Základy matematiky pro FEK

Transkript

1 Základy matematiky pro FEK 10. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 016/017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1

2 Použití derivace pro vyšetřování průběhu funkce Nejčastěji však používáme derivace k vyšetřování průběhu funkce. Využíváme základní vlastnost derivací, které vychází z toho, že derivace odpovídá přírůstku. Kladná derivace tedy odpovídá rostoucí funkci a naopak záporná derivace je typická pro klesající funkce. Pokud je derivace rovna nule, pak neroste ani neklesá. maximum minimum inflexní bod Druhá derivace vyjadřuje přírůstek přírůstku. Kladná druhá derivace odpovídá situaci, kdy přírůstek (nebo úbytek) zrychluje a záporná odpovídá situaci, kdy přírůstek (nebo úbytek) zpomaluje. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 / 1

3 Tvary funkcí podle znaménka derivací f > 0 f < 0 f > 0 f < 0 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 3 / 1

4 Konvexnost a konkávnost funkce Definice:Konvexní (konkávní) funkce na intervalu I Řekneme, že funkce f je konvexní (konkávní) na intervalu I, pokud pro každé x 1, x, x 3 I, x 1 < x < x 3 platí, že bod [x, f (x )] leží pod (nad) spojnicí bodů [x 1, f (x 1 )] a [x 3, f (x 3 )] Konvexní funkce Konkávní funkce 3 [x3, f(x3)] 3 [x, f(x)] [x3, f(x3)] [x1, f(x1)] [x1, f(x1)] 1 [x, f(x)] 1 1 x1 x 1 x3 1 x1 x 1 x3 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 / 1

5 Inflexní body Definice:Inflexní bod Body, ve kterých funkce f mění svůj charakter z konvexní na konkávní nebo z konkávní na konvexní nazýváme inflexní body Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 5 / 1

6 Vztah druhé derivace a konvexnosti a konkávnosti funkce Definice:Vztah druhé derivace a konvexnosti a konkávnosti Jestliže v bodě x 0 platí f (x 0 ) > 0 pak existuje okoĺı bodu x 0, ve kterém je funkce f konvexní graf funkce je nad tečnou v bodě x 0 f (x) > 0 pro x (a, b) funkce f je ostře konvexní v intervalu (a, b) graf funkce je pod sečnami f (x 0 ) < 0 existuje okoĺı bodu x 0, ve kterém je funkce f konkávní graf funkce je pod tečnou v bodě x 0 f (x) < 0 pro x (a, b) funkce f je konkávní v intervalu (a, b) graf funkce je nad sečnami Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 6 / 1

7 Příklady pro funkce x, x 3, x, x 5,... v okoĺı bodu x 0 = 0 f f f f (3) f () f (5) f (6) f (7) x x x 3 3x 6x x x 3 1x x x 5 5x 0x 3 60x 19x x x 3 x x Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 7 / 1

8 Asymptoty funkce Definice:Asymptota funkce Asymptota funkce f je přímka, ke které se bĺıží graf funkce f. Asymptoty jsou (1) svislé s rovnicí x = konst. () vodorovné s rovnicí y = konst. () šikmé s rovnicí y = kx + q Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 8 / 1

9 Svislé asymptoty Svislá asymptota existuje v případě, kdy ve vlastním bodě existuje zleva nebo zprava limita nevlastní. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 9 / 1

10 Vodorovné a šikmé asymptoty Vodorovné a šikmé asymptoty hledáme v bodech a + Přímka y = kx + q je asymptotou grafu funkce f v + pokud platí ( ) f (x) ( ) lim = k a lim f (x) kx = q x + x x + Přímka y = kx + q je asymptotou grafu funkce f v pokud výše uvedené limity platí existují v Vodorovné asymptoty jsou speciální případ asymptoty šikmé, kdy lim x + f (x) = q a k = 0 Hodnotu k lze získat též pomocí limity derivace funkce podle vztahu lim f (x) = k x + Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/ / 1

11 Příklady funkcí s asymptotami f(x) = (x 1) x +1 asymptota: y = f(x) = 1 ( ) x + 1 x asymptota: y = 1 x f(x) = x + x 6 asymptoty: y = ( ) x + 1 y = x + 1 f(x) = x arccotg(x) asymptoty: y = 1 y = πx Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/ / 1

12 Postup při vyšetřování průběhu funkcí 1. Najdu definiční obor funkce. Pokud je to jednoduchá, určím též obor hodnot. Definiční obor napíši ve tvaru sjednocení intervalů.. Rozhodnu, zda funkce není sudá, lichá nebo periodická. V takovémto případě se omezíme pouze na část definičního oboru. 3. Určím limity v krajních bodech definičního oboru (ve vlastních bodech určuji limity zleva a zprava). Limity zakresĺım do načrtnutého systému souřadnic.. Na základě limit určím body nespojitosti funkce a rozhodnu o druhu nespojitosti v daných bodech. 5. Spočtu první derivaci funkce f (x). Určím definiční obor první derivace funkce. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1

13 Postup při vyšetřování průběhu funkcí II 6. Určím body, ve kterých neexistuje první derivace funkce a stacionární body (body, ve kterých je první derivace rovna nule). Tyto body jsou podezřelé z možných lokálních extrémů. Podezřelé body zakresĺım do načrtnutého systému souřadnic. 7. Pomocí první derivace určím intervaly monotónie a lokální extrémy. pokud f (x) > 0 pak funkce je rostoucí pokud f (x) < 0 pak je funkce klesající v daném intervalu Do grafu načrtnu chování funkce v okoĺı bodů nalezených v (6.) 8. Spočtu druhou derivaci funkce f (x). Určím body, ve kterých je druhá derivace (a případné další derivace) funkce rovny nula a body, kde druhá derivace funkce neexistuje. Najdu inflexní body a určím intervaly konvexity a konkávnosti. pokud f (x) < 0 pak funkce je konkávní pokud f (x) > 0 pak je funkce konvexní v daném intervalu Do grafu načrtnu chování funkce v okoĺı bodů nalezených v (8.) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/ / 1

14 Postup při vyšetřování průběhu funkcí III 9. Určím rovnice asymptot. Pokud v bodě x 0 je alespoň jedna z jednostranných limit nevlastní (± ), je přímka x = x 0 asymptota funkce f. Pro bod + spočtu limity lim f (x) x + x = k a lim f (x) kx = q. x + Pro bod spočtu limity lim x Do grafu načrtnu asymptoty. 10. Na základě získaných výsledků načrtnu graf f (x) x = k a lim x f (x) kx = q. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 016/017 1 / 1