y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

Transkript

1 Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou svislou přímku, která b křivku protla dvakrát nebo víckrát. Tzn. musí ji protnout jednou nebo vůbec. Definiční obor funkce f, značíme D(f), je množina všech přípustných hodnot. V grafu je to pohled zleva doprava. Obor hodnot funkce f, značíme H(f), je množina všech přípustných hodnot. V grafu je to pohled zdola nahoru. = -(+)^+ = /( ) - 5 = e^ 8 D(f) = R D(f) = R\{} D(f) = R H(f) = ( ; H(f) = R\{ } H(f) = R + Parita funkce f. Sudá funkce: graf je souměrný podle os. Definice:. D(f) D(f) (souměrnost def. oboru),. f( ) = f() (stejné hodnot). Lichá funkce: graf je souměrný podle počátku souřadného sstému. Definice:. D(f) D(f) (souměrnost def. oboru),. f( ) = f() (opačné hodnot).

2 Funkce, která není sudá ani lichá: předchozí podmínk nesplňuje. = ^ = ^ = e^ 8 8 sudá lichá není sudá ani lichá Monotonie funkce f. Z grafu se poznává mnohem lépe než pomocí definice ( roste, klesá). Pokud hledáme monotonii funkce podle definic, je jednodušší si je přepsat pomocí zlomku f( ) f( ), kde, D(f), a porovnávat s nulou. Rostoucí funkce: f( ) f( ) >. Klesající funkce: f( ) f( ) <. Nerostoucí funkce: f( ) f( ). Neklesající funkce: f( ) f( ). Funkce, která není rostoucí ani klesající: o znaménku zlomku nemůžeme jednoznačně rozhodnout (pro některé hodnot je kladný, pro jiné záporný). = ln(+) = -sqrt(+) + = ^ rostoucí klesající není rostoucí ani klesající

3 = / není rostoucí ani klesající nerostoucí neklesající Prostost funkce f. Definice:, D(f) : f( ) f( ) (pro dvě různé hodnot, jsou i jejich funkční hodnot různé). Grafick se tato vlastnost zjišt uje pomocí horizontální přímk tak, že pokud najdeme nějakou vodorovnou přímku, která b graf protla dvakrát nebo vícekrát, tak tato funkce není prostá. Tzn. libovolná vodorovná přímka může protnout graf prosté funkce jednou nebo ani jednou. = ^.5 = ^ prostá prostá není prostá Omezenost funkce f. Shora omezená funkce: h R D(f) : f() h (všechn funkční hodnot jsou menší nebo rovn horní hranici h). Zdola omezená funkce: d R D(f) : f() h (všechn funkční hodnot jsou větší nebo rovn dolní hranici d). Omezená funkce: funkce je zároveň omezená shora i zdola. Neomezená funkce: ostatní případ.

4 = -(+)^+ = e^ 8 omezená shora hodnotou omezená zdola hodnotou = sin = / omezená hodnotami ± neomezená Etrém funkce f. Maimum funkce f v bodu a D(f) : f() f(a) (všechn funkční hodnot jsou menší nebo rovn největší funkční hodnotě f(a) v bodu a). Minimum funkce f v bodu b D(f) : f(b) f() (všechn funkční hodnot jsou větší nebo rovn nejmenší funkční hodnotě f(b) v bodu b). = -(+)^+ =( )^ maimum [ ; ] maimum nemá maimum [, 5;, 5] minimum nemá minimum [; ] minimum [;, 5]

5 = ln = sin = maimum nemá maimum [ π + kπ; ] maimum [; ] minimum nemá minimum [ π + kπ; ] minimum [; ] k Z R Periodicita funkce f. Říkáme, že funkce f je periodická s periodou p R +, jestliže k Z současně platí:. D(f) ( + k p) D(f) (hodnot i hodnot, k níž přičteme celočíselné násobk period, jsou z definičního oboru),. D(f) f( + kp) = f() (stejné funkční hodnot). p je podle definice sice jakákoli perioda (tzn. pro funkci = sin je např. p = 8π), ale v matematice tímto písmenem označujeme spíše nejmenší periodu (tzn. p = π). Periodické funkce jsou např. všechn goniometrické funkce nebo konstantní funkce (t nemají nejmenší periodu). = cos periodická periodická p = π p = 5

6 =.5.5 = */^ 8 periodická nejm. p neeistuje není periodická Příklad: Slovně vpisovat všechn vlastnosti funkcí nebudeme, použijeme proto následující zkratk: S sudá funkce, L lichá funkce R rostoucí funkce, K klesající funkce P prostá funkce om omezená funkce ma maimum funkce, min minimum funkce. Určete o jaký tp funkce se jedná, její předpis a popište všechn vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c)

7 (d) (e) (f) (g) (h) (i) 5 8 (j) (k) (l) = */^ 8 5 (m) (n) (o) (a) složeno z lin. fcí, =, 5 + k, k Z, D(f) = R, H(f) = ; ), L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [, 5;, 5], min [,, 5], není period., 7

8 (b) složeno z lin. fcí, = +, = +, 5, D(f) =, 5;, 5,, H(f) =, 5;, 5, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č., 5;, 5, ma [, 5;, 5], min [;, 5],není period., (c) lineární fce = +, D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) kvadratická fce = ( + ), D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ ; ], není period., (e) eponenciální fce = e +, D(f) = R, H(f) = (; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (f) goniometrická fce = sin = sin( + π), D(f) = R, H(f) = ;, L, ani R ani K, P, om č. ±, ma [ π + kπ], min [ π + kπ],k R, period. p = π, (g) lineárně lomená fce = +, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (h) lineárně lomená fce =, D(f) = R \ { }, H(f) = R \ {}, ani S + ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (i) kvadratická fce = ( + ) +, D(f) = R, H(f) = ( ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [ ; ], min nemá, není period., (j) logaritmická fce = ln, D(f) = R, H(f) = R +, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (k) mocninná fce =, D(f) = R \ {}, H(f) = R +, S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (l) mocninná fce =, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (m) mocninná fce (kubická) =, D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (n) mocninná fce =, D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (o) kvadratická fce =, D(f) = R, H(f) = ( ;, S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma [; ], min nemá, není period., 8

9 . Lineární funkce Předpis: = k + q ; k, q R. Graf: přímka. Speciální případ: k =, tzn. = q konstantní funkce, jejíž graf je přímka rovnoběžná s osou, která prochází hodnotou q na ose. k < k = k > ( = ) obr.: = graf = + =.5.5 = = + D(f) = R D(f) = R D(f) = R H(f) = R H(f) = q H(f) = R není sudá ani lichá sudá není sudá ani lichá rostoucí není rostoucí ani klesající klesající prostá není prostá prostá neomezená omezená neomezená etrém nemá všechn bod: ma i min etrém nemá není periodická periodická není periodická Příklad:. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) =, (b) =, (c) =, (d) =, (e) =, (f) = +, (g) =, 9

10 (h) =,, (i) = 5, (j) = + +, (k) = +, (l) =.. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) 5 (d) (e) (f) 7 5. Určete předpis funkce, která je zároveň sudá i lichá. Nakreslete její graf. Výsledk: a) b) c) = = - =

11 d) e) f) = / = - = - + g) h) i) = =, - = j) k) l) = (+) / (+) = (^ - - ) / (+) = (^ - ) / ( - ). (a) D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (b) D(f) = R, H(f) = R, L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (c) D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (d) D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (e) D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (f) D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period.,

12 (g) D(f) = R, H(f) = R, L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (h) D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (i) D(f) = R, H(f) = {5}, S, ani R ani K, není P, om č. 5, ma [, 5], min [, 5], R, period. bez nejm. period, (j) D(f) = R \ { }, H(f) = {5}, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č., ma [, ], min [, ], R \ { },není period., (k) D(f) = R \ { }, H(f) = R \ { 5}, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (l) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period.,. (a) =, D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (b) = +, D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (c) =, D(f) = R, H(f) = { }, S, ani R ani K, není P, om č., ma [; ], min [; ], R, period. bez nejm. period, (d) =, D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (e) = + 5, D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá,není period., (f) =, D(f) = ( ; ), H(f) = ( 5; ), ani S ani L, R, P, om č. 5,, ma nemá, min nemá,není period... =

13 . Kvadratické funkce Předpis: = a + b + c ; a, b, c R, a obecná rovnice. = a( v ) + v ; vrchol V [v ; v ] vrcholová rovnice. Graf: parabola. [ Vrchol parabol můžeme určit ze vzorce V = ]. b ; b + c Většinou a a se ale určuje metodou převedení na čtverec. a < a > = -(+)^+ D(f) = R H(f) = ( ; b + c a není sudá ani lichá není rostoucí ani klesající není prostá omezená shora maimum v b a není periodická =( )^ D(f) = R b H(f) = + c; ) a není sudá ani lichá není rostoucí ani klesající není prostá omezená zdola minimum v b a není periodická Příklad:. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) =, (b) =, (c) =, (d) =, (e) =, (f) = +, (g) = ( + ),

14 (h) = ( ), (i) = ( + ), (j) = ( ) +, (k) = ( + ), (l) = ( + ).. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) 5 (d) (e) (f) 5 5 Výsledk: a) b) c)

15 d) e) f) g) h) i) 5 j) k) l) (a) D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (b) D(f) = R, H(f) = (,, S, ani R ani K, není P, om shora č., ma [; ], min nemá, není period., (c) D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (d) D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (e) D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (f) D(f) = R, H(f) = (,, S, ani R ani K, není P, om shora č., ma [; ], min nemá, není period., 5

16 (g) D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ ; ], není period., (h) D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (i) D(f) = R, H(f) = (,, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [ ; ], min nemá, není period., (j) D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (k) D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ ; ], není period., (l) D(f) = R, H(f) = (,, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [ ; ], min nemá, není period... (a) = ( ), D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (b) = + 5, D(f) = R, H(f) = (, 5, S, ani R ani K, není P, om shora č. 5, ma [; 5], min nemá, není period., (c) = ( + ), D(f) = R, H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ ; ], není period., (d) = ( ), D(f) = ( ; ), H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period., (e) = ( ), D(f) = R, H(f) = (,, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [; ], min nemá, není period., (f) = ( + ) +, D(f) = R, H(f) = (,, ani S ani L, ani R ani K, není P, om shora č., ma [ ; ], min nemá, není period..

17 . Lineárně lomené funkce Předpis: = a + b c + d nulový jmenovatel). Graf: hperbola. ; a, b, c, d R, ad bc (tzn. nezkrátí se ani nebude = (základní) = / D(f) = R\{} H(f) = R\{} lichá není rostoucí ani klesající prostá neomezená etrém nemá není periodická Příklad:. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) =, (b) =, (c) = 5, (d) = 5, (e) = +, (f) = +, (g) =, (h) = +, 7

18 (i) =, (j) = +, (k) = +, (l) =.. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Výsledk: a) b) c) 8

19 d) e) f) g) h) i) j) k) l). (a) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (b) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (c) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (e) D(f) = R \ { }, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (f) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., 9

20 (g) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (h) D(f) = R \ { }, H(f) = R \ { }, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (i) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (j) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (k) D(f) = R \ { }, H(f) = R \ { }, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (l) D(f) = R \ {}, H(f) = R \ { }, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period... (a) = +, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (b) =, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (c) = +, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) = +, D(f) = R \ { }, H(f) = R \ {}, ani S ani L, ani + R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (e) =, D(f) = R \ {}, H(f) = R \ { }, ani S ani L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (f) =, D(f) = R \ {; }, H(f) = R \ {; }, ani S ani L, ani ( ) R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period...5 Mocninné funkce Předpis: = n ; n Z. Graf: parabola (n Z + ), hperbola(n Z ). Speciální případ: = (= ) konstantní funkce, = (= ) lineární funkce, = kvadratická funkce, = = lineárně lomená funkce.

21 n Z +, liché n Z +, sudé = ^, = ^5, = ^7 8 8 ^ ^5 ^7 = ^, = ^, = ^ 8 ^ ^ ^ D(f) = R D(f) = R H(f) = R H(f) = ; ) lichá sudá rostoucí není rostoucí ani klesající prostá není prostá neomezená omezená zdola etrém nemá minimum v není periodická není periodická n Z, liché n Z, sudé = /, = /^, = /^5 8 8 ^( ) ^( ) ^( 5) = /^, = /^, = /^ 8 ^( ) ^( ) ^( ) D(f) = R\{} D(f) = R\{} H(f) = R\{} H(f) = (; ) lichá sudá není rostoucí ani klesající není rostoucí ani klesající prostá není prostá neomezená omezená zdola etrém nemá etrém nemá není periodická není periodická Příklad: Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti:. =,

22 . =,. =,. = 5, 5. =,. =, 7. =, 8. =, 9. = 5. Výsledk: a) b) c) 5 5 d) e) f)

23 g) h) 5 5. D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period.,. D(f) = R, H(f) = R, L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period.,. D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period.,. D(f) = R, H(f) = R, L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., 5. D(f) = R, H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [; ], není period.,. D(f) = R \ {}, H(f) = R +, S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., 7. D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., 8. D(f) = R \ {}, H(f) = R +, S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., 9. D(f) = R \ {}, H(f) = R \ {}, L, ani R ani K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period..

24 . Eponenciální funkce Předpis: = a ; a R +. Graf: eponenciální křivka. Speciální případ: a = : = = konstantní funkce a (; ) a = a > = (/e)^ 8 =.5 = e^ 8.5 D(f) = R D(f) = R D(f) = R H(f) = R + H(f) = {} H(f) = R + není sudá ani lichá není sudá ani lichá není sudá ani lichá klesající není rostoucí ani klesající rostoucí prostá není prostá prostá omezená zdola omezená omezená zdola etrém nemá všechn bod: ma i min etrém nemá není periodická periodická není periodická Příklad:. Do jednoho obrázku nakreslete všechn následující funkce: (a) =, = e, =, = ( ), = ( e), (b) = e, = e, = e.. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) = e, (b) = e, (c) = e, (d) = e,

25 (e) = e +, (f) = e +, (g) = e, (h) = e +, (i) = +, (j) = ( e) +, (k) = e +, (l) = e +.. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) 5 5 (d) (e) (f) 5 5 Výsledk: a) b) 8 ^ e^ ^ -e^ e^ e^(-) 5

26 a) b) c) 5 d) e) f) 5 g) h) i) 5 5 j) k) l) 5. (a) D(f) = R, H(f) = R +, ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (b) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma

27 nemá, min nemá, není period., (c) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om shora č., ma nemá, min nemá, není period., (d) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (e) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (f) D(f) = R, H(f) = (; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (g) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om shora č., ma nemá, min nemá, není period., (h) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om shora č., ma nemá, min nemá, není period., (i) D(f) = R, H(f) = (; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (j) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (k) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, K, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (l) D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period... (a) = e, D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (b) = e, D(f) = R, H(f) = R +, ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (c) = e = ( e), D(f) = R, H(f) = R +, ani S ani L, K, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (d) = e +, D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (e) = e, D(f) = R, H(f) = ( ; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period., (f) = e + +, D(f) = R, H(f) = (; ), ani S ani L, R, P, om zdola č., ma nemá, min nemá, není period.. 7

28 .7 Logaritmické funkce Předpis: = log a ; a R +, a. Graf: logaritmická křivka. a (; ) a > = log_(/e) = ln 8 8 D(f) = R + D(f) = R + H(f) = R H(f) = R není sudá ani lichá není sudá ani lichá klesající rostoucí prostá prostá neomezená neomezená etrém nemá etrém nemá není periodická není periodická Příklad:. Do jednoho obrázku nakreslete všechn následující funkce: (a) = log, = ln, = log, = log, = log, e (b) = ln, = ln( ), = ln.. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) = ln ( ), (b) = ln, (c) = ln, (d) = ln ( ), (e) = ln ( + ), (f) = ln ( ) +, 8

29 (g) = ln, (h) = ln ( + ), (i) = log ( ) +, (j) = ln ( ), (k) = log ( + ), (l) = log ( + ).. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b) (c) (d) (e) (f) Výsledk: a) b) 8 log[]() log() ln() ln(-) ln() -ln() 9

30 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) (a) D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (b) D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min

31 nemá, není period., (c) D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (e) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (f) D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (g) D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (h) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (i) D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (j) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (k) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (l) D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period... (a) = ln, D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (b) = ln ( ), D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (c) = ln ( ), D(f) = R, H(f) = R, ani S ani L, K, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (d) = ln ( + ), D(f) = ( ; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (e) = ln ( ), D(f) = (; ), H(f) = R, ani S ani L, R, P, neom, ma nemá, min nemá, není period., (f) = ln = log, D(f) = R +, H(f) = R, ani S ani L, K, P, e neom, ma nemá, min nemá, není period..

32 .8 Goniometrické funkce Předpis: = sin, = cos, = tg, = cotg. Graf: sinusoida, kosinusoida, tangentoida, kotangentoida.!!! V této celé kapitole platí k Z!!! = sin = cos = sin = cos D(f) = R D(f) = R H(f) = ; H(f) = ; lichá sudá není rostoucí ani klesající není rostoucí ani klesající není prostá není prostá omezená omezená ma v π + kπ ma v kπ min v π + kπ min v π + kπ periodická: p = π periodická: p = π = tg = cotg = tg = cotg D(f) = R\{ π + kπ} H(f) = R lichá není rostoucí ani klesající není prostá neomezená etrém nemá periodická: p = π D(f) = R\{kπ} H(f) = R lichá není rostoucí ani klesající není prostá neomezená etrém nemá periodická: p = π

33 Příklad:. Do jednoho obrázku nakreslete všechn následující funkce: (a) = sin, = sin, (b) = cos, = cos, (c) = tg, = tg, (d) = sin, = sin( + π ), (e) = cos, = cos +, (f) = cotg, = cotg.. Nakreslete následující funkce a určete jejich vlastnosti: (a) = sin( π ), (b) = cos, (c) = sin +, (d) = cos( + π ), (e) = sin( ), (f) = cos( π), (g) = sin( π), (h) = tg( + π ), (i) = cotg, (j) = sin( π), (k) = cos( + 5π), (l) = sin( + π).. Určete předpis a vlastnosti následujících funkcí: (a) (b)

34 (c) (d) Výsledk: a) b) c) sin sin cos cos tg / tg d) e) f) sin + pi/ sin cos + cos cotg -cotg a) b) c)

35 d) e) f) g) h) i) cotg cotg j) k) l). (a) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (b) D(f) = R, H(f) = ;, S, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [kπ; ], min [π + kπ; ], period. p = π, (c) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [ π + kπ; ], min [π + kπ; ], period. p = π, (d) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (e) D(f) = R, H(f) = ;, L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ π + kπ; ], min [π + kπ; ], period. p = π, (f) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, 5

36 (g) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ 5 π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (h) D(f) = ( π + kπ; π + kπ), H(f) = R, ani S ani L, ani R ani K, není P, neom, ma nemá, min nemá, period. p = π, (i) D(f) = (kπ; π + kπ), H(f) = ; ), ani S ani L, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [ π + kπ; ], period. p = π, (j) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [ 7π +kπ; ], min [ π +kπ; ], period. p = π, (k) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ 5π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (l) D(f) = R, H(f) = ;, ani S ani L, ani R ani K, není P, om č. ;, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π.. (a) = sin = sin( ) nebo také = sin( + π) = cos( + π), D(f) = R, H(f) = ;, L, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [ π + kπ; ], min [ π + kπ; ], period. p = π, (b) = cos, D(f) = R, H(f) = ;, S, ani R ani K, není P, om č. ±, ma [π + kπ; ], min [kπ; ], period. p = π, (c) = tg, D(f) = ( π + kπ; π + kπ), H(f) = ; ), S, ani R ani K, není P, om zdola č., ma nemá, min [kπ; ], period. p = π, (d) = cotg, D(f) = (kπ; π + kπ), H(f) = R, S, ani R ani K, není P, neom, ma nemá, min nemá, není period..