Přednáška 05. Vybočení ideálně přímého prutu Vybočení prutu s počáteční deformací Okrajové podmínky a staticky neurčité případy Příklady

Transkript

1 Přednáška 05 Vybočení ideálně přímého prutu Vybočení prutu s počáteční deformací Okrajové podmínky a staticky neurčité případy Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer Czech Technical University in Prague, aculty of Civil Engineering, Department of Mechanics, Czech Republic Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU ree Documentation icense, Version 1. or any later version published by the ree Software oundation; with no Invariant Sections, no ront-cover Texts, and no Back-Cover Texts. A copy of the license is included in the section entitled "GNU ree Documentation icense" found at 1

2 Stabilita přímých prutů Tlačené štíhlé pruty jsou ohroženy ztrátou stability Prut zůstává přímý až do kritické hodnoty zatížení Po překročení kritické hodnoty může prut vybočit U viskoelastických materiálů (beton) hraje roli čas Vzpěr = namáhání prutu tlakovou osovou silou Vybočení štíhlých prutů patří mezi časté havárie konstrukcí, zatížení teplotou na stat. neurč. konstrukcích [ Vinohradský pivovar, Praha. Publikováno se svolením Hasičského záchranného sboru hl.m.prahy] [Austrálie , 45,4oC, Zdroj: BBC, EPA, Reuters]

3 World Trade Center Vlastní tíha, užitné zatížení, zatížení větrem Trapézový plech, lehčený beton Vnitřní ocelové jádro Vnitřní ocelové jádro Vnější obvodové sloupy Ocelové diagonály 5 mm 3

4 Komplex Prague Marina Praha, Holešovice Nevhodné statické řešení Ohnutí závitových tyčí v místě uložení, problém stability vzpěry Teplotní šok z náhlého oteplení Obecné ohrožení z nedbalosti (8 let vězení) [oto P. Zelený idnes] [oto J. Hadač archiv Blesku] 4

5 Vybočení tlačeného pasu příhradového mostu Jiujiang City, Čína Most navržen na zatížení 40 lidí, při zřícení ~100 Vybočení tlačeného horního pasu příhradového nosníku [Euronews YouTube] 5

6 Prvky náchylné na vzpěr Vybočení prutu u staticky určité konstrukce může vést ke kolapsu celé konstrukce U většiny inženýrských konstrukcí se snažíme vybočení prutu zabránit x Vzpěra 6

7 Geometrické modely prutu Geometricky imperfektní prut Odchylky od přímého tvaru mají 0 náhodný charakter, obvykle (1/500 1/1000 l) Kombinace tlaku s ohybem pro výpočet síly k Ideální prut Dokonale přímý, centricky zatížený K vybočení je třeba příčného impulzu (příčná síla, nerovn. ohřátí) Výpočet kritické síly k k k 0 7

8 Teorie. řádu geometrická nelinearita Podmínky rovnováhy se sestavují na deformované konstrukci Na ohýbaných prutech posuny u a rotace y zůstávají malé, průhyby w jsou velké k / / Δϕ Δϕ Δ ϕ w M M destab =w = sin Δ ϕ M stab=k Δ ϕ M destab = M stab = k sin Δ ϕ=k Δ ϕ sin Δ ϕ Δ ϕ Netriviální řešení Δ ϕ 0 k k =4 8

9 Teorie. řádu geometrická nelinearita Výjimkový případ dle teorie 1. řádu N Řešení dle teorie. řádu N EA=10e =65.97 MN = m N s o c / '= N N sin ϕ+ =0 1 cos ϕ Δ = = cos ϕ cos ϕ 1 cos ϕ Δ N =EA = EA cos ϕ 1 cos ϕ EA sin ϕ= cos ϕ ϕ 3 ϕ5 sin ϕ ϕ + ϕ 3! 5! 4 ϕ ϕ ϕ cos ϕ ϕ + ϕ! 4! ϕ EA ϕ =, ϕ3= EA 3 3 ϕ=, w ϕ = EA EA 1 cos ϕ ϕ 13 N =EA EA = EA cos ϕ Pozn. Do výpočtu geometricky nelineární úlohy nebyla zavedena pevnost! 9

10 Simulace vzpěru pomocí metody konečných prvků 10 m E=30 GPa h=0,7 m b=1,0 m 0,7 m =1 mrad Posuny 500x zvětšeny V obou případech se uvažoval čistě lineárně elastický materiál. Problém vzpěru nezávisí na pevnosti materiálu! 10

11 Vybočení ideálně přímého prutu Eulerova geometrická metoda publikována 1759 M y x =w x M y x = EIw ' ' x EIw ' ' x w x =0 w 0 =0, w =0 x w(x) z w ' ' x w x =0, = EI Char. rovnice =0, 1,=± i w x =C 1 sin x C cos x w 0 =0 C =0 w =0=C 1 sin C 1=0... triviální řešení sin =0... netriviální řešení 11

12 Vybočení ideálně přímého prutu sin =0, =n =n EI EIn = x w(x) z Kritické břemeno, n=1: = k = EI x První vlastní tvar vybočení: w x =C 1 sin. vl. tvar 1. vl. tvar EI 4 Kritické břemeno, n=: = =4 k x Druhý vlastní tvar vybočení: w x =C 1 sin... a další vlastní tvary... 1

13 Vybočení prutu s počátečním zakřivením Předpoklad: w 0 x = 0 sin M = EI w ' ' w0 ' ' 0 EIw ' ' w =EI w 0 ' ' w(x) x w ' ' w=w0 ' ', = z Tvar počáteční imperfeckce prutu volíme jako první vlastní tvar vybočení. w0 ' ' = My 0 sin 0 Argumenty (x) u funkcí vynechány Diferenciální rovnice. řádu pro vzpěr + w0(x) x EI x x C 1 sin x C cos x / w= sin wp w 0 =0, w =0 C 1=C =0 w = = = 0 w 0 / 1 1 = 1 1 k EI 13

14 Aproximace teorie. řádu pomocí teorie 1. řádu Skutečné posuny (dle teorie. řádu) lze aproximovat, pokud známe kritické zatížení a posuny podle teorie 1. řádu δ= δ0 1 1 k Při polovině kritického zatížení jsou skutečná přemístění dvojnásobná oproti výsledkům z teorie 1. řádu! 14

15 Vybočení přímého prutu oboustranně vetknutého M z R x w(x) M y x =w x M R x M y x = EIw ' ' x EIw ' ' x w x =R x M w ' ' x w x = R x M, = EI R x M w x = C 1 sin x C cos x M w 0 =0 C = R w ' 0 =0 C 1= w =w ' =0 Řešení dále vede na soustavu algebraických rovnic s neznámými R a M. 15

16 Vybočení přímého prutu oboustranně vetknutého My 1 cos sin =0 z x [ ] sin cos 1 R 0 = M 0 1 cos sin Det [ { } {} ] sin cos 1 =0 1 cos sin Pozn. Úlohu lze řešit využitím symetrie. V diferenciální rovnici se pak vyskytují 3 neznámé C1, C a moment uprostřed rozpětí. I násobky momentu My vyhovují problému vlastních tvarů. EI 4EI EI k = = 0.5 w x =1 cos x 4 M y = EIw ' ' = EI cos x = = 16

17 Základní Eulerovy případy vzpěru Vzpěrná délka vzdálenost inflexních bodů vlastního tvaru vybočení (míst s nulovými momenty) Osa symetrie vz = vz 0,7 vz =0,5 vz = 0.5 0,7 vz = 17

18 Rekapitulace a kritické napětí Vzpěrná délka Kritická síla Poloměr setrvačnosti Štíhlostní poměr Kritické napětí vz EI π k = vz I i= A vz λ= i k EI π Ei π π σk = = = = E A A vz vz λ Pro prostorový vzpěr se jednotlivé parametry indexují, např. vz,y, iy, iz, y, z. 18

19 Eulerova hyperbola Pevnost v tlaku Mezní pružná deformace Nepružný vzpěr (např. elastoplasticita) Rozhoduje pevnost Pružný vzpěr Rozhoduje stabilita 19

20 Zkoušky ocelových profilů Eulerova hyperbola 5 ti procentní dolní kvantil, imperfekce prutu 1/1000. Pozn. Poměr k / y se v Eurokódech označuje jako součinitel vzpěrnosti. Tím se redukuje únosnost materiálu a problém vzpěru se převádí na problém tlaku. Pro masivní pruty platí =1 a pro štíhlé pruty <1. Data převzaty z knihy Chen,Atsuta: Theory of Beam Columns, Volume 1: In Plane Behavior and Design,

21 Určete kritické zatížení prostorového sloupu y = 4,8 m HE 00B z E=10 GPa 4 A=7,81e-3 m, I y =57e-6 m, I z=0e-6 m i y =85,4 mm, i z=50,4 mm 4 Vybočení v rovině xz, ohyb okolo osy y vz, y = 4,8=9,6 m vz, y λ y= =11,4 iy EI y π k k = =1,8 MN, σ k = =164,1 MPa A vz, y Vybočení v rovině xy, ohyb okolo osy z vz, z =0,7 4,8=3,36 m k, z λz= =66,3 iz EI z π k k = =3,67 MN, σ k = =470, MPa A vz, z Prut vybočí v rovině xz. 1

22 Otázky 1. Co je ideální prut z pohledu vzpěru a proč tento model používáme? Čím se liší od skutečných prutů?. Jaký je rozdíl mezi teorií 1. a. řádu? ze přibližně určit deformace z teorie 1. řádu na skutečné konstrukci? 3. Vysvětlete, proč problém vzpěru nesouvisí s pevností materiálu. 4. Určete vzpěrnou délku u základních Eulerových případů vzpěru. 5. Kolikrát klesne kritická síla, pokud prodloužíme prvek o 0%, 100%? 6. Uveďte příklady konstrukcí se zatížením, které vykazují nestabilní rovnováhu. 7. Na Eulerově hyperbole vyznačte oblasti, kde rozhoduje vzpěr a kde rozhoduje pevnost. Jaký je vliv reziduálních napětí v ocelových průřezech? 8. Vypočtěte štíhlost kruhové tyče o poloměru r a délce l, pokud je oboustanně vetknutá. Vytvořeno 03/011 v OpenOffice 3., Ubuntu 10.04, Vít Šmilauer, ČVUT. Poděkování patří zejména M. Jiráskovi za inspiraci jeho přednáškami.