Tori v strojírnské tchnologii Ing. Oskar Zmčík, Ph.D. základní pojmy používaná rozdělní vztahy, dfinic výpočty základní pojmy žádnou součást ndokážm vyrobit s absolutní přsností při výrobě součásti dochází k chybám systmatické chyby (opři třískovém obrábění s objvují vždy, například drsnost povrchu či rozrušná povrchová vrstva) náhodné chyby (nmusí s vždy vyskytnout, například dformac polotovaru při obrábění,chyba ustavní obrobku atd.) Tyto chyby mohou nabývat různých hodnot a k jjich vyhodnocní můžm použít torii. základní pojmy tori tori s zabývá matmatickými zákonitostmi náhodných jvů. (tyto zákonitosti s projvují při dostatčně vlkém počtu pokusů) Náhodný jv j jv ktrý nmá 100% pravděpodobnost výskytu. (například výskyt zmtku v vyrobné sérii) Základní soubor množina všch uvažovaných jdnotk (například všchny kusy výrobní dávky) Znak j sldovaná vlastnost (kvantitativní například počt vadných kusů, kvalitativní např. barva tělsa) základní pojmy tori Dfiniční obor množina ktrá obsahuj všchny hodnoty sldovaného znaku, ktré mohou nastat. (například barva tělsa modrá, črvná, bílá) Výběr j část základního souboru určná k analýz. (například při kontrol 10% vyrobné séri) Rozsah počt jdnotk v základním souboru. (například 10000ks výrobní dávky) Rlativní čtnost poměr výskytu sldované vlastnosti k clkovému počtu zkoumaných jdnotk (např. 40% pokud 4 součásti z zkoumaných 10 byly bílé barvy) základní pojmy tori kumulativní rlativní čtnost poměr počtu jdnotk ktré lží do určité hraniční vlastnosti vůči clkovému počtu zkoumaných jdnotk. (např. 31%, pokud 31 kusů valivých tělísk z 100 zkoumaných má průměr mnší nž 10.05mm) Odhad j charaktristika určná pomocí výběru vztahující s na clý zkoumaný soubor jdnotk (například 3ks valivých tělísk z 0 tstovaných byly zmtky, odhadujm tdy zmtkovitost výroby dané séri tělísk na 15%) Nstranný odhad jho střdní hodnota j shodná s hodnotou odhadovaného paramtru. Konfidnční intrval intrval v němž s požadovanou pravděpodobností lží odhadovaný paramtr. (můž bít omzný z jdné či obou stran) základní pojmy tori Náhodná proměnná můž nabývat náhodných hodnot. spojitá (libovolná hodnota v určitém rozsahu) diskrétní (můž nabývat jn určitých hodnot, například cločíslných atd., nbo v případě ž zkoumané jdnotku roztřídím do určitých rozsahů hodnot, například valivá tělíska podl průměru po 0.0mm)
základní vztahy tori Pravděpodobnost náhodného jvu P(A) (pravděpodobnost výskytu jvu a) pro náhodný jv musí platit: jstliž j možných výsldků končný počt n, jjich výskyt j stjně pravděpodobný a jsou vzájmně nzávislé pak : P A = m n kd m j počt příznivých výsldků 0 P A 1 základní vztahy tori obcně pravděpodobnost výskytu alspoň jdnoho z zkoumaných jvů: (sjdnocní) P A B =P A P B P A B jstliž s jdnotlivé jvy vzájmně vylučují, pak nmají spolčný průnik a platí obcné pravidloo : P A 1 A... A i =P A 1 P A... P A i pravděpodobnost současného výskytu vzájmně nzávislých jvů: (průnik) P A 1 A... A i =P A 1 P A... P A i základní vztahy tori podmíněná pravděpodobnost výskytu jdnoho z zkoumaných jvů: (s jakou pravděpodobností nastan jdn jv jstliž nastal jv druhý) P A/ B =P A B P B příklad V sériové výrobě vyrábím jdnoduchou čpovou součást. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, ž při tplném zpracování s vyskytuj 5% zmtků a při násldném broušní % nopravitlných zmtků. Pokud nbud provdna kontrola po tplném zpracování, kolik kusů z 1000, bud pravděpodobně dobrých, kolik zmtků bud mít obě vady a kolik pouz jdnu z možných? počt zmtků: P(A)=0.05 P(B)=0.0 příklad: P A B =P A P B P A B P A B =P A P B =0.05 0.0=0.001 P A B =0.05 0.0 0.001=0.069 P A P A B =P A B P B =0.069 0.0=0.049 P B P A B =P A B P A =0.069 0.05=0.019 Clkm s dá přdpokládat průměrně 6.9% (69ks) zmtků z nichž 4.9% (49ks) má pouz vadu vzniklou při tplném zpracování 1.9% (19ks) pouz při broušní a 0.1% (1ks)obě vady. Aritmtický průměr (odpovídá průměrné hodnotě) n x= 1 n Vážný aritmtický průměr (pokud mám jdnotlivé člny roztříděny podl daného znaku, například valivá tělíska podl průměru) k x i x= 1 n x i n i x i j pak střdní hodnota intrvalu a n i počt člnů daného intrvalu.
modus x - hodnota s njvětší čtností náhodné proměnné (můž jích být víc) 16 mdián x - hodnota náhodné proměnné ktrá dělí soubor na dvě stjné poloviny (přdpokládá střídění podl vlikosti) 14 14 1 1 10 10 8 8 6 6 4 4 0 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 11 11,1 11, 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 11,8 0 1 3 4 5 6 7 Variační koficint V - určuj nám variabilitu rozdělní náhodné vličiny. V= s x v procntch: V=100 s x [%] Variační koficint j použitlný i při porovnávání var. proměnných, ktré jsou v různých měrných jdnotkách. Variační rozpětí R nbo také obor či výběrové rozpětí rozdělní náhodné vličiny. Rozdíl mzi njvětší a njmnší hodnotou znaku v výběru. Rozptyl s - průměrná hodnota čtvrců odchylk náhodné proměnné od jjí střdní hodnoty: n s = 1 n x i x n s = 1 n x i x Směrodatná odchylka σ kvadratický průměr odchylk hodnot znaku od jjich aritmtického průměru. = 1 n x n i x = 1 n x n i x Výběrová směrodatná odchylka s pro skutčný výpočt na mpiricky zjištěné řadě čísl. s= 1 n 1 n x i x s= 1 n x n 1 i n x Směrodatná odchylka součtu nzávislých náhodných proměnných: s x1 x.. xn = s x1 s x.. s xn Součinitl poměrného rozpětí k ukazuj závislost směrodatné odchyclky na variačním rozpětí k= 6s R v případě, ž ztotožním polovinu tolranc rozměru s variačním rozpětím: k= 3s
Součinitl poměrné asymtri α charaktrizuj nsouměrnost rozdělní náhodné vličiny vzhldm k střdu tolrančního pol. = x A s Příklad za přdpokladu normálního rozdělní náhodné vličiny. Vyhodnocní charaktristik statistického souboru snažím s dosáhnou hodnot α = 0 střd tolrančního pol j shodný s střdm křivky rozdělní. další variantou j případ, kdy Jmnovitý rozměr odpovídá střdu tolrančního pol. snažím s toho dosáhnout sřízním výrobního zařízní Ukazatl konomické přsnosti výrobního zařízní W poměr mzi n - násobkm směrodatné odchylky a šířkou tolrančního pol pro normální rozdělní σ (+- 1σ) =>68.3% 4σ (+- σ) =>95.5% 6σ (+- 3σ) =>99.7% 8σ (+- 4σ) =>99.9937% Koficint poměrného rozpětí λ - j dfinován jako kvadrát podílu výběrové směrodatné odchylky polovinou tolrančního pol = s Přsnost strojního obrábění a zákony rozdělní Altrnativní rozdělní Náhodná vličina nabývá pouz dvou hodnot. (například dobrý kus/zmtk, 0/1, 5mm 10mm atd. ) P X=x1 = p P X=x =1 p x= p x1 1 p x s = p 1 p x1 x Příklad v daném souboru s nachází 3% zmtků, tj. 1 0.03 = 0.97 97% dobrých kusů. d.kus zmtk 0 0 40 60 80 100 10 Binomické rozdělní Použijm ho v případě, ž náhodná vličina můž nabývat diskrétních hodnot (0,1,,3,4...n) s stjnou pravděpodobností pro každou hodnotu. (n přdstavuj počt pokusů p pravděpodobnost s jakou nastan požadovaný jv a k, kolikrát jv nastan) P X=k = n x=n p k pk 1 p n k = n! n k! k! pk 1 p n k s x =n p 1 p Příklad použití Binomického rozdělní Jaká j pravděpodobnost při hodu kostkou, ž padn číslo 6 právě 1x x.. až 10x? 0,350 0,300 0,50 0,00 0,150 0,100 0,050 0,000 3 4 5 6 7 8 9 10 Obdobně například jaká j pravděpodobnost ž mzi 100ks výrobků budou právě zmtky.
Poissonovo rozdělní Poissonovo rozdělní s používá k aproximaci binomického rozdělní pro vlký počt pokusů, tzn. a malou pravděpodobnost výskytu sldovaného jvu v jdnom pokusu s stjnou pravděpodobností pro každou hodnotu. (používá s pro málo pravděpodobné jvy, n by mělo být větší nž 30 a p mnší nž 0.1, rsp p-1 > nž 0.9) P X=k = k k! x= s = Protož j pravděpodobnost výskytu konstantní platí také, ž =x=n p Rovnoměrné rozdělní pro spojité vličiny, kdy v daném rozsahu j pravděpodobnost výskytu konstantní (například pravděpodobnost, ž s v daném časovém rozmzí nastan náhodná porucha ) hustota f x = 1 b a v intrvalu (a x b) distribuční funkc F x = x a b a Rovnoměrné rozdělní Normální rozdělní (Gaussovo) střdní hodnota a rozptyl: x= a b s x = b a 1 J jdno z njdůlžitějších rozdělní spojité náhodné vličiny. Tímto rozdělním s sic nřídí vlké množství vličin, al dobř aproximuj řadu jiných pravděpodobnostních rozdělní (spojitých i diskrétních). V souvislosti s normálním rozdělním jsou často zmiňovány náhodné chyby, např. chyby měřní, způsobné vlkým počtm nznámých a vzájmně nzávislých příčin. Proto bývá normální rozdělní také označováno jako zákon chyb. Normální rozdělní (Gaussovo) funkc hustoty distribuční funkc f x = 1 x x s s F x = 1 s x x x s dx Normální rozdělní (Gaussovo) funkc hustoty má charaktristický zvonovitý tvar a j symtrická kolm střdní hodnoty 1,00 1,000 0,800 0,600 0,400 0,00 0,000-4,6-4 -3,4 -,8 -, -1,6-1 -0,4 0,00,80 1,40,00,60 3,0 3,80 4,40-4,9-4,3-3,7-3,1 -,5-1,9-1,3-0,7-0,1 0,501,101,70,30,90 3,50 4,10 4,70 f x = 1 x x s s s rostoucí hodnotou s s splošťuj σ 4σ 6σ 8σ
plocha pod křivkou pravděpodobnost, ž hodnota bud lžt v zvolném rozsahu j dána plochou pod gaussovou křivkou v tomto rozsahu. Lz ji proto dfinovat pomocí intgrálu: řšní analytické řšní nlz vyjádřit pomocí lmntárních funkcí: P x1 x x = 1 x x x s s x1 postupujm tdy jdnodušším způsobm způsoby řšní graficky rozdělím plochu pod intgrálm na končný počt částí, jjichž plochu nahradím obdélníkm, lichoběžníkm případně lichoběžníkm s obloukovou výsčí. počtně substitucí a využitím přdm vypočtných tabulkových hodnot x x =z z = 1 z z s s 0 Normované normální rozdělní funkc hustoty distribuční funkc f x = 1 z s F x = 1 s s z =1 f x = f z s z z dz hodnoty funkc Φ(z) jsou tabulkově dány příklad hodnot funkc Φ(z) Příklad uložní hřídl v náboji Φ36H8/h7 vzniká rozměrový řtězc s třmi člny 39 Náboj 36 0 0 hřídl 36 5 vůl (má nulovou vlikost jmnovitá hodnoty a tvoří závěrný čln) sřídím výrobní zařízní tak, aby střdní hodnota lžla na střdu tolrančního pol každého člnu a šířka tolrančního pol odpovídala hodnotě 6σ.
Příklad Střdní hodnota vůl bud pak bud zjvně As Az =(As A1 -As A ) tj. As Az =(36,195-35,875)=0,03mm hodnota směrodatné odchylky Náboj s A1 =39µm/6=6,5µm hřídl s A =5µm/6=4,16µm vůl s Az = s A1 s A = 6,5 4,166 =7,7 v rozsahu +- 3s, tj s pravděpodobností 99,73% bud vůl nabývat hodnot. v min = 3-3(7,7)=8,9µm v max = 3+3(7,7)=55,µm příklad urční, ž vůl bud lžt 0, v daném rozsahu, například 0 0.1 (za přdpokladu správného sřízní výrobních zařízní na +- 3σ a střd tolrančního pol): substituc z1,z z 1 = x 1 x = 10 3 s 7,7 =,85 z = 1 s 0 z z P 0,01 x 0,0 = z z1 z = x x = 0 3 s 7,7 = 1,55 z =1 z pro z >z 1 příklad pro urční hodnot Φ(z) můžm použít tabulkové hodnoty (v skriptch jsou hodnoty pro ½ intrvalu) Tabulkový procsor MS Excl, OO Calc atd. z=-1,55 Φ(z)= normsdist(z) 0,060570758 z1=-,85 Φ(z)= normsdist(z1) 0,00185961 P 0,01 x 0,0 = z z1 =0,0605 0,001=0,0584 tj. 5,84% Aplikac tori na linární rozměrové řtězc přdpokládám, ž úchylky jdnotlivých člnů rozměrového řtězc jsou náhodné vyjdm z střdní směrodatné odchylky závěrného člnu, podl tori j hodnota směrodatné odchylky součtu nzávislých proměnných (v našm případě závěrného člnu) s x1 x.. xn s z = s i Aplikac tori na linární rozměrové řtězc z vzájmného vztahu mzi směrodatnou úchylkou a polovinou tolrančního pol: = s z = 1 s i z střdní hodnoty jdnotlivých člnů rozměrového řtězc pak pak spočítám v závislosti na jjich střdní hodnotě tolrančního pol: i = x As i i x=as i i i Aplikac tori na linární rozměrové řtězc výpočt vlikosti jdnotlivých člnů rozměrového řtězc: x z =As z z z = As i i i As j j j výpočt tolrancí jdnotlivých člnů rozměrového řtězc (pro +-3σ j λ všch člnů 1/9): = s =s z z = i i pokud pro všchny člny řtězc platí stjná hodnota λ (například ½ pro +-3σ) z = i
Slktivní montáž aplikujm ji v případě, kdy požadujm vyšší přsnost součástí, nž jsm schopni zajistit výrobou přdpokladm jsou odpovídající měřidla jdnotlivé variační obory mohou stjnou šířku (vlké rozdíly v čtnosti) rozdílnou šířku (rozdílné přsnosti výsldného clku, tj část výrobků zařadím do méně přsné třídy) Slktivní montáž, příklad kuličkové ložisko s vůlí mzi valivými člny ±3µm rozměrový řtězc s skládá z vnějšího kroužku, x valivého tělíska, vnitřního kroužku a vůl (přičmž vůl j závěrný čln, Vnější kroužk zvětšující čln a vnitřní kroužk s valivými tělísky zmnšující člny). přdpokládaná šířka tolrančního pol jdnotlivých člnů pokud rozdělím clkovou tolranci rovnoměrně s tím ž vzhldm k vlikosti valivých tělísk použijm u kroužků dvojnásobnou hodnotu: A z = A 1 + A + A 3 příklad ložiska ZKL Slktivní montáž, příklad A z = A 1 + A + A 3 6µm=µm+µm+*1µm vyrábět s podobnou přsností j tchnicky a finančně náročné zvolím konomickou přsnost dvou komponnt rozdělím zvolné variační obory na potřbný počt skupin třtí komponntu dopočítám, jako kombinaci dvou přdcházjících (podl pravidl pro linární rozměrové řtězc) anglické výrazy normální rozdělní: normal distribution funkc hustoty rozdělní : probability dnsity function roztyl (σ ) : varianc střdní hodnota : man směrodatná odchylka : standard dviation