Kvantitativní řízení rizik 7.11.2014
Ekonomický kapitál ekonomický kapitál- kapitál potřebný k zajištění schopnosti splnit v daném časovém horizontu převzaté závazky s danou pravděpodobností L- riziko, tj. náhodná veličina představující ztrátu v uvažovaném období ρ(l)- míra rizika(nezáporné číslo, závisí na rozdělení n.v. L) ekonomický kapitál: EC(L) = ρ(l) EL
Alokace kapitálu alokace kapitálu- rozdělení celkového kapitálu drženého firmou mezi její komponenty(např. odvětví podnikání, typy rizik, území, produkty v portfoliu) důvody pro dělení kapitálu mezi odvětví(lines of business): - redistribuce nákladů spojených s držením kapitálu(promítnou se do poplatků účtovaných klientům) - alokace nákladů pro účely finančních výkazů - hodnocení výkonnosti pomocí výnosu z alokovaného kapitálu - podpora rozhodování o případné expanzi nebo redukci odvětví
Alokace kapitálu Nechť pro celkové riziko L společnosti platí L = n, i=1 kdel 1,...,L n jsounáhodnéveličinypředstavujícíztrátyz jednotlivých odvětví podnikání. Je dán celkový rizikový kapitál K, cílem je stanovit nezáporné hodnotyk 1,...,K n (alokacejednotlivýmodvětvím)tak,aby K = n K i. i=1
Haircut princip Kapitál pro odvětví i se stanoví jako K i = γf 1 (p), kde F 1 L (p) =inf{x R F L(x) p}, p [0,1], jekvantilováfunkcepříslušnádistribučnífunkcif L. γsestanovítak,abysoučetalokovanýchkapitálůbylrovenk,tj. K i = K n j=1 F 1 L j (p) F 1 (p), i =1,...,n.
Haircut princip Při daném celkovém kapitálu K vede k alokaci, která nezávisí na závislostní struktuře mezi ztrátami jednotlivých odvětví. PřipoužitíVaRjakomíryrizikamůžebýtK i >F 1 (p)(var není subaditivní). NavšechnyhodnotyF 1 (p)seuplatňujestejná proporcionální redukce(resp. zvýšení) dané koeficientem γ.
Inverze distribuční funkce α-smíšená inverzní distribuční funkce: F 1(α) X (p) = αf 1 X (p) + (1 α)f 1+ X (p), p (0,1), α [0,1], kde F 1+ X (p) =sup{x R F X (x) p}, p [0,1]. Prokaždéxtakové,že0 <F X (x) <1,existuje α x [0,1]takové, že F 1(αx) X (F X (x)) =x.
Kvantilový princip Kapitál pro odvětví i se stanoví jako K i =F 1(α) (βp), kde αaβsevolítak,abyk = n i=1 K i. Nezohledňuje závislosti mezi odvětvími. Používá stejné kvantily pro všechna rizika(efekt diverzifikace seprojevívpoužitíkvantilunahladině βpmístop).
Pomocné výsledky Tvrzení. Pro zleva spojitou neklesající funkci g platí F 1 g(x) (p) =g( F 1 X (p)). Důkaz. Z definice kvantilové funkce plyne F 1 g(x) (p) x p F g(x)(x). Zespojitostizlevafunkcegmámeprovšechnaxaz g(z) x z sup{y g(y) x}. Odtud p F g(x) (x) p F X [sup{y g(y) x}].
Pomocné výsledky Pokudjesup{y g(y) x} ±,platí p F X [sup{y g(y) x}] F 1 X (p) sup{y g(y) x}. (Platíivpřípaděsup{y g(y) x} = ±.) Celkem F 1 X (p) sup{y g(y) x} g( F 1 X (p)) x. F 1 g(x) (p) x g( F 1 X (p)) x platí pro všechna x, odtud plyne tvrzení.
Pomocné výsledky Podobně se dokáže, že pro neklesající zprava spojitou funkci g platí F 1+ g(x) (p) =g( F 1+ X (p) ). MějmenáhodnývektorL = (L 1,...,L n ).Potomnáhodnývektor ( ) F 1 L 1 (U),...,F 1 L n (U),kdeUjen.v.srovnoměrnýmrozdělením na (0, 1), je vektor komonotonních veličin se stejnými marginálními d.f. Označme S C = n i=1 F 1 (U).
Pomocné výsledky Tvrzení. F 1(α) S C (p) = n i=1 Důkazvycházíztoho,že F 1(α) (p),p (0,1), α [0,1]. g(u) = n i=1 F 1 (u) je zleva spojitá neklesající funkce.
Pomocné výsledky Tj.dlepředchozíhoprop (0,1) F 1 S C (p) =F 1 g(u) (p) =g( F 1 U (p)) =g(p) = Podobně se dokáže užitím toho, že F 1+ S C (p) = n i=1 g(u) = n i=1 F 1+ (p), p (0,1) n i=1 je zprava spojitá neklesající funkce. F 1+ (u) F 1 (p).
Kvantilový princip Hodnoty αaβsestanovízevztahu K = n i=1 F 1(α) (βp). Zavedeme opět sumu komonotonních veličin S C = n i=1 F 1 (U), kdeumárovnoměrnérozdělenína (0,1). Z výše uvedených pomocných výsledků vyplývá K =F 1(α) S C (βp).
Kvantilový princip Odtud plyne ataké βp =F SC (K) K =F 1(α) S C (F SC (K)). Z posledního vztahu určíme parametr α, alokace podle kvantilového principu je pak popsána vztahem K i =F 1(α) (F SC (K)),i =1,...,n.
Kvantilový princip Uvažujmespeciálnípřípad,kdyvšechnydistribučnífunkceF Li jsou spojité a rostoucí. Potom se alokace podle kvantilového principu redukuje na K i =F 1 (F SC (K)),i =1,...,n. Kvantilový princip lze v tomto případě chápat jako speciální případ haircut principu s volbou p =F SC (K).
Kovarianční princip Kapitál pro odvětví i se stanoví jako K i = K σ 2 (L) Cov(,L),i =1,...,n, kde σ 2 (L)jerozptylcelkovéhorizika. Bere v úvahu závislostní strukturu: odvětvím, jejichž riziko je více korelováno s celkovým rizikem, je alokováno více kapitálu.
Princip zbytkové hodnoty v riziku Uvažujme rizika se spojitými distribučními funkcemi. Potom má zbytková hodnota v riziku na hladině p pro celkové riziko vyjádření ES p (L) =E [ L L >F 1 L (p)]. Princip alokace kapitálu založený na zbytkové hodnotě v riziku popisuje formule K i = K ES p (L) E [ L >F 1 L (p)],i =1,...,n. Bere v úvahu závislostní strukturu: odvětví s větší podmíněnou střední hodnotou při vysoké celkové ztrátě mají alokován větší kapitál.
Proporcionální alokace Výše uvedené principy alokace kapitálu lze chápat jako speciální případy principu proporcionální alokace. Při něm volíme míru rizika ρ a alokujeme kapitál αsevolítak,abyk = K i,tj. K i = K i = α ρ( ),i =1,...,n. K n j=1 ρ(l j) ρ(),i =1,...,n.
Proporcionální alokace haircutprincip: ρ( ) =F 1 (p) kvantilovýprincip: ρ( ) =F 1 (F SC (K)) kovariančníprincip: ρ( ) =Cov(,L) principzbytkovéhodnotyvriziku: ρ( ) =E [ L >F 1 L (p)] Poslednídvěmíryrizikanezávisíjennarozdělení (vlivzávislostní struktury).
Proporcionální alokace Předpokládejme, že K = ρ(l). Potom diverzifikační efekt vyjádřený nerovností K i ρ( ),i =1,...,n, je dosažen právě když K = ρ(l) n ρ(l j ). j=1 Tato podmínka je splněna, pokud míra rizika ρ je subaditivní.
Literatura I. Justová: Agregace rizik.(v: Matematika a řízení rizik 2009/10, Matfyzpress Praha 2010) A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk Management: Concepts, Technics and Tools, Princeton University Press 2005. J. Dhaene, A. Tsanakas, E.A.Valdez, S. Vanduffel: Optimal Capital Allocation Principles. The Journal of Risk and Insurance, 2012, Vol.79, No1, 1-28. J. Dhaene, M. Denuit, M.J.Goovaerts, R.Kaas, D.Vyncke: The Concept of Comonotonocity in Actuarial Science and Finance: Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 31, 3-33.