Daniel Franta. jaro Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Daniel Franta. jaro Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita"

Vratislav Janda
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Pokročilé disperzní modely v optice tenkých vrstev Lekce 3: Základní schéma disperzního modelu založeného na TRK sumačním pravidle rozdělení dielektrické funkce na elektronovou a nukleonovou část versus elektronové excitace a fonony; skutečné versus efektivní počty částic; Kvazičásticový popis Daniel Franta Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita jaro 2014

2 Parametr hustoty Obsah 1 Parametr hustoty 2 Elektrony a jádra vs. elektronové excitace a fonony 3 Kvazičásticový popis 4 Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 2 / 17

3 Parametr hustoty Parametr hustoty Klasické sumační pravidlo QM TRK sumační pravidlo F k(e) = 1 V V rámci dipólové aproximace: 0 0 f ε i(ω)ω dω = π 2 ω2 p = πe2 N e 2ɛ 0m e 0 F k(e)de = Nk V = Nk f i fif k [δ(e f E i E) + δ(e i E f E)]. f k if = 2mk 2 (Ef Ei) f ˆxk i 2 = 2 m k f ˆp xk i 2 E f E i ε i(e) E de = M N e U kde U 1 + me 2u = M = (eh)2 8πɛ 0m e = ev 2 m 3 Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 3 / 17

4 Parametr hustoty Parametr hustoty Hustota pevné látky je řádu proto je vhodné konstantu M na pravé straně zahrnout do parametrů vyjadřující hustotu: 0 ε i(e) E de = N e U = N e + N n kde N e N e = MN e ale N n MN n 0 ε i(e) E de = n en a U kde N a = MN a N a: parametr hustoty (density parameter) n e: průměrný počet elektronů na atom. (u jednoatomových sloučenin např. c-si n e = Z n = 14) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 4 / 17

5 Parametr hustoty Parametr hustoty 1 1 D. Franta, D. Nečas, L. Zajíčková, Application of Thomas Reiche Kuhn sum rule to construction of advanced dispersion models, Thin Solid Films 534 (2013) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 5 / 17

6 Parametr hustoty Parametr hustoty Jak tedy v praxi postupujeme? V případě známých látek se známou hustotou N a zafixujeme. V modelu řešíme pouze odchylky od ideálního stavu (teplota, nestechiometrie, atd.). Např. pro c-si je velmi dobře znám lineární teplotní expanzní koeficient e(t): N a(t) = N a(300 K) [ ] e(300 K) 1 + e(t) 2 2 D. Franta, D. Nečas, L. Zajíčková, I. Ohlídal, Utilization of the Sum Rule for Construction of Advanced Dispersion Model of Crystalline Silicon Containing Interstitial Oxygen, Thin Solid Films (in print) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 6 / 17

7 Parametr hustoty Parametr hustoty V případě známé látky, ale neznámé hustoty (fáze) je N a fitovací parametr. Např. HfO 2: ρ = 9680 kg/m 3 = N a = 180 ev 2 Ve skutečnosti, když vyhodnotíme optická data naměřená v oblasti od FIR do VUV (10.7 ev) a zkombinujeme tyto data s tabulkami pro RTG oblast tak: Čím to je? N a = 148 ev 2 1 N a v tabulkách odpovídá monoklinickému krystalu a měření bylo provedené na porézní polykrystalické vrstvě. 2 Nejistota v oblasti ev (chybí experiment: synchrotron EELS) 3 Použitelnost RTG tabulek v oblasti ev (velmi závisí na autorovi). 4 Platí sumační pravidla? (dipólová aproximace, Z Hf = 72) Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 7 / 17

8 Parametr hustoty Parametr hustoty U neznámých látek, jestliže známe dielektrickou odezvu jen v oblasti přechodů valenčních elektronů, je problematické definovat hustotu. V tomto případě místo parametru hustoty používáme přímo celkovou sílu N přechodu, která při ignoraci excitací core elektronů potom představuje odhad síly valenčních elektronů. V tomto případě můsíme použít jisté odhady, které nám vyjadřují kolik procent elektronů se excituje do valenčního pásu a kolik do vyšších energetických stavů. N = N ve Např. když aplikujeme náš univerzální model na HfO 2 vrstvu potom efektivní počet valenčních elektronů z optických měření vychází: Skutečný počet valenčních elektronů n ve = N = = N a n ve = odpovídá dvěma elektronům Hf 6s, dvěma Hf 5d a šesti O 2p. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 8 / 17

9 Elektrony a jádra vs. elektronové excitace a fonony Obsah 1 Parametr hustoty 2 Elektrony a jádra vs. elektronové excitace a fonony 3 Kvazičásticový popis 4 Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 9 / 17

10 Elektrony a jádra vs. elektronové excitace a fonony Elektrony a jádra vs. elektronové excitace a fonony 0 ε i(e) E de = N e U = N e + N n = N ee + N ph =... N ee > N e N ph < N n Dielektrickou odezvu dále můžeme dělit: elektronové exc. na exc. valenčních a jaderných (core) elektronů N ee = N ve + N ce exc. valenčních el. na excitace val. el. do vodivostního pásu a vyšších energetických stavů (v balku není vakuový stav) N ve = N vc + N vx dále na přímé a nepřímé (za asistence fononů) a lokalizace absorpce na fononech podle počtu: N vc = N dt + N idt + N loc + N ut N ph = N 1ph + N 2ph +... Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 10 / 17

11 Elektrony a jádra vs. elektronové excitace a fonony Elektrony a jádra vs. elektronové excitace a fonony 0 ε i(e) E de = N e U = N e + N n = N ee + N ph =... N ee > N e N ph < N n Dielektrickou odezvu dále můžeme dělit: elektronové exc. na exc. valenčních a jaderných (core) elektronů N ee = N ve + N ce exc. valenčních el. na excitace val. el. do vodivostního pásu a vyšších energetických stavů (v balku není vakuový stav) N ve = N vc + N vx dále na přímé a nepřímé (za asistence fononů) a lokalizace absorpce na fononech podle počtu: N vc = N dt + N idt + N loc + N ut N ph = N 1ph + N 2ph +... Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 10 / 17

12 Kvazičásticový popis Obsah 1 Parametr hustoty 2 Elektrony a jádra vs. elektronové excitace a fonony 3 Kvazičásticový popis 4 Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 11 / 17

13 Kvazičásticový popis Kvazičásticový popis Vezměme jako příklad jednofononovou absorpci, tj. že foton je absorbován nebo emitován za pomoci vzniku nebo zániku fononu. F(E, T) = π ɛ 0V ( e m e ( ) Ω Ei f ˆpx i 2 [ ] exp δ (E f E i E) + δ (E i E f E) k BT E f E i ) 2 i f i,f Z celkové dielektrické odezvy vybereme členy, které odpovídají tomuto procesu tak, že sčítání přes f převedeme na sčítání přes obsazovací čísla jednotlivých fononů p F 1ph(E, T) = π ( ) 2 e ( ) Ω Ei exp δ (E p E ) ɛ 0V E m e k p i BT ( ) npe p ( ) exp i, n p + 1 ˆp x i, n p 2 npe p exp i, n p 1 ˆp x i, n p 2 k BT k BT n p=0 Stejné maticové elementy dáme k sobě tak, že v druhé sumě posuneme sčítací index: n p=1 Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 12 / 17

14 Kvazičásticový popis Kvazičásticový popis F 1ph(E, T) = π ( ) 2 e ( ) Ω Ei exp δ (E p E ) ɛ 0V E m e k p i BT [ ( )] 1 exp Ep ( ) npe p exp i, n p + 1 ˆp x i, n p 2 k BT k BT n p=0 Výsledný vztah stále závisí na teplotě T. Stavová suma (normalizační konstanta) má při našem sčítání následující tvar: ( exp Ω ) = k BT i n p=0 ( ) Ei + npep exp k BT Za předpokladu, že maticové elementy nezávisí na i, ale pouze na n p, základním předpokladu kvazičásticového přístupu: i, n p + 1 ˆp x i, n p 2 (n p + 1) i, 1 ˆp x i, 0 2 Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 13 / 17

15 Kvazičásticový popis Kvazičásticový popis teplotní závislost pro jednofononovou absorpci potom vymizí: F 1ph(E, T) = π ( ) 2 e i, 1 ˆp x i, 0 2 δ (E p E ) ɛ 0V E m e F 1ph(E, T) = N n α p F1ph(E, 0 T) = N n α p δ (E p(t) E ) p Po rozšíření je odpovídající dielektrická funkce dána následujícím vztahem: ( ) ε 1ph(E, T) = N n α p β F0 1ph(E, T) E kde β je Gauss Dawson funkce a značí konvoluci. Je-li F 0 1ph delta funkce lze konvoluci vyjádřit pomocí gaussovy a dawsonovy funkce. p p p Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 14 / 17

16 Kvazičásticový popis Kvazičásticový popis Normalizovaná dielektrická funkce odpovídající jednomu fononovému píku je tedy popsaná následovně: ) )] ε 0 1 (E Ep)2 (E + Ep)2 i,p = [exp ( exp (, 2πBpE p 2B 2 p 2B 2 p ε 0 r,p(e) = [ ( ) ( )] 2 E Ep E + Ep D D, πb pe p 2Bp 2Bp kde D(x) je Dawsonův integrál definovaný jako: D(x) = exp( x 2 ) x 0 exp(t 2 ) dt. Dowsonův integrál lze v počítači efektivně implementovat jako funkce počítaná pomocí polynomů s libovolnou přesností (ostatně většina běžných funkcí je takto implementována) a potom tyto vztahy jsou co se týká efektivity výpočtu ekvivalentní analytickému vyjádření tlumeného harmonického oscilátoru a plně Loretzovy oscilátory nahrazují. Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 15 / 17

17 Shrnutí Obsah 1 Parametr hustoty 2 Elektrony a jádra vs. elektronové excitace a fonony 3 Kvazičásticový popis 4 Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 16 / 17

18 Shrnutí Shrnutí Daniel Franta (Ústav fyzikální elektroniky) Pokročilé disperzní modely 17 / 17

Podobné dokumenty

Daniel Franta. jaro Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita

Daniel Franta. jaro Ústav fyzikální elektroniky, Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Pokročilé disperzní modely v optice tenkých vrstev Lekce 4: Univerzální disperzní model amorfních pevných látek aplikace na elipsometrická a spektrofotometrická měření HfO 2 vrstvy v rozsahu.86-.8 ev Daniel