst 2. zaručuje rozdělení zápůjčního kapitálu tak, že všeobecně směřuje disponibilní prostředky do investic s nejvyšší očekávanou návratností 3. uvádí do rovnováhy nabídku a poptávku po penězích. 4. je to důležitý nástroj politiky státu Při zkoumání principů, které vedou k určení úrokových sazeb, vzniklo několik vědeckých teorií, na kterých pracovalo mnoho předních světových ekonomů: 1. klasická teorie úrokových sazeb 2. úroková teorie preference likvidity 3. úroková teorie zápůjčního kapitálu 4. úroková teorie racionálního očekávání To jsou čtyři nejčastěji uváděné teorie úrokových sazeb. O žádné z nich se nedá říct, že je za všech okolností správná nebo naopak špatná. My se však nebudeme zaobírat teoriemi, ale konkrétními výpočty. Pokud známe částku, ze které počítáme úrok a známe i dobu úročení a úrokovou sazbu, úrok vypočítáme snadno podle vzorce: [1.1] U K r t K zapůjčený kapitál r výši úrokové míry t období, po které je kapitál úročen. - 3 -
Př. S jakým úrokem můžeme počítat v případě pětileté investice ve výši 100 000 Kč při úrokové míře 15% p. a.? U 100 000 0, 15 5 75 000 Odpověď : Můžeme počítat s úrokem ve výši 75 000 Kč. Kč Úročení představuje způsob započítávání úroků k zápůjčnímu kapitálu. Úroková míra (úroková sazba) je úrok vyjádřený v procentech ze zápůjčního kapitálu. Úrokovací období je období, po které je kapitál úročen. Při stanovení úrokovací období se využívá standardů. Nejčastěji používané standardy jsou: 30E/360 (německá či obchodní metoda), ACT/360 (francouzská či mezinárodní metoda) a ACT/365 (anglická metoda). Čísla ve zlomcích představují počty dní, např. 30E/360 počítá s 30 dny v měsíci a 360 dny v roce, ACT/365 počítá se skutečným počtem dní v měsíci a se skutečným počtem dní v roce. Úrokovou míru uvádíme, pokud není uvedeno jinak, za rok. Pokud chceme tuto skutečnost zdůraznit, přidáváme zkratku p. a. (latinsky per annum ). Je pochopitelné, že se v praxi mohou vyskytnout i kratší období pro úročení než roční, můžeme se setkat např. s pololetní úrokovou sazbou - p. s. ( per semestre ), s čtvrtletní - p. q. ( per quartale ), s měsíční - p. m. ( per mensem ), s denní - p. d. ( per diem ). Typy úročení si můžeme rozdělit podle dvou základních hledisek - podle (ne)úročení úroků a podle doby, kdy dochází k placení úroků: Pokud se vyplácené úroky nepřipočítávají k vloženému kapitálu a dále se neúročí (úroky se počítají stále z původního kapitálu), mluvíme o jednoduchém úročení; jestliže se úroky připisují k vloženému kapitálu a spolu s ním se dále úročí ( úroky z úroků ), mluvíme o složeném úročení. Úroky z vložené (půjčené) částky se mohou vyplácet na konci úrokového období - úročení polhůtní neboli dekursivní, nebo na začátku úrokového období - úročení předlhůtní neboli anticipativní. Při výpočtech se používá, pokud není uvedeno jinak, úroková míra v číselném vyjádření (v setinách), nikoliv v procentickém. Stejně platí, že pokud není uvedeno jinak, používá se úročení polhůtní. Denní obchodní provoz může denně měnit výši úročeného kapitálu díky přicházejícím a odcházejícím platbám. K propočtu úrokového výnosu se proto v obchodní praxi, jako formální nástroj systematického přístupu k jednoduchému úročení, používá postup propočtu s úrokovými čísly a úrokovým dělitelem. Při každé změně se propočítává úrokové číslo za dobu, v jejímž průběhu zůstává vložený kapitál konstantní. Úrokové číslo se potom vypočítá: [1.2] UC K d 100 UC úrokové číslo K výše kapitálu d počet dní, po které byl kapitál ve výši K úročen. - 4 -
[1.3] UD 360 p UD úrokový dělitel p úroková míra vyjádřená v procentech ročně. Úrok se pak vypočítá jako podíl sumy úrokových čísel a úrokového dělitele: n 1 [1.4] U UCi UD i 1 Př. Jaký byl na konci roku 1998 připsán jednoduchý úrok, pokud běžný účet byl úročen úrokovou mírou 4% p. a.? Stav na běžném účtu se během roku 1998 vyvíjel podle následující tabulky: Zůstatek účtu Počet dní Úrokové číslo 200 000 12 24 000 160 000 133 212 800 90 000 129 116 100 240 000 86 206 400 Součet 360 559 300 U 559 300 360 4 6 214, 44 Kč Odpověď : Na konci roku 1998 byl k zůstatku na běžném účtu připsán úrok v celkové výši 6214,44 Kč. 1.2 Základní rovnice pro jednoduché úročení Hlavní znak jednoduchého úročení spočívá ve způsobu připisování úroků - úroky jsou připisovány k počátečnímu kapitálu a dále se neúročí. Prakticky si můžeme jednoduché úročení představit tak, že na jednom účtu vedeme jistinu (vložený kapitál) a na jiném účtu úroky, přičemž úroky nepřevádíme na účet jistiny. A úroky počítáme pořád ze stejného základu - z jistiny. Rovnici pro jednoduché úročení používáme při výpočtech, kdy úrokovací období nepřesahuje jeden rok. - 5 -
[1.5] FV PV ( 1 + r t) FV výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) PV výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) r úroková míra t úrokovací období Př. Jaká bude výše vkladu ve výši 10 000 Kč po šesti měsících při úrokové sazbě 12% p.a.? FV 10 000 1+ 0, 12 6 10 600 Kč 12 Odpověď : Výše vkladu po šesti měsících bude 10 600 Kč. 1.3 Současná a budoucí hodnota při jednoduchém úročení Úroková míra a úrokovací období musí být odpovídající, např. pokud známe roční úrokovou sazbu, musíme počítat s úrokovacím obdobím v letech, pokud máme úrokovací období zadáno ve dnech, musíme ho přepočítat na roky (můžeme též přepočítat roční úrokovou sazbu na denní úrokovou sazbu). Budoucí hodnota při jednoduchém úročení je dána základní rovnicí pro jednoduché úročení. Současnou hodnotu při jednoduchém úročení dostaneme vyjádřením současné hodnoty kapitálu v čase nula (PV) z téže rovnice. [1.6] PV FV 1+ r t Př. Jaký počáteční vklad musíme uložit v případě, že náš vklad je úročen úrokovou sazbou 11% p. a. a za tři měsíce budeme potřebovat kapitál ve výši 10 000 Kč? PV 10 000 1+ 0, 11 3 12 9 732, 36 Kč Odpověď : Abychom za tři měsíce při úrokové sazbě 11% dostali částku 10 000 Kč, musíme uložit 9 732,36 Kč. 1.4 Diskontování S diskontováním se setkáváme především u obchodů s krátkodobými cennými papíry, především u eskontu směnek (podrobněji v kapitole Krátkodobé cenné papíry). Princip diskontování spočívá ve stanovení úroku (tj. diskontu) z konečné výše kapitálu v čase t (FV) 1, jedná se o tzv. obchodní diskont. To znamená, že pokud subjekt (např. banka) 1 Na rozdíl od úročení, kdy výpočet úroku je založen na současné hodnotě (počáteční hodnotě kapitálu) PV. Důvod je - 6 -
převezme (odkoupí) danou pohledávku (např. směnku) před její dobou splatnosti, nevyplatí prodávajícímu celou výši pohledávky, ale jistou část (diskont) si ponechá jako náhradu předem. Diskont je vlastně odměna ode dne výplaty (nákupu pohledávky) do dne její splatnosti. Pro výpočet se používá vzorec pro jednoduché úročení z nominální (jmenovité) hodnoty pohledávky a na základě příslušné diskontní sazby. Při takovém postupu výpočtu se jedná o tzv. obchodní diskont. Obchodní diskont vypočítáme podle vzorce: [1.7] D FV r t D obchodní diskont FV budoucí hodnota (výše kapitálu v čase t) r diskontní míra t doba do data splatnosti Př. Jaká bude výše obchodního diskontu u směnky o nominální hodnotě jeden milion Kč, předložené bance dva měsíce před datumem splatnosti, pokud banka používá diskontní míru 9% p.a.? D 1 000 000 0, 09 2 15 000 Kč 12 Odpověď : Diskont bude 15 000 Kč. Obdrženou částku (Kob - kapitál obdržený) vypočítáme jako: [1.8] Kob FV D Po jednoduché matematické úpravě dostaneme výraz: [1.9] Kob FV ( 1 r t) Př. Jakou obdržíme částku v případě, že předkládáme bance směnku s nominální hodnotou 5 mil. Kč tři měsíce před datem splatnosti a banka má stanovenou diskontní sazbu 8% p.a.? Kob 5 000 000 1 0, 08 3 4 900 000 Kč 12 Odpověď : Obdržíme částku 4 900 000 Kč. Když se zamyslíme nad postupem těchto výpočtů, zjistíme, že princip diskontu je shodný s placením úroku na počátku období, jedná se vlastně o předlhůtní úročení. K vyjádření základní rovnice pro předlhůtní úročení a srovnání s polhůtním se dostaneme v kapitole Srovnání předlhůtního a polhůtního úročení. zřejmý, u úročení známe počáteční hodnotu, kterou chceme úročit (PV) a při operacích s krátkodobými cennými papíry, kdy využíváme diskontování, známe jejich nominální hodnotu, která je rovna budoucí hodnotě kapitálu (jelikož ji obdržíme až k datu splatnosti). - 7 -
Diskont lze počítat též ze současné hodnoty pohledávky. Tímto způsobem vypočtený diskont se označuje jako diskont matematický a v praxi se většinou nepoužívá Matematický diskont (Dmat)vypočítáme podle vzorce: [1.10] Dmat PV r t Tento vztah můžeme přepsat následujícím způsobem: [1.11] Dmat FV r t 1+ r t Dmat matematický diskont PV současná hodnota (výše kapitálu v čase 0) r diskontní míra t doba do data splatnosti Př. Jaká bude výše matematického diskontu u směnky o nominální hodnotě jeden milion Kč, předložené bance dva měsíce před datem splatnosti, pokud banka používá diskontní míru 9% p.a.? Dmat 1 000 000 0, 09 2 12 1+ 0, 09 2 12 14 778, 33 Kč Odpověď : Matematický diskont bude 14 778,33 Kč. Obdrženou částku (Kob) vypočítáme jako: [1.12] Kob FV PV r t Př. Jakou obdržíme částku v případě, že předkládáme bance směnku s nominální hodnotou 5 mil. Kč tři měsíce před datem splatnosti a banka má stanovenou diskontní sazbu 8% p.a.? 5 000 000 Kob 5 000 000 Kč 1+ 0 08 3 0, 08 3 4 901 960, 8 12, 12 Odpověď : Obdržíme částku 4 901 960,8 Kč. Jednoduchým důkazem můžeme doložit následující vztah: [1.13] Dobch Dmat ( 1 + r t) 1.5 Srovnání předlhůtního a polhůtního úročení Doposud jsme pojednávali o tzv. jednoduchém úročení polhůtním, což znamená, že úroky jsou připisovány na konci úrokovacího období. V praxi se však vyjímečně můžeme setkat i - 8 -
s tzv. jednoduchých úročením předlhůtním. Při jednoduchém úročení předlhůtním jsou úroky vypláceny na začátku úrokovacího období. V minulé kapitole jsme si uváděli, že používání obchodního diskontu je vlastně předlhůtní úročení. Základní rovnici pro předlhůtní úročení si můžeme odvodit na příkladu půjčky, která je úročena předlhůtně: Nechť je doba splatnosti 1 rok, nechť FV 1 kapitál, o který žádá klient v Kč, nechť PV kapitál, který klient dostane vyplacenu na ruku v Kč, nechť ra anticipativní (předlhůtní) úroková sazba v setinách. Pak platí, že od nominální částky odečteme anticipativní úrok a dostaneme vyplacenou částku, tedy: PV FV 1 u, kde u FV 1 ra t ( a ) PV FV 1 FV 1 r t, kde t 1 rok, tzn. PV FV 1 ( 1 ra). Pro zúročený dluh tedy platí: FV PV u +. 1 + (anticipativní úrok), tzn. FV 1 PV ( FV 1 ra t) [ ] Po dosazení předcházejícího tvaru a úpravě dostaneme FV FV 1+ ra ( t 1 ), což nám vyjádří velikost zúročeného kapitálu (dluhu) pomocí částky, o kterou klient banku požádal. Tento zúročený kapitál lze při anticipativním úrokování též vyjádřit pomocí částky, PV kterou klient obdržel od banky na ruku. Pokud víme, že FV 1, tak po dosazení do 1 ra předcházejícího tvaru a úpravě dostaneme základní rovnici pro předlhůtní jednoduché úročení: [1.14] FV r PV + a t r 1 1 a Př. Banka poskytuje roční půjčky úročené předlhůtně. Výše půjčky je 10 000 Kč a úroková sazba je 15% p. a. Kolik dostane vyplaceno klient, který o takovou půjčku požádá na začátku roku a jaká je skutečná výše úrokové sazby (čili v polhůtním vyjádření)? PV 10 000 8 500 Kč 0, 15 1+ 1 0, 15 1 0, 15 r 0, 1765 1 0, 15 Odpověď : Klient dostane vyplaceno 8 500 Kč a skutečná, čili polhůtní úroková míra bude rovna 17,65% p. a. ra Nahradíme-li v rovnici [1.14] člen úrokovou sazbou polhůtní r, dostaneme 1 ra základní rovnici pro zúročený kapitál při jednoduchém polhůtním úrokování. Když si obě dvě základní rovnice porovnáme, můžeme polhůtní úrokovou sazbu vyjádřit pomocí - 9 -
ra předlhůtní: r a taky naopak, úrokovou sazbu předlhůtní můžeme vyjádřit pomocí 1 ra r úrokové sazby polhůtní: ra. 1 + r CVIČENÍ: 1. Banka nabízí klientovi úvěr. Klient si může vybrat, zda nechá svůj dluh úročit 10% p. a. polhůtně nebo stejnou úrokovou sazbou předlhůtně při jednoduchém úročení. Co je pro klienta výhodnější? 2. Podnikatel požádal banku o kapitál a banka mu vyplatila na ruku 80 tis. Kč na dobu jednoho roku při 20% p. a. při anticipativním jednoduchém úročení. Podnikatel však tento dluh po domluvě s bankou splatil už za šest měsíců. O jakou částku žádal a jakou částku po půl roce podnikatel vracel? 3. Banka přebírá pohledávku v nominální hodnotě 500 tis. Kč, splatnou za 1,5 roku. Kolik Kč za ni vyplatí, určí-li si diskontní sazbu odpovídající 12% p. a.? 4. Určete matematický diskont, který si banka strhne, vyplatí-li pohledávku v nominální hodnotě 15 tis. Kč o 35 dnů dříve, při diskontní sazbě odpovídající 7,5% p. a. a porovnejte jej s obchodním diskontem. 5. Jak vysokou částku banka vyplatí, převzala-li pohledávku splatnou za 200 dnů ve výši 600 tis. Kč při diskontní sazbě odpovídající 9,3% p. a. a navíc si strhává 0,5% z nominální hodnoty jako manipulační poplatek? 6. Klient zažádal banku o úvěr na dobu jednoho roku. Banka mu nabízí jednoduché úročení buď 6,4% p. a. dekursivně, nebo 6% p. a. anticipativně. Co je pro klienta výhodnější? 7. Jakou částku si musíte dnes uložit, abyste při úrokové sazbě 11,5% p. a. a jednoduchém úročení měli za 14 měsíců k dispozici 155 tis. Kč? - 10 -
2. Složené úročení 2.1 Základní rovnice složeného úročení Při složeném úročení jsou úroky připisovány k počátečnímu kapitálu a dále se úročí. Složené úročení používáme při výpočtech spojených s kapitálovými investicemi a pokud úrokovací období je delší než jeden rok. Základní rovnici můžeme psát ve tvaru: [2.1] FV PV ( 1 + r) t FV výše kapitálu v čase t (zúročený kapitál - budoucí hodnota) PV výše kapitálu v čase 0 (počáteční kapitál - současná hodnota) r úroková míra t délka úrokovacího období Př. Jaká bude budoucí hodnota kapitálu ve výši 10 000 Kč při složeném úročení za tři roky pokud úrokovací období je roční a úroková sazba 12% p.a.? FV ( ) 10 000 1+ 0, 12 14 049, 28 Kč 3 Odpověď : Za tři roky bude hodnota kapitálu 14 049,28 Kč. V případě, že úročíme m-krát ročně (např. měsíčně), vzorec pro složené úročení přechází do tvaru: r [2.2] FV PV 1 + m Tento typ úročení je označován jako úročení področní. m t Př. Jaká bude hodnota kapitálu ve výši 10 000 Kč při složeném úročení za tři roky pokud úrokovací období je půlroční a úroková sazba 12% p.a.? FV 2 3 10 000 1+ 0, 12 14 185, 19 Kč 2 Odpověď : Za tři roky bude hodnota kapitálu 14 185,19 Kč. - 11 -
2.2 Současná a budoucí hodnota při složeném úročení Současná hodnota při složeném úročení je dána základní rovnicí složeného úročení. Budoucí hodnotu při složeném úročení dostaneme vyjádřením současné hodnoty kapitálu (v čase nula) PV z téže rovnice. [2.3] PV FV ( 1+ ) t t Př. Kolik musíme uložit na termínový vklad, abychom na konci pátého roku měli naspořeno 10 000 Kč při složeném úročení 15% roční úrokovou sazbou? PV 10 000 ( 1+ 0, 15) 5 4 971, 77 Kč Odpověď : Musíme uložit 4 971,77 Kč. Pokud úročíme m-krát ročně, současnou hodnotu si vyjádříme analogicky s použitím vzorce [2.2]. 2.3 Výpočty odvozené z rovnice složeného úročení 2.3.1 Výpočet doby splatnosti Dobu splatnosti vyjádříme ze základní rovnice pro složené úročení (vzorec [2.4] je určen pro případ úročení m-krát do roka): [2.3] t ln FV ln PV ln ( 1+ r) [2.4] t ln FV ln PV r m ln 1+ m Př. Určete dobu uložení kapitálu 100 000 Kč, pokud víte, že úroková míra 25% p.a. ho při ročním složeném úročení zúročila na koncovou hodnotu 156 250 Kč. t ln 156 250 ln 100 000 2 ln 1, 25 Odpověď : Kapitál byl úročen po dobu dvou let. 2.3.2 Výpočet úrokové sazby Úrokovou sazbu vyjádříme ze základní rovnice pro složené úročení (vzorec [2.6] je určen pro úročení m-krát ročně) : [2.5] r FV FV t 1 [2.6] r t m PV PV 1 m - 12 -
Př. Jakou úrokovou sazbou byl úročen počáteční vklad ve výši 100 000 Kč, pokud za pět let vzrostl při ročním složeném úročení na 161 051 Kč? 161 051 r 5 1 0, 1 100 000 Odpověď : Vklad byl úročen úrokovou mírou ve výši 10% p.a. 2.3.3 Výpočet úroku Úrok u složeného úročení můžeme vyjádřit jako rozdíl budoucí a současné hodnoty kapitálu: U FV PV [2.7] PV + U PV ( 1 + r) t Př. Jaký bude celkový úrok, pokud počáteční kapitál ve výši 250 000 Kč bude úročen o dobu čtyř let úrokovou sazbou 8% p.a. při ročním složeném úročení? U ( ) 4 250 000 1+ 0, 08 250 000 90 122, 25 Kč Odpověď : Celkový úrok za čtyři roky bude 90 122,25 Kč. 2.4 Kombinace složeného a jednoduchého úročení V případě, že pro úrokovací období t platí: t n + l n počet úrokovacích období l necelá část úrokovacího období (např. pokud t 3,6 let, pak n 3 a l 0,6) pro výpočet úroku potom používáme kombinaci jednoduchého a složeného úročení (vzorec [2.9] je určen pro případ, že se úroky připisují vícekrát do roka: [2.8] FV PV ( 1+ r) n ( 1 + r l) r m [2.9] FV PV 1+ ( 1 + r l) n - 13 -
Př. Jaká bude výše počátečního kapitálu 1000 Kč po třech letech a dvěstěšestnácti dnech, pokud počáteční vklad je úročen úrokovou sazbou 15% p.a. složeně za každý ukončený rok a jednoduše za zbývající část roku? FV 3 1 000 ( 1+ 0, 15) 1+ 0, 15 216 1 657, 75 Kč 360 Odpověď : Po třech letech bude výše kapitálu 1 657,75 Kč. 2.5 Úrokové sazby 2.5.1 Nominální úroková míra Doposud jsme počítali pouze s nominálními úrokovými měrami. Nominální úrokové míry můžeme rozdělit na hrubé nominální úrokové míry a čisté nominální úrokové míry. Rozdíl mezi hrubou a čistou nominální mírou představuje příslušná daňová sazba. Potom musí platit vztah: [2.10] rc rh ( 1 rdp) r c čistá nominální úroková míra, r h hrubá nominální úroková míra r dp sazba daně z příjmů. Př. Banka vám nabídla na termínovaný účet úrokovou míru 12,8% p.a. Jaká je skutečná míra zisku z této investice, pokud víte, že výnos na termínovaném účtu je zatížen daňovou sazbou 15%? ( ) rc 0, 128 1 0, 15 0, 1088 Odpověď : Skutečná míra zisku je 10,88%. 2.5.2 Efektivní úroková míra Efektivní úroková míra se používá k porovnání různých nominálních úrokových měr. Efektivní úroková míra je roční úroková míra odpovídající takové nominální úrokové sazbě, která nám dá za jeden rok stejnou výši kapitálu, i když s ní úročíme m-krát do roka. Tedy musí platit: [2.11] r m t r PV ( re) t 1+ PV 1 +, proto m e m r 1+ 1 m - 14 -
Př. Kterou z možných variant zhodnocení peněz zvolíte: a) termínový vklad úročený pololetně úrokovou sazbou 13,1% nebo b) termínový vklad úročený měsíčně úrokovou sazbou 12,8%? rea 1+ 0, 131 1 0, 1353 2 rea 1+ 0, 128 1 0, 1358 12 2 12 Odpověď : Zvolíme variantu b), protože efektivní úroková sazba je vyšší. 2.5.3 Reálná úroková míra Reálná úroková míra je nominální úroková míra očištěná o míru inflace. Vypočítá se podle vzorce: [2.12] r r rn ri 1+ ri r r reálná úroková míra, r n nominální úroková míra r i míra inflace. Př. Jaká je reálná úroková míra, pokud nominální roční úroková míra je 12% a roční míra inflace se předpokládá na úrovni 10%? rr 0, 12 0, 1 0, 018 1+ 0, 1 Odpověď : Reálná úroková míra je asi 1,8% p.a.. Pro velmi malé míry inflace můžeme použít odhad reálné úrokové míry jako rozdíl nominální úrokové míry a míry inflace. 2.5.4 Úroková intenzita a spojité úročení Úroková intenzita odpovídá takové úrokové míře, kdy počet úrokovacích období m se blíží k nekonečnu, m (úročí se v každém okamžiku) a délka úrokovacího období t se blíží k nule, t 0. Na stejném principu je založeno tzv. spojité úročení. Praktický význam spojitého úročení však spočívá v oblasti ohodnocení cenných papírů a kapitálových investic, neboť umožňuje použít složitější matematické nástroje. Vzorec pro spojité úročení zapisujeme ve tvaru: - 15 -
[2.13] FV PV e r t e Eulerova konstanta, neboli základ přirozených logaritmů. Př. Akcie má kurz 4 500 Kč, jaký bude její kurz za sedm let pokud předpokládáme, že průměrná míra růstu jejího kurzu bude odpovídat úrokové intenzitě 8% p.a.? 0, 08 FV 4 500 e 7 7 878 Kč Odpověď : Kurz za sedm let by měl být přibližně 7 878 Kč. Důležitý poznatek pro vztah efektivní úrokové míry a úrokové intenzity: 1 + re e r CVIČENÍ: 1. Jak vzroste uložená částka 150 tis. Kč po 6 letech a 4 měsících, byla-li úročena složeným způsobem při úrokové sazbě 4% p. m.? 2. Pan Černý si dnes z banky vyzvedl 29 246,5 Kč, když původně uložil jen 25 tis. Kč. Jak dlouho měl své peníze uloženy v bance, jestliže se mu úročili 4% p. a. a banka používala složené úročení? 3. Máte možnost koupit si ojetý automobil. Je pro vás výhodnější zaplatit hotově 150 tis. Kč nebo zvolit druhou možnost a po okamžité záloze 90 tis. Kč doplatit 70 tis. Kč až po roce a půl, když máte možnost peníze si uložit při čtvrtletním složeném úročení ve výši 5,9% p. a.? 4. Jaká je současná hodnota čtvrt miliónu, který dostanete vyplacen za 30 měsíců, pokud uvažujeme složené roční úročení ve výši 12,5% p. a.? 5. Jaká byla úroková sazba, jestliže částka 20 tis. Kč vzrostla za čtyři roky na 27 400 Kč? Ročně připisované úroky byly ponechány na účtu a dále úročeny. 6. Účastníte se spoření, kde se vaše úspory úročí 10,3% p. a. Daň z příjmů činí 15% a je předpokládána roční míra inflace 9,5%. Jaký je váš reálný výnos? 7. Zúčastníte se investiční akce, která za 60 měsíců zhodnotí váš vklad 1 mil. Kč na 1,9 mil. Kč, když víte, že existuje termínovaný vklad na stejně dlouhou dobu s 12% p. a. při čtvrtletním připisováním úroků? - 16 -
3. Spoření Spořením rozumíme ukládání stejných částek v pravidelných časových intervalech. Naším úkolem bude zjistit kolik finančních prostředků, včetně úroků, naspoříme za určité období. Jednotlivé typy spoření lze rozdělit: 1) podle délky spoření krátkodobé - spoříme po dobu jednoho úrokového období (období, za které je připisován úrok, zpravidla 1 rok), dlouhodobé - spoříme po dobu delší než jedno úrokové období 2) podle okamžiku uložení spořené částky předlhůtní - spořená částka je ukládána na začátku úrokového období polhůtní - spořená částka je ukládána na konci úrokového období 3.1 Krátkodobé spoření Výchozí podmínky pro krátkodobé spoření: Spoříme jedno úrokové období (předpokládejme jeden rok) a méně. Spoříme m-krát ročně (či m-krát za úrokové období) částku K. Podle toho, zda ukládáme na začátku m-tiny roku nebo na konci m-tiny roku, budeme rozlišovat spoření předlhůtní a polhůtní. Hodláme naspořit cílovou částku Kc. Jednotlivé úložky jsou úročeny na základě jednoduchého úročení a úroky jsou připisovány na konci doby spoření (na konci úrokového období). 3.1.1 Spoření předlhůtní krátkodobé U spoření krátkodobého předlhůtního ukládáme částku vždy na začátku určitého období (m-tiny úrokového období či roku, na začátku měsíce, čtvrtletí apod.). [3.1] Kc m K m + 1 +m r 1 2 Kc cílová částka K výše úložky. m počet úložek za úrokové období r úroková sazba. Př. Jakou částku naspoříme do konce roku, spoříme-li počátkem každého měsíce 1000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: K 1000, m 12, r 0,11 a Kc?. - 17 -
+ Kc 1 000 12 1+ 12 1 0 2 12, 11 12 715 Odpověď : Celkem na konci roku naspoříme 12 715 Kč včetně úroků. Př. Jakou částku musíme uložit na začátku každého čtvrtletí, abychom za rok našetřili 18 000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: Kc 18000, m 4, r 0,11 a K?. K 18 000 + + 4 1 4 1 2 4 0, 11 4 210, 5 Odpověď : Na začátku každého čtvrtletí musíme uložit 4 210,50Kč. Tohoto vzorce je možné využít například pro výpočet nejefektivnější měsíční úložky při spoření na stavebním spoření. Nejefektivnější měsíční úložka je taková, při které za rok naspoříme i s úroky 20.000 Kč, čímž maximalizujeme státní podporu, která je 15 % z roční úložky i s připsanými úroky, maximálně však 3000 Kč (tedy 15 % z 20.000 Kč). Pokud bychom naspořili více než 20.000 Kč za rok, tak dostáváme stále pouze vrchní hranici státní podpory, což je zmiňovaných 3000 Kč za rok. Kolik tedy musíme na počátku každého měsíce spořit, abychom na konci prvního roku měli na účtě stavebního spoření 20.000 Kč, pokud budeme abstrahovat od poplatků a budeme kalkulovat úročení 2 % p.a.? Dosadíme do vzorce: Kc 20000, m 12, r 0,02 a K?. K 20000 12 + 1 12 1+ 0,02 2 4 1648,8 Odpověď : Na začátku každého měsíce musíme uložit 1648,80 Kč. 3.1.2 Spoření polhůtní krátkodobé U spoření krátkodobého polhůtního spoříme částku vždy na konci určitého období (mtiny úrokového období, roku, měsíce, čtvrtletí apod.). Oproti spoření předlhůtnímu je počet úrokových období o jedno období nižší. Poslední úložka není úročena a neplyne z ní tedy žádný úrok. První úložka u polhůtního spoření (uložena např. na konci ledna) je úročena stejně dlouho jako druhá úložka u předlhůtního spoření (uložena např. na počátku února). [3.2] Kc m K m + 1 m r 1 2-18 -
Kc cílová částka K výše úložky. m počet úložek za úrokovací období r úroková sazba. Př. Jakou částku naspoříme do konce roku, spoříme-li koncem každého měsíce 1000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: K 1000, m 12, r 0,11 a Kc?. 12 1 Kc 1 000 12 + 1 000 0, 11 12 605 2 Odpověď : Naspoříme 12 605 Kč včetně úroků. Všimněme si vztahu mezi naspořenou částkou při polhůtním a předlhůtním úročení za jinak stejných podmínek. Při spoření polhůtním byla naspořena částka 12 605 Kč a při předlhůtním bylo naspořeno za stejné časové období a při stejné úrokové sazbě o 110 Kč více, tedy 12 715 Kč. Rozdíl mezi úsporami při předlhůtním a polhůtním spoření je v ročním úroku z jeden pravidelně ukládané částky: 1000 * 0,11 110 Kč. Př. Jakou částku musíme uložit na konci každého čtvrtletí, abychom za rok našetřili 18 000 Kč při roční úrokové sazbě 11%? Dosadíme do vzorce: Kc 18000, m 4, r 0,11 a K?. K 18 000 + 4 1 4 1 2 4 0, 11 4 321, 73 Odpověď : Na konci každého čtvrtletí musíme uložit 4 321,73Kč. Vzorce 3.1 a 3.2 je možno rovněž využít při zjišťování úrokové míry, pokud známe velikost K a Kc. Je nutné si z uvedených vzorců vyjádřit r. [3.3] r Kc m K m K ( m ± 1) 2 m Př. Jaká je úroková sazba jestliže ukládáme koncem každého měsíce částku 10 000 Kč a za jeden rok takto naspoříme 126 600 Kč? Dosadíme do vzorce: Kc 126 600, K 10000, m 12, r?. - 19 -