1 Časová hodnota peněz

1 Časová hodnota peněz Př výpočtech vycházíme ze standardu 30E/360evropský standard) kdy používáme měsíce s 30dnyaujednohorokuuvažujeme360dní. 1.1 Inflace, reálná a nomnální úroková míra Přvýpočtureálnéúrokovémíryvycházímezevzorce real = nomnal ı nflace 1+ nflace. 1.1.1 Řešené příklady Jaká je reálná úroková míra na termínovém účtu, pokud je nomnální úroková míra na tomto účtu12,5%amíranflaceční10,5%. Řešení real = nomnal nflace 1+ nflace real = 0,125 0,105 1+0,105 real =0,018 Reálná úroková míra na termínovém účtu je 1,8%. 1.1.2 Neřešené příklady Reálnáúrokovámírační-0,05%,nomnálníúrokovámírabyla3,8%.Jakábylavdaném roce výše nflace v ekonomce? [ nflace =3,85%] DlemakroekonomcképredkceMFbylomožnévroce2001očekávatnflac5,1%av roce2002nflacvevýš4,6%.jakoucenumůžemeočekávatnakoncroku2002uzboží, které na konc roku 2000 stálo 10.000 Kč. Pokud změna ceny zboží bude odpovídat pouze nflac v ekonomce.[10.993,46 Kč] 1.2 Jednoduché úročení Základní vzorec pro jednoduché úročení: u=p t. Kde Pjepočátečnínvestce, jeúrokovámírap.a.atjedobaúročení. 1

1.2.1 Řešené příklady Jakoučástkumusímevráttbance,pokudjsmespůjčl35.000Kčna6měsícůpřročníúrokovésazbě8%? Řešení P=35.000, t=6, =8%p.a. u=p t u=35.000 u=1.400 6 12 0,08 Dlužníktedymusívráttpůjčenousumunavýšenouoúrok,tedy P n =1.400+35.000tj.36.400 Kč.Provýpočetlzerovněžpoužítupravenývzorec P n = P 1+ n),kde P n jevýšekaptálu, kterou musí dlužník vrátt tzv. splatná částka. P n =35.000 1+0,08 P n =35.000+1.400 P n =36.400 6 12 ) Zajakoudobuvzrostevklad1.000Kčna1.050Kčpřročníúrokovémíře10%p.a.apř standardu 30E/360. Řešení P=1.000, P n =1.050, t, =10%p.a. u=1.050 1.000 u=50 u=p t 50=1.000 t=180 t 360 0,1 Vkladvzrostez1.000Kčna1.050Kčza181dní. Respektve je možno vycházet také z druhého vzorce. P n = P 1+ t) 1.050=1.000 1+0,1 t=180 2 t 360 )

1.2.2 Neřešené příklady Jakéjsouúrokovénákladyúvěruvevýš200.000Kč,kterýjejednorázověsplatnýza8 měsícůtj.240dníatovčetněúroků.pokudvíme,žeúrokovásazbaje9%p.a. [12.000 Kč] Odběratel nezaplatl fakturu na částku 193.000 Kč, která byla splatná 7. července 2009. Penálejestanovenona0,05%zfakturovanéčástkyzakaždýden.Jakvysokébudepenále k9.září2009? [5.983 Kč] Jakýbudestavnaúčtus1.000.000Kčza210dní,pokudjeúrokstanovenna1,5%p.a.? [1.008.750 Kč] Jakvelkýbylpočátečnívklad,kterýod12.4.2009do24.6.2009vzrostlo1.500Kč.Pokud víme,žeúrokovásazbajsou2%p.a.aúrokyjsoupřpočítáványjednouročně? [375.000 Kč] Vypočítejte dobu splatnost př jednoduchém úročení, pokud vklad ve výš 3.960 Kč narostlna4.000kč.úrokovámírační2%p.a. [181 Kč] Jak dlouho byla po splatnost faktura, pokud původní fakturovaná částka 65.000 Kč narostla započítáním penále na 68.000 Kč. Penále bylo stanoveno na 0,05% denně z fakturované částky. [92 dnů] Pojakoudobubylúročenvkladvevýší3.960Kč,jestlževzrostlpříúrokovésazbě2% p.a. přpsáním úroků na konc roku na hodnotu 4.000 Kč. [181 dní] Přjakéúrokovésazběbudečntúrokzvkladu100.000Kčza7měsíců1.500Kč? [2,57%] 1.3 Jednoduché dskontování Základní vzorec pro jednoduché dskontování: D=P n d t Kde Dje,kde P n je, d jeatje. 1.3.1 Řešené příklady Podnkatel eskontoval dne 15.9.2009 na banku směnku znějící na částku 1.500.000 Kč se splatností dne 15.10.2009. Jakou částku mu banka dne 15.9. přpsala na účet? banka používá dskontnímíru10%p.a. Řešení D=P n d t 3

30 D=1.500.000 0,1 360 D=12.500 Banka podnkatel vyplatí hodnotu uvedenou na směnce sníženou o dskont, tzn. 1.500.000 12.500 = 1.487.500 Kč. Rovněžjetentopříkladmožnořeštvzorcem P= P n 1 d t),kde Ppředstavujesoučasnou hodnotu kaptálu nebol jstnu. P=1.500.000 1 0,1 P=1.487.500 ) 30 360 Oběma vzorc dojdeme ke stejnému výsledku. Na účet bude přpsána částka 1.487.500 Kč. Banka odkoupla směnku znějící na 230.000 Kč s dobou splatnost 1 rok. Jakou banka používá dskontní sazbu, pokud za směnku vyplatla 200.000 Kč? Vyjdemezevzorce D=P n I d t Dskontnísazbabankyje13%. 230.000 200.000=230.000 d 1 230.000 200.000 d = 230.000 d =0,1304 1.3.2 Neřešené příklady OsobaAvystavlasměnkunaosobuB.Směnkajenačástku10.000Kčsdobousplatností 1rokadskontnímírou8%.JakvysokýúvěrosobaAobdrží? [9.200 Kč] Dlužníkpostupujebancesměnkuznějícína100.000Kčazavazujesejsplattza3měsíce. Jakou má banka dskontní sazbu, pokud dlužník obdrží úvěr ve výš 97.000 Kč. [12%] Kolk dní před dnem splatnost eskontovala banka směnku, pokud její nomnální hodnota byla1.000.000kčaklentzískáúvěrvevýší996.111kč.dskontnísazbabankyjsou4 %. [35 dní] 1.4 Složené úročení Základní vzorec pro složené úročení: P n = P 1+) n. Kde P jepočátečnívklad, P n jekonečnáčástka, ročníúrokovásazbajeanpočetobdobí úročení. 4

1.4.1 Řešené příklady Na dvouletý termínovaný vklad u Komerční banky jste uložl 10.000 Kč. Úroky jsou přpsoványpololetně.kolksbudetemocvybratza2roky,pokudjeúrokovásazba4%p.a.? P n = P 1+) n P n =10.000 1+ 0,04 ) 4 2 P n =10.824,3 Zadvarokysklentmůževybrat10.824,3Kč. Přjakévýšročníúrokovésazbysezúročíčástkaza5letz50.000na70.000Kč.Úrokyjsou přpsovány čtvrtletně. P n = P 1+) n P n = P 1+) 20 70.000 50.000 =1+)20 20 70.000 50.000 =1+) =0,017 Výslednáúrokovámírajeovšemčtvrtletní-p.q.,pokudjchcemepřevéstnaročnípak = 4 0.017=0,0678tj.6,78%. 1.4.2 Neřešené příklady Jakýbuderozdílza3rokyvkonečnévýškaptálu,pokudbylpočátečnívklad120.000 Kč,úrokovámírační1,5%p.a.apokudjsouúrokypřpsovány: půlročně ročně [125.502,3 Kč a 125.481,4 Kč, rozdíl ční 20,9 Kč] Jakábylaročníúrokovásazbazvkladu20.000Kč,pokudza4rokymámenaúčtě23.400 Kč. Úroky byly přpsovány jednou ročně a byly ponechány na účtu k dalšímu zhodnocení. [ =4%] Uložljsmečástku12.000Kč.Jakábudekonečnávýševkladuza4rokypřsloženém úročení, jestlže úroková sazba ční 11,4% p.a. a úroky jsou přpsovány čtvrtletně.[ 18.813 Kč] 5

1.5 Efektvní úroková míra Základní vzorec pro výpočet efektvní úrokové míry: efekt = 1+ m) m 1. Kde efekt jeefektvníúrokovámíra, jeročníúrokovásazbaamjefrekvenceúročeníkolkrát do roka jsou přpsovány úroky) 1.5.1 Řešené příklady Chcetesuložtpenízeamátemožnostszvoltzetříúčtů: 1.bankaAnabízíúrokovousazbu13%p.a.adennípřpsováníúroků 2. banka B nabízí úrokovou sazbu 13,5% p.a. s půlročním přpsováním úroků 3.bankaCnabízíúrokovousazbu14%p.a.sročnímpřpsovánímúroků Kterou banku s vyberete? 1. 2. 3. efekta = efektb = efektc = 1+ 0,13 ) 3 60 1 360 1+ 0,135 ) 2 1 2 1+ 0,14 ) 1 1 1 1. efekta =0,1388tj.13,88% 2. efektb =0,1396tj.13,96% 3. efektb =0,14tj.14% 1.5.2 Neřešené příklady Jaké jsou efektvní úrokové sazby obvyklých obdobích přpsování úroků pro nomnální sazbu = 12%, př konvenc 30E/360? Obvyklým obdobím chápeme: 1.den 2. měsíc 3. čtvrtroku 6

4. půlroku 5.rok [12,74%,12,68%,12,55%,12,36%,12,00%] Chcetesuložt10.000Kčna3roky.Mátedvěmožnost: 1. =12% p.a, přpsování úroků pololetně 2. =11% p.a, přpsování úroků čtvrtletně Kterou možnost s vyberete? [ efekt =12,36%, efekt =11,46%]klentszvolímožnostčíslo1 1.6 Současná a budoucí hodnota anuty Provýpočetsoučasnéhodnotypolhůtníanutyvycházímezevzorce PV A=P 1 1+) n.pro výpočetsoučasnéhodnotypředlhůtníanutyvycházímezevzorce PV A=P 1 1+) n 1+) 1.6.1 Řešené příklady Jaká je současná hodnota důchodu, která nám zajstí polhůtní důchod 16.000 Kč ročně po dobu 20let př úrokové sazbě 4% p.a. s ročním přpsováním úroků. Vycházímezevzorce PV A=P 1 1+) n PV A=16.000 1 1+0,04) 20 0,04 PV A=217.445,22Kč.Současnáhodnotatakovéhodůchoduje217.445,22Kč. Kolk budeme ochotn zaplatt za nvestc s žvotností 50 let, z které nám vždy počátkem rokubudeplynoutdůchodvevýš80.000kč.úrokovásazbační5%.vycházímezevzorce PV A=P 1 1+) n 1+) PV A=80.000 1 1+0,05) 50 0,05 1+0,05) PV A=1.533.497,7 Za nvestc, která nám ročně ponese 80.000 po dobu 50let jsme ochotn př dané úrokové míře zaplatt 1.533.497,7 Kč. Po kolk let vynášela počáteční nvestce ve výš 1.250.000 Kč roční výnos 80.000 Kč, který byl vyplácen počátkem každého roku. Úroková sazba ční 4,5%. Vycházíme ze vzorce PV A=P 1 1+) n 1+) 1.250.000=80.000 1 1+0,045) n 0,045 1+0,045) 7

0,3271=1+0,045) n ln0,67284)= n ln1,045) n=25,4 Výnos 80.000 Kč z počáteční nvestce 1.250.000 Kč bude plynout po dobu 25,4 let. 1.6.2 Neřešené příklady Jakájesoučasnáhodnotanvestce,pokudpřúrokovémíře3%zníbudevždykoncem rokuplynoutvýnos160.000kčatopodobu15let. [1.910.070 Kč] Jak velký důchod splatný vždy počátkem roku bude plynout pod dobu 16let z nvestce vevýš2.000.000kčpřúrokovémíře4%. [165.038,5 Kč] Pokolkletbudeplynoutročnídůchod120.000Kčznvestce1.000.000Kč.Důchodje vyplácen vždy koncem roku. Úroková míra ční 5%. [11 let] Provýpočetbudoucíhodnotypolhůtníanutyvycházímezevzorce FV A=P 1+)n 1.Pro výpočetsoučasnéhodnotypředlhůtníanutyvycházímezevzorce FV A=P 1+)n 1 1+) 1.6.3 Řešené příklady Jaká bude hodnota na spořícím účtu, pokud koncem každého roku ukládáme částku 16.000 Kč poddobu20letpřúrokovésazbě4%. Vycházímezevzorce: FV A=P 1+)n 1. FV A=16.000 1+0,04)20 1 0,04 FV A=476.449,23 Po 20letech bude na účtu částka 476.449,23 Kč. Jaká bude hodnota na spořícím účtu, pokud počátkem každého roku ukládáme částku 16.000 Kčpoddobu20letpřúrokovésazbě4%. Vycházímezevzorce FV A=P 1+)n 1 1+) FV A=P 1+)n 1 FV A=P 1+0,04)20 1 0,04 8 1+) 1+0,04)

FV A=495.507,2 Po 20letech bude na účtu částka 495.502,22 Kč. Po jaké době bude na spořícím účtu částka 500.000 Kč, pokud klent koncem každého roku uloží20.000kč.úrokovámíraje3,5%p.a. Opětvycházímezevzorce PV A=P 1+)n 1 Naúčtubude500.000Kčza18,3let. FV A=20.000 1+0,035)n 1 0,035 1,875=1,035) n ln1,875)=n ln1,035) n=18,3 1.6.4 Neřešené příklady Jakájebudoucíhodnotanvestce,jejížžvotnostje15letakoncemkaždéhorokuzní plyne platba 16.000 Kč. Požadujeme výnosovou míru 9% p.a. [469.775 Kč] Za kolk let budeme mít na spořícím účtu částku 4.000.000 Kč, pokud počátkem každého rokuukládáme120.000kčaúrokovásazbační3,8%p.a. [za21let] 9