Simulace (nejen) fyzikálních jevů na počítači V. Kučera Katedra numerické matematiky, MFFUK Praha 7.2.2013
Aerodynamický flutter
Tacoma bridge, 1940
Fyzikální model Realita je komplikovaná Navier-Stokesovy rovnice v t + (v v) = p + µ v + f v = 0. $10 6 Clay Math Institute Millenium Prize
Fyzikální model Realita je komplikovaná Navier-Stokesovy rovnice v t + (v v) = p + µ v + f v = 0. $10 6 Clay Math Institute Millenium Prize
Fyzikální model Realita je komplikovaná Navier-Stokesovy rovnice v t + (v v) = p + µ v + f v = 0. $10 6 Clay Math Institute Millenium Prize
Simulace proudění vodní páry turbínou parní turbína
Parní turbína výpočetní oblast
Parní turbína řešení úlohy Např. metoda konečných objemů výpočetní oblast rozdělíme na elementy přibližné řešení je konstantní na každém elementu rovnice přepíšeme pro danou triangulaci řešíme konečně rozměrnou úlohu soustava lineárních rovnic na každé časové vrstvě z diskrétních hodnot rekonstruhujeme řešení
Parní turbína řešení úlohy Např. metoda konečných objemů výpočetní oblast rozdělíme na elementy přibližné řešení je konstantní na každém elementu rovnice přepíšeme pro danou triangulaci řešíme konečně rozměrnou úlohu soustava lineárních rovnic na každé časové vrstvě z diskrétních hodnot rekonstruhujeme řešení
Parní turbína řešení úlohy Např. metoda konečných objemů výpočetní oblast rozdělíme na elementy přibližné řešení je konstantní na každém elementu rovnice přepíšeme pro danou triangulaci řešíme konečně rozměrnou úlohu soustava lineárních rovnic na každé časové vrstvě z diskrétních hodnot rekonstruhujeme řešení
Parní turbína řešení úlohy Např. metoda konečných objemů výpočetní oblast rozdělíme na elementy přibližné řešení je konstantní na každém elementu rovnice přepíšeme pro danou triangulaci řešíme konečně rozměrnou úlohu soustava lineárních rovnic na každé časové vrstvě z diskrétních hodnot rekonstruhujeme řešení
Parní turbína řešení úlohy Např. metoda konečných objemů výpočetní oblast rozdělíme na elementy přibližné řešení je konstantní na každém elementu rovnice přepíšeme pro danou triangulaci řešíme konečně rozměrnou úlohu soustava lineárních rovnic na každé časové vrstvě z diskrétních hodnot rekonstruhujeme řešení
Parní turbína řešení úlohy Např. metoda konečných objemů výpočetní oblast rozdělíme na elementy přibližné řešení je konstantní na každém elementu rovnice přepíšeme pro danou triangulaci řešíme konečně rozměrnou úlohu soustava lineárních rovnic na každé časové vrstvě z diskrétních hodnot rekonstruhujeme řešení
Parní turbína řešení úlohy Např. metoda konečných objemů výpočetní oblast rozdělíme na elementy přibližné řešení je konstantní na každém elementu rovnice přepíšeme pro danou triangulaci řešíme konečně rozměrnou úlohu soustava lineárních rovnic na každé časové vrstvě z diskrétních hodnot rekonstruhujeme řešení
Parní turbína řešení úlohy Např. metoda konečných objemů výpočetní oblast rozdělíme na elementy přibližné řešení je konstantní na každém elementu rovnice přepíšeme pro danou triangulaci řešíme konečně rozměrnou úlohu soustava lineárních rovnic na každé časové vrstvě z diskrétních hodnot rekonstruhujeme řešení
Parní turbína isokřivky hustoty
Parní turbína detail řešení
Parní turbína srovnání s experimentem
Parní turbína adaptace sítě
Simulace flutteru, Mach=2.0
Vznik hlasu v lidských hlasivkách Vzduch: D A w Dt + 2 s=1 g s (w) x s + wdivz = 2 s=1 R s (w, w) x s Tkáň: ρ b 2 u i t 2 + Cρb u i t + 2 j=1 τ b ij x j = f i
Vznik hlasu v lidských hlasivkách Vzduch: D A w Dt + 2 s=1 g s (w) x s + wdivz = 2 s=1 R s (w, w) x s Tkáň: ρ b 2 u i t 2 + Cρb u i t + 2 j=1 τ b ij x j = f i
Vznik hlasu v lidských hlasivkách Vzduch: D A w Dt + 2 s=1 g s (w) x s + wdivz = 2 s=1 R s (w, w) x s Tkáň: ρ b 2 u i t 2 + Cρb u i t + 2 j=1 τ b ij x j = f i
Vznik hlasu v lidských hlasivkách
Hollywood
Hollywood
Hollywood
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Internetové vyhledavače Google Internetové vyhledavače 90. léta 20. století, vyhledavače ne příliš efektivní konec 90. let, Google velmi efektivní ohodnotí stránky pro daná klíčová slova Způsob vyhodnocení n webových stránek, (n 10 11 ) definujeme G i,j, i, j = 1,..., n, G i,j > 0 existuje link mezi stránkou i a j matematicky: úloha nalezení vlastního vektoru matice G, počet operací n 2 10 33, 10 12 operací za vteřinu cca 1000 stáří vesmíru. nástroji numerické matematiky, přibližný výpočet, cca měsíc
Cambridge University pagerank submatrix
Rekonstrukce obrazu
Rekonstrukce obrazu
Rekonstrukce obrazu
Rekonstrukce obrazu
Rekonstrukce obrazu
Díky za pozornost a naviděnou na MFF!