Fzikální korespondenční seminář UK MFF http://fkosmffcunicz II S ročník, úloha II S Young a vlnová povaha světla (5 bodů; průměr,50; řešilo 6 studentů) a) Jaký tvar interferenčních proužků na stínítku bste očekávali v následujících dvou sesta vách? Najděte rovnice křivek maimální intenzit a zkuste jich několik načrtnout clona zrcadlo zdroj světla d a zdroj světla b) Ukažte, jak b dopadl Youngův eperiment, jestliže b se světlo chovalo podle Newtonových představ (tzn difrakce ano, interference ne) Nezapomeňte vzít v úvahu různý úhel dopadu světla na různá místa stínítka c) Užitím vloženého kvantově-mechanického popisu určete rozložení intenzit, jaké b dostal Jöhnsson při použití čtřštěrbin (ted čtř úzkých rovnoběžných otvorů rozmístěných ve vzdálenostech b od sebe) Načrtněte reprezentativní úsek grafu a okomentujte přednosti většího počtu otvorů Vmsleli autoři seriálu Interferenční proužk Správné řešení prvního úkolu se mohlo sestávat jen z pouhých dvou slov: hperbola, kruž nice Úvaha pro první obrázek zní takto: Jelikož interferenční maimum vzniká v místech s konstantním rozdílem optických drah rovným celočíselnému násobku vlnové délk světla, vtvoří se kolem otvorů v prostoru ploch konstantního rozdílu mezi vzdálenostmi k jednomu a druhému otvoru Podle analtické geometrie má hperbolická plocha vlastnost, že rozdíl vzdáleností každého jejího bodu ke dvěma ohniskům je konstantní To je přesně náš případ Kdž tuto plochu nní řízneme stínítkem, dostaneme hperbol hperbolické proužk Pokud je to pro vás příliš abstraktní představa, sledujte následující konvenční postup: Zavedeme souřadnice (,, z) tak, že leží v rovině a osa z míří od něj směrem k desce s průhled (vzdálené ) a prochází přímo mezi otvor Osa nechť je rovnoběžná se spojnicí otvorů, které jsou ve vzájemné vzdálenosti d Bod na stínítku má proto souřadnice A = (,, 0), otvor v cloně H, = ( ± d/, 0, ) Vzdálenosti, AH, jsou podle zobecněné Pthagorov vět s = AH = + d «+, = AH = s + + d «+ Abchom dostali interferenční maimum, úplné konstruktivní složení světelných vln přicháze jících z jednotlivých otvorů, musí platit = k, k Z () - -
Fzikální korespondenční seminář UK MFF http://fkosmffcunicz II S Dosadíme-li první dvě rovnice do této podmínk, vjde po delší úpravě «d k = `d + k 4 Pro tpickou situaci d lze navíc vztah zjednodušit na d k =, což je tvar rovnice hperbol Několik reprezentativních proužků je na obrázku otvor otvor Obr Interferenční proužk V druhém případě si rotační smetrie vnucuje kruhové proužk Pokud b nás opět zají mal jejich přesné rozměr, postupovali bchom podobně jako v předchozím Délk drah jsou (viz obrázek ) = a + r, = p ( a) + r zrcadlo zrcadlový zdroj zdroj a a Obr Porovnání délek drah paprsků r - -
Fzikální korespondenční seminář UK MFF http://fkosmffcunicz II S Aplikací podmínk δ = (k + /) (polovina vlnové délk odpovídá otočení fáze při odrazu o zrcadlo) dostaneme r = 4δ `4( a) δ `4 δ Pokud se bavíme o interferenčních kroužcích daleko od optické os, člen δ jsou zcela nesou měřitelné s člen úměrnými Proto je můžeme zanedbat a psát r δ ( a) Blízko ose musíme ale použít přesný vztah; zjednodušený vzorec připouští libovolný dráhový rozdíl, z geometrie sestav však víme, že maimální možný je δ ma = ( a) + / Young vs Newton Světlo se za každou štěrbinou rozptluje dík difrakci do všech směrů Intenzita klesá s druhou mocninou vzdálenosti (protože počet částic světla na kulové vlnoploše o obsahu 4πr se zachovává) a kosinem dopadového úhlu (protože na nakloněnou rovinu dopadá světlo s menší plošnou hustotou než na rovinu kolmou ke směru šíření) q Bod A na stínítku má délkovou souřadnici, jeho vzdálenost od štěrbin je opět, = + ( ± d/), pro úhel dopadu ϑ, paprsku z jedné a druhé štěrbin platí tg ϑ, = ± d «Z toho včíslíme potřebný kosinus, cos ϑ, = + tg, ϑ = + ± d «Výsledná intenzita je v newtonovském případě (skládá se až četnost dopadů světelných částic, ne amplituda) rovna jednoduchému součtu intenzit od jednotlivých štěrbin, I = I0 cos ϑ + I0 cos ϑ + + d «! + + d «! Graf je na obrázku 3 Z něj i ze získaného vzorce je zřejmé, že intenzita v každém bodě stínítka vzroste při otevření druhé štěrbin - 3 -
Fzikální korespondenční seminář UK MFF http://fkosmffcunicz II S I stěrbina stěrbina obě stěrbin Obr 3 Intenzita světla po průchodu dvojštěrbinou Světlo na čtřštěrbině Amplituda pravděpodobnosti detekce elektronu v jistém bodě B stínítka je podle druhého dílu seriálu «cos ϕ() + cos ϕ () + cos ϕ 3() + cos ϕ 4() A =, sin ϕ () + sin ϕ () + sin ϕ 3() + sin ϕ 4() kde ϕ j() jsou fáze, s jakými takový foton dorazí do B od j-tého otvoru Proces foton do B dorazí od otvoru j jsou nerozlišitelné (výsledkem je vždck stejná tečka na stínítku), takže proto sčítáme jednotlivé amplitud Představíme-li si takovou čtřštěrbinu s průřez vzdálenými o b od sebe, bude podle tetu seriálu platit ϕ () = π q + (,5 b), ϕ () = π q + ( 0,5 b), ϕ 3() = π ϕ 4() = π q + ( + 0,5 b), q + ( +,5 b) Vkreslíme-li druhou mocninu velikosti amplitud, ideálně na počítači, dostaneme graf na obrázku 4 (čárkovaně) Spojitou čarou je vnesena analogická závislost pro dvojštěrbinu Je zřetelně vidět, že u čtřštěrbin výrazných proužků ublo (na polovinu) a jsou čtřikrát jasnější Obojí podstatně vlepšuje viditelnost jevu Proto se v běžných difrakčních eperimentech používají difrakční mřížk skládající se ze stovek až tisíců vrpů - 4 -
Fzikální korespondenční seminář UK MFF http://fkosmffcunicz II S 6 4 0 dvojštěrbina čtřštěrbina I/I0 8 6 4 0 0, 0,05 0 0,05 0, / Obr 4 Porovnání intenzit pro dvoj a čtřštěrbinu Jakub Benda jakub@fkosmffcunicz Fzikální korespondenční seminář je organizován student UK MFF Je zastřešen Oddělením pro vnější vztah a propagaci UK MFF a podporován Ústavem teoretické fzik UK MFF, jeho zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fziků - 5 -