Variace 1 Kombinatorika Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.
1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační čísla Kombinatorika je odvětví matematiky, které se zabývá výpočty počtu možnosti, které mohou nastat v různých situacích; zabývá se například situacemi, kdy počítáme, kolik různých skupin můžeme vytvořit z několika prvků dané množiny. Můžeme při tom respektovat různá kritéria - můžeme například uvažovat situaci, že nám bude, nebo naopak nebude, záležet na pořadí prvků ve vytvořených skupinách, můžeme se předem rozhodnout, zda prvky povolíme opakovat, či ne. Podle toho v kombinatorice rozlišujeme tzv. variace (záleží na pořadí prvků ve skupině), kombinace (nezáleží na pořadí prvků ve skupině), případně permutace (zvláštní případ variací). Příkladem variací může být příklad, kdy máme množinu o třech prvcích, které tvoří číslice 2, 7, 9. V této množině chceme vytvořit skupiny číslic, které mohou tvořit všechna dvojciferná čísla. Pak je určitě každému jasné, že číslo 27 nebude totéž jako číslo 72. Pokud budeme uvažovat variace s opakováním, pak připustíme i možnost existence čísel 22, 77, 99. Pokud bychom chtěli z uvedených číslic vytvářet pouze trojciferná čísla, pak hovoříme o permutacích. I ty můžeme mít s opakováním prvků. S kombinacemi se setkáme například tehdy, půjdeme-li si vsadit Sportku. Budeme mít na výběr 49 čísel, z nichž musíme vsadit skupinu šesti. Je ale úplně jedno, v jakém pořadí je do tiketu zapíšeme, stejně tak nezáleží na tom, v jakém pořadí budou čísla tažena. Kombinace s opakováním bude opět znamenat to, že připustíme možnost opakování prvků. To už ale není případ uvedené Sportky. Počet prvků, z nichž budeme skupiny (podmnožiny) vytvářet, budeme označovat písmenem n. Počet prvků ve skupině, kterou z dané množiny vytvoříme, budeme označovat písmenem k. Zapisovat budeme: V k (n)... čteme variace k-té třídy z n prvků C k (n)... čteme kombinace k-té třídy z n prvků P(n)... čteme permutace z n prvků V k(n)... C k(n)... čteme variace s opakováním k-té třídy z n prvků čteme kombinace s opakováním k-té třídy z n prvků P (n)... čteme permutace s opakováním z n prvků Pozn.: Permutace z n prvků není vlastně nic jiného než variace n-té třídy z n prvků Zatím se budeme zabývat pouze kombinatorikou bez opakování prvků, proto v našich případech bude číslo n vždy číslo přirozené a číslo k vždy menší nebo rovno n. Při výpočtech příkladů v kombinatorice budeme potřebovat tzv. faktoriály. Zapisujeme n! a čteme "en faktoriál". Pro faktoriály platí: 0! = 1 1! = 1 2! = 2. 1 = 2 3! = 3. 2. 1 = 6 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 n! = n. (n - 1). (n - 2). (n - 3)..... 3. 2. 1 S faktoriály můžeme řešit příklady, upravovat (zjednodušovat) výrazy, případně i řešit rovnice. Příklad 1: 2
Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo: Příklad 2: Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo: Příklad 3: Upravte nerovnici tak, aby její pravá strana byla rovna nule, a rozhodněte, zda je daná nerovnost pro libovolné přirozené n splněna. n! + (n + 3)! > (n + 1)! + (n + 2)! n! + (n + 3)! - (n + 1)! - (n + 2)! > 0 n! + (n +3). (n + 2). (n + 1). n! - (n + 1). n! - (n + 2). (n + 1). n! > 0 n!. [1 + (n +3). (n + 2). (n + 1) - (n + 1) - (n + 2). (n + 1)] > 0 n!. (1 + n 3 + 5n 2 + 6n +n 2 + 5n + 6 - n - 1 - n 2-3n - 2) > 0 n!. ( n 3 + 5n 2 + 7n + 4) > 0 Protože n! je zaručeně kladné číslo, můžeme tímto výrazem nerovnici vydělit a znaménko nerovnosti se nezmění n 3 + 5n 2 + 7n + 4 > 0 Levá strana je pro přirozené číslo n zaručeně kladná, proto nerovnice je splněna vždy. Při řešení příkladů z kombinatoriky budeme potřebovat i tzv. kombinační čísla. Zapisujeme 3
Čteme "en nad k". Platí: Vlastnosti kombinačních čísel: Příklad 4: V přirozených číslech řešte rovnici: 4
14x 2 + 42x + 28-20x 2-20x = 40-6x 2 + 22x - 12 = 0 3x 2-11x + 6 = 0 x 1 = 3 x 2 = 2/3 - nevyhovuje (není přirozené číslo) Rovnice má tedy jediné řešení, a to x = 3. 2. Výpočty s faktoriály a s kombinačními čísly 1. Upravte nerovnici tak, aby její pravá strana byla rovna nule a rozhodněte, zda je daná nerovnost pro libovolné n přirozené splněna. n! (n + 3)! > (n + 1)! (n + 2)! 2n! (n + 2)! > 0, platí pro každé n N. 1690 2. V množině přirozených čísel řešte rovnici: 1696 2 3. Řešte rovnici: (n- 1)!. n! = (n- 2)!. (n- 1) 2. n n 1 = 2, n 2 = 3 4. V oboru přirozených čísel řešte nerovnici: 1702 1706 K = {2; 3} 5. V množině přirozených čísel řešte rovnici: 1695 2 6. Pro přípustné hodnoty n upravte: 1708 0 7. V množině přirozených čísel řešte rovnici: 1710 4 5
8. Zjednodušte: n. (n - 1)! + n. n! - (n + 1)! 0 9. V oboru přirozených čísel řešte rovnici: 1701 1707 5 10. V oboru přirozených čísel řešte rovnici: 1705 3 11. Upravte výraz, je-li n přirozené číslo: 1689 0 12. Kolika nulami končí zápis čísla 16! v desítkové soustavě? 3 13. Vypočítejte bez použití kalkulačky: 1704 1699 0,167 14. Vypočítejte bez použití kalkulačky: 1698 43 15. Vypočítejte bez použití kalkulačky 1697 210 16. Pro přípustné hodnoty n upravte: 1692 0 6
17. V množině přirozených čísel řešte rovnici: 1709 7 18. Upravte výraz, je-li n libovolné celé nezáporné číslo větší než 2: 1691 2 19. Pro přípustné hodnoty n upravte: 1693 20. Pro přípustné hodnoty n upravte: 1694 21. Řešte nerovnici: n. (n - 2)! > (n- 1)! n N; n 2 22. Zjednodušte: n! + n. n! - (n + 1)! 0 1703 1700 3. Kombinace bez opakování Mějme množinu M o n různých prvcích (n je přirozené číslo) a dále je dáno přirozené číslo k n. Pak skupina, která obsahuje k různých prvků množiny M sestavených v libovolném pořadí se nazývá kombinace k-té třídy z n prvků. Budeme zapisovat: C k (n) Pro výpočet kombinací bez opakování prvků můžeme snadno použít kombinační čísla. Platí totiž: Pozn.: U kombinací bez opakování prvků musí být číslo k vždy menší nebo rovno číslu n. Příklad 1: Určete výčtem všechny kombinace druhé třídy z prvků 3; 5; 7; 9. 7
1. způsob: Úvahou {3; 5} {3; 7} {3; 9} {5; 7} {5; 9} {7; 9} 2. způsob: Pomocí kombinatoriky n = 4 k = 2 C 2 (4) =? -------------------- C 2 (4) = 6 Celkem můžeme vytvořit 6 různých skupin. Příklad 2: Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu tříčlenný výbor. n = 30 k = 3 C 3 (30) =? -------------------- C 3 (30) = 4 060 Tříčlenný výbor může shromáždění zvolit celkem 4 060 způsoby. Příklad 3: K účasti na volejbalovém turnaji se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. n = 6 k = 2 C 2 (6) =? -------------------- 8
C 2 (6) = 15 Počet utkání je 15. Příklad 4: Určete, kolik přímek je dáno deseti body, jestliže: a) žádné tři z nich neleží v přímce b) právě čtyři z nich leží v přímce ad a) n = 10 k = 2 C 2 (10) =? -------------------- C 2 (10) = 45 Pokud žádné tři body neleží v přímce, pak je deseti body určeno celkem 45 přímek. ad b) n 1 = 10 k = 2 n 2 = 4 p =? (celkový počet) -------------------- 9
p = 40 Deseti body, z nichž právě čtyři leží v jedné přímce, je určeno 40 různých přímek. Příklad 5: Určete, kolika způsoby může utvořit patnáct chlapců a deset dívek taneční pár. Od celkového počtu dvojic musíme odečíst dvojice vytvořené jen z chlapců a dvojice vytvořené jen z dívek. n 1 = 15 + 10 = 25 k = 2 n 2 = 15 n 3 = 10 p =? (celkový počet) -------------------- p = 150 Celkem lze vytvořit 150 různých tanečních párů. 4. Kombinace bez opakování - procvičovací příklady 1. Určete počet úhlopříček v konvexním n-úhelníku. 1729 2. Házíme třemi hracími kostkami - bílou, modrou a žlutou. Kolik různých součtů bodů může padnout? 16 3. Ve sportce se losuje 6 čísel ze 49. Určete, kolik musíme mít tipů (jeden tip je šestice čísel), abychom měli zaručeno, že uhodneme alespoň jednu trojici čísel? 13 723 193 4. Kolik trojúhelníků je určeno vrcholy konvexního n-úhelníku? 1713 1732 1716 10
1722 5. V bedně je 30 kusů výrobků, tři z nich jsou zmetky. Kolika způsoby je možno z bedny současně vybrat pět výrobků tak, aby mezi nimi byly nejvýše dva zmetky? 142 155 1723 6. V bedně je 30 kusů výrobků, tři z nich jsou zmetky. Kolika způsoby je možno z bedny současně vybrat pět výrobků tak, aby mezi nimi byly aspoň čtyři dobré výrobky? 133 380 7. Házíme třemi hracími kostkami - bílou, modrou a žlutou. Vezmeme-li všechny různé součty, v kolika případech je součtem liché číslo? 8 8. Máme pět různých pohlednic a čtyři různé známky stejné hodnoty. Kolik různých dvojic "pohlednice - známka" lze sestavit? 20 1714 1711 1730 9. Kolik je prvků, je-li počet kombinací čtvrté třídy z nich vytvořených dvacetkrát větší, než počet kombinací druhé třídy z těchto prvků? 18 10. Ve fotbalové soutěži, v níž hrálo každé mužstvo s každým mužstvem jednou, bylo sehráno 153 zápasů. Kolik mužstev hrálo v této soutěži? 18 1725 11. Kolik rovin je určeno 15 body, z nichž žádné tři neleží na téže přímce, jestliže žádné čtyři z těchto bodů neleží v téže rovině? 455 1731 12. Určete, kolik čtyřčlenných skupin lze vytvořit z 20 mužů a 5 žen, mají-li být v každé dva muži a dvě ženy. 1 900 1712 13. Z města A vede do města B pět cest, z města B do města C sedm cest. Kolik je různých tras z A do C, které procházejí přes B. 35 1718 14. V kolika bodech se protne n přímek, jestliže se každé dvě protnou v jiném bodě? 1720 1726 15. Kolik rovin je určeno 15 body, z nichž žádné tři neleží na téže přímce, jestliže právě 7 z nich leží v téže rovině? 421 16. Kolika způsoby je možné na čtvercové šachovnici se 64 poli vybrat tři pole tak, aby všechna neležela v témže sloupci? 41 216 17. Kolik různých tanečních párů (chlapec - dívka) lze utvořit z 12 chlapců a devíti dívek? 108 18. Kolik čtyřúhelníků je určeno vrcholy konvexního šestiúhelníka? 15 1724 1717 1715 1719 19. V rotě je 5 důstojníků a 50 vojáků. Kolika způsoby lze sestavit hlídku, která se skládá z jednoho důstojníka a tří vojáků? 98 000 11
20. Vojenský útvar má 3 důstojníky, 6 poddůstojníků a 30 vojínů. Kolika způsoby z nich lze vybrat strážní oddíl, který tvoří jeden důstojník, 2 poddůstojníci a 10 vojínů, přičemž dva poddůstojníci a 5 vojínů je určeno předem? 159 390 1728 21. Vojenský útvar má 3 důstojníky, 6 poddůstojníků a 30 vojínů. Kolika způsoby z nich lze vybrat strážní oddíl, který tvoří jeden důstojník, 2 poddůstojníci a 10 vojínů? 1 352 025 675 1727 1721 22. V bedně je 30 kusů výrobků, tři z nich jsou zmetky. Kolika způsoby je možno z bedny současně vybrat pět výrobků tak, aby mezi nimi byl nejvýše jeden zmetek? 133 380 5. Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků jsou skupiny prvků (podmnožiny) nějaké základní množiny, přičemž v těchto vytvořených podmnožinách záleží na pořadí prvků. Vzhledem k tomu budeme u variací spíše než pojem podmnožiny používat pojem uspořádané k-tice. Platí tedy definice: Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý je v ní obsažen nejvýše jednou. Variace k-té třídy z n prvků zapisujeme V k (n) Pro výpočet variací k-té třídy z n prvků platí vzorec: Pomocí kombinačních čísel můžeme pro výpočet variací použít i vzorec následující: Příklad 1: Napište všechny variace třetí třídy bez opakování z prvků 3, 5, 7, 9. Variace představují uspořádané trojice vytvořené ze zadaných prvků. Můžeme je tedy vypsat: [3; 5; 7], [3; 5; 9], [3; 7; 5], [3; 7; 9], [3; 9; 5], [3; 9; 7], [5; 3; 7], [5; 3; 9], [5; 7; 3], [5; 7; 9], [5; 9; 3], [5; 9; 7], [7; 3; 5], [7; 3; 9], [7; 5; 3], [7; 5; 9], [7; 9; 3], [7; 9; 5], [9; 3; 5], [9; 3; 7], [9; 5; 3], [9; 5; 7], [9; 7; 3], [9; 7; 5] V praxi nás ale většinou nezajímá výčet těchto uspořádaných k-tic, ale pouze jejich počet. Pokud bychom v zadaném příkladu chtěli spočítat počet vzniklých k-tic, pak můžeme použít následující postup: n = 4 k = 3 V 3 (4) =? ------------------- 12
Celkový počet skupin, které je možno vytvořit, je 24. Příklad 2: Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu a zapisovatele. Protože v každé zvolené trojici záleží na tom, která ze zvolených osob je předsedou, která místopředsedou a která zapisovatelem, jde o uspořádané trojice; protože každá osoba z daného shromáždění je v této trojici nejvýše jednou, jsou tyto uspořádané trojice variace třetí třídy ze třiceti prvků. Platí tedy: n = 30 k = 3 V 3 (30) =? ------------------- Shromáždění může zvolit výbor celkem 24 360 způsoby. Příklad 3: Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze cifry 4, 5, 6 a 7, a to každá nejvýše jednou. Přirozená čísla menší než 500 mohou být jenom jednociferná, dvojciferná nebo trojciferná. U trojciferných máme navíc už omezení, že nesmí začínat ciframi 5, 6 a 7. n = 4 k 1 = 1 k 2 = 2 k 3 = 3 p =?... celkový počet čísel ------------------------------------- p = V 1 (4) + V 2 (4) + V 3 (4)/4 Čísel splňujících dané podmínky je celkem 22. 13
6. Variace bez opakování - procvičovací příklady 1740 1. Kolik je čtyřciferných přirozených čísel dělitelných pěti, jejichž zápis můžeme sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 4, 6? Přitom předpokládáme, že každou z daných číslic můžeme užít nejvýše jednou. 60 1742 2. Počet variací páté třídy z n prvků bez opakování prvků je 36-krát větší než počet kombinací třetí třídy z n prvků bez opakování. Určete počet prvků. 6 1736 3. Ve třídě se vyučuje jedenácti předmětům. Kolikerým způsobem lze sestavit rozvrh na jeden den, připadá-li na tento den šest různých jednohodinových předmětů? 332 640 4. Z kolika prvků lze vytvořit 210 variací druhé třídy bez opakování prvků? 15 1737 1741 5. Kolik je čtyřciferných přirozených čísel dělitelných pěti, jejichž zápis můžeme sestavit z číslic 2, 3, 4, 5, 6, 0? Přitom předpokládáme, že každou z daných číslic můžeme užít nejvýše jednou. 108 6. Kolika způsoby lze vybrat dvě ze čtyř osob A, B, C, D a posadit je na dvě židle a, b? 12 7. Šachového turnaje se zúčastnilo 12 mužů a dvě ženy. Kolik různých umístění žen může být ve výsledné tabulce turnaje, jestliže žádní dva hráči nezískali stejný počet bodů? 43 680 1738 1739 7. Permutace bez opakování prvků Permutace jsou vlastně zvláštní případ variací. Jedná se tedy opět o skupiny (podmnožiny) vytvořené z jisté základní množiny, přičemž opět záleží na pořadí prvků ve skupinách. Na rozdíl od variací ale vytváříme skupiny vždy ze všech prvků obsažených v základní množině. Platí tedy definice: Permutace z n prvků je každá variace n-té třídy z těchto n prvků. Permutace z n prvků zapisujeme: P(n) Pro výpočet počtu permutací používáme vzorec: P(n) = n! Příklad 1: Vypište všechna možná pořadí trojčlenného zástupu, který mohou utvořit Petr, Jirka a Karel. Jde o výčet všech uspořádaných trojic, v nichž je každý ze tří chlapců právě jednou, tj. o výčet všech permutací tří prvků; tyto prvky označíme P, J, K podle počátečních písmen jmen chlapců. Jsou právě tato pořadí: [P; J; K], [P; K; J], [J; P; K], [J; K; P], [K; P; J], [K; J; P] V praxi nás opět, podobně jako u variací, většinou nezajímá výčet skupin, ale jejich celkový počet. Kdyby v daném příkladu bylo zadáno to, mohli bychom postupovat podle následujícího postupu: n = 3 P(3) =? -------------- 14
P(n) = n! P(3) = 3! = 6 Celkem si tedy žáci mohou do zástupu stoupnout šesti způsoby. Příklad 2: Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4 a 7. Kdyby mezi zadanými číslicemi nebyla číslice nula, pak by se jednalo o běžný výpočet permutace z pěti prvků bez opakování. Výsledné číslo, které by ale začínalo číslicí nula, by nebylo pěticiferné, proto musíme tato čísla vyřadit. Pro určení počtu čísel, která musíme vyřadit, použijeme opět permutace. Pokud si totiž na první pozici pevně postavíme nulu, pak zbývající čtyři pozice musíme obsadit zbylými čtyřmi číslicemi. Počítáme tedy permutace ze čtyř prvků. n 1 = 5 n 2 = 4 p =?... celkový počet ------------------------------- p = n 1! - n 2! = 5! - 4! = 120-24 = 96 Hledaný počet všech pěticiferných přirozených čísel požadované vlastnosti je tedy 96. Příklad 3: Na schůzi má vystoupit pět řečníků A, B, C, D a E. Určete: a) kolik je možností pro pořadí jejich proslovů b) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví ihned po A c) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví po A ad a) n = 5 p =? -------------- p = P(5) = 5! = 120 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 120. ad b) Pokud má v sestavě existovat pořadí AB, pak můžeme tuto sestavu nahradit pomyslně jediným prvkem a počítat tedy vlastně permutace ze čtyř prvků n = 4 p =? --------------- p = P(4) = 4! = 24 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 24. 15
ad c) Ke každému pořadí proslovů, v němž B mluví po A, existuje pořadí, v němž A mluví po B, přičemž ostatní proslovy "zůstávají na místě". Vyhovujících je tedy pouze polovina ze všech možných proslovů. n = 5 p =? --------------- p = p(5)/2 = 5!/2 = 60 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je tedy 60. 8. Permutace bez opakování - procvičovací příklady 1733 1. Kolik přirozených čísel větších než 300 můžeme napsat pomocí číslic 1, 2, 3, 4, jestliže se žádná z těchto číslic neopakuje? 36 1735 2. Určete, kolika způsoby se do pětimístné lavice může posadit 5 chlapců, z nichž dva nechtějí sedět vedle sebe. 72 3. V kole tančí 7 dívek. Kolika různými způsoby mohou být seřazeny v kruhu? 2 520 1734 16
Obsah 1. Kombinatorika, faktoriály, kombinační čísla 2. Výpočty s faktoriály a s kombinačními čísly 3. Kombinace bez opakování 4. Kombinace bez opakování - procvičovací příklady 5. Variace bez opakování prvků 6. Variace bez opakování - procvičovací příklady 7. Permutace bez opakování prvků 8. Permutace bez opakování - procvičovací příklady 2 5 7 10 12 14 14 16 17