PROBLÉMY STABILITY 9. cvičení S pojmem ztráty stability tvaru prvku se posluchač zřejmě již setkal v teorii pružnosti při studiu prutů namáhaných osovým tlakem (viz obr.). Problematika je však obecnější ke ztrátě stability dochází rovněž při namáhání ohybem, nebo též při namáhání smykem (viz další obr.). Obr. Ztráta stability při tlaku Obr. Ztráta stability při ohybu Obr. Ztráta stability při smyku
Všeobecně může ztráta stability nastat vždy u štíhlých prvků vzdorujících tlakovým napětím. Tak např. při centrickém tlaku působí tlaková napětí v celém průřezu, při ohybu je část průřezu tažená a druhá část tlačená, namáhání smykem lze převést na hlavní napětí v jednom směru tahová, v druhém opět tlaková (viz obr.). Obr. Tlaková napětí v prvku Prvky ohrožené ztrátou stability vykazují sníženou únosnost, jak bude dále vyloženo.
Vzpěr celistvých prutů (centricky tlačených) Pruty namáhané vzpěrným tlakem (viz obr.) se posuzují podle podmínky N Sd N b, Rd, Obr. Vzpěrný tlak kde N Sd... návrhová tlaková síla, N b,rd... vzpěrná únosnost, která se vypočte (pro průřezy tříd, a 3) A f y Nb, Rd χ, γ M kde A... průřezová plocha, f y... mez kluzu, γ M... dílčí součinitel spolehlivosti materiálu (γ M,5 viz dříve), χ... součinitel vzpěrnosti (viz dále). Z předchozích cvičení si připomeneme výpočet únosnosti v prostém tlaku A f y Nc, Rd. γ M 0 Porovnáním vztahů pro N c,rd a N b,rd shledáme, že do výpočtu vzpěrné únosnosti N b,rd vstupuje (kromě odlišného součinitele γ Mi ) především nově součinitel vzpěrnosti χ. Vzpěrná únosnost je oproti prostému tlaku zřejmě snížená součinitel vzpěrnosti tudíž nabývá hodnot χ,0. Postup výpočtu sestává z několika po sobě jdoucích kroků: ) stanovit vzpěrné délky L cr, ) stanovit kritické štíhlosti λ, 3) určit součinitel vzpěrnosti χ. ad ) Vzpěrné délky Vzpěrná délka L cr je délka náhradního, kloubově uloženého prutu (stejného průřezu), který má stejnou kritickou sílu jako vyšetřovaný prut. Poznámka Kritickou silou N cr rozumíme osovou sílu, při které nastává bifurkace (rozdvojení) stavu rovnováhy vnějších a vnitřních sil. Získá se řešením DR stability ideálního pružného přímého prutu. 3
Vzpěrnou délku je možné určit jako vzdálenost inflexních bodů průhybové křivky při vybočení, tj. délku jedné sinusové půlvlny (viz obr.). Vzpěrná délka se stanovuje obvykle z výrazu L cr β L, kde L...délka prutu, β...součinitel vzpěrné délky. V případě izolovaného prutu (s konstantním průřezem a konstantní osovou silou) závisí vzpěrná délka (resp. součinitel β) na okrajových podmínkách, tj. způsobu uložení (viz obr.). Obr. Základní případy vzpěrné délky V případě prutové soustavy je třeba počítat se ztrátou stability konstrukce jako celku. Jako příklad uvedeme portálový rám s kloubově podepřenými stojkami a tuze připojenou příčlí (viz obr.). Bylo by hrubou chybou brát vzpěrné délky stojek jako u izolovaného prutu (nahoře vetknutého, dole kloubově uloženého, tedy β 0,7)! Představíme si nejprve vybočení celé soustavy za předpokladu dokonale tuhé příčle, kdy stojky vybočují podobně jako izolovaný prut ovšem nahoře posuvně vetknutý, 4
dole kloubově podepřený, takže β,0. Ve skutečnosti je příčel poddajná, tvar ztráty stability je třeba korigovat průhybová křivka stojky, zakreslená v celé délce sinusové půlvlny, ukazuje, že součinitel vzpěrné délky β >,0. Konkrétní hodnotu neuvádíme, neboť ta závisí na poměru rozpětí a výšky rámu, jakož i na poměru tuhostí stojek a příčle viz Přílohu C k ČSN 73 40. Obr. Vzpěrná délka stojky rámu Poznámka Při sledování nejnepříznivějšího stavu konstrukce je třeba si uvědomit, že vzpěrná únosnost je tím menší, čím je vzpěrná délka větší. 5
ad ) Kritické štíhlosti Poznámka Stanovení kritické štíhlosti λ (neboli štíhlostního poměru) vychází z obecné definice podle kritického napětí σ cr N cr / A, kterou zapisujeme E λ π, σ cr kde E je modul pružnosti v tahu, tlaku, A je průřezová plocha a N cr příslušná kritická síla. Kritické štíhlosti stanovujeme pro všechny reálné způsoby ztráty stability (a tudíž označujeme také odpovídajícím indexem). A) Uzavřené a plné průřezy Pruty uzavřeného nebo plného průřezu vybočují pouze ohybem v hlavních rovinách setrvačnosti mluvíme o tzv. rovinném vzpěru. Změnu polohy mezipodporového průřezu při ztrátě stability uvádíme na obr. Obr. Tvary ztráty stability a příslušné štíhlosti Říkáme, že prut vybočí kolmo k ose y, pak štíhlost (jakož všechny souvisící veličiny) označujeme indexem y; taktéž říkáme, že prut vybočí kolmo k ose z, potom příslušné veličiny označujeme analogicky indexem z. 6
Kritické štíhlosti se stanoví ze vzorců: A Lcr, y λ y Lcr, y, I i A Lcr, z λ z L, i y cr, z I z z y kde L cr,y, L cr,z... vzpěrné délky prutu pro vybočení kolmo k ose y, resp. kolmo k ose z (tj. v hlavních rovinách xz, xy), A... plocha průřezu, I y, I z... momenty setrvačnosti průřezu k ose y, resp. k ose z, I y iy, A I z iz... poloměry setrvačnosti průřezu k ose y, resp. k ose z. A B) Otevřené, dvouose symetrické průřezy Pruty s průřezem souměrným k oběma hlavním osám vykazují tři způsoby ztráty stability. Vybočují jednak ohybem v hlavních rovinách xz, xy tedy při rovinném vzpěru; dále se deformují zkroucením kolem podélné osy x mluvíme potom o tzv. prostorovém vzpěru. Změnu polohy průřezu při ztrátě stability uvádíme opět na obr. Obr. Tvary ztráty stability a příslušné štíhlosti Pro štíhlosti rovinného vzpěru λ y, λ z platí dříve uvedené vztahy; štíhlost prostorového vzpěru se stanoví z výrazu I p I p λ ω, Iω GIt Iω It + + L π E L 5 cr, ω cr, ω 7
kde L cr,ω je vzpěrná délka při zkroucení, I p, I ω, I t jsou průřezové charakteristiky, G a E jsou materiálové konstanty. Vzpěrná délka při zkroucení L cr,ω se (pro základní případy uložení v kroucení) stanovuje analogicky jako při vybočení ohybem. Přitom volné deplanaci odpovídá kloubové uložení a nulové deplanaci odpovídá vetknutí, volnému pootočení kolem podélné osy odpovídá volný konec a zabránění pootočení odpovídá podepření. Průřezové charakteristiky jsou následující: I t...moment tuhosti v prostém kroucení, I ω...výsečový moment setrvačnosti (ke středu smyku), I p...polární moment setrvačnosti ke středu smyku, který se vypočte I I + I A a, p y z + kde I y, I z... momenty setrvačnosti k hlavním osám y, z, A... průřezová plocha, a C g C s... vzdálenost středu smyku C s od těžiště průřezu C g. Materiálové konstanty značí: E...modul pružnosti v tahu, tlaku, G...modul pružnosti ve smyku. Poznámka Případ B) se týká i průřezů středově symetrických. C) Otevřené, jednoose symetrické průřezy Pruty s průřezem souměrným k jedné ose vykazují dva způsoby ztráty stability: rovinný vzpěr ohybem v rovině symetrie, prostorový vzpěr kroucením současně s ohybem v opačné rovině. Změnu polohy průřezu uvádíme opět na obr. Obr. Tvary ztráty stability a příslušné štíhlosti 8
Pro štíhlost rovinného vzpěru λ y platí opět dříve uvedený vztah; štíhlost prostorového vzpěru λ zω se stanoví podle základních štíhlostí λ z, λ ω, vyjádřených rovněž pomocí předchozích vztahů. Tak tedy γ, kde λz ω λ z + κ + κ a γ + κ, i p λω κ, λ z i p iy + iz + a I p A je polární poloměr setrvačnosti ke středu smyku. Poznámka Jestliže je osou symetrie osa y, použijí se vzorce s příslušnou záměnou indexů. D) Otevřené, nesymetrické průřezy Pruty s průřezem nesouměrným vykazují jeden způsob ztráty stability prostorový vzpěr ohybem v obou hlavních rovinách současně s kroucením. Změna polohy průřezu je zřejmá z obr. Obr. Tvar ztráty stability a příslušná štíhlost Kritickou štíhlost λ yzω neuvádíme posluchače odkazujeme na příslušná ustanovení ČSN 73 40. 9
ad 3) Součinitel vzpěrnosti Poznámka Součinitel vzpěrnosti je odvozen na základě toho, že skutečný prut vykazuje (oproti ideálnímu) řadu nedokonalostí tzv. imperfekcí (geometrických, strukturálních a konstrukčních). Všechny tyto imperfekce se nahradí jedinou ekvivalentní geometrickou imperfekcí v podobě počátečního zakřivení prutu s maximální výchylkou e 0 (viz obr.). Řešením DR stability počátečně zakřiveného prutu se získá zvětšená výchylka e, na které vyvolává tlaková síla N přídavný ohybový moment M II (podle teorie. řádu). Napětí od tohoto složeného namáhání se pak položí rovno mezi kluzu f y. Obr. Prut s počátečním zakřivením Součinitel vzpěrnosti se určuje na základě poměrné štíhlosti a křivky vzpěrné pevnosti, a to pro každý předpokládaný způsob vybočení prutu. Poměrná štíhlost je dána vztahem λ f y λ (který vyplývá z obecného λ ), λ σ cr kde λ...kritická štíhlost, λ...srovnávací štíhlost podle vztahu E λ 93, 9 ε (který vyplývá z obecného λ π ), 35 ε. f y f y Křivkou vzpěrné pevnosti nazýváme graf závislosti součinitele vzpěrnosti χ na poměrné štíhlosti λ. Rozlišují se celkem 4 křivky vzpěrné pevnosti (označené písmeny a až d viz obr.); jejich diferenciace je zavedena z důvodu rozdílné míry imperfekcí. Použití vhodné křivky je dáno typem průřezu a způsobem vybočení. Pro rovinný vzpěr jsou vzpěrné křivky uvedeny v přiloženém archu, pro prostorový vzpěr se bere vzpěrná křivka b. 0
Obr. Křivky vzpěrné pevnosti Přiřazená vzpěrná křivka je zahrnuta v součiniteli imperfekce α (viz tab.), který je odvozen z velikosti počáteční výchylky prutu e 0. Tab. Součinitel imperfekce Vzpěrná křivka a b c d α 0, 0,34 0,49 0,76 Součinitel vzpěrnosti se tedy určí z výrazu χ, s omezením χ,0, φ + φ λ [ ] kde,5 + α ( λ 0, ) φ 0 + λ. Poznámka Číselné hodnoty součinitele χ jsou též uvedeny v přiloženém archu. 3
Příklad Zadání. Posuďte centricky tlačený sloup průřezu HE 300 B z oceli S 35 o celkové délce L 6 m. Sloup je zatížen návrhovou silou N Sd 00 kn a podepřen podle obr. Řešení K výpočtu použijeme (pro ocel S 35) následující materiálové charakteristiky: f y 35 MPa, γ M,5. Hodnoty průřezových charakteristik přebíráme ze statických tabulek: A 4,9. 0 3 mm, I t,85. 0 6 mm 4, i y 30 mm, I ω,69. 0 mm 6, i z 75,8 mm, I p 337. 0 6 mm 4. Jak bylo uvedeno, ve sloupu působí tlaková síla N Sd 00 kn máme prokázat podmínku spolehlivosti A f y N Sd Nb, Rd χ. γ M Poznámka Klasifikaci průřezu nepředvádíme lze snadno ověřit, že průřez HE 300 B spadá do třídy. Vzpěrnou únosnost N b,rd stanovíme na základě součinitele vzpěrnosti χ, který vypočteme popsaným postupem pro každý z možných způsobů vybočení. Řešíme dvouose symetrický průřez vybočení nastává ) ohybem k ose y, ) ohybem k ose z, 3) zkroucením (ω). 4
Nejprve stanovíme vzpěrné délky podle podmínek uložení prutu (jak v koncových průřezech a a b, tak v průřezu c uprostřed délky), viz obr. Takže L cr,y 6000 mm, L cr,z 3000 mm, L cr,ω 6000 mm. Dále stanovíme kritické štíhlosti Lcr, y 6000 λ y 46,, i 30 y Lcr, z 3000 λ z 39,6, i 75,8 z I 6 p 337 0 λ ω 5,8. I 6 ω It +,69 0,85 0 + L 5 6000 5 cr, ω Následuje vyčíslení poměrných štíhlostí λ y 46, λ y 0,49, λ 93,9 λz 39,6 λz 0,4, λ 93,9 λω 5,8 λω 0,56, λ 93,9 5
kde λ 93,9 ε 93, 9 je srovnávací štíhlost, 35 ε,0. f y Nyní přiřadíme vzpěrné křivky (a vypíšeme příslušné součinitele imperfekce α ): pro rovinný vzpěr použijeme přiložený arch (tab. 6.9) kritériím h / b,0, a t f 9 00 (u válcovaných I profilů) odpovídá 3. řádek, čili pro vybočení k ose y křivka b α 0,34, vybočení k ose z křivka c α 0,49; pro prostorový vzpěr křivka b α 0,34. Konečně stanovíme součinitele vzpěrnosti: χ y φ + φ λ 0,669 + 0,669 0,49 y kde φ 0,5 + α ( λ 0,) y y 0,889, [ + λ ] 0,5 [ + 0,34 ( 0,49 0,) + 0,49 ] 0, 669 y y y χ z φ + φ λ 0,64 + kde φ 0,5 + α ( λ 0,) χ 0,887, z z z 0,64 0,4 z z z [ + λ ] 0,5 [ + 0,49 ( 0,4 0,) + 0,4 ] 0, 64 0,78 + kde φ 0,5 + α ( λ 0,) 0,857, ω φω + φω λω 0,78 0,56 ω ω ω [ + λ ] 0,5 [ + 0,34 ( 0,56 0,) + 0,56 ] 0, 78 Posouzení se provede na základě nejmenšího vzpěrnostního součinitele χ y χ min χ z 0,857. χ ω Vzpěrná únosnost A f 3 y 4,9 0 35 Nb, Rd χ 0,857 609 kn N Sd 00 kn γ M,5 vyhovuje. ; ;. 6
Závěrečné poznámky ) Je všeobecně účelné, aby (kritická) štíhlost tlačeného prutu nepřekročila hodnotu doporučené mezní štíhlosti viz ČSN 73 40. Důvodem je eliminace chvění (při nízkých kmitočtech a velkých amplitudách), jakož i nadměrného přetvoření od vlastní tíhy. Ze stejného důvodu jsou ustanoveny i mezní štíhlosti prutů tažených. ) V zájmu dodržení litery citované normy poopravíme matematický zápis některých veličin. Vzpěrná únosnost se píše ve tvaru β A A f y Nb, Rd χ, γ M kde β A pro průřezy tříd, a 3, β A A eff / A pro průřezy třídy 4, kde A eff je tzv. efektivní průřezová plocha; dále pro poměrnou štíhlost platí vztah β A f y λ λ β A. σ λ cr 7