Příklad 1 (25 bodů) Částice nesoucí náboj q vletěla do magnetického pole o magnetické indukci B ( 0,0, B)

Transkript

1 Přijímací zkouška na naazující magisterské studium - 05 Studijní program Fyzika - šechny obory kromě Učitelstí fyziky-matematiky pro střední školy, Varianta A Příklad Částice nesoucí náboj q letěla do magnetického pole o magnetické indukci B ( 0,0, B) rychlostí 0 = ( 0x, 0y, 0z). Uažujte pouze působení Lorentzoy síly. a) Určete složky síly působící na částici. b) Určete složky rychlosti částice. c) Určete trajektorii pohybu částice. Příklad Kondenzátor je tořen děma elmi dlouhými souosými álcoými elektrodami o poloměrech a a b (a<b) a ýšce l. Prostor mezi elektrodami je yplněn děma dielektriky o stejných tloušťkách d a permitiitách a způsobem yznačeným na obrázku. Na nitřní elektrodu kondenzátoru je přenesen náboj. a) Určete elikost a směr intenzity elektrického pole E části kondenzátoru yplněné dielektrikem o permitiitě a E části kondenzátoru yplněné dielektrikem o permitiitě. b) Spočtěte plošnou hustotu olného náboje (b) na nější elektrodě kondenzátoru. c) Spočtěte plošnou hustotu ázaného náboje P(a) té části dielektrika o permitiitě, která je kontaktu s nitřní elektrodou. d) Odoďte ýraz pro kapacitu tohoto kondenzátoru. Nehomogenity pole na okrajích kondenzátoru zanedbejte. Příklad 3 V mikroskopu pozorujeme prošlém sětle Newtonoy kroužky, tj. interferenci sětla na zduchoé mezeře (index lomu zduchu n 0 = ) mezi skleněnou roinnou destičkou a ploskoypuklou čočkou, která je zdola ozářená sodíkoou ýbojkou (λ = 589 nm).) a) Napište podmínku destruktiní interference (tmaého kroužku). b) Určete poloměr křiosti čočky R, je-li poloměr třetího tmaého kroužku r 3 = mm. Předpokládejte, že tloušťka zduchoé mezery je mnohem menší než R. c) Jak se změní hodnota poloměru r 3, yplníme-li mezeru odou (index lomu ody n = 4/3)? Výsledky stačí yjádřit obecně. R r Příklad 4 Měď krystaluje kubické plošně centroané krystaloé soustaě. Hustota mědi je 890 kg m -3. a) Elementární buňku načrtněte. Vypočtěte mřížkoou konstantu. Výpočet stačí s přesností na platnou číslici bez použití kalkulačky. b) Při jakém úhlu budeme pozoroat difrakční maximum od systému roin (00), íme-li, že bylo použito monochromatické záření o lnoé délce 0,5 nm? Měření bylo proedeno při teplotě 93 K. c) Do jakého úhlu se posune difrakční maximum téhož systému roin, budeme-li měření proádět při teplotě 773 K? Lineární koeficient teplotní roztažnosti mědi α = K -. Velikosti úhlů yjádřete pouze obecně, číselné hodnoty nedosazujte, jsou pouze informatiní. Aogadroa konstanta N A = 6, mol -, atomoá hmotnostní jednotka m u=, kg. Relatiní atomoá hmotnost A r = 63,55.

2 Příklad Částice nesoucí náboj q letěla do magnetického pole o magnetické indukci B ( 0,0, B) rychlostí 0 = (0x,0y,0z). Uažujte pouze působení Lorentzoy síly a) Určete složky síly působící na částici. b) Určete složky rychlosti částice. c) Určete trajektorii pohybu částice. Řešení: a) Na částici působí Lorentzoa síla V našem případě je kde E 0 F q( E B), tudíž Lorentoza síla má tar F q( B) ( x, y, z ) Po ektoroém ynásobení má ektor síly tar F qb y, qb,0) ( x ( body) Pohyboá ronice má tar Z této ronice získáme d x qb dy dt m dt d y qb dx dt m dt d z 0 dt Označíme-li dostaneme 3 () () d x dx (4) 3 dt dt F ma (3) qb, deriujeme-li ronici () a do ýsledku dosadíme z ronice (), potom m Řešení této ronice hledáme e taru x dx Acos( t) Bsin( t) dt S použitím ronice () dostaneme pro y-oou složku rychlosti

3 y a pro z-oou složku dostaneme dy dt d x dt Asin( t) B cos( t) dz z C dt Po uážení počátečních podmínek čase t=0, 0 dostaneme Složky ektoru rychlosti částice jsou tedy x A 0x B 0 y C 0 y cos( t) 0 sin( ) 0x y t y sin( t) 0 cos( ) 0x y t z 0z Složky x a y popisují kruhoý pohyb roině x-y. Složka z popisuje ronoměrný pohyb podél z-oé osy Pro získání popisu trajektorie pohybu integrujeme ektor rychlosti podle času po složkách. S yužitím separace proměnných dostaneme pro x-oou složku dx 0 x cos( t) 0 sin( t) dt Po integraci a uážení okrajoých podmínek pro t=0 dostaneme 0 y 0x 0 y x x0 sin( t) cos( t) Obdobně pro y-oou a z-oou složku dostaneme 0x 0x 0 y y y0 cos( t) sin( t) x z 0 0z t y Trajektorií pohybu je tedy šrouboice.

4 Příklad Kondenzátor je tořen děma elmi dlouhými souosými álcoými elektrodami o poloměrech a a b (a<b) a ýšce l. Prostor mezi elektrodami je yplněn děma dielektriky o stejných tloušťkách d a permitiitách a způsobem yznačeným na obrázku. Na nitřní elektrodu kondenzátoru je přenesen náboj. a) Určete elikost a směr intenzity elektrického pole E části kondenzátoru yplněné dielektrikem o permitiitě a E části kondenzátoru yplněné dielektrikem o permitiitě. b) Spočtěte plošnou hustotu olného náboje (b) na nější elektrodě kondenzátoru. c) Spočtěte plošnou hustotu ázaného náboje P(a) té části dielektrika o permitiitě, která je kontaktu s nitřní elektrodou. d) Odoďte ýraz pro kapacitu tohoto kondenzátoru. Nehomogenity pole na okrajích kondenzátoru zanedbejte Řešení: a) Pro álcoé plochy S a S procházející dielektriky o permitiitách a platí podle Gaussoa zákona pro dielektrika D ds D ds Z důodů symetrie bude směr intenzity elektrického pole E a elektrické indukce D radiální a pro jejich elikost platí Odtud dostááme D rl D r l E r l Er l E lr a E lr pro r ϵ (a, a+d) a r ϵ (a+d, b) (8 bodů) b) Na nější elektrodě se indukuje náboj -. Díky ětší ploše je hustota olného náboje na nější elektrodě menší než na nitřní ( b) bl c) Pro hustotu ázaného náboje platí Vektor polarizace spočteme ze tahu p P n

5 Po yjádření P D E P 0 E a dosazení E(a) (část a) za E dostááme d) Kapacita je definoána jako p 0 ( a) P al C Pro její ýpočet tedy musíme znát napětí mezi oběma elektrodami. To lze spočítat s použitím ýsledků části a) b Edr a ad E dr Odtud plyne níže uedený ýraz pro a b E dr ad C a C a d b ln ln l a l a d Alternatiní postup, který neyžaduje znalost ýsledků z části a) je možné založit např. na znalosti kapacity C0 álcoého kondenzátoru bez ložených dielektrik. Pro takoý kondenzátor napětí mezi oběma elektrodami spočítáme z intenzity elektrického pole určené pomocí Gaussoa zákona elektrostatiky E ds => E 0 0 lr b Edr a b b ln ra ln 0l l a 0l C0 ln( b / a) 0 Po ložení dielektrik bude platit následující ztah mezi úbytkem napětí mezi elektrodami a na jednotliých rstách dielektrika Kapacitu lze tedy spočíst jako kapacitu sérioě zapojeného kondenzátoru, kde permitiitu akua nahradíme permitiitou příslušného dielektrika, a poloměry elektrod rozměry dielektrik C C C C a d ln l a b ln l a d C l l a d b ln ln a d b a a d ln a a d (9 bodů)

6 Příklad 3 V mikroskopu pozorujeme prošlém sětle Newtonoy kroužky, tj. interferenci sětla na zduchoé mezeře (index lomu zduchu n0 = ) mezi skleněnou roinnou destičkou a ploskoypuklou čočkou, která je zdola ozářená sodíkoou ýbojkou (λ = 589 nm). a) Napište podmínku destruktiní interference (tmaého kroužku). b) Určete poloměr křiosti čočky R, je-li poloměr třetího tmaého kroužku r3 = mm. Předpokládejte, že tloušťka zduchoé mezery je mnohem menší než R. c) Jak se změní hodnota poloměru r3, yplníme-li mezeru odou (index lomu ody n = 4/3)? Výsledky stačí yjádřit obecně. R r Řešení: a) Při odrazu na opticky hustším prostředí dochází ke změně fáze o π ( body) Protože jsou tam da odrazy na opticky hustším prostředí, podmínka pro destruktiní interferenci je kde t je tloušťka mezery daném místě a k kladné celé číslo. n 0 t = kλ λ, b) Tloušťka mezery záislosti na zdálenosti r od středu čočky je r + (R t) = R Při uážení t << R dostaneme t = r R Dosazením do podmínky destruktiní interference obdržíme pro poloměr křiosti čočky R = n 0r (k )λ (3 bodů) což pro třetí tmaý proužek dá R = r 3 (= 0,68 m) (3 )λ c) Pro dané R můžeme psát n r = n 0 r r 3 = n 0 n r 3(= 0,87 m) (6 bodů)

7 Příklad 4 Měď krystaluje kubické plošně centroané krystaloé soustaě. Hustota mědi je 890 kg m -3. a) Elementární buňku načrtněte. Vypočtěte mřížkoou konstantu. Výpočet stačí s přesností na platnou číslici bez použití kalkulačky. b) Při jakém úhlu budeme pozoroat difrakční maximum od systému roin (00), íme-li, že bylo použito monochromatické záření o lnoé délce 0,5 nm? Měření bylo proedeno při teplotě 93 K. c) Do jakého úhlu se posune difrakční maximum téhož systému roin, budeme-li měření proádět při teplotě 773 K? Lineární koeficient teplotní roztažnosti mědi α = K -. Velikosti úhlů yjádřete pouze obecně, číselné hodnoty nedosazujte, jsou pouze informatiní. Aogadroa konstanta NA = 6, mol -, atomoá hmotnostní jednotka mu=, kg. Relatiní atomoá hmotnost Ar = 63,55. Řešení: a) Plošně centroaná buňka obsahuje 4 atomy (bázoé body). Použít zorec pro hustotu (n = 4): nebo ekialentní ztah: ρ = n A r M u NA a 3 ρ = n A rm u a 3 a je mřížkoá konstanta, Ar je relatiní atomoá hmotnost, Mu je molární hmotoá konstanta (0-3 kg mol - ). 3 a = n A rm u ρ

8 3 = 4 60,7 0 7 kg kg m 3 3 = m = 0,3 0,4 nm ( body) (přesně a = 0,36nm, stačí řádoě dobře) b) Meziroinná zdálenost d00 = a je totožná s mřížkoou konstantou (nejlépe z náčrtku). Dále aplikoat Braggů zákon: Kde n = je řád difrakce, tedy: d hkl sin θ = nλ sin θ = λ = λ d 00 a c) Zde je třeba použít zoreček pro teplotní roztažnost a opět použít Braggů zákon : λ sin θ = = d 00 ( + αδt)