4 Analytické křivky a plochy ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 4 Analytické křivky a plochy

Transkript

1 4 Analytické křiky a plochy V kapitole 1.4 jsme definoali křiku jako topologicky jednorozměrnou souislou množinu bodů. Křiky můžeme dělit podle dimenze prostoru, jehož jsou podmnožinou a podle možnosti analytického popisu, tj. možnosti stanoit obecné ztahy mezi souřadnicemi jednotliých bodů křiky: podle dimenze prostoru podle možnosti analytického popisu roinné: prostoroé analytické grafické x = sin15t y = cos11t????????????? V této kapitole se budeme zabýat pouze analytickými křikami, a to jak roinnými, tak prostoroými Analytické určení křiky Roinnou křiku můžeme analyticky popsat několika způsoby. 1. Křika jako graf funkce: Funkce jedné reálné proměnné je zobrazení f : D, kde D je definiční obor funkce. Grafem funkce rozumíme množinu { } [ ; ] G f = x y E y = f x. Tímto grafem je elmi často křika (např. grafy funkcí sin x ; ln x ) či íce křiek (např. ln x 1 ).. Parametrické yjádření křiky: Jedná se o zadání křiky pomocí soustay dou popř. tří ronic nichž je souřadnice každého bodu křiky zapsána jako funkce reálné proměnné, kterou nazýáme parametr. Pro křiku roině tedy x= ϕ y = ψ () t () t ; t I kde I je interal. Tyto ronice nazýáme ronice parametrické. Například soustaa (1) 1 x ; x= cos t ; t ; π ) y = sin t () 58

2 předstauje parametrické ronice kružnice. Často se setkááme s yjádřením roinné křiky polární soustaě souřadné, a to e taru r = ϕ t t I, (); kde t je orientoaný úhel, který sírá průodič bodu s polární osou a r je zdálenost bodu od počátku. Toto yjádření ošem snadno přeedeme na yjádření parametrrické pomocí známých ztahů x= rcost = ϕ ( t) cos t ; t I y = rsin t = ϕ t sin t (). Obecná ronice křiky: Upraíme-li soustau (1) na jedinou ronici tak, že se ní nebude parametr yskytoat, dostaneme ronici obecnou. Tomuto postupu říkáme yloučení parametru. Upraíme-li naopak obecnou ronici na ronici o jedné neznámé pomocí substituce tak, že tato ronice přejde ronost, je tato substituce parametrickými ronicemi téže křiky. Tomuto postupu říkáme parametrizace. Například ronice x + y = 4 je obecná ronice kružnice s parametrickým yjádřením (). Tímto způsobem lze ošem yjádřit jen roinné křiky. Vyloučením parametru z parametrických ronic roinné křiky dostaneme ronici taru f ( x; y ) = Vyloučením parametru z parametrických ronic prostoroé křiky dostaneme yjádření této křiky pomocí soustay dou ronic: f ( x; y; z ) = ; g x; y; z = Každá z těchto ronic je ronicí plochy prostoru, prostoroou křiku tak dostááme jako průsečnici těchto dou ploch.. Příklad: Parametrizujme obecné ronice křiek a) x a y b + = b) ( x m) p( y n) 1 = c) x a y b = 1 Poznámka: Ze střední školy íme, že se jedná o ronice elipsy, paraboly a hyperboly. Těmto křikám se budeme podrobněji ěnoat dalších kapitolách. Řešení: a) položíme-li x = acost; y = bsin t a dosadíme do obecné ronice, obdržíme ( acost) ( bsin t) a + = + = b 1 cos t sin t 1 což je ronice, která platí pro každé t. Parametrické ronice naší elipsy tedy jsou x = acost y = bsin t () Vzhledem k tomu, že x aa ; ; y b; b t ;π ) ; lze definiční obor parametru zúžit na interal 59

3 1 b) Z této ronice lze yjádřit y : taru y = x m + n. Parametrické ronice tedy budou zřejmě 1 p p x= t ; t (4) y = t m + n c) Při parametrizaci elipsy jsme yužili známou lastnost sinu a kosinu totiž že pro každé t je cos t+ sin t = 1. Pokud bychom chtěli stejný obrat použít u hyperboly, museli bychom najít dě funkce, u nichž analogicky funguje ne součet, ale rozdíl čterců, tj. dě funkce ; g t f t = 1. Pak bychom mohli položit x f g takoé, že pro každé t je = a g() t ; y b f ( t) = a dosazením do ronice hyperboly zcela analogicky: ( a g() t ) b f () t a = 1 g () t f () t = 1 b Je jen otázkou, zda takoé funkce existují. Odpoěď na tuto otázku je kladná. Položíme-li totiž 1 () cos g t = t; f () t = tgt pak je skutečně 1 sin t sin t+ cos t sin t g () t f () t = = = 1 cos t cos t cos t takže příslušná parametrizace hyperboly je taru 1 x = a cos t y = b tgt π + 1 ; k a zhledem k periodicitě použitých goniometrických funkcí stačí dále t ; π. Jinou zajímaou možností je Je třeba samozřejmě položit t ( k ) t t t t e e e + e f () t = ; g() t = pak je opět 1 t t 1 t t 1 t t t t g () t f () t = ( e + e ) ( e + e ) = ( e + + e e + e ) = Protože funkce f ; g plní u hyperboly analogickou úlohu jako sinus a kosinus u elipsy, nazýají se matematice hyperbolický sinus resp. hyperbolický kosinus a značí se t t t t e e e + e sinh t = ; cosh t = ; t (5) Parametrizaci hyperboly pak dostááme e taru x = acosh t ; t (6) y = bsinh t 6

4 4. Bodoá funkce: Zatímco funkce jedné reálné proměnné je zobrazení f : D, kde D je definiční obor funkce, roinnou resp. prostoroou bodoou funkcí jedné reálné proměnné euklidoském (projektiním) prostoru rozumíme zobrazení f : D E resp. f : D E, ( f : D E resp. f : D E ) kde D je definiční obor funkce. Proměnnou budeme značit t a nazýáme ji parametr. Hodnotou bodoé funkce pro t D je bod = ; Q t f1 t f t E resp. Q( t) = f1( t) ; f( t) ; f( t) E. popř. Q( t) = ( k f1( t) ; k f( t) ; k ω) E resp. Q t = k f t ; k f t ; k f t ; k ω E ( 1 ) Každá hodnota parametru t určuje bod Q( t ) jednoznačně. Protože nehrozí nedorozumění, mluíme často jen o bodu t místo o bodu Q( t ). Body projektiního prostoru budeme reprezentoat euklidoskými reprezentanty, tj. budeme psát resp. () t = ( f1() t ; f() t ; ω) E Q (1) () t = ( f1() t ; f() t ; f( t) ; ω) E Q () kde ω = 1 resp ω = práě tehdy, když je bod ( t) roněž setkat s tím, že lastní bod ( t) = ( q1; q;1) E polohoým ektorem () t = q() t = ( t) ( q ; q ;1) ( ;;1 ) ( q ; q ;) E Q lastní resp. nelastní. Můžeme se Q křiky k je reprezentoán jeho Q Q O= 1 = 1 ( analogicky). Ronice (1) a () jsou pak taru resp. ( 1 ) () (); () q t = f t f t Z E ( 1 ) () (); (); q t = f t f t f t Z E a hooříme pak o ektoroých ronicích křiky. Obor hodnot bodoé funkce (tj. množinu bodů, které jsou obrazem nějakého t D ) budeme nazýat grafem bodoé funkce. Funkce f ( t) ; f ( t ) popř. f () t nazýáme souřadnicoé funkce. 1 Lze ukázat, že pokud je definičním oborem bodoé funkce interal (tj. souislá podmnožina ) a šechny souřadnicoé funkce jsou spojité, pak grafem bodoé funkce je křika k prostoru E popř. E. Říkáme pak, že křika je určena bodoou funkcí. E 61

5 < < <, pak bod ( ) Je-li D= t1; t ; kde t1 t T 1 = f1 t1 ; f t1 ; ω nazýáme počátečním a bod T = ( f1( t) ; f( t) ; ω) koncoým bodem roinné křiky. Pro prostoroou křiku analogicky.. Příklad: Parametrickými ronicemi x = cost ; t ;π ) y = sin t je určena kružnice. Přepíšeme-li je do taru K () t = ( cos;sin;1 t t ), t ;π ), dostááme kružnici jako roinnou bodoou funkci. Parametrickými ronicemi x = cost y = sin t ; t ; kπ ); k z = t je určeno k záitů prostoroé křiky zané cylindrická šrouboice, která je znázorněna na připojeném obrázku (touto křikou se budeme zabýat dále). Tyto parametrické ronice můžeme přepsat do taru prostoroé bodoé funkce S ( t) = ( cos t;sin t; t;1) ; t ;kπ ). Bodoou funkci dostaneme z parametrických ronic křiky jejich přepisem do jednoho řádku. 4. Grafické algoritmy konstrukce křiek Křiky zadané jako graf funkce a křiky zadané parametrickými ronicemi resp. bodoou funkcí sestrojují grafické systémy ětšinou tak, že definiční obor funkce x x resp. interal t ; t n, e kterém je definoán parametr, rozdělí ekidistantním dělením na n stejných dílů a křika je sestrojena jako lomená čára, která prochází body x i; f ( x i) resp. ϕ ( t ); i ψ ti ; n. 6

6 Z algoritmického hlediska je nejméně příjemná křika zadaná ronicí f ( x; y ) =. Nejjednodušší algortmus její konstrukce yužíá skutečnosti, že křika f x; y = je průsečnicí plochy ( ; ) z = f x y a roiny z =, a dále nenuloé elikosti pixelů ýstupního zařízení počítače. Da do sebe nořené cykly procházejí ýstupní okno pixel po pixelu a testují znaménka funkce f ( xy ; ) e rholech každého pixelu. Jestliže jsou šechna stejná, pak křika pixelem neprochází a pixel zůstane nesestrojen (neobaren). Jestliže se znaménka liší, pixel se obarí (sestrojí). 4. Tečna a normála křiky Problémem tečen k nejrůznějším křikám se zabýali již antičtí matematikoé. Uspokojiě zaedli pojem tečny ke kuželosečce, korektní řešení pro obecné křiky šak bylo nalezeno až s objeem diferenciálního počtu, který se stal elmi účinným nástrojem matematického popisu křiek a ploch. S jeho základy se matematice budete tepre seznamoat, proto si zde šimneme jen zcela nezbytného aparátu, který se skrýá současných softwaroých nástrojích geometrického modeloání. Sestrojíme-li tímto algoritmem uedeným minulé kapitole grafy funkcí f ( x) = x+ 1; x( x+ 1) = ; h( x) g x x x = ; dostaneme následující obrázek: x x( x+ 1) = (?) h( x) x f ( x) = x+ 1 g( x) = (?) x x Zatímco graf funkce f ( x ) asi nikoho nepřekapí, grafy funkcí g( x ); h( x ) jsou již problematické. Tyto funkce totiž nejsou definoány nule. Při obyklých zadáních interalu x1; x a kroku h x (např. ; ;.1) by měl program haaroat, neboť algoritmus požaduje funkční hodnotu bodě nula a potřebuje tedy touto nulou dělit. Program 6

7 sice možná přežije (díky zaokrouhloacím chybám při opakoaném přičítání kroku se totiž do nuly netrefí ). Je šak otázkou, nakolik jeho ýstupy odpoídají realitě. Graf funkce g( x ) je celkem pořádku, až na to, že bychom bodě [ ;1 ] měli yznačit prázdný kroužek funkční hodnota zde chybí. Pokud funkci g( x ) dodefinujeme tak, že g = 1, bude jejím grafem souislá množina bodů. Funkcí h( x ) šak takto dodefinoat nelze. V bodě x = má totiž schodek. Říkáme, že funkce g( x ) má nule limitu, funkce h( x ) tomto bodě limitu nemá (tato limita neexistuje).. Limita funkce: Funkce f ( x ) má bodě x x existuje okolí O( x ) takoé, že množina je souislá. Zapisujeme lim f ( x) = a = limitu a práě tehdy, když { ; } [ ; ] M = x f x x O x x x a x x Poznámka: Takto definoaná limita je tz. lastní limita e lastním bodě. V matematice budete studoat i jiné případy limit. V tomto textu je šak nebudeme potřeboat. Nebudeme se jimi tedy zabýat a místo o lastní limitě e lastním bodě budeme hoořit stručně jen o limitě. V matematice se budete také podrobně zabýat tím, jak limity funkcí určoat. Zde se spokojíme s nejjednoduššími případy, kdy je možné funkční předpis hodně ykrátit a poté bod x dosadit. ( + 1) x x. Příklad: a) lim = lim x + 1 = lim + 1 = 1 x x x x x 4 ( x )( x+ ) x+ + b) lim = lim = lim = = 4 x x x+ x x x 1 x x Deriace funkce: Deriace funkce je matematický nástroj, který umožňuje definoat tečnu křiky. Deriací f '( x ) funkce f ( x ) na množině I rozumíme funkci f ' ( x) f ( x+ h) f x = lim (1) h h pokud tato limita na celé množině I existuje. Deriací funkce f ( x ) bodě x I rozumíme číslo f ( x ) ' f ( x + h) f x lim h = () h tedy hodnotu funkce f '( x ) bodě x I. Jak je idět z připojeného obrázku, deriace funkce bodě x udáá směrnici přímky t, kterou můžeme prohlásit za tečnu grafu funkce. 64

8 5. Deriace některých důležitých funkcí na množině : a) ( x+ h) x x + hx+ h x h( x+ h) x = lim = lim = lim = lim x+ h = x+ = x h h h h h h h ( x + h) + ( x+ h) x x x + x = lim = h h x + 6xh+ h + x+ h x x 6xh+ h + h = lim = lim = lim( 6x+ h+ ) = 6x+ h h h h h c c c = lim = lim = (deriace konstanty je nula) () h h h h b) c) Podobně se dá dokázat obecně, že: a dále ( ) ax + a x ax+ a = nax + n 1 a x ax (4) n n 1 1 n 1 n n n 1 1 n n 1 1 ( c sin x) = c cos x; c cos x = c sin x (5) 6. Tečna grafu funkce f ( x ) bodě x je přímka, která prochází bodem T x; f ( x) má směrnici f ( x ). Deriace f ' měnícím se x. Při určoání tečny postupujeme ětšinou tak, že určíme nejdříe f ' dosazením konkrétního bodu pak f ( x ). 7. Příklad: Určete tečny grafů funkcí a) f ( x) = x + x bodě Řešení: a) f ( x) x x = b) g( x) cos = + ; k = f ( x ) = f = ; a x na množině I pak udáá záislost této směrnice na 1 = x bodě x = π ronice tečny t y = kx+ q t y = x+ q. T = x; f ( x) = [ ;] t = + q q= ; t y = x k = g x = g π = sin π = b) g( x) = sin x; 6 ronice tečny t y = x+ q π π π π T = ;cos = ;1 t 1= + q q = 1+ π t y = x+ 1+ π x a 65

9 Vzhledem k tomu, že deriace funkce na množině je opět funkce, můžeme ji dále derioat. Hooříme pak o deriaci druhé, třetí, atd. Např. f ( x) = sin x; f ( x) = cosx; f ( x) = sin x; f x = cos x atd. V dalším textu yužijeme prní a druhou deriaci funkce 8. Deriace bodoé funkce: Proměnnou bodoé funkce (parametr) značíme ětšinou t a deriujeme po složkách, tj. deriací bodoé funkce Q ( t) = ( f1( t) ; f( t) ; ω) projektiní roině bude funkce Je-li tedy například je ( t) = ( f ' 1( t) ; f ' ( t) ;) Q'. Q Q' ( t) = ( cos t;sin t; t;1) ( t) = ( sin t;cos t;;) Pro deriaci složek bodoé funkce jsme použili ztahy (;4;5). Všimněte si, že deriací bodoé funkce projektiním prostoru je funkce, jejímž oborem hodnot je množina nelastních bodů, tj. deriací funkce bodě (ať již lastním nebo nelastním) je nelastní bod. Jeho reprezentanti jsou tedy přímo směroé ektory tečny daném bodě. V projektiním prostoru lze uažoat zcela analogicky. Aby ošem naše úahy byly korektní, je třeba, aby deriace f ' ( t) ; f ' ( t ) popř. f ( t ) 1 jednak existoaly a dále musí být alespoň jedna z nich nenuloá (neboť směroý ektor tečny nemůže být nuloý). Je tedy třeba zaést následující pojem: 9. Regulární bod, regulární křika: bodoá funkce Q () t = ( f1() t ; f() t ; ω) resp. Q ( t) = ( f1( t) ; f( t) ; f( t) ; ω) je bodě T = ( f1( t) ; f( t) ; ω) resp. = ( f1( t) ; f( t) ; f( t) ; ω) T regulární n -tého řádu práě tehdy, když existují deriace souřadnicoých funkcí až do řádu n z nichž alespoň jedna je nenuloá. Bod T nazýáme regulární bod funkce (i křiky). Funkci, jejímž definičním oborem je interal a která je každém sém bodě regulární, nazeme regulární funkcí (nebo též pohybem). Křiku nazeme regulární práě tehdy, je-li grafem nějaké regulární funkce. 1. Tečna a normála regulárním bodě křiky: Nechť k je roinná resp. prostoroá Q t = f t ; f t ; ω resp. regulární křika určená bodoou funkcí ( 1 ) () t = ( f1() t ; f() t ; f() t ; ω) T = Q ( t) = ( f1( t) ; f( t) ; ω) resp. = ( t) = ( f1( t) ; f( t) ; f( t) ; ω) přímku, která prochází bodem T a má směroý ektor ( t) = ( f ' 1( t) ; f ' ( t) ;) Q' ( t) = ( f ' 1( t) ; f ' ( t) ; f ' ( t) ;). Normálou této křiky bodě = ( t ) Q. Pak tečnou křiky k bodě bodě T Q rozumíme Q' resp. T Q rozumíme ' 66

10 liboolnou kolmici k tečně bodě T, která tímto bodem prochází. Tečnu k regulární křice X = Q t + Q ' t t. tak lze psát e taru Lze ukázat, že k dané regulární křice existuje daném bodě jediná tečna. Každá křika má ošem nekonečně mnoho normál normálou je každá přímka, která prochází bodem T a leží roině kolmé k tečně. 11. Příklad: Určeme směroý ektor tečny následujících křiek daných bodech a) K () t = ( rcos; t rsin;;1 t ) t ;π ) bodě T = K ( t) b) E () t = ( acos; t bsin;;1 t ) t ;π ) bodě T = E ( t ) c) P () t = ( t; t ;;1) d) S () t = ( rcos t; rsin t; t;1) ; t ; kπ ); k, bodě T = S ( t) Poznámka: případech a) b) c) se jedná o kružnici elipsu a parabolu (tyto křiky známe ze střední školy), případě d) jde o cylindrickou šrouboici, kterou se budeme zabýat dále. Řešení: a) K' () t = ( rsin; t rcos;; t ) K' ( t) = ( rsin t; rcos t;;) b) E '( t) = ( asin t; bcos t;;) E '( t) = ( asin t; bcos t;;) c) P '( t) = ( 1; t;;) P '( t) = ( 1; t;;) ' t = rsin t; rcos t; ; S ' t = rsin t ; rcos t ; ; d) S () V systému Rhinoceros jsou směroé ektory tečen křiky aktuálním bodě přístupné z menu Analýza/Směr, konstrukce tečny ke křice pak z menu Křika/Úsečka Křiost a oskulační kružnice Na střední škole se uádí pojem oskulační kružnice kuželoseček jako kružnice, která co nejlépe nahrazuje danou kuželosečku e rcholech. Nespecifikuje se ošem, co to znamená, a ani syntetické konstrukce, které se uádějí, se nijak nezdůodňují. Nyní se o to pokusíme. úhlu, který sírají směroé ektory '( t) Oskulační kružnice křiky bodě je kružnice, která se daném bodě křiky dotýká (tj. má s ní společnou tečnu) a naíc má hodný poloměr má stejnou křiost. 1. Křiost (flexe), poloměr křiosti, oskulační kružnice, hlaní normála: Uažujme da body t ; t+ h regulární křiky t ϕ h elikost Q a označme Q ; Q '( t+ h) tečen křiky ( t) Q bodech t ; t+ h. Pro elmi malé h bude tento úhel tím ětší, čím íce se bude křika Q () t lišit od sé tečny, tj. čím bude křiější. Číslo 67

11 nazýáme proto křiostí křiky () t je rona ( h) ϕ κ = lim h h Q bodě t. Lze dokázat, že křiost křiky Q () t bodě t ( t) ''( t) Q '() t ' κ = Q Q Oskulační kružnice tedy existují e šech bodech, které jsou regulární. řádu, a to nejen pro křiky roinné, ale i prostoroé. V prostoroých případech je ošem problémem už to, e které roině oskulační kružnice lastně sestrojoat. Q ' t ; Oskulační kružnici budeme zřejmě sestrojoat roině, e které leží ektory Q '( t+ h), tedy ektor Q' ( t+ h) Q' ( t), resp, jeho limitní případ Roinu Q' lim h ( t+ h) Q' ( t) h = Q'' () t ' '' σ = Q t + Q t u+ Q t tedy nazýáme oskulační roinou křiky bodě = ( t ) (1) T Q. Kružnici K () t, která leží oskulační roině křiky Q () t, dotýká se této křiky bodě t, má poloměr s polopřímkou r = κ 1 a X=T + Q'' T t; t má da společné body, nazýáme oskulační kružnicí křiky Q () t bodě t. Střed této kružnice leží na normále křiky, která leží oskulační roině, nazýáme ji hlaní normálou křiky.. Vrcholy regulární křiky: Křiost (proměnném) bodě t dle ýrazu (1) je funkcí parametru t. Extrémy této funkce detekují body, e kterých má daná křika nejětší resp. nejmenší křiost. Tyto body nazýáme rcholy křiky. Oskulační kružnice e rcholech křiky nazýáme speciálně hyperoskulačnými kružnicemi.. Příklad: Vypočtěme středy a poloměry hyperoskulačních kružnic kružnice, elipsy a paraboly Řešení: a) K () t = ( rcos; t rsin;;1 t ) t ;π ) ; K' () t = ( rsin; t rcos;; t ) K'' () t = ( rcos; t rsin;; t ) i j k K' K '' sin cos ;; rcost rsin t 1 κ = K' t '' t r r 1 = = = r r () t () t = r t r t = r k = ( r ) K K '() t ( rsin t; rcos t;) Poloměr oskulační kružnice kružnice je tedy r a kružnice je sama sobě kružnicí oskulační. Všimněte si, že 68

12 () t () t ( r t r t ) ( r t r t ) K' K '' = sin ; cos ; cos ; sin ; = tedy K' () t K ''() t, takže ektor ''( t) b) () t = ( acos; t bsin;;1 t ) t K je tomto případě přímo ektorem hlaní normály. E ;π ) ; E '( t) - iz př. 4 i j k E ''( t) = ( acos t; bsin t;;) ; E' () t E '' () t = asin t bcos t = ab k = ( ;; ab) () E'' () acost bsin t E' t t ab ab κ = = = r = E ' sin ; cos ; sin cos () t ( a t b t ) ( a t+ b t) ( a ) sin t+ b cos t V hlaním resp. edlejším rcholu (tj. při této π parametrizaci pro t = resp. t = ) je r r A C ( a ) sin + b cos b b = = = ; ab ab a π π a sin + b cos a a = = = ab ab b I zde snadno zjistíme, že E'( t) E ''( t) =, ektor E ''( t) je tedy směroým ektorem hlaní normály. Tím jsou zdůodněny konstrukce oskulačních kružnic elipsy, které známe ze střední školy ilustrujme pro hlaní rchol: BSD GBO (uu ) r b b = r = b a a c) () t = ( t; t ;;1) P ; t ; P' () t = ( 1;;; t ) ; P ''( t ) = ( ;;;) i j k P' '' 1 ;; () t P () t = t = k = () t P () t P' '' κ = = = r = P ' 1; ; 1 4 () t ( t ) ( + t ) ( 1+ 4t ) ab 1 Pro rchol paraboly (tedy pro t = ), je r =, což je roněž souladu s naší předchozí 1 zkušeností (parametr této paraboly je totiž p = ) V systému Rhinoceros je možné sestrojit oskulační kružnice křiek, a to z menu Analýza/Hlaní křiosti. Příkaz jednak umožní sestrojit oskulační kružnici a jednak ypíše souřadnice jejího středu a poloměr. Roněž je možné zapnout graf křiosti - Analýza/Křika/Zapnout graf křiosti. 69

13 Na připojeném obrázku si můžeme prohlédnout oskulační kružnice několika bodech hyperboly (praá ěte). Jejich zmenšující se poloměr signalizuje stoupající křiost křiky tak, jak je idět na zapnutém grafu křiosti leé ěte. Délky úseček grafu křiosti jsou funkční hodnoty funkce (1). Příklad: Vypočtěme křiost a poloměr oskulační kružnice šrouboice liboolném bodě. S t = rcos t; rsin t; t;1 ; Řešení: ( ) t ; kπ ); k ; S' () t = ( rsin t; rcos t; ;); S ''( t) = ( rcos t; rsin t;;) i j k S' S '' sin cos sin cos sin ; cos ; rcost rsin t () t () t = r t r t = i r t j r t+ k r = r( t t r) S S () S' t '' t r sin t; cos t; r r + r + r κ = = = = = ' t rsin t; rcos t; ; r r R + r r ( ) ( + ) kde jsme poloměr oskulační kružnice pro odlišení označili R. Všimněte si, že křiost šrouboice tedy ani poloměr oskulační kružnice nijak nezáisí na parametru t, křiost šrouboice a poloměr oskulačních kružnic je tedy pro celou šrouboici konstantní. Můžeme se o tom přesědčit Rhinoceros pomocí grafu křiosti tak, jak je znázorněno na připojeném obrázku. Poronáme-li poloměr oskulační kružnice šrouboice s ýsledkem příkladu b), zjistíme, že jsme obdrželi poloměr oskulační kružnice elipsy s hlaní poloosou + r a edlejší poloosou r. Tento ýsledek yužijeme později při konstrukci oskulačních kružnic šrouboice Analytické yjádření plochy V tomto textu se budeme zabýat jen analytickými plochami, tj. plochami, nichž můžeme matematicky popsat ztahy mezi souřadnicemi bodů na ploše. Z matematiky tři způsoby analytického yjadřoání ploch: 1. Plocha jako graf funkce: V matematice se seznámíte s pojem funkce dou reálných proměnných jako se zobrazením f : D, kde D je definiční obor funkce. Grafem takoé funkce rozumíme množinu ; ; G f = x y z E z = f x ; y. (1) { } [ ] 7

14 Grafem funkce je elmi často plocha (např. grafy funkcí (např. ( x y) 1 1 x y ; x y e ) či íce ploch + ; ln x+ y 1 ). V geometrii se proměnné parametry elmi často značí u ;. Parametrické yjádření plochy: Jedná se o zadání plochy pomocí soustay tří ronic nichž je souřadnice každého bodu křiky zapsána jako funkce dou reálných proměnných (parametrů), x= ϕ ( u, ) y = ψ ( u, ) ; [ u; ] I () z = τ u, kde I je souislá podmnožina. Tyto ronice nazýáme ronice parametrické. Například soustaa x= cos ucos π π y = sin ucos ; [ u; ] ; π ) ; () z = sin předstauje parametrické ronice kuloé plochy. Plochu, která je zadána předpisem (1), můžeme případě potřeby parametrizoat elmi snadno, a to předpisem x= u y = z = f u,. Obecná ronice plochy: Upraíme-li soustau () na jedinou ronici tak, že se ní nebudou parametry yskytoat, dostaneme ronici obecnou. Tomuto postupu říkáme yloučení parametru. Upraíme-li naopak obecnou ronici na ronici o jedné neznámé pomocí substituce tak, že tato ronice přejde ronost, je tato substituce parametrickými ronicemi téže plochy. Tomuto postupu říkáme parametrizace. Například ronice x + y + z = 4 je obecná ronice kuloé plochy s parametrickým yjádřením (). Parametrizace je ětšinou dosti obtížná a yžaduje jistou zručnost a matematickou předídaost. Následující příklad tedy chápejme jako ilustratiní. 4. Příklad: Parametrizujme obecnou ronici a) + = b) x y z x y z + + = 1 c) a b c x y z a b c + = 1 Pozn.: ronice a) je ronicí eliptického paraboloidu, ronice b) elipsoidu a ronice c) jednodílného hyperboloidu. Těmto plochám se budete ěnoat také matematice. Řešení: a) Položme x = cosu; y = sin u; cos u+ sin u = z = a dosaďme do obecné ronice. Obdržíme: což je ronice, která platí pro každé u,. Ronice x = cosu y = sin u z = 71

15 jsou tedy hledané parametrické ronice paraboloidu. Vzhledem k periodicitě sinu a kosinu lze definiční obor zúžit na u ;π ) ;. b) Položíme-li x = a cosu cos ; y = b sin u cos z = c sin a dosadíme do obecné ronice, obdržíme ( a cosu cos) ( b sin u cos ) ( c sin ) + + = 1 a b c cos u cos + sin u cos + sin = 1 cos u+ sin u cos + sin = 1 což je opět ronice, která platí pro každé u,. Parametrické ronice elipsoidu tedy jsou x = a cosu cos y = b sin u cos z = c sin Vzhledem k periodicitě sinu a kosinu lze definiční obor opět zúžit, tentokrát na interaly π π u ;π ) ; ;. c) Využijeme příkladu 4c kpt.. položíme 1 x = a cos cosu 1 y = b cos sin u u ;π ) z = c tg π π ; ( ; ) Dosazením do obecné ronice pak skutečně obdržíme (4) ; (5) cos sin sin cos sin sin 1 sin cos + = + = = = 1 a cos b cos c cos cos cos cos cos cos a u b u c u u u Parametrizací téže plochy samozřejmě existuje íc. Dosadíme-li do obecné ronice jednodílného hyperboloidu např. ( cos sin ) ( sin cos ) x = a u y = b + u z = c u dostaneme roněž ( cos sin ) ( sin cos ) u ; ;π ) (6) a u b + u cu + = a b c = cos ucos sin + u sin + sin + usin cos + u cos u = 1 takže také ronice (6) jsou parametrickými ronicemi našeho hyperboloidu. Jednodílný hyperboloid si můžeme prohlédnout na připojeném obrázku. Vleo je parametrizace (5), prao (6). Tyto obrázky nás přiádějí k dalšímu důležitému pojmu a tím jsou křiky na ploše. 7

16 ( 1 ) ( 1 ) x = a cos cosu = c cosu 1 y b cos sin u c sin u π π = = ; u ( ; ) 5. Křiky na ploše: Křikou na ploše rozumíme liboolnou křiku, která je podmnožinou uažoané plochy. Velmi důležitými křikami na plochách yjádřených parametricky jsou tz. izoparametrické křiky. Izoparametrická křika je křika, kterou obdržíme z parametrického yjádření plochy tím, že parametr resp. u poažujeme za konstantu, tj. že položíme = resp. u = u. Je-li =, hooříme o u -křikce, je-li u = u, hooříme o -křice. Vyjádření izokřiek záisí na parametrizaci plochy. u -křikami jednodílného hyperboloidu parametrizoaného ronicemi (5) jsou křiky ; ;π ) z = c tg tedy elipsy, -křikami pak x = a cos cosu = ( a cosu) cos = c1 cos y = b cos sin u = ( b sin u) cos = c cos z = c tg ( ; ) π π u ; ;π ) tedy hyperboly. Při parametrizaci (6) jsou u -křikami přímky a -křikami elipsy. Na připojeném obrázku idíme kuloou plochu sestrojenou systému Rhinoceros. u - křikami i -křikami jsou kružnice. Počet zobrazených u -křiek a -křiek označené plochy určujeme okně Vlastnosti/objekt/hustota izočar. 7

17 4. 6 Tečná roina a normála plochy K analytickému popisu ploch se místo parametrických ronic opět často použíají bodoé funkce, tentokrát funkce dou proměnných. 1. Bodoá funkce dou proměnných: Bodoou funkcí dou reálných proměnných euklidoském (projektiním) prostoru rozumíme zobrazení f : D E ( f : D E ), kde D je definiční obor funkce. Proměnné u ; této funkce nazýáme parametry. Hodnotou u ; D je bod bodoé funkce pro [ ] Qu ( ; ) = f1( u ; ); f( u ; ); f( u ; ) E resp. Q( u; ) ( k f1( u; ) ; k f( u; ) ; k f( u; ) ; k ω) E = () Každá uspořádaná dojice [ u ; ] hodnot parametrů jednoznačně určuje bod ( ; ) bod Q( u; ) E budeme ětšinou reprezentoat euklidoským reprezentantem ( u ; ) takže místo () budeme psát Q u. Vlastní Q, Q ( u ; ) = ( f1( u ; ); f( u ; ); f( u ; );1) Obor hodnot bodoé funkce (tj. množinu bodů, které jsou obrazem nějakého [ u ; ] D budeme nazýat grafem bodoé funkce ) Lze ukázat, že pokud je definičním oborem souislá podmnožina ) a šechny funkce f1( u ; ); f( u ; ); f( u ; ) - tz. souřadnicoé funkce - jsou spojité, pak grafem bodoé funkce je plocha prostoru E. Říkáme pak, že plocha je určena bodoou funkcí.. Příklad: Parametrickými ronicemi x= cos u cos y = sin u cos ; u ; π ; ; z = sin je určena kuloá plocha. Přepíšeme-li je do taru π π ) ( u; ) = ( cosucos ; sin ucos ; sin ; 1) K, dostááme bodoou funkci pro kuloou plochu. 74

18 Z čistě formálního pohledu tedy bodoou funkci dostaneme z parametrických ronic plochy jejich přepisem do jednoho řádku. To opět často usnadní yjadřoání. Nyní budeme směřoat k pojmu tečna plochy, tečná roina a normála. K tomu je třeba poněkud zobecnit pojem deriace.. Deriace funkce dou proměnných: počítáme analogicky jako deriaci funkce jedné proměnné s tím, že podle jedné proměnné deriujeme, druhou poažujeme za konstantu. f u ; podle proměnné u (proměnná je zde Hooříme pak o parciální deriaci funkce poažoána za konstantu), značíme fu '( u ; ) a o parciální deriaci funkce ( ; ) proměnné (proměnná u je zde poažoána za konstantu), značíme f '( ; ) f u podle u. Bodoé funkce ploch pak (podobně jako bodoé funkce křiek) deriujeme po složkách. 4. Příklad: Určeme parciální deriace bodoých funkcí a) K ( u ; ) = ( cos u ; sin u; ;1) b) L ( u; ) = ( cosucos ; sinucos ; sin ; 1) Řešení: a) u '( u ; ) = ( sin u ; cos u;;) K ' u ; = cos u;sin u;; b) L u '( u; ) = ( sinucos ; cosucos ; ; ) L '( u ; ) = ( cosusin ; -sin usin ; cos ; ) K ; 5. Tečna a tečná roina plochy, regulární bod, regulární plocha: Podobně jako u křiek i u ploch technická praxe ětšinou požaduje hladkost, tj. případě ploch alespoň diferencoatelnost souřadnicoých funkcí. V případě ploch tyto požadaky zakáží na ploše Q' u ; určuje směroý ektor tečny -křiky hroty (rcholy) a hrany. Deriace u Q ( u ), deriace Q' ( u ; ) určuje směroý ektor tečny u -křiky Q ( u ; ). Bod ( ; ) ; u, e kterém oba tyto ektory existují a jsou lineárně nezáislé, nazýáme regulárním bodem. Bod, který není regulární, nazýáme singulární. Plochu, jejíž šechny body jsou regulární, nazýáme regulární plochou. Tečnu u -křiky resp -křiky regulárním bodě = ( u; ) T ( u) Q( u ; ) + Q' ( u ; ) u resp. ( ; ) ( ; ) u u T Q lze psát e taru T Q u + Q' u u ; a díky předpokládané lineární nezáislosti tečných ektorů je ronicí ( ; ) ( ; ) ( ; ) τ X=Q u + Q' u u+ Q' u ; u ; u určena roina, kterou nazýáme tečnou roinou plochy bodě = ( u ; ) součin ( u ; ) = ' ( u ; ) ' ( u ; ) N Q Q u je, jak známo, ektor kolmý na tečné ektory Q' u ( u; ) Q' ( u; ) ektor roiny τ, která se plochy dotýká bodě ( ; ) ektor plochy bodě ( u ; ). Normála plochy bodě = ( u ; ) T Q. Vektoroý, je to tedy normáloý u. Tento ektor nazýáme normáloý T Q je pak taru 75

19 ( ; ) ( ; ) X=Q u + N u t 6. Příklad: Určeme tečné roiny a normály ploch K ( u ; ); ( u ; ) Q ( ;). Řešení: a) Pro Q ( ;) je (iz př. 4 a) K u '( ;) = ( sin; cos;;) = ( ;;;) ; K '( ;) = ( cos;sin;;) = ( 1;;;) Protože K '; = K ';, jsou K '; K ' lineárně záislé, bod ( ;) L z příkladu 4, a to bodě u u Q plochy K tedy není regulární. Plocha zde nemá tečnou roinu, nemůže zde tedy mít ani normálu. Q ; je (iz př. 4 b) b) Pro L u '( ;) = ( sincos; coscos; ; ) = ( ; ; ; ) L '( ;) = ( cossin; sinsin; cos; ) = ( ;;;) Tečná roina je tedy X=K( ;) + K' ( ;) u+ K' ( ;) = = ( ;;;1) + ( ; ;;) u+ ( ;; ;) = ( ; u; ;1) a směroý ektor normály: u 4. 7 Křiosti plochy i j k N( ; ) = Q' u( ; ) Q' ( ;) = = = 4i = ( 4;;;) a normála tedy je ( u; ) + ( u; ) t = ( ;;;1) ( 4;;;) t ( 4 t;;;1) X=Q N = + = + V systému Rhinoceros je zobrazení normál jednotliých bodech plochy přístupné z menu Analýza/Směr. Na aktuální pozici kurzoru se roněž zobrazují tečné ektory příslušných izočar. 1. Křiosti na ploše: Analytický popis křiosti ploch přesahuje rámec tohoto textu, proto jen u ; Q u ; jejím objasníme jejich geometrický ýznam. Normálou N ( ) plochy regulárním bodě Q ( u; ) proložme liboolnou roinu ν. Ta protne plochu křice K ( t). Označme K '( t ) směroý ektor tečny křiky K ( t) bodě ( u; ) ( t) křiky K () t tomto bodě nazýáme normáloou křiostí plochy Q ( u ; ) bodě Q ( u ; ) Q = K. Křiost κ a směru K '( t ). Normáloá křiost záisí obecně na zoleném směru. Pro každý regulární bod plochy existuje směr K ' min, e kterém je normáloá křiost κ min nejmenší, a směr K ' max, e kterém je křiost κ naopak nejětší. Tyto směry nazýáme hlaní směry a příslušné max 76

20 křiosti hlaní křiosti plochy bodě Q ( u; ). Na připojeném obrázku jsou křiky s minimální resp. maximální křiostí bodě Q ( u; ) označeny K min resp. K max. Dále je definoána střední křiost jako aritmetický průměr hlaních křiostí, tj. 1 κ = ( κmax + κmin ) a křiost Gaussoa, jako součin hlaních křiostí, tj. κ = κmax κmin.. Eliptický, parabolický a hyperbolický bod: Bod P plochy nazýáme a) eliptický b) parabolický c) hyperbolický práě tehdy, když existuje jeho okolí O ( P) tečná roina τ bodě P G ε tak, že a) tomto okolí neprochází již žádným dalším bodem plochy b) tomto okolí má s plochou společnou křiku c) tomto okolí má s plochou společné dě různé křiky, které se protínají bodě P Na připojeném obrázku je bod 1 eliptický, bod parabolický a bod hyperbplický. Pokud na ploše leží body eliptické i hyperbolické, pak tam leží i body parabolické.. Křiosti Rhinoceros: Analýza křiostí plochy je systému Rhinoceros přístupná z menu Analýza/Plocha/Analýza křiosti. Křiost plochy jednotliých bodech je izualizoána barenou škálou. Křiost, kterou chceme izualizoat, ybíráme roletě Styl. Volba Min. poloměr resp. Max poloměr izualizuje elikost poloměrů oskulačních kružnic hlaních směrech, olba Střední resp. Gaussoa pak střední resp. Gaussou křiost. Zde je třeba si uědomit, že poloměry oskulačních kružnic jsou nepřímo úměrné křiostem, tj. čím ětší poloměr, tím menší křiost a naopak. 77

21 4. 8 Grafické algoritmy konstrukce ploch 1. Konstrukce pomocí křiek: Nejjednodušší algoritmy sestrojují plochy z f ( x; y) = a plochy zadané parametrickými ronicemi resp. bodoou funkcí Qu ( ; ) = f1( u ; ); f( u ; ); f( u ; ) E pomocí dou osno křiek. V prním případě se jedná o prostoroé křiky z = f ( c ; y 1 ) ; z f ( x; c ) z = f ( x; y) roinami x = c1 ; resp. y = c. Ve druhém případě se jedná o křiky ( ; ) Q( u; ), což jsou u -křiky resp. -křiky plochy ( ; ) =, které předstaují řezy plochy Q u ; Q u. Tyto algoritmy jsou sice jednoduché, ětšinou šak neposkytují příliš dobré ýstupy. Neposkytují roněž náod na f x; y; z =. sestrojoání ploch zadaných obecnými ronicemi. Řešení iditelnosti: Podstatného zlepšení zhledu sestrojoaných ploch lze docílit řešením iditelnosti. Algorotmů řešících iditelnost je celá řada. Jeden z nejrozšířenějších je tz. malířů algoritmus (Painter's algorithm, Priority list). Princip spočíá rozdělení plochy na malé segmenty a jejich přímém ykresloání na ýstupní zařízení, a to pořadí od nejzdálenějších po nejbližší zhledem k pozoroateli. Bližší plochy překryjí zdálenější a iditelnost je tak yřešena přirozeným způsobem. Na připojeném obrázku idíme t graf x y funkce z = e +, 4 cos ( x + y ) sestrojený pomocí křiek (leo) a s iditelností (prao).. Plochy zadané ronicí f ( x; y; z ) = : Konstrukci plochy po malých segmentech s yřešenou iditelností je možno použít již i k sestrojoání ploch daných obecnou ronicí. Základní princip je analogický dojorměrnému případu, tj. ykresloání křiek taru f x; y = pomocí pixelů (iz kapitolu 9..). Konstrukce prostoroém případě spočíá 78

22 rozdělení prostoru na krychloé elementy (oxely) a testoání znamének funkce w= f ( x; y; z) jejích rcholech. Jsou-li šechna znaménka stejná, plocha krychli neprotíná. Jestliže se liší, plocha krychli protíná a příslušný(é) segment(y) je třeba sestrojit. Na rozdíl od dojrozměrného případu šak nesestrojujeme celou krychli, ale je třeba rozlišit celkem 17 případů, jak může plocha krychli protínat. Na připojeném obrázku je znázorněn případ, kdy byla záporná znaménka zjištěna e rcholech CC ; '; D ' a kladná e zbýajících (popř. naopak). V těchto případech je třeba sestrojit celkem tři trojúhelníkoé segmenty. 4. Vlastní stín: Dalším krokem ke zlepšení zhledu zobrazoaného objektu je stínoání. Reálné předměty jsou yrobeny z různého materiálu a jejich porchy mají různý zhled. Hooříme-li o zhledu porchu, říkáme, že je čerený, lesklý, drsný, průhledný atd. Tyto lastnosti se ztahují esměs k optickým lastnostem porchu, popř. celého tělesa. Dopadne-li sětlo na porch tělesa, je částečně pohlceno a částečně odraženo. Předpokládejme nejjednodušší případ, kdy je těleso přímo osětleno jedním plošným zdrojem bílého sětla. Pokud by reálné roinné optické rozhraní mělo mikroskopicky dokonale hladký (zrcadloý) porch, pak by optický odraz a lom zachoáal ronoběžnost. Jinými sloy - pokud by na takoé rozhraní dopadal ronoběžný sazek paprsků, pak by odražený i lomený sazek byl opět ronoběžný (iz připojený obrázek leo). Dokonale hladký porch šak žádný reálný přemět nemá. Není-li porch dokonale hladký, pak normály tohoto porchu mají různý směr, různé směry mají tedy i odražené a lomené paprsky. Dochází k tz. difuzi tak, jak naznačuje situace prao. Vlastnosti odraženého i lomeného sazku lze popsat jen elmi přibližně. Funkci, která se tento charakter snaží popsat, nazýáme odrazoou resp. lomoou funkcí. Aplikaci této funkce konkrétní situaci pak nazýáme osětloacím modelem. složkami V nejjednodušším případě, kdy porch pokládáme za dokonale difuzní, je sětlo rozptyloáno ronoměrně do šech směrů nezáisle na směru jeho dopadu. Intenzita sětla, kterou z daného segmentu nímá pozoroatel, je tak přímo úměrná intenzitě, která na segment dopadá. Dopadající intenzita je úměrná průmětu segmentu do roiny kolmé ke směru sětla, je tedy záislá na kosinu úhlu α, který sírá normála n segmentu ABC se směrem s dopadajícího sětla. Jsou-li tedy R; GB ; barené složky plně osětleného segmentu, je třeba segment obarit 79

23 ( RGB) ( RGB) ; ; cos π α = ; ; cosα, kde cosα = ns n s ; n = AB AC. Jestliže je roinnými segmenty plátoána obecná plocha a celý segment je obaren toutéž barou (tz. metoda konstantního stínoání), pak tato metoda zdůrazňuje hrany, které plocha e skutečnosti nemá (iz připojený obrázek leo). Tomu se dá předejít buď interpolací normáloých ektorů (Phongoo stínoání) nebo interpolací bary (Gouraudoo stínoání). Tyto metody do značné míry nežádoucí hrany zahlazují - iz obrázek prao. 5. Nanášení textur: Porch reálných předmětů má málokdy konstantní baru. Různobarenost plochy yjádříme nejlépe nanesním textury. Texturou je obraz, skládající se z pixelů. Plocha musí být rozdělena na prostoroé segmenty, které odpoídají jednotliým pixelům textury. Baru každého pixelu textury pak přeneseme na sestrojoanou plochu pomocí tz. mapoací funkce tak, jak naznačuje připojený obrázek. 6. Vržený stín: Kromě lastního stínu, který zniká důsledku různého úhlu normál segmentů plochy a dopadajícího sětla, existuje stín ržený. Nachází-li se těleso mezi zdrojem sětla a zbytkem scény, pak tuto část scény zastíní. Řešení ržených stínů může být dosti komplikoané (těleso může např. zastiňoat i část sebe sama). Ueďme nejjednodušší případ, kdy těleso osětlené jedním bodoým zdrojem rhá stín na odoroné pozadí. V tom případě získáme ržený stím jako ronoběžný popř. středoý průmět ( případě plošného resp. bodoého sětelného zdroje) zobrazoaného objektu na tuto podložku. Průmět (stín) pak sestrojíme přiměřeným ztmaením příslušných bodů podložky. Podobně jako na připojeném obrázku lze započítat např. úbytek sětla s rostoucí zdáleností apod. 7. Phongů osětloací model: Nejjednodušší osětloací model, který bere úahu zrcadloou i difuzní složku sětla, narhl r Bui-Tuong Phong. Jedná se o model empirický, tj. model, který nepopisuje složité choání sětla na neroném porchu fyzikálně, ale napodobuje ho jednoduchými funkcemi na základě pozoroání. K ýpočtu osětlení bodu P plochy na připojeném obrázku budeme potřeboat ektory s (směr dopadajícího sětla), n (normálu), p (směr pozoroatele), které okamžiku ýpočtu modelu známe, a r (směr 8

24 odraženého paprsku), který spočítáme pomocí ektorů sn. ; Pro jednoduchost předpokládejme, že ektory snrp ; ; ; jsou normalizoané, tj. že jejich elikost je rona jedné. Za tohoto předpokladu je PC = cosα a m = PC = cosα. Protože m= m n, dostááme po dosazení z předchozího ztahu m= ( cosα ) n. Protože šak m= r s, je = ( cosα) odkud dostááme r = ( cosα) n+ s. Konečně je cos ( ; ) takže směr odraženého paprsku je = ( ; ) pak spočítáme jako součet r s n, α = sn, r s s n. Celkoou intenzitu I osětlení bodu P I = I +Σ I + I A M D kde I A je intenzita rozptýleného (ambientního) sětla, I je intenzita zrcadloé a I difuzní M D složky sětla. Rozptýlené sětlo se počítá jen jednou, zrcadloou a difuzní složku je třeba případně sečíst přes íce sětelných zdrojů. Pro danou plochu je třeba stanoit koeficienty zrcadloého a difuzního odrazu cm ; c D,podle toho, nakolik má být plocha zrcadloá a nakolik matná, přičemž by mělo platit cm + cd = 1. Intenzita příspěku každého zdroje se pak stanoí jako I ( ; ) h M + ID = I S cm rp + cd ( sn ; ) kde I S je užiatelem definoaná intenzita zdroje a h je tz. ostrost zrcadloého odrazu - další empirický parametr, který definuje směroost odraženého sětla. 8. Sledoání paprsku: Všechny ýše uedené metody předpokládají, že zobrazoané objekty se neoliňují. V reálném sětě tak tomu šak není. Metoda sledoání paprsku patří mezi tz. globální metody, tj. metody, které se snaží postihnout sětelné jey komplexně. Bodem, e kterém se nachází pozoroatel, a každým pixelem ýstupního okna je určen sětelný paprsek, který pošleme do scény a sledujeme rekurziní procedurou. Jestliže nedopadne na žádný objekt e scéně, je pixelu přiřazena bara pozadí a zpracoáá se další bod. Při dopadu na objekt se bodě dopadu testuje, zda je bod přímo osětlen některými sětelnými zdroji. Pokud ano, přičteme jejich příspěky dle použitého osětloacího modelu a yšleme odražený a popř. i lomený paprsek, který necháme rekurzině zpracoáat toutéž procedurou. Algoritmus pro daný pixel končí okamžiku, kdy šechny sledoané paprsky opustily scénu, anebo bylo dosaženo předem stanoené úroně rekurze. 81