Vyučující: Jan Chleboun, místnost B-305, linka 3866 Konzultace: čtvrtek 13:00-14:40 nebo dle dohody

Transkript

1 Předmět: MA04 Vyučující: Jan Chleboun, místnost B-305, linka 3866 Konzultace: čtvrtek 13:00-14:40 nebo dle dohody Sledovat informace na webových stránkách vyučujícího (o zkoušce, část studijních materiálů aj.): stránka FSv ČVUT katedra matematiky Chleboun nebo Hlavní literatura zdroje na webové stránce přednášejícího skripta O. Zindulka: MA 3 skripta K. Rektorys: MA 43 (knihovna)

2 Volitelný předmět: Seminář k Matematice 4 (101XSM4) Více informací na webu. Kdy a kde: středa 14:00 15:40, B Jacobiova metoda 10 0 Gaussova Seidelova metoda max norma max norma norma rezidua norma chyby Cislo iterace Superrelaxacni metoda (SOR) norma rezidua norma chyby Cislo iterace max norma max norma norma rezidua norma chyby Cislo iterace Metoda sdruzenych gradientu norma rezidua norma chyby Cislo iterace

3 Magisterské studium náročnější úroveň než bak. studium Bakalář jak? Inženýr jak a proč? Matematika řešení příkladů Cíl předmětu: Trocha matematické teorie stojící za řešením úloh, s nimiž se setkáte i v jiných předmětech (NAK). Připomenutí matematických souvislostí. Částečné opakování. Procvičení mozku; abstraktní myšlení. Rozšíření obzorů. Základy mostu dorozumění při spolupráci s odborníky, kteří hovoří náročnějším matematickým jazykem (absolventi FJFI ČVUT, MFF UK aj.).

4 Má to smysl? V životě někdy rozhodují maličkosti. Drobná znalostní převaha může způsobit, že najdete místo nebo si ho udržíte. Možná ponesete odpovědnost za projekty s důležitým podílem výpočtů. I když na výpočty budete mít odborníky, úspěch projektu a vaše postavení ve firmě bude záviset na tom, zda s nimi budete schopni odborně spolupracovat. (Příběh přehrady Orlík.) Častá námitka: Proč se zatěžovat teorií nebo základy elementárních numerických metod, když technické úlohy stejně počítáme skvělým komerčním programem? (Protože černé skříňky jsou nebezpečné. Sleipner, 1991) Diplom by měl být určitou zárukou schopností absolventa.

5 Příběh Orlík: Jak rychle betonovat? Uměle chladit? The University of Texas at Austin Matematické modelování ( ): skupinu vedl Ivo Babuška ( 1926, stavební inženýr ČVUT 1949, MÚ ČSAV, od 1968 v USA, čestný doktorát ČVUT 2007); snad až aritmetických operací na ručních kalkulačkách. Zásadní význam měla spolupráce s (prof. dr.) ing. Ladislavem Mejzlíkem (DrSc.) ( , absolvent ČVŠT v Brně). Obě strany si navzájem rozuměly!!!

6 Příběh Sleipner: kolaps vrtné plošiny pro těžbu ropy z mořského dna, 1991, škoda USD arnold/disasters/sleipner.html

7 S chutí do práce.

8 Komplexní čísla (množinu všech komplexních čísel značíme C) Imaginární osa b α r Reálná osa z=a+ib a z = a+ib z = r(cosα+i sinα) = re iα r = z = a 2 + b 2 a cosα = a 2 + b 2 b sinα = a 2 + b 2 Číslo z = a ib je komplexně sdružené k číslu z = a+ib, w + z = w + z a wz = w z. Počítání s komplexními čísly dle obvyklých pravidel algebry a s využitím vztahu i 2 = 1.

9 Vlastní čísla a vlastní vektory matic Nechť A je čtvercová matice. Nenulový sloupcový vektor x se nazývá vlastní vektor matice A, platí-li Ax = λx pro nějaké číslo λ C. Toto λ se nazývá vlastní číslo matice A odpovídající vlastnímu vektoru x. λ je vlastní číslo matice A (právě tehdy, když) λ je kořenem charakteristického polynomu matice A, tj. det(a λi) = 0. Návod pro výpočet vl. čísel malé matice! Kořeny mohou být násobné i komplexní (čísla). Vl. vektor(y) odpovídající vl. č. λ získáme vyřešením soustavy lin. alg. rovnic (A λi)x = 0. Počet lineárně nezávislých vl. vektorů může být menší než počet vl. čísel (braných s násobností). Využití: vlastnosti metod NLA, řešení soustav LODR Ẋ = AX + b, hlavní směry napětí a hlavní napětí, vlastní frekvence a vlastní tvary kmitání, Google...

10 Nechť A je čtvercová matice (reálná nebo komplexní). Matice A je singulární (tj. neexistuje A 1, regulární: existuje A 1 ) právě tehdy, když má vlastní číslo 0. (λ, x) vlastní pár matice A = (λ 2, x) vlastní pár matice A 2. Existuje-li A 1, je (λ, x) vlastním párem matice A právě tehdy, když (1/λ, x) je vlastním párem matice A 1 (tj. A i A 1 mají stejné vlastní vektory). Je-li (λ, x) vlastní pár reálné matice A, pak také ( λ, x) je vlastním párem matice A. Reálná nesymetrická matice může mít komplexní vl. čísla a vektory! Je-li A reálná a symetrická, pak všechna její vlastní čísla jsou reálná a vlastní vektory odpovídající různým vlastním číslům jsou navzájem kolmé. n i=1 λ i = tr A, kde tr A = n i=1 a n ii, i=1 λ i = det A

11 Definice Množina všech vlastních čísel matice se nazývá spektrum matice. Spektrum matice A budeme označovat σ(a). Definice Reálnému číslu (A) = max{ λ : λ σ(a)} říkáme spektrální poloměr matice A.

12 Geršgorinova věta Nechť A = (a ij ) je komplexní nebo reálná čtvercová matice n-tého řádu, tj. typu (n, n). Potom všechna vlastní čísla matice A leží v komplexní rovině ve sjednocení n i=1 K i kruhů K i o středu a ii a poloměru n j=1, j i a ij : n K i = z C : a ii z a ij, i = 1, 2,...,n. j=1, j i V každé komponentě tohoto sjednocení leží právě tolik vlastních čísel matice A, z kolika kruhů tato komponenta vznikla. Speciálně v izolovaném kruhu leží právě jedno vlastní číslo.

13 Příklad Je dána matice A = Pomocí Geršgorinovy věty zjistěte, a) zda je zaručeno, že matice A je regulární; b) zda by číslo 4+2i mohlo být vlastním číslem matice A; c) zda by číslo 4+2i mohlo být vlastním číslem matice A. Odhadněte spektrální poloměr. Vypočtěte vlastní čísla, spektrální poloměr, případně vlastní vektory.

14 Řešení: Spočtěme vlastní čísla a porovnejme s odhady danými Geršgorinovými kružnicemi. 1 λ 0 5 det(a λi) = det 0 2 λ λ Kořeny, tj. vlastní čísla = (1 λ)(2 λ)(3 λ)+10(2 λ) = (2 λ)(3 4λ+λ ) = (2 λ)(λ 2 4λ+13) det(a λi) = 0 λ 1 = 2+3i, λ 2 = 2 3i, λ 3 = 2

15 G. kruznice, vl. císla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad 6 4 Imaginární osa λ 1 S 1 S 2 S 3 λ 3 4 λ Reálná osa a) G. věta regulárnost nezaručí (vypočtená vl. čísla ano). b) Ne (stačí G. věta). c) G. věta připouští, že mohlo. Spektrální poloměr přesný (A) = 13, odhadnutý dle G. věty Geršgorin (A) = 6,

16 Vlastní vektory: řešíme (A λi)v = (0, 0, 0) T λ 1 = 2+3i 1 3i i 0 3i 0 0 3i i i i 0 3i 0 v 1 = 1 3i 0 r, r C\{0} Zkouška: Av 1 = λ 1 v i 0 = 11 3i 0 a (2+3i) 1 3i 0 = 11 3i i 2 4+6i

17 λ 1 = v 1 = 1 p, p C\{0} Zk i i λ 2 = 2 3i 0 3i 0 0 3i i i i 0 3i i v 2 = 0 2 q, q C\{0} Zk.

18 Příklad Je dána matice 1+3i 1+i 2/(1+i) A = 1/2 3 2i (1+i)/i. 2i (1+i)/2 3i Pomocí Geršgorinovy věty zjistěte, a) zda je zaručeno, že matice A je regulární; b) zda by číslo 2+3i mohlo být vlastním číslem matice A; c) zda by číslo 3 2i mohlo být vlastním číslem matice A; d) zda by číslo 2/5 i/5 mohlo být vlastním číslem matice A 1. Odhadněte spektrální poloměr. Geršgorinovy kruhy Kruh K 1 : S 1 = [1, 3], r 1 = 2 2 < 3 Kruh K 2 : S 2 = [3, 2], r 2 = < 2 Kruh K 3 : S 3 = [0, 3], r 3 = < 3

19 G. kruznice, vl. cisla λ, spektr. polomer, jeho h. odhad 6 4 λ 1 S 1 Imaginární osa S 3 S 2 λ 3 4 λ Reálná osa a) ano b) ano c) ne, protože 3 2i ( 3i) = 3+i = 10 > 3 1 d) ne, neboť = 2+i nemůže být vl. č. matice A. 2/5 i/5