nano.tul.cz Inovace a rozvoj studia nanomateriálů na TUL

Transkript

1 Inovace a rozvoj studia nanomateriálů na TUL nano.tul.cz Tyto materiály byly vytvořeny v rámci projektu ESF OP VK: Inovace a rozvoj studia nanomateriálů na Technické univerzitě v Liberci

2 Optické vlastnosti polovodičů I. Úvod do fyziky polovodičů 1. Definice polovodičů 2. Pásová struktura 3. Řešení Schrödingerovy rovnice 4. Aproximace 5. Krystalové defekty 6. Vliv defektů na pásovou strukturu

3 Optické vlastnosti polovodičů I. Úvod do fyziky polovodičů. Polovodiče jsou materiály jejichž šířka zakázaného pásu energií elektronů (energy gap) leží mezi 0 ev a 4 ev. Materiály s nulovým gapem jsou kovy. Materiály s gapem větším než 4 ev jsou izolátory.

4 Polovodiče P. Y. Yu, and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2003.

5 1. Pásová struktura Formování krystalu J. I. Pankove, Optical Processes in semiconductors, Prentice-Hall, New Jersey, 1971

6 Schrödingerova rovnice HF=EF H= S i (p i2 /2m i )+S j (P j2 /2M j )+1/2 S`jj`(Z j Z j`e 2 / R j -R j`)- S j,i (Z j e 2 / r i -R j ) +1/2 S`i,i`(e 2 / r i -r i` ) r i je poloha i-tého elektronu. R j je poloha j-tého jádra. p i je moment hybnosti i-tého elektronu. P j je moment hybnosti j-tého jádra. m i je hmotnost i-tého elektronu M j je hmotnost j-tého jádra Z j je atomové číslo j-tého jádra. e je náboj elektronu. S` znamená sumu přes neidentické páry.

7 Aproximace 1. Rozdělení elektronů do dvou skupin: a. Valenční elektrony jsou elektrony v nezaplněných elektronových slupkách atomu. b. Jádrové elektrony jsou elektrony v zaplněných elektronových slupkách atomu. Sčítaní přes i a i` v Hamiltoniánu je pouze přes valenční elektrony a místo atomů máme sčítaní přes ionty. 2. Adiabatická aproximace Ionty jsou o hodně těžší než elektrony, pohybují se vůči elektronům mnohem pomaleji. Elektrony mohou sledovat pohyb iontů prakticky okamžitě, kdežto ionty jsou v podstatě nehybné.

8 Důsledky aproximací H= H ion (R j )+H e (r i, R j0 )+ H e-ion (r i, dr j ) H ion (R j ) popisuje pohyb iontů pod vlivem iontového potenciálu plus časově vystředovaný adiabatický elektronový potencionál. H e (r i, R j0 ) je Hamiltonián pro elektrony s ionty zamrzlými v jejich rovnovážné poloze R j0. H e-ion (r i, dr j ) je Hamiltonián známý jako elektron - fononové interakce.

9 Elektronový Hamiltonián H e H e = S i (p i2 /2m i ) +1/2 S`i,i`(e 2 / r i -r i` ) - S j,i (Z j e 2 / r i -R j ) V krystalu je atomů v cm -3. Ani takto zjednodušený Hamiltonián nelze vyřešit.

10 Jednoelektronová aproximace Předpokládáme, že na každý elektron působí stejný průměrný potenciál V(r). Touto drastickou aproximací to převádíme na řešitelný jednoelektronový problém, ale co je V(r).

11 Jednoelektronová Schrödingerova rovnice H 1e F n (r)=[(p 2 /2m)+V(r)] F n (r)=e n F n (r) H 1e je jednoelektronový Hamiltonián F n (r) a E n představují vlnovou funkci a vlastní energii elektronu vlastního stavu označeného n.. Dalším krokem je určení potenciálů V(r). Na čem záleží? Na symetrii krystalu.

12 Symetrie krystalu Translační symetrie. Rotační symetrie. Reflexní symetrie. Nejdůležitější je translační symetrie, protože uvažujeme periodickou krystalovou mřížku. Můžeme si definovat operátor translační symetrie T R : T R f(r)=f(r+r), kde R je translační vektor. Když se částice pohybuje periodickém potenciálu její vlnová funkce může být vyjádřena ve formě známé jako Blochova funkce.

13 Blochova funkce. Blochova funkce pro jednodimenzionální periodický potenciál je: F k (x)=exp(ikx) u k (x) Kde exp(ikx) je rovinná vlna, k je vlnový vektor, u k (x) je periodická funkce a u k (x)= u k (x+nr), n je celé číslo a R je vektor translační symetrie. F k je modifikovaná rovinná vlna. T R F k (x)=f k (x+r)=exp(ikr) F k (x) F k (x) je vlastní funkce operátoru translační symetrie T R s vlastními hodnotami exp(ikr)

14 Řešení Schödingerovy rovnice H 1e F=EF H 1e R je invariantní při translaci R. H 1e komutuje s T R. [H 1e T R -T R H 1e ]=0 Vlastní funkce H 1e může být vyjádřena také jako vlastní funkce T R. Vlastní funkce H 1e může být vyjádřena jako suma Blochových funkcí přes všechny vlnové vektory: F(x)=S k A k F k (x)=s k A k exp(ikx) u k (x), A k je konstanta

15 Elektronová pásová struktura H 1e F n (r)=[(p 2 /2m)+V(r)] F n (r)=e n F n (r) Víme: p=hk F(x) = S k A k exp(ikx) u k (x) Vyjádření energie elektronu versus k se nazývá elektronová pásová struktura krystalu Můžeme sčítat přes všechna k pak mluvíme rozšířeném pásovém schématu. Výběr k není libovolný F k (x)=exp(ikx) u k (x). Stačí uvažovat pouze k z intervalu [ p/r,+p/r]. Redukovaná pásová struktura 1. Brillouinova zóna.

16 Elektronová pásová struktura Uvažovali jsme jednodimenzionální případ, ale můžeme to rozšířit na trojdimenzionální když k nahradíme vektorem k. Výsledek: E=h 2 k 2 /2m h is h/2p, m je efektivní hmota

17 Pásová struktura I. Pelant, J. Valenta, Luminiscenční spektroskopie I., Academia, Praha 2006

18 Důležité body v k - prostoru. G bod k=0 Průsečík ve směru [xxx] s první Brillouinovou zónou se značí: [100] směr G---X [111] směr G---L [110] směr G---K

19 Příklad elektronové pásové struktury Si P. Y. Yu, and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

20 Příklad elektronové pásové struktury Ge P. Y. Yu, and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

21 Příklad elektronové pásové struktury GaAs P. Y. Yu, and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

22 Příklad elektronové pásové struktury ZnSe P. Y. Yu, and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

23 Pásová struktura I. Pelant, J. Valenta, Luminiscenční spektroskopie I., Academia, Praha 2006

24 Díry Pokud chceme, aby docházelo k pohybu elektronů ve valenčním pásu, kde je ~ elektronů, aspoň jeden musí chybět. Zaplněný valenční pás s jedním chybějícím elektronem může být považován za pás obsahující jednu díru. Díra má pozitivní náboj +e a hmotnost odlišující se od efektivní hmotnosti elektronu.

25 Přímý a nepřímý pás zakázaných energií elektronů I. Pelant, J. Valenta, Luminiscenční spektroskopie I., Academia, Praha 2006

26 Hustota stavů Hustota stavů je počet energetických stavů v intervalu energií E + de. Pro trojdimenzionální krystal je hustota stavů jako funkce energie: N(E) de =(1/2ph 3 ) (2m ef ) 3/2 E 1/2 de

27 Hustota stavů J. I. Pankove, Optical Processes in semiconductors, Prentice-Hall, New Jersey, 1971

28 Fermiho-Diracova rozdělovací funkce Pravděpodobnost obsazení elektrony f e (E)=1/(exp{(E-E F )/kt} +1) k je Boltzmannova konstanta, E F Fermiho energie, T teplota. f(e F )=1/2 Pravděpodobnost obsazení dírami f h (E)=1-f e (E)= 1/(exp{(E F -E)/kT}+1)

29 Koncentrace nositelů Hustota elektronů je součin hustoty stavů a Fermiho Diracovou rozdělovací funkcí.

30 Krystalové defekty Bodové defekty izolované atomy Liniové defekty řady atomů (dislokace) Pro nás jsou důležité bodové defekty 1. Vakance: vakance jsou vytvářeny chybějícím atomem A v krystalové mříži (V A ) 2. Intersticiál: atom obsazující místo mimo krystalovou mříž (I A ) 3. Substituční: atom C nahrazující mřížkový atom A (C A ) 4. Antisite: mřížkový atom B obsazuje v mřížce místo atomu A. 5. Frenkelův pár: komplex V A -I A

31 Donory a Akceptory Donory jsou substituční defekty, které přispívají volnými elektrony do hostitelské krystalu. Příklady: P, As, Sb v Si Akceptory jsou substituční defekty, které přispívají volnými dírami do hostitelské krystalu.. Příklady: B, Al, Ga v Si Zajímavé příklady: Si v Ga podmřížce v GaAs je donor Si v As podmřížce v GaAs je akceptor

32 Příměsová pásová struktura Řešení Schrödingerovy rovnice (H 0 +U) F(r) = E F(r) kde H 0 jednoelektronový Hamiltonián perfektního krystalu, U je potenciální energie elektronu v stíněném Coulombickém potenciálu V S. Approximace U S =- e V S Ionizační energie donoru E i = (m*/m 0 e 2 n 2 ) 13.6 ev kde e je dielektrická konstanta, m 0 hmotnost volného elektronu, m* je efektivní hmotnost a n kvantové číslo.

33 Donorová pásová struktura P. Y. Yu, and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

34 Donor-akceptorový pár I. Pelant, J. Valenta, Luminiscenční spektroskopie I., Academia, Praha 2006

35 Ionizační energie: Donor-akceptorový pár E D-A =E G -E D -E A +e 2 /er kde r závisí na poloze donoru a akceptoru v krystalové mřížce, e je dielektrická konstanta.

36 Exciton Exciton- pár elektron díra, který je vázán Coulombickou interakcí. Energie excitonových stavů může být počítána jako energie elektronu ve vodíkovém atomu. E x =(m r *e 4 /2h 2 e 2 ) 1/n 2 kde m r *je redukovaná hmotnost, 1/m r *=1/m e *+1/m h *, kde m e * a m h * jsou efektivní hmoty elektronů a děr.

37 Excitony I. Pelant, J. Valenta, Luminiscenční spektroskopie I., Academia, Praha 2006

38 Excitony Volný exciton Vázaný exciton na příměsi E i =E x -E B E B je vazebná energie excitonu na příměsi.

39 Fonony Fonon je kvantum vibrační energie Schrodingerova rovnice popisující vibrace krystalové mřížky: H ion (R 1..R n )= S j (P j2 /2M j )+1/2 S`jj`(Z j Z j`e 2 / R j -R j`)- S j,i (Z j e 2 / r i -R j ) r i je poloha i-tého elektronu. R j je poloha j-tého jádra. P j je moment hybnosti j-tého jádra. Z j je atomové číslo j-tého jádra.

40 Fonony Adiabatická aproximace H ion (R 1..R n )= S j (P j2 /2M j )+E e (R 1..R n ) H ion = H 0 (R 10..R n0 )+ H`(dR 10..dR n0 ) H 0 (R 10..R n0 ) je Hamiltonián krystalu s atomy v jejich rovnovážné poloze a H`(dR 10..dR n0 ) je změna H ion v důsledku malého pohybu iontů dr 10..dR n0. Hamiltonián se rozvede do Taylorovy řady. Nejnižší člen H ion odpovídající vibracím krystalu je člen druhého řádu v d(r j -R k ) Harmonická aproximce, vezmeme jen členy druhého řádu, vibrace můžeme popsat pomocí harmonického oscilátoru.

41 Fonony Vychýlení iontu k v jednotkové buňce l je u lk. H`(u lk )=1/2 M k (d u lk /dt) 2 +1/2 S k`l` u lk F(kl, k`l`) u l`k` H`(u lk ) představuje změnu iontového Hamiltoniánu způsobené vychýlením iontu kl. Zatím co ostatní ionty jsou v rovnovážných polohách. MaticeF(kl, k`l`) obsahuje silové konstanty popisující interakci mezi ionty kl a k`l`. Řešením Schr. Rovnice je Blochova funkce u kl =u k0 expi(qr l -wt) kde q a w jsou vlnový vektor a frekvence vlny.

42 Fononová disperzní křivka P. Y. Yu, and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

43 Optické vlastnosti P. Y. Yu, and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

44 Optické vlastnosti Absorpce a reflexe jsou nejsilnější optické procesy. Rozptyl: světlo (elektromagnetické vlny jsou rozptylovány nehomogenitami nehomogenity mohou být statické nebo dynamické Dynamické: Brillouienův rozptyl rozptyl světla na akustických vlnách Ramanův rozptyl rozptyl světla na optických fononech nebo plazmonech Luminiscence: optické záření emitované systémem v nerovnovážném stavu.

45 Otázky 1. Co jsou polovodiče? 2. jaké se používají aproximace při řešení Schrödingerovy rovnice? 3. Jaké jsou hlavní defekty v polovodičích? 4. Jaký je vliv defektů na pásovou strukturu?

46 Literature P. Y. Yu, and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, J. I. Pankove, Optical Processes in semiconductors, Prentice-Hall, New Jersey, I. Pelant, J. Valenta, Luminiscenční spektroskopie I., Academia, Praha I. Pelant, J. Valenta, Luminiscenční spektroskopie II., Academia, Praha 2009.