(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

Transkript

1 .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému M = Df přiřadí právě jednu hodnotu H f R. Množinu D f budeme nazývat definiční obor funkce f a množinu H f nazveme obor hodnot funkce f. Budeme psát = f( ). Definice... Grafem funkce f nazveme množinu všech bodů (, f( )) v kartézské soustavě souřadnic. Poznámka Funkce f ( ) může být dána různými způsob. Některé nní uvedeme: - = f( ), je z rovnice vjádřeno; říkáme, že funkce je dána eplicitně, - F (, ) = 0, není ze vztahu F (, ) obsahujícího proměnné, že funkce je dána implicitně rovnicí F (, ) = 0, vjádřeno; říkáme, - = ϕ(), t = ψ(), t t M R; říkáme, že funkce je dána parametrick, - grafem, - tabulkou. Úmluva: Bod na ose o souřadnicích (,0), resp. bod na ose o souřadnicích (0, ) budeme při popisu grafů často označovat pouze, resp.. 95

2 Řešené úloh Příklad Mějme funkci = + = { } způsob., D,,. Zadejte tuto funkci výše uvedenými f Řešení:. Eplicitně: a) Vjádření = +, D f = {,, } je eplicitní. b) Zadanou funkci můžeme však také vjádřit eplicitně například ve tvaru = +, {,,}.. Implicitně: Rovnice = 0, {,,} vjadřuje danou funkci implicitně.. Parametrick: Rovnice = + t, = + t, t {,0,} jsou jedním z možných parametrických vjádření dané funkce. 4. Grafem: 4 0 Obr. Z obr. je vidět, že grafem dané funkce jsou izolované bod v kartézské soustavě souřadnic. 96

3 5. Tabulkou: 4 Výklad Definice... Funkce f( ), M a f( ), M se rovnají, jestliže M= M = M a ( ) ( ) M : f = f. Řešené úloh Příklad Je-li f( ) =, (,0) (0, ) a f( ) =, R \{0}, pak f= f. Poznámka Mimo kartézské soustav souřadnic budeme užívat takzvanou polární soustavu souřadnic. V kartézské soustavě souřadnic v rovině E je každý bod X rovin dán jednoznačně uspořádanou dvojicí (, ), kde, R, a naopak. Píšeme X = (, ), viz obr.. Zvolíme nní bod O = (0,0) v E a nazveme jej počátkem polární soustav souřadnic a přímku (osu), O, viz obr.. Každému bodu rovin přiřadíme dvojici E ( ρ ) ϕ, kde ϕ 0, π ) je (kladně) orientovaný úhel přímek OX, aρ = X O 0. Je zřejmé, že korespondence mezi takto utvořenými uspořádanými dvojicemi reálných čísel a bod rovin E je vzájemně jednoznačná. Vztah mezi kartézskými a polárními souřadnicemi je dán vztah = ρ cosϕ, = ρ sinϕ, ( ) viz obr.,. 97

4 X=(,) ρ X ϕ ϕ 0 0 Obr. Obr. Řešené úloh Příklad Grafem funkce + =, D = { <, > : 0} je půlkružnice f =, viz obr. 4. Dosadíme z rovnic () a upravíme: ρ cos ϕ+ ρ sin ϕ =, ( ) ρ cos ϕ+ sin ϕ =, ρ = ρ =, ϕ < 0, π >. Dostali jsme rovnici ρ = dané půlkružnice v polárních souřadnicích vjádřené v zadání implicitně rovnicí + =. Pokud pro hodnot ϕ, ρ použijeme polární souřadnice, = ρ= 0 Obr. 4 98

5 ρ 0 π ϕ Obr. 5 bude grafem funkce ρ = úsečka, viz obr. 5. Dále si můžeme všimnout, že kružnice + = v kartézské soustavě souřadnic není funkce, např. pro = 0 eistují dvě různé hodnot =±. Vjádříme-li však kružnici v polárních souřadnicích rovnicí ) ρ =, ϕ < 0, π, pak každé hodnotě ϕ je přiřazena právě jedna hodnota ρ = a kružnice je podle definice funkcí. Obdobně se tak může stát i u jiných křivek. Poznámka Podle definice je funkce f zadána definičním oborem D f a předpisem, který každému D přiřazuje právě jedno = f( ) H f R. Často budeme funkci f zadávat pouze předpisem a definičním oborem budeme rozumět množinu všech R, pro něž má daný předpis smsl. f Řešené úloh Příklad Je dána funkce = +, určete její definiční obor. Řešení: Platí 0 0, ( )( + ) 0 0, (( 0 + 0) ( < 0 + < 0)) 0, (( ) ( > < )) 0 <, 0 ) (0, >. 99

6 Graf funkce je na obr Úloh k samostatnému řešení Obr. 6.. Rozhodněte, zda jsou si rovn funkce f a g s maimálními definičními obor D R,D R: a) f g = = b) f = g = ( ) f g :, :, :, :, c) f : =, g: =, d) f g : =, : =.. Určete definiční obor funkcí: a) = +, b) d) =, e). Určete definiční obor funkcí: a) =, b) d) =, 5 e) = 9, c) = + 4 +, = 4, f) = =, ( ), 4 = 4. c) =, f) = g) = ln( ), h) = ln( tg ), i) = + 4 j) = sin + 6, k) = sin ln, l) log(cos ), + = m) =, ln( ) + + n) = ln sin( ) + 6., log( ), 4. Znáte-li graf funkce = f( ), D f, sestrojte graf funkcí a) f : = f ( ) + c, b) f : = f ( ) c, c) f : = f ( + c), d) f : = f ( ), e) f : = f ( ), f) f : = f ( ), g) 4 c 5 f 7 : = f ( c ) + k, kde c > 0, k >

7 5. Nakreslete graf funkce a) = + 4 4, b) = +, c) = Ze znalosti grafu funkce = nakreslete graf funkce a) =, b) = +, c) = ( + ), d) = ( ), e) =, f) = ( + ). 7. Ze znalosti grafu funkce = nakreslete graf funkce a) =, b) =, c) = +, d), e) = + = + +, f) =. 8. Ze znalosti grafu funkce = log nakreslete graf a určete definiční obor funkce a) = log( ), b) = log( ), c) = log, d) = log, e) = + log( + ), f) = log. Výsledk úloh k samostatnému řešení. a) ne, neboť g : = = ; b) ne, neboť D = R,D =< 0, ; c) ano; d) ano. f g ). a) ; b) tj. <, > ; c) < 4, 0 > ; d) ; e) tj. R (,) ; f) < 0, 4 >.. a) R ; b) <,) ; c) < 0, 9 > ; d) (, ) (,5) (5, ) ; e) < 0, > (4, ) ; f) D f = φ ; g) < 4,6 > ; h) k) π π ( + k π, + kπ), k Z ; i) (,0) (,) (, ) ; j) < 4, π > < 0, π > ; 4 π π (, ; ) l) ( + k π, + kπ), k Z ; m) <,0) (0, ) ; 6 6 n) ( π, π) (, 4 >. 4. Graf funkcí f až f dostaneme transformací grafu funkce f (). 7 a) Graf funkce f : = f ( ) + c, D f =. Graf funkce dostaneme posunutím Df f grafu funkce f v kladném směru os. Velikost posunutí je c (obr. a). b) Graf funkce f : = f ( ) c, D f =. Graf funkce dostaneme posunutím D f f grafu funkce f v záporném směru os. Velikost posunutí je c (obr. a). 0

8 c) Graf funkce f : = f ( + ), c D f = { R ; + c D f }. Graf funkce dostaneme posunutím grafu funkce f v záporném směru os. Velikost posunutí je c (obr. b). d) Graf funkce f 4 : = f ( c), D f = { R ; c D f }. Graf funkce dostaneme posunutím grafu funkce f v kladném směru os. Velikost posunutí je c (obr. b). e) Graf funkce f : = f ( ), 5 Df 5 =. Graf funkce je souměrně sdružený Df s grafem funkce f v osové souměrnosti podle os, neboť f5( ) = f ( ) (obr. c). f) Graf funkce f : = f ( ), 6 6 f 5 D f = { R ; - D f }. Graf funkce je souměrně sdružený s grafem funkce f v osové souměrnosti podle os, neboť f6 ( ) = f ( ) (obr. d). g) Graf funkce f : = f ( c ) + k 7. D f = { R ; c D f }. Graf funkce 7 dostaneme postupně transformacemi tpu f), c), a). To znamená, že nejprve sestrojíme graf souměrně sdružený s grafem funkce f v osové souměrnosti podle os, následuje posunutí grafu v záporném směru os o hodnotu c a nakonec posunutí grafu v kladném směru os o hodnotu k. (obr. e). Transformace grafu funkce: f 6 f f 4 f 7 c f()+c f() f(+c) f() f(-c) f() - c c - c f()-c -f() Řešení: a) b) c) 0

9 f(-) f() f(c-)+k f() - c k d) e) + 5. a) = ( + ) 8; b) = ( ) ; c) = ( + ). Graf dostaneme transformacemi grafu funkce = (viz příklad..4). 6. Graf viz příklad Graf viz příklad Graf viz příklad..4; a) c) { } Df = R 0 ; d) D f = (0, ) ; e) D f = (, ); f) D f = (0, ). + D f = (,0); b) D f = (, ) ; 0