KONSTRUKCE PŘEDPOVĚDÍ NA ZÁKLADĚ MODELU GARCH *)

Transkript

1 Aca oeconomca ragensa 0: (7), sr. 9-5, VŠE Praa, 00. ISSN KONSRUKCE PŘEDPOVĚDÍ NA ZÁKLADĚ MODELU GARCH *) Josef ARL, Markéa ARLOVÁ, Kaedra sasky a ravděodobnos, VŠE Praa. Úvod Jedním z cílů konsrukce modelů volaly je jejc využí ro vorbu ředovědí volaly. yo ředověd jsou v mnoa fnančníc alkacíc (ř oceňování ocí, ř zkoumání vzau mez volalou akcovéo ru a obcodním cyklem, ad.) důležé samy o sobě, lze je však využí aké ř konsrukc nervalovýc ředovědí vycázejícíc z lneárníc a nelneárníc úrovňovýc modelů. Předkládaná sude se skládá ze dvou základníc čásí. V rvní čás je sručně osána roblemaka modelů odmíněné eeroskedascy yu GARCH. Druá čás se ak zabývá oázkam konsrukce ředovědí volaly na základě modelů GARCH.. Modely GARCH Modely odmíněné eeroskedascy vycázejí z ředsavy, že naříklad lneární úrovňové modely časovýc řad je vodné ř někerýc alkacíc modfkova ak, aby byly scony zacy v čase roměnlvý odmíněný rozyl. Konkréně lneární model AR() je edy možné modfkova do varu X = φ X - + ε, () kde φ < a {ε } je odmíněně eeroskedascký roces s odmíněnou sřední odnoou E(ε Ω - ) = 0 a odmíněným rozylem D(ε Ω - ) = E - (ε Ω - ) =, kde Ω - je relevanní mnulá nformace až do času -. yo ožadavky slňuje model rocesu {ε } ve varu ε = e /, () kde velčny rocesu {e } jsou nezávslé s nulovou sřední odnoou a jednokovým rozylem. Je-l rozdělení náodné velčny e za odmínky nformace, kerá je k dsozc v čase -, normované normální, j. e N - (0, ), oom je rozdělení náodné velčny X za odmínky nformace, kerá je k dsozc v čase -, rovněž normální, avšak s odmíněným rozylem, měnícím se v závslos na čase, j. X N - (0, ). Jednolvé modely volaly sočívají ve formulac vývoje odmíněnéo rozylu v čase. Model GARCH(,) (obecnou formu modelu GARCH navrl Bollerslev (986)) má var = ω + α ε + β Kladný odmíněný rozyl zaručují odmínky ω > 0, α > 0 a β 0. Pomocí oeráoru zěnéo osunuí je možné jej vyjádř jako ( - β = ω α ε. (4) + Přčením ε k oběma sranám rovnce (3) a odečením lze model (3) řesa do varu modelu ARMA(,), j. ε ω + ( α + β ) ε + ν βν, (5) = kde ν = ε -. Z ooo modelu vylývá, že model GARCH(,) je saconární v kovarancíc, jeslže α + β <. Neodmíněný rozyl rocesu {ε } má formu. ω D ( ε ) =, (6) α β o znamená, že je konsanní v čase a roces {ε } je neodmíněně omoskedascký. Z modelu (5) aké vylývá důvod odmínky α > 0. Kdyby nasala suace, že α = 0, nebylo by možné denfkova aramer β, roože by lal vza βb ε = ν = ν. (7) β B (3) *) ao sude vznkla na základě fnanční odory GAČR č. 40/00/0459

2 Ščaos rozdělení náodnýc velčn ε, jak ukázal Bollerslev (986), má ro 3α + α β + β < var 4 ) ) + β) β) E( ε 3( ( α ) K = =, (8) E( ε ( α + α jnak je. Ščaos K edy vždy věší než ščaos normálnío rozdělení, j. 3. Bollerslev (988) odvodl auokorelační funkc rocesu {ε }, j. ρ ρ α β = α +, (9) α β β k k = ( α + β) ρ k =, 3,. (0) Hodnoy auokorelační funkce s rosoucím zožděním k exonencálně klesají. Ryclos ooo oklesu záleží na výš souču α + β. Blíží-l se eno souče odnoě jedna, je okles auokorelační funkce velm ozvolný. Hodnoy arcální auokorelační funkce rovněž s rosoucím zožděním exonencálně klesají. Obecně lze konsaova, že var ACF a PACF rocesu {ε } odovídá varu ěco funkcí modelu ARMA(, q). Podmíněný rozyl obecnéo modelu GARCH(,q) je možné zasa ve varu nebo aké omocí oeráoru zěnéo osunuí q = + ω α ε + = = β = ω + α( ε + β( (), () kde α( = α B + + α q B q a β( = β B + + β B. Kladný odmíněný rozyl zaručují odmínky ω > 0, α > 0 ro =,,, q a β 0 ro =,,,. Model GARCH(,q) je možné řesa do varu nebo omocí oeráoru zěnéo osunuí ε m α + β ) ε = = = ω + ( β ν + ν, (3) ε = ω + [ α( + β( ] ε + ν β( ν, (4) kde ν = ε -. Jedná se o model ARMA(m,), kde m = max{,q}. Model GARCH(,q) je saconární v kovarancíc, jeslže leží kořeny olynomální rovnce vně jednokovéo kruu. Neodmíněný rozyl rocesu {ε } má formu - α( - β( = 0 (5) ω D ( ε ) =. (6) α( ) β( ) 3. Konsrukce ředovědí na základě modelů volaly 3. Předověd s mnmální sřední čvercovou cybou na základě lneárníc modelů ARIMA za ředokladu odmíněné eeroskedascy Problemaku konsrukce bodovýc a nervalovýc ředovědí na základě lneárníc úrovňovýc modelů za ředokladu odmíněné eeroskedascy rozracoval auoř Balle a Bollerslev (99). Předověď s mnmální sřední čvercovou cybou odnoy v čase +, j. ředověď s orzonem konsruovaná v čase, vycázející z modelu ARIMA, je odmíněná sřední odnoa náodné velčny X +, j. X () = E(X + Ω ), kde Ω je relevanní mnulá nformace až do času, j. do rau redkce.

3 Předokládejme, že model ARIMA je vořen lneární kombnací velčn rocesu {ε }, keré jsou odmíněně eeroskedascké. Předovědní cyba má formu a mnmální sřední čvercovou cybu lze edy zasa jako e () = X + - X () = ψ j ε (7) + j ε ψ j MSE[X ()] = E[e () ] = D[e ()] = σ, (8) kde σ ε je neodmíněný rozyl rocesu {ε }. Proo se aké (8) označuje jako neodmíněná sřední čvercová cyba. Mnmální odmíněnou sřední čvercovou cybu je možné vyjádř ve varu MSE[X () Ω ] = E[e () Ω ] = D[e () Ω ] = ψ E ( Ω ). (9) j + j uo odmíněnou sřední čvercovou cybu je možné vyjádř aké ve varu ε ψ j j [ + j ε MSE[X () Ω ] = σ + ψ E ( Ω ) σ ]. (0) Za ředokladu odmíněné eeroskedascy je odmíněná sřední čvercová cyba ředovědí vyšší nebo nžší než neodmíněná sřední čvercová cyba. oo zvýšení nebo snížení je dáno rozdílem mez neodmíněným rozylem rocesu {ε } a v čase očekávaným budoucím odmíněným rozylem. Z výše uvedenéo je zřejmé, že bodové ředověd konsruované na základě modelů ARMA a ARIMA jsou v říadě odmíněné omoskedascy a odmíněné eeroskedascy dencké. Podmíněnou sřední čvercovou cybu je však možné ouží ke konsrukc nervalovýc ředovědí, keré jsou ak ř odmíněné eeroskedascě odlšné než ř odmíněné omoskedascě. Jejc konsrukce je však obížná, roože odmíněné ravděodobnosní rozdělení ředovědníc cyb e () není normální. Aby bylo možné vyočía odmíněnou sřední čvercovou cybu (9), je řeba vyočía odmíněnou sřední odnou budoucío odmíněnéo rozylu E( +-j Ω ). Lze ukáza, že se jedná o ředověď s mnmální sřední čvercovou cybou odmíněnéo rozylu +-j. 3. Výoče ředovědí odmíněnéo rozylu na základě modelů GARCH Předokládejme model GARCH(,q) ve varu ro = + oom dosaneme ε α qε q β = ω + α β... + ω + αε α qε + q + β = β, () + Předověď s mnmální sřední čvercovou cybou odnoy +s, lze zasa ve varu kde. () () = ω + α ε ( - ) + + α q ε ( - q) + β ( - ) + + β ( - ), (3) ( + j ) *), (j) = E( +j Ω ) = ε ( j) = E ε Ω j (j) = E( +j Ω ) = +j j 0, ε ( j) = E ε Ω ) = j 0. ( + j Předokládejme ředověď konsruovanou na základě modelu GARCH(,), odmíněný rozyl má v omo říadě var ε + j = ω + α ε + β. (4) *) Plaí dena E( +j Ω ) = E(ε +j Ω ), roože E(ε +j Ω ) = E(ε +j ) = 0.

4 Pro = + jej můžeme řesa do varu + = ω + αε + + β + Poom ředověď budoucío odmíněnéo rozylu je možné vyjádř jako () = ω ( α + β ) + ( α + β ) α ε + ( α + β ) = ω ( α + β ) + ( α + β ) +. (5) β. (6) Je-l model GARCH(,) saconární v kovarancíc, j. laí-l α + β < a σ ε = ω( - α - β ) -, oom Vza (7) vycází z deny () = σ ε + (α + β ) - ( + - σ ε ). (7) r = ( r ) /( r ) ro všecna r aková, že r <. Z ooo vzau vylývá, že s rosoucím ředovědním orzonem ředověď odmíněnéo rozylu monoónně konverguje k neodmíněnému rozylu rocesu {ε} a význam současné nformace se ak zrácí. Ze vzau (6) lyne, že v říadě modelu IGARCH(,), ve kerém α + β =, má ředověď budoucío odmíněnéo rozylu var () = ω( ) + +, (8) akže současná nformace je obsažena v ředovědíc všec orzonů. Uvažujme nyní saconární model AR() vořený rocesem {ε } s odmíněnou eeroskedascou formy GARCH(,), j. X = φ X - + ε, kde ε = e [ ω + α ε β ]. (9) / + Bodová ředověď s orzonem konsruovaná v čase má formu a sřední čvercovou cybu éo ředověd lze vyjádř jako X () = φx (30) ( ) ( ) MSE[X () Ω ] = φ () = φ [σε + (α + β ) - ( + - σ ε )] = = = = σ ε ( - φ )( - φ ) - + ( + - σ ε )[(α + β ) - φ ](α + β - φ ) -, (3) kde φ α + β. Druý sčíanec ve vzau (3) znamená zvýšení nebo snížení sřední čvercové cyby z důvodu odmíněné eeroskedascy. S rosoucím ředovědním orzonem sřední čvercová cyba konverguje k neodmíněnému rozylu rocesu {X }, j. k odnoě D(X ) = ω( - α - β ) - ( - φ ) -. V mnoa rakckýc alkacíc ve fnanční ekonom je cílem analýzy nkolv ředověď budoucí úrovně časové řady s její řesnosí ve formě sřední čvercové cyby, kerá závsí na ředověd odmíněnéo rozylu, ale římo samoná ředověď budoucío odmíněnéo rozylu. V ěco suacíc je rovněž důležé určení řesnos éo ředověd. Konsruuje se edy sřední čvercová cyba ředověd odmíněnéo rozylu. Dealněj se ouo oázkou zabýval Balle a Bollerslev (99), keří určl sřední čvercovou cybu ředověd odmíněnéo rozylu konsruované na základě modelu GARCH(,q). Předokládejme ředověď odmíněnéo rozylu konsruovanou na základě modelu GARCH(,) ve varu (4), ředovědní cybu lze vyjádř ve formě l () = + - () = α ( ε + - ε ( - )) + β ( +- - ( - )) = α ( ε ( - )) + β ( +- - ( - )) = α ν +- + (α + β )l ( - ) = = α (α + β ) ν. (3) +

5 Odovídající odmíněná sřední čvercová cyba je ( j ) MSE[ () Ω ] = (K e - ) α ( α + β) E ( + j Ω ). (33) j = K výoču éo sřední čvercové cyby je řeba zná odmíněnou sřední odnou budoucío odmíněnéo čvréo momenu, j. E Ω ). Její odvození je uvedeno v rác Balle a Bollerslev (99). ( + j Podmíněnou sřední čvercovou cybu (33) lze ouží k výoču nervalovýc ředovědí odmíněnéo rozylu. Avšak vzledem k omu, že odmíněné ravděodobnosní rozdělení ředovědníc cyb l (s) není normální, je jejc konsrukce roblemacká. 3.3 Konsrukce ředovědí na základě odadnuýc modelů Máme-l k dsozc odady aramerů modelu volaly, oom naříklad v říadě modelu GARCH(,q) varu () bodová ředověď s orzonem konsruovaná v čase má formu ˆ ( ) = ωˆ + αˆ εˆ ( ) αˆ εˆ ( q) + βˆ ˆ ( ) βˆ ˆ ( ). (34) Předovědní cyba éo ředověd má var q lˆ ( ) = + - ˆ ( ) = [+ - ()] + [ () - ˆ ( ) ] = l () + [ () - ˆ ( ) ]. (35) Je edy zřejmé, že sřední čvercová cyba ředověd (34) je vyšší než sřední čvercová cyba ředověd za ředokladu, že aramery modelu volaly jsou známé. Leraura: ARL, J. (999): Moderní meody modelování ekonomckýc časovýc řad. Grada Publsng, Praa. BAILLIE, R.. BOLLERSLEV,. (99): Predcon n Dynamc Models w me-deenden Condonal Varances, Journal of Economercs, 5, 9-3. BOLLERSLEV,. (986): Generalzed Auoregressve Condonal Heeroskedascy, Journal of Economercs, 3, BOLLERSLEV,. (988): On e Correlaon Srucure for e Generalzed Auoregressve Condonal Heeroskedasc Process, Journal of me Seres Analyss 9, 3. ENGLE, R. F. (98): Auoregressve Condonal Heeroskedascy w Esmaes of e Varance of Uned Kngdom Inflaon, Economerca 50, HAMILON, J. D. (990): Analyss of me Seres Subjec o Canges n Regme, Journal of Economercs 45, KLAASEN, F. (999): Imrovng GARCH Volaly Forecass, lburg Unversy, unublsed manuscr.