Diferenciál funkcie, jeho význam a použitie

Diferenciál funkcie Výrazy y/x a y sa od seba líšia tým menej, čím viac sa x blíži k nule y x y lim x y x lim x 0 x0x x0 y y x lim x x yx x x x 0 x Diferenciál hlavná časť prírastku funkcie, označujeme ho znakom dy Tento člen ovplyvňuje prírastok funkcie oveľa viac ako druhý člen. Pri x0 sú oba členy nekonečne malými, druhý člen je však vyššieho rádu malosti.

Geometrická interpretácia dy y dy yx x α x x x Diferenciál zodpovedá prírastku funkcie, ak funkciu nahradíme v okolí bodu x jej dotyčnicou.

3 y x x dy d x x x x x x x y x 3 3 3 dy d x x x 1 x x dx x Obvykle sa preto píše namiesto x znak dx a nazýva sa diferenciálom nezávislej premennej (argumentu). dy f ( x) dx f ( x) dy dx Derivácia funkcie je rovná podieľu jej diferenciálu dy k diferenciálu nezávislej premennej dx

Diferenciál súčtu, rozdielu podieľu viacerých funkcií dy f ( x) dx d u v... w du dv... dw d uv vdu udv u duv udv d v v dy f u du

Vlastnosti diferencialov a ich odvodenie Diferenciál súčtu funkciií u v... w u v... w / dx u v... w dx udx vdx... wdx d u v... w du dv... dw Diferenciál podieľ dvoch funkcií u uv uv / dx v v u udx v u vdx dx v v u du v u dv d v v Diferenciál súčinu funkciií uv uv uv / dx uv dx v udx u vdx d uv v du u dv Diferenciál zloženej funkcie df du df y Fu x u / dx du dx du df dy udx du dy F u du u

Približný výpočet hodnoty funkcie linearizácia funkcie Pre malé hodnoty x sa prírastok funkcie y približne rovná diferenciálu dy:

Linearizácia funkcií Na dostatočne úzkom intervale okolo daného bodu, možno každú funkciu nahradiť priamkou - dotyčnicou

Približný výpočet hodnoty funkcie linearizácia funkcie Pre malé hodnoty x sa prírastok funkcie y približne rovná diferenciálu dy: Odhadnite hodnotu 101 0.5 ak viete, že 100 0.5 =10 Prírastok funkcie vyšetríme v okolí bodu x=100 dy 1 1 1 y dy x x dx x 0 y y 100 y 10.05 x100

Prírastok funkcie vyšetrujeme v okolí bodu x=100 14 1 10 X*X 8 6 4 dy 1 1 1 y dy x x dx x 0 y y 100 y 10.05 x100 0-0 0 0 40 60 80 100 10 140 160 X

Výpočet chýb meranie vo fyzike Meraním sme zistili polomer gule r s presnosťou r. Určte relatívnu chybu merania objemu. dv r r 4 3 4 3 4 4 3 V r r r 3r r 3r r r 3 3 3 3 Vo fyzike je prirodzené očakávať, že meracie zariadenie spĺňa: r r Nelineárna, zanedbateľná časť vzhľadom na Δr 0 4 3 V dr 3 V r 3 V dv r r 4r r Relatívna chyba stanovenia objemu je 3 krát väčšia ako relatívna chyba polomeru

Určuje ako zmena jednej veličiny ovplyvňuje zmenu druhej veličiny 4 3 4 3 4 4 3 V r r r 3r r 3r r r 3 3 3 3 30000 Hlavná časť prírastku - diferenciál r 5000 0000 zmena jednej veličiny ovplyvňuje zmenu druhej veličiny V mm^3 15000 10000 5000 0 0 5 10 15 0 5 30 35 r [mm]

Linearizácia funkcie 1 + x v okolí bodu x=0 zväčšenina 1 x x 0 1 dy x 1 x 1 xx0 x x 3 4 Pri odhade hodnoty funkcie v bode x=3 by sme linearizovali v okolí tohto bodu Čím bližšie je bod k bodu, v ktorom sa robí linearizácia, tým lepší odhad funkcie

Linearizácia y 1 x Linearizujme v okolí bodu x=0. Pre prírastok funkcie platí: 1 y yx 1 x x x x0 y y 0 y 1 x =1/ = -1 x - x = 1/3 x 5x 4 = - 1/ x - x

0 1 m m v c 0 0 1 1 1 m v m m c v c Kinetická energia 0 0 0 0 1 1 1 k v E mc m c m c m c m v c 1/ v x c

Príklad Určte o akú vzdialenosť sa posunie obraz spojky, ak sme predmet posunuli o malú vzdialenosť da. 1 1 1 a a f af a a f da f da da da da a f Obraz sa posunie opačným smerom ako predmet

Určovanie charakteristík funkcií použitím derivácie

Monotónnosť funkcie Derivovateľná funkcia je v danom intervale : Konštantná, ak v tomto intervale: yx 0 Rastúca, ak v tomto intervale: yx 0 Klesajúca, ak v tomto intervale: yx 0 y x 0 RASTÚCA dy y y x lim y x 0 Konš tan ta dx x 0 x y x 0 KLESAJÚCA Podľa znamienka prvej derivácie môžeme rozhodnúť, či funkcia rastie alebo klesá na nejakom intervale

Funkcia rastie, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou ostrý uhol tg > 0 y x > 0 Funkcia klesá, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou tupý uhol tg < 0 y x < 0

Kladný tangent - ostrý uhol Derivácia geometricky zodpovedá tangentu (orientovaného) uhla, ktorý zviera dotyčnica s osou záporný tangent - tupý uhol Nulovej smernici zodpovedá priamka rovnobežná s x ovou osou.

Lokálne a globálne extrémy Nech je funkcia definovaná na intervale J. Funkčná hodnota f(x 0 ) sa nazýva: globálnym maximom, ak pre každé xj platí: f x f ( x ) 0 globálnym minimom, ak pre každé xj platí: f x f ( x ) 0 Ak sa obmedzíme len na nejaké okolie bodu x 0 a skúmame jeho vzájomný vzťah medzi hodnotou f(x 0 ) a hodnotami funkcie v ostatných bodoch tohto okolia, potom hovoríme o lokálnych extrémoch

Hovoríme, že funkcia má v bode x 0 lokálne maximum ak existuje také okolie U, že platí: f x f ( x ) 0 lokálne minimum, ak existuje také okolie U, že platí: f x f ( x ) 0

Lokálne a globálne extrémy obmedzíme sa len na nejaké okolie bodu x 0 a skúmame jeho vzájomný vzťah medzi hodnotou f(x 0 ) lokálne extrémy Celý definičný obor funkcie KEDY nastane extrém???

Použitie derivácii na štúdium priebehu funkcií Nutná podmienka Funkcia môže mať extrém iba v takom bode x 0, v ktorom: derivácia existuje f( x ) 0 0 Geometricky : funkcia má v bode x 0 dotyčnicu rovnobežnú s x ovou osou, alebo nemá dotyčnicu v tomto bode. derivácia neexistuje Derivácia je nevlastná Derivácia sprava je iná ako derivácia zľava

Splnenie nutnej podmienky nezabezpečuje existenciu extrému y( x) 3 1 x 3 Funkcia y v bode 0 nemá extém, hoci jej prvá derivácia neexistuje v tomto bode!!! y( x) 3x Funkcia y v bode 0 nemá extém, hoci jej prvá derivácia v tomto bode je nulová!!!

Splnenie nutnej podmienky nezabezpečuje existenciu extrému Funkcia y v bode 0 nemá extém, hoci jej prvá derivácia neexistuje v tomto bode!!! Funkcia y v bode 0 nemá extém, hoci jej prvá derivácia v tomto bode je nulová!!!

SKÚMAJME ZNAMIENKA DERIVÁCIÍ Aká je postačujúca podmienka? Smernica dotyčnice kladná Smernica dotyčnice kladná Smernica dotyčnice kladná y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 Derivácia v bode D neexistuje Znamienko derivácie funkcie sa musí v lokálnom extréme zmeniť.

Extrémy elementárnych funkcií Skúsme špecifikovať základné charakteristiky lokálnych extrémov: V bode, v ktorom je lokálny extrém, musí prechádzať rastúca časť spojitej funkcie na klesajúcu, alebo naopak. Znamienko derivácie funkcie sa musí v lokálnom extréme zmeniť. Funkcia nemôže mať lokálny extrém v intervale, v ktorom je rýdzo rastúca, alebo klesajúca.

SKÚMAJME PRIEBEH FUNKCIE PRVÁ Lokálne a globálne maximá Smernica dotyčnice y klesá aj v danom bode y x 0 < 0 Smernica dotyčnice y klesá aj v danom bode y x 0 > 0 Ak Ak y( x ) 0 y( x ) 0 0 0 y( x ) 0 y( x ) 0 0 0 má funkcia y(x) v bode x 0 ostré lokálne minimum má funkcia y(x) v bode x 0 ostré lokálne maximum

Overenie postačujúcej podmienky Extrémy funkcie Určíme kritické body x 0, v ktorých je derivácia nulová Určíme druhé derivácie: alebo overíme či derivácia v bode x 0 mení znamienko f x 0 > 0 v x 0 je lokálne minimum Ak pre x>x 0 je f x >0 & f x 0 < 0 v x 0 je lokálne maximum x<x0 je f x <0 funkcia má minimum f x 0 = 0 Môže byť extrém, alebo inflexný bod, rozhodneš podľa derivácie, ktorá bude prvýkrát nulová Ak pre x>x 0 je f x <0 & x<x0 je f x >0 funkcia má maximum Preskúmaj body, v ktorých funkcia nemá deriváciu a stacionárne body, v ktorých funkcia nemá deriváciu.

Postačujúce podmienky pre existenciu lokálneho extrému Ak Ak y( x ) 0 y( x ) 0 0 0 y( x ) 0 y( x ) 0 0 0 má funkcia y(x) v bode x 0 ostré lokálne minimum má funkcia y(x) v bode x 0 ostré lokálne maximum Ak y( x ) y ( x )... y ( x ) 0 y ( x ) 0 n1 n 0 0 0 0 n je párne číslo, tak funkcia má v bode x0 ostrý lokálny extrém a to: n maximum, ak y ( x0 ) 0 n Minimum, ak y ( x0 ) 0 n je nepárne číslo, tak funkcia f nemá v bode x0 lokálny extrém, x0 je inflexný bod

Aký má byť rozmer valca daného objemu V, aby jeho povrch bol čo najmenší? Polomer malý, výška veľka Polomer veľký, výška malá V S 0 r 3 4 S 4 0 3 r h r Využitie vo fyzike: minimalizácia tepelných strát povrchom kalorimetra

Určte čas za ktorý kinetická energia dažďovej kvapky dosiahne maximum. Kvapka mala počiatočnú hmotnosť m 0 a pri páde jej hmotnosť dôsledkom vyparovania sa rovnomerne zmenšuje. 1 1 Ek mv m0 kt gt d 3 E k g t kt m 0 dt de dt k m0 0 0 t 3k m 0 t 3k m0 0 t 3k 0

n S x xi x min imum i1