VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/
Náplň předmětu 1. opakování matematické teorie pružnosti 2. metody řešení nelineárních úloh 3. konstrukční nelinearita 4. fyzikální nelinearita 5. geometrická nelinearita 2
Zakončení předmětu Zápočet + zkouška Zápočet: min. 18 bodů (jako vždycky) 10 bodů za samostatnou práci ve cvičení 0-25 bodů za samostatnou práci na závěr semestru (program pro výpočet nelineárního problému + prezentace) Zkouška: písemný test a doplňující ústní otázky na témata probíraná během semetru. 3
Doporučená literatura (1) Teplý, B. Šmiřák, S.: Pružnost a plasticita 2., VUT v Brně, Brno, 1992 (skriptum) Šmiřák, S.: Energetické principy a variační metody v teorii pružnosti, VUT v Brně, Brno, 1998 (skriptum) Servít a kol.: Teorie pružnosti a plasticity I., SNTL, Praha, 1981 Servít a kol.: Teorie pružnosti a plasticity II., SNTL, Praha, 1984 Timoshenko. S. Gere, J.: Mechanics of Materials, Van Nostrand Company, New York, 1972 Boresi, A. Schmidt, R.: Advanced Mechanics of Materials, John Wiley & Sons, 2003 4
Doplňková literatura Dický, J., Mistríková, Z., Sumec, J.: Pružnost a plasticita v stavebníctve 2, STU, Bratislava, 2005 Ravinger, J., Koleková, Y.: Pružnost II., STU, Bratislava, 2002 Ravinger, J., Psotný, M.: Analýza konštrukcií, Nelineárne úlohy, STU, Bratislava, 2006 Kolář, V., Kratochvíl, J., Leitner, F., Ženíšek, A. Výpočet plošných a prostorových konstrukcí metodou konečných prvků, SNTL, Praha, 1979 Kolář V., Němec I., Kanický V. FEM Principy a praxe metody konečných prvků, Computer Press, Praha, 1997 5
Další studijní materiály http://fast10.vsb.cz/brozovsky/ http://fast10.vsb.cz/koubova/ (SSK II poslední přednášky) http://mi21.vsb.cz/modul/zaklady-matematicke-teorie-pruznosti 6
Základní předpoklady lin. mech. látka studovaného tělesa je spojitá látka je homogenní (ve všech místech stejné vlastnosti) látka je isotropní (ve všech směrech stejné vlastnosti) látka se chová lineárně pružně (tzv. Hookeův zákon) těleso je vystaveno jen malým deformacím 7
Isotropní a anisotropní materiál isotropní: ve všech směrech stejné vlastnosti anisotropní: v různých směrech různé vlastnosti ortotropní: různé vlastnosti ve vzájemně kolmých směrech 8
Téma 1: Základní úloha teorie pružnosti základní veličiny geometrické vztahy diferenciální podmínky rovnováhy fyzikální rovnice (konstitutivní vztahy) podmínky kompatibility 9
Opakování (1) - základní veličiny Poměrná deformace, napětí, modul pružnosti (1D problém): ε = σ E (1) γ = τ G (2) G = E 2(1 + ν) (3) Např. pro tažený/tlačený prut: ε = l l (4) 10
Opakování (2) normálové napětí Tah a tlak: σ A N σ = N A (5) Ohyb: σ +σ y M σ = M y I (6) 11
Opakování (3) smykové napětí τ A V τ = V S I t (7) z t τ S = A z (8) 12
Základní veličiny y σ z τ zy τ σ τ y yz zx τ yx τ xz τ xy σ x x Vektor napětí σ = {σ x, σ y, σ z, τ xy, τ yz, τ zx } T (9) Vektor deformací ε = {ε x, ε y, ε z, γ xy, γ yz, γ zx } T (10) Vektor posunutí u = {u x, u y, u z } T (11) z 13
Geometrické vztahy (1) Vyjadřují vztahy mezi posunutími a deformacemi. 0 y, v x, u A B D C β α A D u v dx u x dx dy x v B dx x y v u dy dy C 14
Geometrické vztahy (2) 0 y, v x, u A B D C β α A D u v dx u x dx dy x v B dx x y v u dy dy C εx = A B AB AB = (x + dx + u + u x dx) (x + u) dx dx = u x 15
Geometrické vztahy (3) Normálové deformace ε x = u x ε y = v y ε z = w z, (12) smykové deformace γ yz = γ zy = v z + w y (13) γ zx = γ xz = w x + u (14) z γ xy = γ yx = u y + v x. (15) 16
Geometrické vztahy (4) Uvedené vztahy obecně neplatí: γ yz = γ zy, γ zx = γ xz, γ xy = γ yx. Předpoklad o vzájemnosti smykových napětí se odvozuje z přibližného splnění momentových podmínek rovnováhy na elementu tělesa. Na smykové deformace se pohlíží obdobně. 17
Diferenciální podmínky rovnováhy (1) σ y σ x dy τyx τzx τ yz σz τzy dx τ zy τ xy τyz σz τ τ xz xz τxy σy τyx τzx dz σ x σ x = σ x + σ x x dx, τ xy = τ xy + τ xy dy,... (16) x 18
Diferenc. podmínky rovnováhy (2) σ x = σ x + σ x x dx, τ xy = τ xy + τ xy dy,... y Fi,y = (σ x σ x) dx dy + (τ xy τ xy) dx dz + (τ xz τ xz ) dx dy = 0 (σ x σ x σ x x dx) dy dz+(τ xy τ xy τ xy y dy) dx dz+(τ xz τ xz τ xz z dz) dx dy = 0 A po úpravě: σ x x + τ xy y + τ xz z = 0 (17) 19
Diferenc. podmínky rovnováhy (3) σ x x + τ xy y τ xy + τ xz z + X = 0 x + σ y y + τ yz z + Y = 0 (18) τ zx x + τ zy y + σ z z + Z = 0 kde X,Y, Z jsou objemové síly. 20
Fyzikální rovnice (1) Vyjadřují vztahy mezi napětími a deformacemi. Hookeův zákon v 1D (tah/tlak): ε x = σ x E x Α F ε x = L L = L x L L σ x = F A = E ε x 21
Fyzikální rovnice (2) Hookeův zákon v prostoru: ε x = 1 E [σ x ν (σ y + σ z )], γ yz = τ yz 2 G ε y = 1 E [σ y ν (σ x + σ z )], γ xz = τ xz 2 G ε z = 1 E [σ z ν (σ x + σ y )], γ xy = τ xy 2 G (19) 22
Shrnutí 15 neznámých veličin: 3 složky posunutí u 6 složek deformací ε 6 složek napětí σ 15 rovnic: 6 geometrických rovnic 6 fyzikálních rovnic 3 podmínky rovnováhy 23
Podmínky kompatibility (1) Vyjadřují spojitost deformací těleso spojitě vyplněné látkou zůstane spojité i po deformaci. Rovnice kompatibility se získají eleminací složek posunutí u v geometrických rovnicích. 2 ε x y 2 + 2 ε y x 2 = 2 ε xy x y 2 ε y z 2 + 2 ε z y 2 = 2 ε yz y z 2 ε z x 2 + 2 ε x z 2 = 2 ε zx z x (20) 24
Podmínky kompatibility (2) 2 ε x y z = 1 2 2 ε y z x = 1 2 2 ε z x y = 1 2 ( ( ( γ yz x + γ yz x + γ yz x + γ xz y γ xz y + γ xz y + γ ) xy z + γ xy z γ xy z ) ) (21) Pro úlohu rovinné napjatosti (viz dále) se redukují na tvar: 2 ε x y 2 + 2 ε y x 2 = 2 γ xy x y (22) 25
Hlavní napětí opakování (1) Jsou to: normálová napětí v takovém směru, ve kterém jsou všechna smyková napětí nulová extrémní (největší, nejmenší) normálová napětí v daném místě Značíme a řadíme: σ 1 σ 2 σ 3 (23) 26
Hlavní napětí (2) v rovině σ 1 σ 2 (24) σ 1,2 = 1 2 [ (σ x + σ y ) ± ] (σ x σ y ) 2 + 4 τxy 2 (25) tg(2α) = τ xy σ x σ y (26) 27
Hl. napětí (3) Mohrova kružnice σ x σ y D τ max A τ 2α B +τ σ 2 C σ 1 28
Invarianty napjatosti Jsou to skalární veličiny, stanovené z napětí v bodě, které nezávisí na orientaci systému souřadnic. Invarianty napjatosti: 1. I 1 = σ x + σ y + σ z 2. I 2 = σ x σ y + σ x σ z + σ y σ z τ 2 xy τ 2 yz τ 2 xz 3. I 3 = σ x σ y σ z +... (lépe vyjádříme v hlavních napětích) Invarianty napjatosti vyjádřené pomocí hlavních napětí: 1. I 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 2. I 2 = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 1 σ 3 3. I 3 = σ 1 σ 2 σ 3 29
Hydrostatické a deviatorické napětí Jsou využívána ke snazšímu zápisu např. vztahů pro plasticitu nebo kritéria porušení. Hydrostatické napětí (střední napětí): Deviatorické napětí: σ hyd = 1 3 (σ 1 + σ 2 + σ 3 ) (27) σ dev = 1 2 (σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 1 σ 3 ) 2 (28) 30
Typy nelinearit konstrukční nelinearita např. jednostranné vazby nebo prvky působící jen v tahu (jen v tlaku), fyzikální nelinearita vlastnosti materiálu nejsou lineární pružné (nelineární pružnost, plasticita, lomová mechanika,... ), geometrická nelinearita velká posunutí, pootočení. 31
Konstrukční nelinearita F F jednostranné vazby vazba působí jen v určitých situacích (např. v tlaku), využívá se mj. řešení kontaktních úloh (ve spojení s Winklerovým nebo jiným modelem podloží), vyžaduje iterační řešení. 32
Jednostranné vazby (1) 33
Jednostranné vazby (2) Model: ufem 0.2.46 CS: CART Time: 1 y z x podlozka 23. 09. 2008 34
Jednostranné vazby (3) Deformovaný tvar (klasické vazby): ufem 0.2.46 Result: s_1 Set: 1: 1.000 4.390625e+02 3.841797e+02 3.292969e+02 2.744141e+02 2.195312e+02 1.646484e+02 1.097656e+02 5.488281e+01 0.000000e+00-8.919706e+01-1.783941e+02-2.675912e+02-3.567883e+02-4.459853e+02-5.351824e+02-6.243795e+02-7.135765e+02 y z x podlozka 23. 09. 2008 35
Jednostranné vazby (4) Napětí σ y (klasické vazby): ufem 0.2.46 Result: s_y Set: 1: 1.000 2.970232e+01 2.598953e+01 2.227674e+01 1.856395e+01 1.485116e+01 1.113837e+01 7.425580e+00 3.712790e+00 0.000000e+00-1.917912e+02-3.835825e+02-5.753737e+02-7.671650e+02-9.589562e+02-1.150747e+03-1.342539e+03-1.534330e+03 y z x podlozka 23. 09. 2008 36
Jednostranné vazby (5) Deformovaný tvar (jednostranné vazby): ufem 0.2.46 CS: CART Set: 1: 1.000 3.629494e+02 3.175807e+02 2.722121e+02 2.268434e+02 1.814747e+02 1.361060e+02 9.073735e+01 4.536868e+01 0.000000e+00-1.003641e+02-2.007282e+02-3.010923e+02-4.014564e+02-5.018204e+02-6.021845e+02-7.025486e+02-8.029127e+02 y z x podlozka 23. 09. 2008 37
Jednostranné vazby (6) Napětí σ y (jednostranné vazby): ufem 0.2.46 Result: s_y Set: 1: 1.000 5.389430e+01 4.715751e+01 4.042073e+01 3.368394e+01 2.694715e+01 2.021036e+01 1.347358e+01 6.736788e+00 0.000000e+00-1.918800e+02-3.837600e+02-5.756400e+02-7.675200e+02-9.594000e+02-1.151280e+03-1.343160e+03-1.535040e+03 y z x podlozka 23. 09. 2008 38