Analýza a ověření kvaly replkace benchmarku meodologí Trackng Error Jří VALECKÝ VŠB-TU Osrava Absrac The am of he paper s o perform an analyss and compare he accuracy of a benchmark replcaon usng varous replcaon mehods of Trackng Error mehodology. On he hsorcal daa and under he esence of he proporonal ransacons coss we verfy he mpac of socks number n porfolo and ransacon coss on he seleced replcaon mehods of passve and acve asse managemen sraeges namely replcaon wh daly and conrolled resrucurng and he mehod wh penalzaon of ransacon coss. We also deermned whch seleced replcaon mehod s he mos precse n he sense of benchmark replcaon and we gve several general recommendaons for benchmark replcaon sraegy ncludng he elgble proporon of replcang porfolo on he marke capalzaon wh respec o he arge replcaon accuracy. Frsly he Trackng Error mehodology and s applcaon n asse managemen are presened and opmzaon problem of parcular replcaon mehods s formulaed n he ne par of he paper. In he applcaon par he replcaon accuracy s analyzed and he qualy of benchmark replcaon s verfed on he Czech nde X-GLOB durng he perod of he year 2007. I emerged durng our epermen ha under he condon of passve asse managemen sraegy he replcang porfolos wh he proporon of he marke capalzaon on he benchmark a he level 70 85 % gve very good resuls. Moreover we conclude ha he mehod wh penalzaon of ransacon coss s he mos precse replcaon mehod from he seleced and analyzed mehods of acve asses managemen sraegy. Keywords Benchmark replcaon resrucurng rackng error ransacon coss. JEL Classfcaon: G C60 Deparmen of Fnance Faculy of Economcs VŠB-Techncal Unversy of Osrava Sokolská ř. 33 70 2 Osrava Czech Republc. jr.valecky@vsb.cz Ths research s due o he suppor provded by GAČR (Czech Scence Foundaon Granová Agenura České Republky) under he projec No. 402/08/234.. Úvod Výkonnos řízených nvesčních porfolí je srovnávána mez sebou ale aké ve vzahu ke zvolenému vzoru benchmarku. Někerá ao porfola jsou řízena za účelem aby očekávaný výnos byl shodný právě s výnosem zvoleného vzoru (např. ndeové fondy) zaímco jná jsou řízena ak aby generovala požadovaný dodaečný výnos (nadvýnos) a o s mnmálním ransakčním náklady a s neparnou odchylkou (Trackng Error) od vývoje benchmarku. K řízení akovýcho porfolí lze uplan meodolog Trackng Error jejímž prmárním cílem je přblíž vývoj hodnoy (výnosu) porfola k vývoj hodnoy (výnosu) zvoleného benchmarku jímž může bý vybraný ržní nde nebo jné porfolo fnančních akv a o př mnmální hodnoě Trackng Error. Smyslem éo meodologe je edy vyvoření a správa porfola akovým způsobem aby výsledná chyba Trackng Error byla buď mnmální nebo splňovala sanovený mamální lm. Tuo meodolog lze využí např. ke snížení objemu ransakčních nákladů 200 ublshed by VŠB-TU Osrava. All rghs reserved. ER-CEREI Volume 3: 9 28 (200). ISSN 22-395 do:0.7327/cere.200.03.02
20 Ekonomcká revue Cenral European Revew of Economc Issues 3 200 ke snížení celkového rzka porfola nebo pomocí ní lze sníž relavní rzko ve vzahu ke zvolenému benchmarku (zv. replkace). Fakory jež obecně deermnují úspěšnos replkace jsou zejména následující: () esence ransakčních nákladů (2) báze replkačního porfola (3) výše dodaečného výnosu (4) výchozí srukura replkačního porfola (5) kvala predkce a další. Analýzam vlvů vybraných fakorů se zabýval Walsh a kol. (998) El-Hassan a Kofman (2003) Valecký (2008a 2008b 2008c) a další. Tyo opmalzační úlohy jsou řešeny pomocí sochasckého programování například Gavoronsk a kol. (995) avšak naléz ao řešení je velm obížné jž pro malý poče rozhodovacích období. Úlohy s vyšším počem období jsou řešeny za předpokladu že v každém období je k dspozc nová ržní nformace kerá umožňuje nvesorov pružně reagova na změnu ržních podmínek a zaujmou novou sraeg vz například Gavoronsk a Sella (2003) nebo Gavoronsk a kol. (2005). Další výhodou ohoo přísupu je a že zde není nunou podmínkou předpoklad o pravděpodobnosním rozdělení nových ržních nformací. Trackng Error (rovněž aké akvní rzko acve rsk) lze edy charakerzova jako míru odchylky porfola od benchmarku. Rudolf a kol. (999) defnuje Trackng Error (dále TE) jako sřední hodnou absoluní odchylky (Mean Absolue Devaon) výnosu řízeného porfola a benchmarku: ( ) T MAD p T TE R B () kde R p a B je výnos porfola a benchmarku v čase a T je poče pozorování. Další chápání ermínu Trackng Error je v podobě kořenu sřední hodnoy čvercové odchylky (Roo Mean Squared Devaon) výnosu řízeného porfola od benchmarku například Gavoronsk a Sella (2000 2003) edy T RMSD p T ( ) 2 TE R B. (2) oslední defnce Trackng Error jež je časo zaměňována s předchozí je v podobě směrodané odchylky (Sandard Devaon) rozdílu výnosu porfola a benchmarku například v Roll (992) a Joron (2002 2003): T SD T ( ( )) 2 TE X E X (3) kde X Rp B. Dále Frno a Gallagher (200) defnoval hodnou TE aké jako směrodanou odchylku rezduí regrese: R α + βb + e. (4) Cílem ohoo příspěvku je provés numercký epermen za účelem analýzy úspěšnos replkace ndeu českého kapálového rhu X-GLOB za období roku 2007 pomocí meody pasvní replkace replkace s denní a s řízenou resrukuralzací a replkace s penalzací ransakčních nákladů a výsledky jednolvých meod porovna. roo je benchmark replkován za předpokladu znalos budoucnos dalších vsupních paramerů neboť pouze ak lze získa výsledky jež nejsou zkresleny neznámým fakory (přesnos predkce volba paramerů modelu apod.). Dílčím cílem je poé ověř vlv velkos báze a proporconálních ransakčních nákladů na kvalu replkace. V následující druhé čás jsou předsaveny a formulovány analyzované replkační meody. V čás řeí jsou jednolvé replkační sraege aplkovány na český nde kapálového rhu X-GLOB. Získané výsledky jsou zhodnoceny a nerpreovány v poslední čvré čás. 2. Replkace benchmarku dle meodologe Trackng Error K replkac zvoleného benchmarku dle meodologe Trackng Error je možné použí celou řadu replkačních meod spadajících do kaegore akvní č pasvní správy. asvní správa se lší od akvní ím že nejsou povoleny zásahy do srukury porfola jným slovy nejsou povoleny případné resrukuralzace porfola. Je edy zřejmé že akvní správa je mnohem fleblnější a umožňuje snáze spln zvolené cíle. Na druhou sranu je však náročnější z hledska prakcké provedelnos neboť je nuné naléz opmální srukuru porfola v každém okamžku v němž je provedena resrukuralzace. Značnou nevýhodou jsou zde ransakční poplaky jež musí bý hrazeny a jež snžují výnos porfola. Úlohy řešící yo problémy se od sebe lší použou účelovou funkcí a vedou k maemackému vícesupňovému programování jejch přehled lze naléz např. v Gavoronsk a kol. (2005). Nyní defnujme dynamckou srukuru porfola drženého pasvní a akvní správou za předpokladu jednokového bohasví. Mějme vekor srukury porfola v čase a a dále vekor srukury porfola v čase z jež předsavuje akualzovanou srukuru porfola vlvem pohybu cen akv dle z ( + R) N ( + Rk) k k pro N (5)
J. Valecký Analýza a ověření kvaly replkace benchmarku meodologí Trackng Error 2 kde je podíl -ého akva v porfolu v čase a R je výnos -ého akva v čase a N je poče cenných papírů v porfolu. U akvní správy jsou dále prováděny nákupy (prodeje) fnančních akv obsažených ve srukuře porfola proo srukura porfola v čase se spočíá jako z + + pro N (6) kde z je relavní podíl -ého akva v řízeném porfolu v důsledku pohybu cen akv (5) + je relavní podíl koupených a je relavní podíl prodaných akv a je konečný relavní podíl -ého akva v čase. ro porfolo držené pasvní správou plaí rovnce z pro T. 2. asvní replkace Obecnou opmalzační úlohu replkace jež je prováděna pasvní správou porfola lze zapsa pomocí následující úlohy smíšeného celočíselného programování. Úloha (pasvní správa) ( R B ) 2 T mn TE d T za podmínek N () 0 pro N (2) d S (3) d d { 0;} pro N (4) kde je jednokový vekor S je mamální poče fnančních akv použých k replkac je vekor relavních podílů porfola B je výnos benchmarku a R je vekor výnosů fnančních akv v čase. Vekor bnárních proměnných d zde určuje zahrnuí ( d ) č nezahrnuí ( d 0 ) akva do porfola Účelovou funkcí je nalezen akový vekor jenž mnmalzuje hodnou Trackng Error dle (2) za podmínky nvesování celého bohasví () a nemožnos krákých prodejů (2). odmínkou (3) je určen mamální poče fnančních akv použých pro replkac a skupnou podmínek (4) je zajšěno že není-l akvum zahrnuo do báze ( d 0 ) je relavní podíl akva v báz nulový. 2.2 Replkace s denní resrukuralzací Další charakerzované meody replkace spadají do kaegore akvní správy. rvní z nch je replkace s denní resrukuralzací jež za předpokladu esence proporconálních ransakčních nákladů ϕ defnujme jako následující opmalzační úlohu dle Gavoronsk a Sella (2003) a Gavoronsk a kol. (2005) vyjádřenou pomocí výnosů a s počáečním výběrem akv pro replkac v následujícím varu. Úloha 2 (akvní správa denní resrukuralzace) T mn d ( R ) 2 B T za podmínek pro T () 0 pro N pro T (2) d S (3) d d { 0;} pro N (4) kde z ( )( ) R u + R T (R) N ϕ R u z T (R2) ( + ) N ( + Rk) k k N T. (R3) Účelová funkce mnmalzuje Trackng Error za podmínky nvesování celého bohasví () a nemožnos krákých prodejů (2). odmínkou (3) je určen mamální poče fnančních akv použých pro replkac a skupnou podmínek (4) je zajšěno že není-l akvum zahrnuo do báze ( d 0 ) je relavní podíl akva v báz nulový. Rovncí (R) je spočen výnos porfola R p snížený o čás výnosu odčerpaného proporconálním ransakčním náklady. Rovncí (R2) je vyjádřen podíl proporconálních ransakčních nákladů u na jednokovém bohasví a rovnce (R3) předsavuje přepočený podíl -ého akva v porfolu z důvodu pohybu cen akv. 2.3 Replkace s řízenou resrukuralzací Další replkační meodou akvní správy je replkace s řízenou resrukuralzací vycházející opě z Gavoronsk a Sella (2003) a Gavoronsk a kol. (2005). Tao meoda omezuje výš ransakčních nákladů ak že je přepínáno mez režmy akvní a pasvní správy dle zvoleného pravdla. osup je následující. Nejprve je dopočena hodnoa Trackng Error bez provedení resrukuralzace edy
22 Ekonomcká revue Cenral European Revew of Economc Issues 3 200 za předpokladu výchozích vah z předchozího období dle ( ) 2 TE R z B (7) kde z je přepočená srukura dle rovnce (5). V dalším kroku je pomocí opmalzační Úlohy 2 nalezena opmální srukura hodnoa účelové funkce TE je porovnána s hodnoou TE z rovnce (7) a zda dojde k přepnuí režmu do akvní správy je posléze rozhodnuo dle pravdla pokud TE TE * > + (8) z v jném případě kde je prahová proměnná. Sěžejní problém éo meody spočívá v nalezení prahové proměnné kerá je pro replkac za dané období opmální. Too lze řeš buď opmalzační úlohou vz Gavoronsk a kol. (2005) nebo smulačním echnkam pomocí nchž se pro vygenerovanou množnu prahových proměnných smuluje replkace dle posupu popsaného výše a pro konečný poče prahových velčn se hledá a prahová velčna př keré je replkace nejúspěšnější edy hodnoa Trackng Error nejnžší. Gavoronsk a Sella (2003) uvedl zjednodušující algormus omezující poče smulací kerý smuluje replkace pouze pro prahové proměnné nalezené na hsorckých daech. Množna poencálních prahových hodno z hsorckých da se získá dle TE TE pro T (9) a pro ako získané velčny je replkace smulována. Velm dobré výsledky jsou akéž získány použjel se opmální prahová proměnná z předchozího období vz například Valecký (2008a). 2.4 Replkace s penalzací ransakčních nákladů Další poslední prezenovanou meodou replkace je replkace s penalzací ransakčních nákladů jejíž základy lze naléz v Dergs a Nckel (2004). Opmalzační úlohu lze formulova následovně. Úloha 3 (akvní správa penalzace ransakčních nákladů) * ( R B ) 2 z mn + λ U d T za podmínek pro T () pro N pro T (2) 0 kde z d S (3) d d { 0;} pro N (4) ( )( ) R u + R pro T (R) ( + R) N ( + Rk) k T N U ϕ z (R2) k N T. (R3) Účelová funkce mnmalzuje hodnou TE zvýšenou o součn penalzačního parameru λ a podíl celkových proporconálních ransakčních nákladů U. odmínky () až (4) a rovnce (R) až (R3) jsou oožné s Úlohou 2. 3. Analýza a ověření replkačních meod V éo čás je proveden numercký epermen jehož cílem je srovnání přesnos jednolvých replkačních sraegí a o replkací pasvní správou a dále meodam akvní správy (replkace s denní a s řízenou resrukuralzací replkace s penalzací ransakčních nákladů) dle opmalzačních úloh popsaných ve druhé čás. Analyzována je úspěšnos replkace českého ndeu kapálového rhu X-GLOB v roce 2007 pomocí 9 porfolí a je ověřen vlv velkos báze a proporconálních ransakčních nákladů na kvalu replkace dle jednolvých meod. Nejprve je provedena pasvní sraege replkace jejímž výsledkem je srukura 9 porfolí jež jsou opmálním pro pasvní správu př mnmální TE. Tao porfola jsou dále použa jako výchozí pro správu akvní. Vsupní daa obsahují dskréní denní výnosy ndeu X-GLOB a dalších 26 cenných papírů jež byly obchodovány po celý rok 2007 v režmu KOBOS na BC a. s. a jež vořly v roce 2007 báz ndeu X- GLOB. 2 3. Replkace pasvní správou rvní analyzovanou meodou replkace je replkace pasvní správou. Za ímo účelem byla řešena Úloha meodou věví a mezí (branch and cu mehod) pro 9 porfolí o velkos S cenných papírů přčemž Daa byla poskynua společnosí ara Fnance (www. para.cz). 2 Množna akv se skládala z 3 cenných papírů jež byly součásí báze ndeu v roce 2007. Z ohoo poču bylo vyřazeno pě akv kerá se v průběhu roku přesala obchodova.
J. Valecký Analýza a ověření kvaly replkace benchmarku meodologí Trackng Error 23 S { 2 9}. K omuo výpoču byl použ sofware CLEX. Výsledná složení opmálních replkačních porfolí jsou znázorněna na obrázku. Z obrázku lze vyčís že orfolo A je vořeno jedním cenným papírem (akce Telefónca O2 C. R.) orfolo B dvěma cenným papíry (akce ČEZ a Erse bank) ad. Dále je zřejmé že někeré cenné papíry jsou pro replkac vhodnější než jné vz níže. Např. akce Erse bank jsou zařazeny do báze replkačního porfola př použí pouze dvou cenných papírů a jsou dále součásí osaních replkačních porfolí se zvyšující se bází a o až do velkos 9 fnančních akv. Srukura porfola 00% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 0% 0% A B C D E F G H I orfolo Zenva Unperol Telefónca O2 C.R. ražská plynárenská Orco Komerční banka Erse Bank ČEZ CETV Obrázek Srukura replkačních porfolí pasvní správy Následující abulky předsavují řazení fnančních akv dle koefcenu korelace výnosu ohoo akva a výnosu benchmarku dále řazení dle podílu ržní kapalzace na benchmarku edy na ndeu X- GLOB. Jsou-l spojeny údaje z ěcho abulek a z obrázku předsavující srukuru jednolvých porfolí ak jak byla vybírána lze z ěcho formulova závěr že cenné papíry jsou zařazovány do replkačního porfola dle podílu ržní kapalzace na ndeu a nkolv dle koefcenu korelace jak by se mohlo předpokláda. Tabulka Řazení akv dle koefcenu korelace ořadové č. Název Koefcen korelace ČEZ 07945 2 Erse bank 07598 3 Komerční banka 06392 4 Unperol 06247 5 Orco 06059 6 Telefónca O2 C.R. 05574 7 Zenva 04972 8 CETV 04806 9 ražská plynárenská 00550 Tabulka 2 Řazení akv dle podílu na ržní kapalzac ořadové č. Název odíl na ržní kapalzac ČEZ 2786% 2 Erse bank 2320% 3 Telefónca O2 C.R. 534% 4 Komerční banka 65% 5 CETV 50% 6 Zenva 436% 7 Unperol 406% 8 Orco 22% 9 ražská plynárenská 038% V následující abulce 3 jsou uvedeny hodnoy Trackng Error spolu s dopočeným podíly porfola na ržní kapalzac ndeu. Uvedeny jsou zde akéž koefceny korelace výnosu benchmarku a výnosu replkačního porfola. Dle ěcho výsledků lze konsaova že úspěšnos replkace rose spolu s rosoucí velkosí báze replkačního porfola. Vysoké úspěšnos bylo dosaženo jž u orfola D (4 cenné papíry v báz) Trackng Error je ve výš 099 % a koefcen korelace velm blízký jedné 09839. Závslos přesnos replkace (hodnoy TE) na velkos báze a na velkos podílu ržní kapalzace ndeu jsou zachyceny na obrázku 2 a 3. Dle následujících obrázků lze konsaova že hodnoa TE klesá jak s růsem velkos báze replkačního porfola ak se zvyšujícím se podílem ržní kapalzace a o v obou případech mocnnným rendem (rend poklesu vzahu TE a podílu ržní kapalzace lze však velm dobře nahrad aké rendem lneárním). Na základě získaných výsledků (abulka 3 a obrázky 2 a 3) lze říc že pro kvalní replkac ndeu X- GLOB sačí použí porfolo obsahující 50 % až 70 % ržní kapalzace (porfola B a C o řech až čyřech Tabulka 3 Charakersky replkace pasvní správou orfolo A B C D E F G H I Trackng Error 03% 049% 030% 020% 07% 03% 0% 00% 009% odíl na ržní kapalzac 534% 506% 6640% 7805% 8306% 8742% 948% 986% 9407% Koefcen korelace 05574 09507 09643 09839 09888 09928 09948 09954 09962
24 Ekonomcká revue Cenral European Revew of Economc Issues 3 200 Trackng Error 2% 0% 08% 06% 04% 02% 00% 3 5 7 9 Velkos báze Obrázek 2 Vzah Trackng Error a velkos báze replkačního porfola Trackng Error 2% 0% 08% 06% 04% 02% 00% 0% 20% 40% 60% 80% 00% odíl na ržní kapalzac Obrázek 3 Vzah Trackng Error a velkos podílu na ržní kapalzac ndeu akvech) pro velm přesnou replkac je vhodné použí 70 % až 85 % ržní kapalzace (porfola D a E o pě až šes akvech) a u porfolí s podílem na kapalzac nad 85 % (porfola F až I o sedm a více akvech) je růs přesnos replkace mnmální. 3.2 Replkace s denní resrukuralzací Další aplkovanou meodou replkace je replkace akvní správou s denním resrukuralzacem dle Úlohy 2 pro různou hladnu ransakčních nákladů. Vzhledem k omu že řešení éo úlohy je velm obížné rozhodl jsme o srukuře (o zařazení cenného papíru do porfola) ak že jsme převzal opmální porfola A až I z pasvní správy. ředpokládáme ak že jsou-l ao porfola opmální pro pasvní správu je nuné provés mnmum zásahu př správě akvní. Úloha je poé řešena ak že v každém období je získána nová nformace z období + jež umožňuje manažerov reagova a zaujmou novou opmální pozc (novou srukuru) ak aby mnmalzoval hodnou TE za sledované období. odmínky (3) a (4) edy nejsou součásí opmalzační úlohy neboť výběr akv byl převza z pasvní správy. Celý numercký epermen byl proveden prosředncvím sofwaru Malab. V následující abulce 4 jsou uvedeny výsledné hodnoy TE pro jednolvá porfola a úroveň ransakčních nákladů ve výš 0 %; 02 %; 04 %; 06 %; 08 % a %. ro možnos srovnání jsou v abulce uvedeny hodnoy Trackng Error pro pasvní správu. Z uvedených výsledků lze konsaova že akvní správa je úspěšnější a edy se vyplaí u porfolí B C D E a F u kerých lze denní zásahy do srukury doporuč až do výše ransakčních nákladů 04 % a u porfolí G H a I je akvní správa výhodnější do výše 02 % (šedá políčka). Napro omu pasvní správa je výhodnější u porfolí B C D E a F za předpokladu ransakčních nákladů 06 % a vyšších a u porfolí G H a I pro 04 % a více. U porfola A nemá akvní správa smysl neboť oo porfolo se skládá pouze z jednoho cenného papíru a proo akvní zásahy do srukury nejsou možné. Dále poznamenejme že pro nulové ransakční náklady je replkace pomocí porfol D až I přesná (nulové hodnoy Trackng Error) neboť resrukuralzace jsou prováděny pomocí dosaečného množsví akv a bez neesence ransakčních nákladů keré by odčerpávaly čás výnosu porfola. 3.3 Replkace s řízenou resrukuralzací Druhou analyzovanou replkací akvní správy je meoda s řízenou resrukuralzací. Replkace byla provedena sejně jako v čás 3.2 ak že byla opě převzaa opmální porfola pasvní správy jako výchozí pozce a v každém období byla spočena odchylka TE po zaujeí nové opmální pozce a ao porovnána s TE kerou by manažer realzoval př zachování pozce původní. To zda je přepnuo do akvního režmu nebo je serváno v režmu pasvní správy je rozhodnuo dle pravdla (8) keré porovnává hodnou účelové funkce Úlohy 2 ( TE ) s hodnoou TE dle (7) kde z je přepočená srukura (5) přčemž prahová proměnná udává absoluní míru olerance př jak vysoké hodnoě TE je jž přepnuo do akvního režmu. Sěžejní problém však spočívá v nalezení éo prahové proměnné kerá je pro replkac za dané období opmální. Too bylo řešeno pomocí zjednodušeného algormu smulace dle Gavoronsk a Sella (2003) vz čás 2.3. Opmální prahové proměnné a výsledné hodnoy TE pro dané porfolo a pro danou výš ransakčních nákladů jsou uvedeny v abulce 5 a 6. Dle výsledků uvedených v abulce 6 je zřejmé že hodnoa TE replkace akvní správou s řízenou resrukuralzací konverguje s růsem ransakčních nákladů k hodnoě TE získané správou pasvní. Teno závěr je odůvodnelný prosou úvahou neboť rosou-l ransakční náklady naolk že je nevýhodné provádě akvní zásahy do jeho srukury sává se výhodnější správa pasvní. Ovšem pro určou výš ransakčních nákladů má sále smysl u někerých porfolí akvní polku provádě. Např. pro porfolo B a C je akvní správa efekvní pro výš ransakč-
J. Valecký Analýza a ověření kvaly replkace benchmarku meodologí Trackng Error 25 ních nákladů % kdežo u porfola H a I má akvní správa smysl pouze do výše ransakčních poplaků 04 %. Sejně jako u replkace s denní resrukuralzací (vz výše) je replkace řízenou resrukuralzací přesná pro nulové ransakční náklady u porfolí D až I a o ze sejného důvodu neboť je replkace provedena pomocí dosaečného množsví akv a př nulových ransakčních nákladech keré by odčerpávaly čás výnosu porfola. 3.4 Replkace s penalzační funkcí ransakčních nákladů Další replkace je provedena pomocí Úlohy 3 a o sejným prncpy jako replkace s denní resrukuralzací j. že za výchozí porfola byla brána opmální porfola z pasvní sraege a ěmo byla provedena replkace ak že manažer měl v každém období k dspozc novou nformac z období následujícího. Na uo nformac měl poé možnos reagova a naléz novou opmální pozc ak aby hodnoa TE za celé sledované období byla mnmální. Zde je sěžejní problém ve sanovení výše penalzačního parameru λ. ro získání srovnaelných výsledků byla provedena úplná enumerace replkací všech porfolí pro všechny výše ransakčních nákladů s cílem naléz opmální výš ohoo koefcenu z množny λ { 0} s velkosí kroku 00. Výsledné opmální hodnoy parameru jsou uvedeny v následující abulce 7. V další abulce 8 jsou uvedeny výsledky replkací pro opmální výš penalzačních koefcenů. ř nulových ransakčních nákladech jsou výsledky replkací oožné s meodou replkace s denní resrukuralzací neboť účelová funkce degeneruje v účelovou funkc Úlohy 2. Srovnání kerá meoda je př replkac efekvnější má edy smysl pouze ehdy jsou-l respekovány ransakční náklady. Dle výsledků je zřejmé že replkace pomocí éo meody je velm úspěšná úspěšnější než osaní meody včeně pasvní správy. Výsledky replkace porfolem A (jeden cenný papír) a osaním porfol za neesence ransakčních nákladů jsou shodné s výsledky čás 3.2 neboť zde plaí mamální přesnos replkace př neesenc ransakčních nákladů u porfolí D až I. Tabulka 4 Výsledné hodnoy TE replkace s denní resrukuralzací [%] Správa Transakční orfolo náklady [%] A B C D E F G H I 00 028 075 0042 0000 0000 0000 0000 0000 0000 02 028 0254 025 0075 0062 0054 0060 0057 0056 akvní 04 028 0389 0239 05 025 009 09 05 02 06 028 0540 0356 0226 087 063 079 072 068 08 028 0697 0473 030 0250 027 0239 0229 0225 0 028 0856 0590 0376 032 027 0299 0287 028 pasvní 028 0487 030 099 066 033 04 002 0093 Tabulka 5 Opmální prahové proměnné pro jednolvá porfola a úroveň ransakčních nákladů [%] Transakční náklady orfolo [%] A B C D E F G H I 00 980 0037 00 0045 028 08 0228 0000 02 980 0047 00 0045 028 098 0228 0000 04 980 0037 00 0045 0396 08 0228 0065 06 980 0047 00 0434 036 0207 0365 0000 08 980 0037 00 0652 0236 043 0365 0037 0 980 0387 0538 0434 069 043 0940 0000 Tabulka 6 Výsledné hodnoy TE replkace s řízenou resrukuralzací [%] Správa Transakční orfolo náklady [%] A B C D E F G H I 00 028 074 0042 0000 0000 0000 0000 0000 0000 02 028 0243 022 0080 0062 0054 0056 0057 0056 akvní 04 028 0354 088 035 09 006 004 0095 0089 06 028 0399 0228 063 060 029 02 00 0092 08 028 0428 0255 079 06 030 03 002 0093 0 028 0472 0280 092 06 032 04 002 0093 pasvní 028 0487 030 099 066 033 04 002 0093
26 Ekonomcká revue Cenral European Revew of Economc Issues 3 200 4. Závěr Cílem příspěvku bylo srovna přesnos replkace benchmarku dle vybraných meod pasvní a akvní správy. Z ohoo důvodu byly všechny replkace provedeny za plné znalos vývoje dalších vsupních paramerů. Nejprve byla předsavena meodologe Trackng Error a byly formulovány opmalzační úlohy jednolvých replkačních meod. V aplkační čás byla na replkac českého ndeu kapálového rhu X-GLOB za rok 2007 analyzována a ověřena úspěšnos replkace dle ěcho meod za esence proporconálních nákladů. Rovněž byl ověřen vlv ransakčních nákladů a velkosí báze replkačního porfola na kvalu replkace. ř konsrukc replkačních porfolí bylo zjšěno že fnanční akva jsou do replkačního porfola vybírána dle podílu ržní kapalzace na benchmarku (od nejvyššího po nejnžší) a ne podle korelace jejch výnosu s výnosem benchmarku. 3 Výjmku zde voří akce ražské plynárenské zařazené do porfola G až I z důvodu nedosaečné přesnos výpočeního programu. 4 Vlv velkos báze a výše ransakčních nákladů na kvalu replkace je u všech meod sejný a o že s rosoucí bází přesnos replkace rose a s rosoucím ransakčním náklady naopak klesá. ouze u řízené resrukuralzace hodnoa TE rose pouze k určé hranc neboť a vždy konverguje k opmální pasvní sraeg. Jsou-l analyzované meody srovnány mez sebou jako nejúspěšnější na hsorckých daech se ukázala replkace s penalzací ransakčních nákladů replkace s řízenou resrukuralzací a replkace pasvní správou. Meodu s denní resrukuralzací nelze prakcky vůbec doporuč neboť a nezohledňuje výš ransakčních poplaků a je efekvní pouze za jejch neesence nebo př jejch velm malé výš. ro replkac ržního ndeu X-GLOB pasvní správou lze doporuč aby k replkac byla použa a fnanční akva jež mají nejvyšší podíl na ržní kapalzac benchmarku neboť jen ak jsou ao replkační porfola efekvní. okud není srukura replkovaného benchmarku známa je nuné provés volbu akv dle opmalzační úlohy celočíselného programování. Dle získaných výsledků však lze říc že pro kvalní replkac sačí použí porfolo obsahující akva s 50 až 70 % ržní kapalzace dále pro velm přesnou 3 K porfolu A o velkos jednoho cenného papíru zde není přhlédnuo právě z důvodu velkos báze o jednom akvu. 4 Tuo anomál lze vysvěl meodou věví a mezí jež byla použa pro řešení opmalzační úlohy smíšeného celočíselného programování. K odsranění ohoo problému by musela bý použa meoda úplné enumerace. replkac sačí použí akva s celkovou ržní kapalzací 70 až 85 % a pro porfola s podílem na kapalzac nad 85 % je rozdíl v přesnos replkace mnmální. Leraura DERIGS U. NICKEL N-H. (2004). On a Local- Search Heursc for a Class of Trackng Error Mnmzaon roblems n orfolo Managemen. Annals of Operaons Research 3: 45 77. hp://d.do.org/0.023/b:anor.000003952.9883 3.5a EL-HASSAN N. KOFMAN. (2003). Trackng Error and Acve orfolo Managemen. Ausralan Journal of Managemen 28: 83 207. hp://d.do.org/0.77/03289620302800204 FRINO A. GALLAGHER D.R. (200). Trackng S& 500 Inde Funds. Journal of orfolo Managemen 28: 44 55. hp://d.do.org/0.3905/jpm.200.39822 GAIVORONSKI A.A. KRYLOV S. VAN DER WIJST N. (2005). Opmal porfolo selecon and dynamc benchmark rackng. European Journal of Operaonal Research 63: 5 3. hp://d.do.org/0.06/j.ejor.2003.2.00 GAIVORONSKI A.A. MESSINA E. SCIOMACHEN A. (995). A sascal generalzed programmng algorhm for sochasc opmzaon problems. Annals of Operaons Research 58: 297 32. hp://d.do.org/0.007/bf02038859 GAIVORONSKI A.A. STELLA F. (2000). Sochasc Nonsaonary Opmzaon for Fndng Unversal orfolos. Annals of Operaons Research 00: 65 88. hp://d.do.org/0.023/a:092720970 GAIVORONSKI A.A. STELLA F. (2003). On-lne porfolo selecon usng sochasc programmng. Journal of Economc Dynamcs and Conrol 27: 03 043. hp://d.do.org/0.06/s065-889(02)00053-2 JORION. (2002). Enhanced Inde Funds and Trackng Error Opmzaon. Workng paper Unversy of Calforna a Irvne. JORION. (2003). orfolo Opmzaon wh Consrans on Trackng Error. Fnancal Analyss Journal 59: 70 82. hp://d.do.org/0.2469/faj.v59.n5.2565 ROLL R. (992). A Mean/Varance Analyss of Trackng Error. The Journal of orfolo Managemen 8: 3 22. hp://d.do.org/0.3905/jpm.992.70922
J. Valecký Analýza a ověření kvaly replkace benchmarku meodologí Trackng Error 27 RUDOLF M. WOLTER H.J. ZIMMERMANN H. (999). A lnear model for rackng error mnmzaon. Journal of Bankng & Fnance 23: 85 03. hp://d.do.org/0.06/s0378-4266(98)00076-4 VALECKÝ J. (2008a). The mpac of proporonal ransacon coss on he benchmark replcaon by rackng error mehodology. IMEA 2008. Lberec: Techncká unverza. VALECKÝ J. (2008b). Vlv velkos báze replkačního porfola na replkac benchmarku. MEKON 2008. Osrava: VŠB-TU Osrava. VALECKÝ J. (2008c). Ověření závslos replkace Trackng Error řízenou resrukuralzací na vybrané fakory. Řízení a modelování fnančních rzk. Osrava: VŠB-TU Osrava. WALSH D.M. WALSH K.D. EVANS J.. (998). Assessng esmaon error n a rackng error varance mnmzaon framework. acfc-basn Fnance Journal 6: 75 92. hp://d.do.org/0.06/s0927-538x(98)00005-5 Tabulka 7 Opmální koefceny λ pro jednolvá porfola a výš ransakčních nákladů Transakční náklady orfolo [%] A B C D E F G H I 00 n/a n/a n/a n/a n/a n/a n/a n/a 02 097 076 057 058 045 095 079 097 04 09 08 087 082 08 00 053 055 06 096 095 084 095 096 095 093 097 08 096 093 083 08 099 079 097 099 0 077 079 099 095 083 096 098 074 Tabulka 8 Výsledné hodnoy TE replkace s penalzací ransakčních nákladů [%] Správa Transakční orfolo náklady [%] A B C D E F G H I 00 028 075 0042 0000 0000 0000 0000 0000 0000 02 028 0259 054 03 0058 0029 004 003 0008 akvní 04 028 0368 0204 03 0080 0042 0028 0023 005 06 028 0392 0234 033 0083 0056 0040 0035 002 08 028 040 0300 044 000 0066 0049 004 0028 0 028 0434 0268 054 008 0077 0057 0047 0034 pasvní 028 0487 030 099 066 033 04 002 0093
28 Ekonomcká revue Cenral European Revew of Economc Issues 3 200