Organizace výuky. Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B312 Konzultační hodiny St (po domluvě i jindy)

Transkript

1 SMA Přednáška Informace o předmětu Energie vnějších a vnitřních sil Virtuální energie vnějších a vnitřních sil Princip virtuálních prací a sil Příklady Copyright (c) Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, aculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GU ree Documentation icense, Version. or any later version published by the ree Software oundation; with no Invariant Sections, no ront-cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GU ree Documentation icense" found at

2 Organizace výuky Přednášející: Doc. Ing. Vít Šmilauer, Ph.D., B3 Konzultační hodiny St (po domluvě i jindy) Webové stránky předmětu Stránky předmětů SMA nebo SMA Domácí úkoly, přednášky, podmínky zápočtu a zkoušky Podmínky pro udělení zápočtu: 8 domácích úkolů Včasné odevzdání cvičícímu a na webových stránkách, semestrální testy, min. 4 bodů/34 Zkouška: Zápočtové testy (34) zkouškový test (3) příklady (36) = bodů, doplňkové ústní otázky

3 SMA Organizace výuky ávaznost na minulé předměty (co je nutné znát): SMA reakce, průběhy vnitřních sil na staticky určitých (složených) konstrukcích, průřezové charakteristiky PRA analýza napjatosti prutů (tahtlak, šikmý ohyb, kroucení), diferenciální rovnice ohybu prutu Zapsaných Zápočet udělen Úspěšnost získání zápočtu Zkouškových pokusů-účast Známku A-E získalo Pokusů/úspěch Úspěšnost (známka A-E) A (%) B (%) C (%) D (%) E (%) na 3. pokus % % 3.7% 3.7% 3.6% 3.% 7.9% % %.% 6.% 6.% 3.% 3.% % % 4.5% 7.8% 8.6% 37.%.% % %.7%.8% 8.9% 43.% 4.3% < % % 4.7%.5% 8.8% 38.7% 7.3% % %.% 8.%.4% 46.9%.4% % % 6.5%.5% 7.7% 37.% 8.% % %.% 6.% 34.% 36.% 4.% % %.5% 3.6% 7.8% 33.% 33.% % %.% 6.%.% 48.5% 33.3% % % 3.6%.7% 3.8% 35.7% 7.9% 3 3

4 Exkurze pro vynikající studenty Studenti se zkouškami A až B ze SMA, PRA a SMA budou pozváni na exkurzi po zajímavých stavebních objektech v Praze Exkurze Strahovský klášter..5 (a 3..5) Malostranská beseda

5 SMA Sylabus áplní SMA je výpočet přetvoření na konstrukcích řešení staticky neurčitých konstrukcí Princip virtuálních prací (PVP) Princip virtuálních sil (PVs) Výpočet přetvoření staticky určitých konstrukcí Bettiho, Maxwelova věta Silová metoda, staticky neurčité konstrukce Princip virtuálních posunutí (PVp) Deformační metoda, staticky neurčité konstrukce Matice tuhosti prutu a konstrukce Metoda konečných prvků Analýza desek 5

6 SMA literatura P. Konvalinka et al.: Analýza stavebních konstrukcí příklady, ČVUT, 9 V. Kufner, P. Kuklík: Stavební mechanika 3, ČVUT, 998 P. Kuklík, V. Blažek, V. Kufner: Stavební mechanika 4, ČVUT, K. Klepáčová, V. Kufner: Stavební mechanika 4: Příklady staticky neurčitých konstrukcí, ČVUT, 999 J. Kadlčák, J. Kytýr: Statika stavebních konstrukcí II., VUTIUM, 9 T.H.G. Megson: Structural and Stress Analysis, Elsevier, 5 M.H. Saad: Elasticity Theory, Applications, and umerics, Elsevier, 5 W.M.C. McKenzie: Examples in Structural Analysis, Taylor & rancis, 6 R. Szilard: Theories and Applications of Plate Analysis, John Wiley & Sons, 4 6

7 Energie vnějších sil pro lineárně elastický materiál Síla [] Jednoosý tah E,A = x u= EA u=ku A B EA Předpokládáme lineární pole posunů na prutu. uf f Komplementární (doplňková) energie vnějších sil We EA (Prostá) energie vnějších sil We C O uf Posun [m] EA W e = u du= uf = f Plocha OCB EA f EA W = u d = f= uf Plocha OAB EA e Pro lineárně elastický materiál W e =W e W e u = Castiglianův první teorém u W e =u Crotti-Engesserův teorém Castiglianův druhý teorém (důkaz přes energii deformace prutu) W e =u Umíme vypočítat posun pouze v místě a směru síly (bohužel nikde jinde) 7

8 Příklad určete svislý posun styčníku b Prozatím použijeme Castiglianův druhý teorém a c S3 S 6o wb S b 6o EA = konst. [ ] W e = Si = EA i EA W e 3 =wb = 4 EA 3 = [J] EA 4 Za okamžik zavedeme princip virtuálních sil, kterým vypočteme libovolnou deformaci na konstrukci mnohem elegantněji. Castiglianova myšlenka zůstane stejná. 8

9 Hustota prosté a doplňkové energie deformace Ze zákona zachování energie plyne, že energie dodaná vnějšími silami musí být obsažena v objemu prutu. Pro materiálový bod zavádíme pojem hustota (potenciální) energie deformace W. / V EA Eu u W= u = = σε A W = EA = = σε A A EA W =σ ε W W =W pro lineárně elastický materiál Indexy f jsou pro přehlednost vynechány. [Pa] f Komplementární (doplňková) hustota energie deformace W A B E C O (Prostá) hustota potenciální energie deformace W Energii vnitřních sil získáme integrací hustoty energie f [ ] W i= V W d V Pozn. Pro lineárně elastický materiál s nulový počátečním napětím a deformací (na tomto obrázku) se často nerozlišuje mezi doplňkovou a prostou hustotou, protože platí W=W. 9

10 Princip virtuálních sil (obecný princip spojitosti) Skutečný stav E,A x u E,A Virtuální stav δ W e =u x (Komplementární, doplňková) virtuální práce vnějších sil We uu EA u O skutečná síla na prutu u skutečný posun konce prutu virtuální (myšlená) síla, která nezávisí na skutečných silách a má libovolnou velikost (nenarušuje lineární systém) u virtuální posun, který plyne ze zvolené σ u E δ W = V ε σ d V i (Komplementární, doplňková) virtuální práce vnitřních sil Wi O ε Pozn. Princip virtuálních posunutí (přemístění) bude použit pro odvození deformační metody poději.

11 Princip virtuálních sil (metoda jednotkových sil) Pro tažený/tlačený prut z lineárně elastického materiálu platí δ W i = V ε σ d V = A d x= dx EA A EA δ W e =u ( ) ( =δw δ W = d x u = EA i e ) ε d x u = ( ui u ) = Z rovnosti komplementárních virtuálních prací sil plyne spojitost posunů. Pozn.: Virtuální veličiny u,, jsme prozatím uvažovali pouze na okraji prutu jako okrajovou podmínku. Průběhy virtuálních veličin po délce prutu jsme dopočetli za známých vztahů. Obecně jsou to však variace funkcí u(x), (x), které mají význam ve variačních metodách a v přibližném řešení úlohy, např. v metodě konečných prvků. unkcionál potenciální energie a princip minima potenciální energie je právě základem přibližných metod mechaniky.

12 Příklad posun styčníku příhradové konstrukce wb Skutečný stav S3 6o wb W e = w b S b EA = konst. S c a 6o Virtuální stav [ ] 3 dx dx= = EA 3 4 EA EA 3 3 EA W e = W i w b= 4 EA W i = Stejný výsledek jako pro při použití Castiglianova teorému.

13 Příklad posun styčníku příhradové konstrukce uc Skutečný stav Virtuální stav uc wb δ W e = u c 3 dx = 6 EA EA 3 3 δ W e =δw i u c = 6 EA δ W i = 3

14 Rekapitulace princip virtuálních sil pro tah/tlak Těleso spojité před deformací zůstává spojité i po deformaci tehdy a jen tehdy, jestliže doplňková virtuální práce sil vnitřních se rovná doplňkové virtuální práci sil vnějších pro libovolný virtuální silový stav. W i = W e Použití principu virtuálních sil: Ověření spojitosti (kompatibility) tělesa Výpočet neznámého posunu, natočení Výpočet neznámého vzájemného posunu, natočení Určení neznámé síly z přetvárné podmínky, tj. řešení staticky neurčitých konstrukcí 4

15 Otázky. Musí se energie vnějších sil vždy rovnat energii vnitřních sil? Co lze vyvodit z nerovnosti virtuální vnitřní a vnější doplňkové energie?. apište vztahy pro doplňkovou energii vnitřních sil, hustotu doplňkové energie deformace a doplňkovou virtuální práci vnitřních sil pro jednoosý tah. 3. Ve kterých případech se prostá energie deformace rovná doplňkové energii deformace? 4. Co lze říci o spojitosti deformací na pružném tělese, pokud se vnitřní a vnější doplňkové virtuální práce rovnají? 5. Umíme pomocí principu virtuálních sil vypočítat posun na libovolném styčníku příhradové konstrukce? 6. Jaká bude skutečná energie vnitřních sil, pokud dojde k poklesu podpory na staticky určité konstrukci? 7. Jaká bude skutečná energie vnitřních sil, pokud dojde k rovnoměrnému oteplení několika prutů na staticky určité konstrukci? Vytvořeno / v OpenOffice 3., Ubuntu.4, Vít Šmilauer. 5