IMITANČNÍ POPIS SPÍNANÝCH OBVODŮ

Transkript

1 IMITANČNÍ POPIS SPÍNANÝCH OBVODŮ Doc. Ing. Dalibor Biolk, CSc. K 30 VA Brno, Kounicova 65, PS 3, 6 00 Brno tl.: , fax: , mail: biolk@ant.f.vutbr.cz Abstract: Basic idas concrning immitanc dscription of gnral switchd circuits with xtrnal switching ar dscribd in this contribution. Prsntd dfinition of immitanc is basd on th thory of quivalnt signals and th gnralizd harmonic stady-stat. Th wll-known immitanc of continuous-tim linar circuits is considrd as spcial cas if all switchs ar rmovd from switchd circuit. ÚVOD Obvody s spínanými kapacitory, spínané obvody v proudovém módu, spínané konvrtory DC-DC a další příbuzné principy jsou dns běžně využívány v tlkomunikacích, měřicí tchnic i výkonové lktronic. Porovnám-li však základní tori obvodových funkcí linárních klasických a spínaných obvodů, zjistím, ž v spínané oblasti něktré základní pojmy njsou buď vůbc zavdny, nbo s s nimi pracuj intuitivně a n vždy korktně mchanickým přbíráním dfinic z analogových obvodů. Toto s týká mimo jiné imitančního popisu spínaných obvodů. Tori spínaných obvodů s totiž rozvíjla na pozadí idalizovaných obvodů s spínanými kapacitory (SC), ktré byly modlovány jako stacionární diskrétní systémy. V prvopočátcích modlování SC obvodů byly njdůlžitějšími charaktristikami přnosy napětí a citlivostní funkc. Kromě toho svou roli shrál fakt, ž v klasické torii diskrétních systémů nní imitanční popis vůbc zavdn. Pokud s jdná o idalizované obvody s spínanými kapacitory, pak byly publikovány pouz tzv. kapacitní funkc v oblasti z, ktré lz za jistých podmínk využít k výpočtu imitanc []. Pro rálné spínané obvody j výpočt imitancí dosud npublikovanou zálžitostí. Dosavadní počítačové programy pro simulaci spínaných obvodů většinou řší pouz napěťové přnosy nbo analyzují obvod v časové doméně. V současné době s však ukazuj nxistnc imitančního popisu jako vážný problém. Analýza spínaných obvodů jak v napěťovém, tak i v proudovém módu totiž vyžaduj vzájmné přpočty mzi napětími a proudy, nhldě na to, ž analyzační program by měl být schopn vykrslit kmitočtovou závislost imitanc spínaného obvodu mzi dvěma zadanými uzly. V příspěvku jsou nastíněny základy imitančního popisu spínaných obvodů, ktrý poskytuj výsldky v souladu s klasickou fyzikální přdstavou imitanc. Východiskm j přdstava zobcněného harmonického ustálného stavu, ktrou jsm formulovali v původní torii zobcněných přnosových funkcí []. Dfinic imitanc spínaného obvodu přchází v klasickou dfinici imitanc za přdpokladu, ž v obvodu vymizí spínač. V nposldní řadě dfinic umožňuj algoritmický výpočt imitancí na počítači nzávisl na tom, zda j simulován rálný spínaný obvod nbo idální obvod SC s skokovým přbíjním kapacitorů. MOŽNÉ ZPŮSOBY DEFINICE IMITANCE SPÍNANÉHO OBVODU Klasická imitanc j dfinována jako vztah mzi duálními vličinami - napětím a proudm dvojpólu v harmonickém ustálném stavu. Harmonického ustálného stavu j dosažno působním jdné z uvdných vličin o harmonickém časovém průběhu (buzní dvojpólu - příčina), což vd u asymptoticky stabilních linárních systémů k ustalování druhé

2 vličiny (vyvolané odzvy - účinku) v harmonický průběh o stjném kmitočtu. V případě linárních stacionárních systémů j imitanc invariantní vůči záměně budicí a vyvolané vličiny (příčiny a účinku). Tuto skutčnost označm jako princip záměny budicí a vyvolané vličiny. Dál j známo, ž na imitanci j možno pohlížt i jako na vztah mzi Fourirovými, případně Laplacovými obrazy napětí a proudu, čímž lz rozšířit dfinici imitanc i mimo oblast harmonického ustálného stavu. Situac j poněkud komplikovanější u spínaných obvodů. Budím-li například určitou bránu spínaného obvodu zdrojm harmonického napětí, odbíraný proud v ustálném stavu obvykl již nní harmonický, nýbrž j impulsního charaktru. Harmonicky proměnné jsou však něktré jho intgrální charaktristiky, například: ) střdní hodnota signálu za jdnu spínací priodu, ). harmonická signálu, 3) tzv. kvivalntní signál (viz dál). Nahradím-li tdy impulsní proud něktrou z jho intgrálních charaktristik, umožní nám to dfinovat nad spínaným systémm zobcněný harmonický ustálný stav a násldně i zobcněnou imitanci. Obdobné úvahy j možné rozvíjt v případě buzní obvodu zdrojm proudu. Ukazuj s však, ž náhrada impulsního signálu jho intgrální charaktristikou obcně vd na ngaci principu záměny budicí a vyvolané vličiny. Konkrétně to znamná, ž imitanc spínaných dvojpólů obcně budou závist na způsobu jjich buzní. To s mimo jiné npříznivě projví v tom, ž pozbývají platnosti pravidla imitanční algbry o zjdnodušování sérioparallních imitančních struktur. Zdá s, ž s jdná o přirozný důsldk nstacionarity rálného spínaného obvodu. Výjimkou z tohoto pravidla můž být idální obvod s spínanými kapacitory, ktrý j možno zjdnodušně modlovat jako diskrétní stacionární systém nábojovými rovnicmi v oblasti z. Imitanční popis takového systému v oblasti z však nsplňuj jdnu z základních podmínk, zavdných níž, totiž kompatibilitu s klasickým imitančním popism. Z uvdného vyplývá možnost volby různých intgrálních charaktristik impulsního signálu a z toho pramnících různých dfinic imitanc. Při výběru intgrální charaktristiky bychom měli být vdni snahou o naplnění násldujících požadavků na imitanční popis: - Kompatibilita s imitančním popism obvodů souvislého času. Jstliž z spínaného obvodu odstraním spínač, rsp. liminujm jjich vliv, musí zobcněná imitanc spínaného obvodu automaticky přjít k imitanci vzniklého obvodu s souvislým časm. - Možnost algoritmického výpočtu imitancí na počítači. Dalším logickým požadavkm by mělo být zachování pravidl imitanční algbry, což j však problmatické z výš uvdných důvodů. Střdní hodnota impulsního signálu za jdnu spínací priodu j intgrální vličina, ktrá s používá k přibližnému určování imitanc idálních spínaných obvodů. Například známý vzorc pro odpor spínaného kapacitoru R T/C vznikl náhradou impulsního proudu odbíraného z zdroj konstantního napětí jho střdní hodnotou. Na principu střdní hodnoty j postavn nábojový popis idálních SC obvodů, kdy spínaný dvojpól j rprzntován vzorky odbíraného náboj v každé spínací fázi. Každý vzork má vlikost střdní hodnoty proudu tkoucího do dvojpólu běhm clé spínací fáz. Z nábojové rovnic v rovině z pak můžm dospět k imitanci jako vztahu mzi z-obrazy vzorků napětí a proudu. Výhodou j snadný algoritmický výpočt imitanc a jsou-li splněny další podmínky, pak i platnost

3 pravidl imitanční algbry. Nvýhod j víc: Njsou všobcně známy uvdné další podmínky, takž imitanční algbra někdy vd k správným výsldkům a jindy slhává. Další nvýhodou j npřsnost imitančního popisu, ktrá s njvíc projví v jho nkompatibilitě s popism klasickým.. harmonická impulsního signálu j další intgrální vličina použitlná pro výpočt imitanc. Jjí výhodou j snadná fyzikální intrprtac dfinované imitanc jako vztah mzi budicím harmonickým napětím a první harmonickou proudu nbo mzi harmonickým budicím proudm a první harmonickou napětí. Obcně zd nplatí princip záměny budicí a vyvolané vličiny. Hlavní nvýhodou j nsnadný algoritmický výpočt. Jako njvhodnější intgrální vličina impulsního průběhu s pro naš účly jví kvivalntní signál []. Jak budicí (s b ), tak i vyvolaný (s v ) impulsní signál dvoufázového spínaného dvojpólu jsou složny z dvou signálů spínacích fází a na principu časového multiplxu. Přdpokládjm, ž budicí signály s b a s b v fázích a vznikly multiplxováním budicích signálů s a s b b, ktré mají ohraničné spktrum a splňují podmínku vzorkovacího torému. Pak signály s a s nazvm kvivalntními signály k signálu s b b b v fázích a. Pro každý z vyvolaných impulsních signálů jsou charaktristické okamžiky přchodů do násldující spínací fáz, ktré s opakují v rytmu vzorkování. Ekvivalntní signál s k takovému signálu přiřadí podl násldujících pravidl:. Shoduj s s nahrazovaným impulsním signálm v charaktristických okamžicích.. Jho spktrální čáry s nacházjí v stjném frkvnčním pásmu jako spktrum signálu s b, rsp. s b. Vztahuj s tdy i na něj podmínka vzorkovacího torému. Vlastnosti této intgrální charaktristiky jsou obdobné jako u. harmonické s tím rozdílm, ž výpočt imitanc lz snadno algoritmizovat a jjí frkvnční analýzu uskutčňovat prostřdnictvím analýzy smisymbolické v rovinách s a z. Nvýhodné však j, objví-li s v nahrazovaném impulsním průběhu Diracův impuls. Jho přítomnost s pak v kvivalntním signálu nprojví, což můž vést k fyzikálně nsprávné dfinici imitanc. Proto s snažím vyhnout vzniku těchto impulsů v vyvolaných signálch vhodnou volbou budicí a vyvolavé vličiny, njčastěji tak, ž budicí vličinou j proud a vyvolanou pak napětí. DEFINICE IMITANCE POMOCÍ EKVIVALENTNÍCH SIGNÁLŮ Uvažujm dvoufázový spínaný dvojpól s dobou trvání fáz (rsp.) T (rsp.t ) a s vzorkovací priodou T T +T. Pro impulsní signály v fázi, rsp. vypočtěm tzv. činitl plnění a T /T, rsp. a T /T. Uvažujm, ž spínaný obvod j buzn multiplxně proudy i a i. V řadě případů nní možné spínaný obvod budit v obou fázích, například thdy, j-li vstupní brána v jdné fázi rozpojna spínačm. Pak j proud v příslušné fázi nulový. Často však dochází k buzní v obou fázích, a to buď jdiným zdrojm signálu (i i, typické pro vstupní bránu clého spínaného systému), nbo dvěma různými průběhy (i i, časté pro dvojpóly uvnitř systému). Dál přdpokládjm, ž budicí proudy splňují podmínku vzorkovacího torému, nboli i i a i i. Musím s smířit s tím, ž v případě obcného dvojpólu uvnitř složného systému nmusí proudové impulsy tuto podmínku splňovat přsně a tudíž s pak nlz spolhnout na korktní fungování pravidl imitanční algbry. Budicí proud vyvolá na vstupní bráně multiplxní napěťové průběhy u a u, ktré pro účly dfinic imitanc nahradím kvivalntními signály u a u. Pak j možno dfinovat a algoritmicky stanovit čtyři tzv. kvivalntní imitanc dvoufázového spínaného dvojpólu:

4 U U ( ω) ZI ( ω) + ZI ( ω) ( ω) Z I ( ω) + Z I ( ω) rsp. I I ( ω) YU ( ω) + YU ( ω) ( ω) Y U ( ω) + Y U ( ω) kd symboly typu U a I značí Fourirovy obrazy kvivalntních napětí a proudů. Ekvivalntní impdanc a admitanc lz vzájmně přpočítávat pomocí stjných pravidl jako při přpočtu impdančních a admitančních paramtrů dvojbranů. Skutčné imitanční poměry v spínaném dvojpólu s určí z čtvřic kvivalntních imitancí postupm, ktrý br v úvahu charaktr budicích proudů, což souvisí s hodnotami činitlů plnění a a a. Postup ukážm na jdnoduchém příkladu. ILUSTRAČNÍ PŘÍKLAD Uvažujm spínaný obvod na obr. s odpory obou spínačů v spnutém stavu R a s nulovými vodivostmi v opačném stavu. Mtodou kvivalntních signálů za přdpokladu buzní proudm získám vztahy jωt Z R + ( ), Z Z Z 0. jωt T RC jωc, C Obr.. Příklad řšného obvodu. Jsou uvažovány nnulové odpory spínačů v spnutém stavu. Vzmm-li v úvahu, ž v skutčnosti j obvod buzn proudm jn v fázích, ačkoliv kvivalntní impdanc Z j přiřazna kvivalntnímu proudu I, ktrý j dfinován kontinuálně pro obě spínací fáz, bud skutčná impdanc větší v poměru :a : Z a Z T T Z Pro R 0 získám impdanci idálního obvodu s spínaným kapacitorm Z T T sin C ωt. ( ωt ) ω jωt T j T jωc a pro ω 0 známý přibližný vztah Z T/C. ZÁVĚR V článku jsou stručně objasněny problémy spojné s dfinováním imitanc rálného spínaného obvodu a j navržn možný způsob jjich kompromisního řšní pomocí kvivalntních signálů. Matmatický popis mtody a jjích algoritmů však přsahuj rámc tohoto příspěvku. Tato prác vznikla v rámci řšní projktu GA ČR, grant č. 0/94/080.

5 LITERATURA [] DOSTÁL,T.-POSPÍŠIL,J.: Switchd Circuits I. Rsarch Rport No. FE-58, Dpt. of Radiolctronics TU Brno, 985. [] BIOLEK,D.: Modling of priodically switchd ntworks by mixd s-z dscription. AMSE'94, Lyon, Vol., pp. 99-0, 994, Franc.