VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
Přednášející Doc. Ing. Alois Materna, CSc., MBA Kancelář: LP F 206 Telefon: 597 321 919 E-mail: alois.materna@vsb.cz 2
Náplň předmětu 1. základní úloha teorie pružnosti 2. plošné konstrukce: stěny, desky, skořepiny 3. energetické principy, variační metody, metoda konečných prvků 4. modely podloží, stabilitní úlohy, nelineární mechanika 3
Doporučená literatura (1) Teplý, B. Šmiřák, S.: Pružnost a plasticita 2., VUT v Brně, Brno, 1992 (skriptum) Šmiřák, S.: Energetické principy a variační metody v teorii pružnosti, VUT v Brně, Brno, 1998 (skriptum) Servít a kol.: Teorie pružnosti a plasticity I., SNTL, Praha, 1981 (celostátní učebnice) 4
Doporučená literatura (2) Servít a kol.: Teorie pružnosti a plasticity II., SNTL, Praha, 1984 (celostátní učebnice) Timoshenko. S. Gere, J.: Mechanics of Materials, Van Nostrand Company, New York, 1972 Boresi, A. Schmidt, R.: Advanced Mechanics of Materials, John Wiley & Sons, 2003 5
Další studijní materiály http://fast10.vsb.cz/brozovsky/ http://fast10.vsb.cz/randyskova/ (SSK II poslední přednášky) http://fast10.vsb.cz/studijni-materialy/metoda-kp/ 6
Základní předpoklady látka studovaného tělesa je spojitá látka je homogenní (ve všech místech stejné vlastnosti) látka je isotropní (ve všech směrech stejné vlastnosti) látka se chová lineárně pružně (tzv. Hookeův zákon) těleso je vystaveno jen malým deformacím 7
Isotropní a anisotropní materiál isotropní: ve všech směrech stejné vlastnosti anisotropní: v různých směrech různé vlastnosti ortotropní: různé vlastnosti ve vzájemně kolmých směrech 8
Energetické principy 1. přetvárná práce vnějších sil, 2. deformační energie, 3. princip virtuálních prací, 4. potenciální energie systému. 9
Přetvárná práce vnějších sil (1) F a b w w(b) Přetvárná práce v. s.: F df F dle Le d L e = F (w) d w, (1) L e = w 0 F (w) d w. (2) w dw w(b) 10
Přetvárná práce vnějších sil (2) Lineárně pružná odezva konstrukce: F F df dle Le w Clapeyronova věta: L e = 1 F w. (3) 2 dw w(b) 11
Přetvárná práce vnějších sil (3) Lagrangeova věta: Z (2) plyne: F = F (w) = d L e d w (4) a pro případ obecného počtu sil: F i = L e u i, (5) 12
Přetvárná práce vnějších sil (4) a F w Le * F b w(b) Doplňková (komplementární) přetvárná práce v. s.: d L e = w(f ) d F, (6) L e = F 0 w(f ) d F. (7) F df dle * Pro lineárně pružnou odezvu konstrukce: dw w(b) w L e = L e = 1 F w. (8) 2 13
Přetvárná práce vnějších sil (5) Castiglianova věta: Z (7) plyne: w = w(f ) = d L e d w (9) a pro případ obecného počtu sil: F i = L e F i, (10) 14
Potenciální energie vnitřních Dokonale pružné těleso plně akumuluje energii odpovídající vykonané přetvárné práci: Π i = L e (11) 15
Přetvárná práce vnitřních sil Vnitřní síly brání deformaci, proto: L i = L e (12) a L i 0 (13) tedy: Π i = L i. (14) 16
Deformační energie (1) Příspěvek normálových napětí: σ dσ σ W* * dw dw W ε W σ = Wσ = ε 0 σ 0 σ(ε) d ε, (15) ε(σ) d σ. (16) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = Wε = γ 0 τ 0 τ(γ) d γ, (17) γ(τ) d τ. (18) 17
Deformační energie (2) Lineárně pružná odezva materiálu: σ W* Příspěvek normálových napětí: σ dσ dw* dw W ε W σ = W σ = 1 2 σ ε. (19) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = W ε = 1 2 τ γ. (20) 18
Deformační energie (3) Tedy potenciální energie vnitřních sil (pro lin. pružnou odezvu materiálu): Π i = = 1 2 V d V (21) V (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) d V. V maticovém zápisu: Π i = Π i = V σt ε d V. (22) 19
Přímý prut (bez vlivu smyku) Normálové síly (σ = N A ): Π i,n = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l N 2 E A d x (23) Momenty (σ = M y I ): Π i,m = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l M 2 y E I d x (24) Tedy: Π i = 1 2 l N 2 E A d x + 1 2 l M 2 y E I d x l (25) 20
Princip virtuálních prací (Lagrangeúv) princip virtuálních posunů: Je-li těleso v rovnováze, pak virtuální práce všech skutečných vnějších i vnitřních sil na virtuálních deformacích je rovna nule. V δut X d V + s δut p d s V δεt σ d V = 0, (26) kde X... objemové síly, p... povrchové síly, σ... napětí. 21
Princip virtuálních prací (Castiglianův) princip virtuálních sil: Virtuální práce vnějších a vnitřních sil staticky přípustné virtuální soustavy sil na skutečných deformacích je rovna nule. V ut δx d V + s ut δp d s V εt δσ d V = 0, (27) kde X... objemové síly, p... povrchové síly, σ... napětí. 22
Potenciální energie systému (1) Potenciální energie vnějších sil (Π e ): a b F Π e = F w, (28) a pro obecné zatížení: F b w(b) Π e = n i=1 F i u i n i=1 d M j ϕ j c (29) q(x) w(x) d x. Obecný stav napjatosti tělesa: Π e = V XT u d V s pt u d S. (30) 23
Potenciální energie systému (2) Potenciální energie vnějších sil (Π e ): Π e = (L e + L e). (31) Při lineárně pružné odezvě materiálu: Π e = 2 L e. (32) tedy Π e 0. (33) 24
Potenciální energie systému (3) Π = Π e + Π i. (34) Dosazením za Π e a Π i : tedy Π = Π e + Π i = (L e + L e) + L e = L e, (35) Π 0. (36) 25
Potenciální energie systému (4) (Lagrangeův) princip minima celkové potenciální energie: Π = Π e + Π i = min. (37) Ze všech možných deformačních stavů tělesa (které neporušují jeho spojitost a respektují okrajové podmínky) nastane právě ten, při kterém je potenciální energie systému minimální. 26
Variační úloha hledáme neznámou funkci (nikoli jen hodnotu), funkce musí splňovat určité okrajové nebo počáteční podmínky, hledaná funkce musí splňovat podmínku extrému nějaké veličiny. 27
Variační úlohy v teorii pružnosti Protože platí (37): Π = Π i + Π e = min, (38) tedy hodnota potenciální energie je extrémní (minimální). Z matematiky: pro extrém veličiny Π platí: Π = 0, (39) čehož využívají variační metody (např Ritzova metoda). 28
Ritzova metoda (1) 1. Aproximace řešení volíme ve tvaru: w n (x) = n i=1 a i ψ i, (40) kde a i... neznámé konstanty, ψ i... aproximační funkce. 2. Vyjádříme Π pomocí w n (x). 3. Sestavení a vyřešení n rovnic: Π a i = 0. (41) 4. Dosazení vypočtených a i do (40). 29
Rizova metoda (2) bázové funkce Bázové (aproximační) funkce ψ musí vyhovovat okrajovým podmínkám úlohy. y Např. při výpočtu průhybu musí platit: x ψ(a) = 0 (protože w(a)=0), a w(x) ψ(x) b ψ(b) = 0 (protože w(b)=0). 30
Opakování: Protože platí: N M = (E A) du dx, (42) = (E I y ) d2 w dx 2, (43) tedy potenciální energie vnitřních sil (bez vlivu smyku): Π i = 1 2 L 0 E Au 2 dx + 1 2 L 0 E I w 2 dx. (44) 31
Příklad 1 (1) Stanovte funkci průhybu prostého nosníku (viz schéma). y Výsledek: a q w(x) L b x q w(x) = 24 E I x(l3 2 L x + x 3 ) w max = 5 q l 4 384E I Volba aproximace (jen 1. člen řady): w(x) = a 1 ψ 1 = a 1 sin( π x L ), tj. ψ 1 = sin( π x L ). 32
Příklad 1 (2) Okrajové podmínky: w(a) = w(x = 0) = 0... ψ 1 (a) = sin( π 0 L ) = 0 w(b) = w(x = L) = 0... ψ 1 (b) = sin( π L L ) = 0 Vyjádření Π e : Π e = L 0 q w(x)dx = L 0 q a 1 sin( π x L )dx = Π e = q a 1 [ L π cos(π x L ) ]L 0 = 2 q L π a 1 33
Příklad 1 (3) Vyjádření Π i : w = w = a 1 π 2 [ a 1 sin( π x L ) ] = a1 π L cos(π x L ) L 2 sin(π x L ) Π i = 1 2 L 0 E Iw 2 dx = 1 2 L 0 a 1 π 2 L 2 sin(π x L ) 2 dx =... = π4 4 E I L 3 a2 1 34
Příklad 1 (4) Vyjádření Π: Π = Π e + Π i = 2 q L π a 1 + π4 4 E I L 3 a2 1 Sestavení rovnic(e) Π a i = 0 : Π a 1 = 2 π q L + π4 4 E I L 3 2 a 1 = 0 Výpočet a 1 : a 1 = 4 q L4 π 5 E I 35
Příklad 1 (5) Výsledek (dosazením a i do w(x)): w(x) = a 1 ψ 1 = 4 q L4 π 5 E I sin(π x L ) Výpočet vnitřních sil (moment): M(x) = E I w = E I π a 2 x 1 L 2sin(π L ) = 4 q L2 π 3 sin( π x L ) 36
Metoda konečných prvků (1) Nevýhoda klasických variačních metod obtížná volba (často nemožná) aproximačních funkcí ϕ na složitějších oblastech. Řešení rozdělení konstrukce na malé oblasti na n jednoduchých podoblastí a volba aproximačních funkcí na nich ϕ j na nich. Protože Π je skalární veličina, lze: Π approx. = n j=1 Π e,j, (45) kde Π e,j je potenciální energie j-té podoblasti ( konečného prvku ). 37
Metoda konečných prvků (2) Další postup analogický klasickým variačním metodám (např. Ritzově metodě) řeší se soustava lineárních rovnic: Π = 0. (46) Pozn.: zde je použit Lagrangeův variační princip a jde tedy o deformační variantu metody konečných prvků MKP (viz dále). 38
Metoda konečných prvků (3) Varianty MKP: deformační neznámá jsou posunutí a pootočení (nejčastější, přes 90% případů), silová neznámé jsou silové veličiny, smíšená. 39
Deformační varianta MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost s deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u, v, w Aproximační funkce se volí zásadně ve tvaru polynomů. 40