Matematick y semin aˇ r RNDr. Edita Kol aˇ rov a USTAV MATEMATIKY

Transkript

1 Matematický seminář RNDr. Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

2

3 Matematický seminář Obsah Přehled použité symboliky 4 Základní pojmy matematické logiky a teorie množin 5. Elementy matematické logiky Základní operace s množinami Aiomy, definice, věty a důkazy Vektorová algebra a analytická geometrie 9 3. Základní operace s vektory Přímka v rovině Přímka v prostoru a rovnice roviny Kuželosečky v rovině Úpravy agebraických výrazů a rovnice 8 4. Úpravy agebraických výrazů Rovnice Soustavy rovnic 9 5. Soustavy lineárních rovnic Gaussova eliminační metoda Řešení nerovnic Operace s nerovnicemi Lineární nerovnice Kvadratická nerovnice Nerovnice s absolutními hodnotami Iracionální nerovnice a soustavy nerovnic Elementární funkce 4 7. Lineární funkce Kvadratická funkce Mocninná funkce Eponenciální funkce a logaritmická funkce Vlastnosti funkce jedné proměnné Vlastnosti a druhy funkcí Inverzní funkce Limita a spojitost funkce Derivace funkce Geometrický a fyzikální význam derivace Výpočet derivace L Hospitalovo pravidlo

4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Goniometrické funkce 7. Oblouková míra Goniometrické funkce Goniometrické rovnice Integrál funkce jedné proměnné 78. Primitivní funkce Určitý integrál Komplení čísla 86. Algebraický tvar kompleního čísla Goniometrický tvar kompleního čísla Moivreova věta Řešení binomických rovnic v C Posloupnosti a řady 9 3. Aritmetická a geometrická posloupnost Nekonečná geometrická řada Kombinatorika Permutace, variace a kombinace Binomická věta

5 Matematický seminář 3 Seznam tabulek 9. Vzorce pro derivace elementárních funkcí Hodnoty goniometrických funkcí pro některé důležité úhly Vzorce pro integraci elementárních funkcí

6 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Přehled použité symboliky N = {,, 3,...} množina všech přirozených čísel N = N {} Z = {,,,,,...} Q = {p/q; p, q Z, q } množina všech celých čísel množina všech racionálních čísel R R + množina všech reálných čísel množina všech reálných kladných čísel C = { + iy;, y R} množina všech kompleních čísel { },Ø prázdná množina a M a M a je prvek množiny M a není prvek množiny M { M; v()} množina všech prvků množiny M s vlastností v P Q P Q P Q P Q konjunkce výroků P, Q disjunkce výroků P, Q P implikuje Q ekvivalence výroků P a Q obecný kvantifikátor (každý...) eistenční kvantifikátor (eistuje...) M N M je podmnožina N M = N (M N ) (N M) ; M se rovná N M N M N {; M N } sjednocení množin {; M N } průnik množin M N {; M N } A[a ; a ; a 3 ] bod o souřadnicích a, a, a 3 u = (u ; u ) vektor o složkách u, u AB a, z vzdálenost bodů A, B; velikost úsečky AB absolutní hodnota reálného resp. kompleního čísla

7 Matematický seminář 5 Základní pojmy matematické logiky a teorie množin. Elementy matematické logiky Výrok je vyslovená nebo napsaná myšlenka, která sděluje něco, co může být pouze pravdivé nebo nepravdivé. Jednoduché výroky označujeme velkými písmeny, např. A, B, V,.... Pomocí logických spojek dostáváme složené výroky. Nejdůležitější jsou: A (nona; A ; A;...) negace výroku A (není pravda, že A) A B konjunkce (A a zároveň B) A B disjunkce (A nebo B; platí alespoň jeden) A B implikace (jestliže A, pak B; z A plyne B) A B ekvivalence (A platí tehdy a jen tehdy, když platí B; A platí právě tehdy, když platí B) Kvantifikované výroky jsou výroky, udávající počet: obecný kvantifikátor (čteme: ke každému, pro každé, pro všechna) vyjadřující, že každý (všichni, libovolný, kterýkoliv) uvažovaný objekt má - nebo nemá - požadovanou vlastnost. eistenční kvantifikátor (čteme: eistuje alespoň jeden) vyjadřuje, že některé (alespoň jeden, někteří, lze nalézt, eistuje,...) objekty mají vlastnost, o kterou jde. Příklad. Výrok A je rok má 3 měsíců a výrok B je = 4. Utvořte A, A B, A B, A B, A B a rozhodněte, jsou-li pravdivé nebo nepravdivé. A : rok nemá 3 měsíců - pravdivý výrok A B : rok má 3 měsíců nebo = 4 - pravdivý výrok A B : rok má 3 měsíců a = 4 - nepravdivý výrok A B : má-li rok 3 měsíců, pak = 4 - pravdivý A B : rok má 3 měsíců právě tehdy, je-li = 4 - nepravdivý výrok Příklad. Vyslovte negaci výroku A: a) Všechny kořeny mnohočlenu jsou rovny nule. b) Ne všechna reálná čísla jsou kladná. c) < 7 d) Levná výroba proudu. a) Alespoň jeden kořen mnohočlenu je nenulový; b) Všechna reálná čísla jsou kladná; c) 7; d) není výrok

8 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.3 Výrok A číslo a je dělitelné osmi, výrok B číslo a je dělitelné dvěma. Formulujte A B, a rozhodněte zda je pravdivý. Je-li číslo a dělitelné osmi, pak je dělitelné dvěma. Pravdivá implikace. Základní operace s množinami Množinou rozumíme souhrn libovolných, navzájem různých objektů, které mají určitou vlastnost. Základní operace s množinami : A B A = B A B A B inkluze množin A, B rovnost množin A, B sjednocení množin průnik množin A B rozdíl množin (A \ B) A B doplněk množiny A v množině B Připomínáme ješte intervaly, jejich názvy, znázornění na číselné ose: uzavřený interval a; b = { R; a b} otevřený interval (a; b) = { R; a < < b} a a b b polootevřený interval (a; b = { R; a < b} (polouzavřený) a; b) = { R; a < b} neomezený interval a; ) = { R; a } (a; ) = { R; a < } ( ; b = { R; b} ( ; b) = { R; < b} a a a a b b b b oboustranně neomezený interval ( ; ) = R Příklad.4 M je množina všech sudých čísel, P množina všech lichých čísel, která nejsou dělitelná třemi, R množina všech čísel, která jsou dělitelná třemi. Určete M R, M P R, P R. M P R = Z M R množina všech celých čísel dělitelných šesti P R = { }

9 Matematický seminář 7 Příklad.5 M je množina všech sudých přirozených čísel menších než deset. Najděte všechny její podmnožiny. M = {, 4, 6, 8} jednoprvkové {}, {4}, {6}, {8} dvouprvkové {, 4}, {, 6}, {, 8}, {4, 6}, {4, 8}, {6, 8} trojprvkové {, 4, 6}, {, 4, 8}, {4, 6, 8}, {, 6, 8} čtyřprvkové {, 4, 6, 8} množina prázdná.3 Aiomy, definice, věty a důkazy Základem logické výstavby matematiky je soubor aiomů, t.j. matematických výroků, které se považují za pravdivé a nedokazují se. K zavedení nových pojmů slouží definice, která stanoví název pojmu a určí jeho základní vlastnosti. Věta v matematice je pravdivý výrok, který musíme logicky odvodit - dokázat - z aiomů, definic a dříve dokázaných vět. Podle použitých postupů rozlišujeme důkaz přímý, nepřímý, důkaz sporem, důkaz matematickou indukcí. Příklad.6 Věta: Součin dvou libovolných sudých čísel je dělitelný čtyřmi. Důkaz přímý: Jde o součin l k = 4lk (l, k Z) a to bylo dokázat. Příklad.7 Věta: Necht rovnice a + b + c = má celočíselné koeficienty, a, b je číslo liché. Dokažte, že rovnice nemůže mít dvojnásobný kořen. Důkaz sporem: Předpokládáme, že rovnice má dvojnásobný kořen. Pak diskriminant je nulový. Víme, že b = k +, k Z. Tedy D = (k + ) 4ac = 4k + 4k + = 4ac. Na levé straně rovnice je liché číslo, na pravé straně sudé a to je spor. Neplatí tedy předpoklad, že kvadratická rovnice má za daných podmínek dvojnásobný kořen. Příklad.8 Matematickou indukcí dokažte, že čísel je roven S n = n(n + )(n + ). 6 součet čtverců prvních n přirozených Důkaz: Matematickou indukcí dokazujeme výrok V (n) tak, že nejprve dokážeme platnost V (a), kde a je nejmenší přirozené číslo pro danou úlohu. Pak předpokládáme platnost V (n) a ukážeme platnost implikace V (n) V (n + ). Pak V (n) platí pro všechna n. V našem případě: V () : S = 3 =, což odpovídá S 6 =. Předpokládáme V (n) : S n = n(n + )(n + ). 6 Počítáme V (n + ) : S ( n + ) = S ( n) + (n + ) = n(n + )(n + ) + (n + 6 ) = (n + 6 )(n + 7n + 6) = (n + )(n + )(n + 3). 6

10 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad.9 Necht množina M je množina všech řešení rovnice cos π je množina všech řešení rovnice sin π =. Najděte M N, M N. =, množina N Příklad. Najděte sjednocení a průnik intervalů: a) ; 3) a ; ) b) ( ; 3 a ( 8; 5) Příklad. Přímým důkazem dokažte: [M N = Z; M N = kladná a záporná lichá čísla ] a) Zvětší-li se číslo a o, zvětší se jeho druhá mocnina o (a + ). [a) ; ), ; 3) b) ( ; 5), ( 8; 3 ] b) Zvětší-li se číslo o h, zvětší se jeho dekadický logaritmus o log ( + h ). c) Součet dvou čísel lichých je sudé číslo. Příklad. Sporem dokažte: a) Rovnice a = b, kde a, má jediné řešení. b) V každém trojúhelníku leží proti stejným úhlům stejné strany. Příklad.3 Metodou matematické indukce dokažte: a) n = (3n ) b) n(n + ) = n(n + )(n + ) 3 c) (n ) = n(n )(n + ) 3

11 Matematický seminář 9 3 Vektorová algebra a analytická geometrie 3. Základní operace s vektory Vektorem nazýváme množinu všech souhlasně orientovaných úseček téže velikosti. Je-li u = AB libovolný nenulový vektor s počátečním bodem A[a ; a ; a 3 ] a koncovým bodem B[b ; b ; b 3 ], pak souřadnice vektoru u jsou: Zapisujeme u(u ; u ; u 3 ). u = b a, u = b a, u 3 = b 3 a 3. Je-li A = B, pak dostáváme vektor nulový o(; ; ). U vektorů v rovině vypustíme třetí souřadnici. Pro vektory u(u ; u ; u 3 ) a v(v ; v ; v 3 ) zavádíme: velikost vektoru u = u + u + u 3 rovnost vektorů u = v (u = v ) (u = v ) (u 3 = v 3 ) součet vektorů u + v = w = (u + v ; u + v ; u 3 + v 3 ) rozdíl vektorů u v = w = (u v ; u v ; u 3 v 3 ) opačný vektor k u u = ( u ; u ; u 3 ) k-násobek vektoru k u = (ku ; ku ; ku 3 ), k R, k skalární součin u v = u v + u v + u 3 v 3 úhel ϕ dvou vektorů cos ϕ = 3. Přímka v rovině Přímka p v rovině: u v, ϕ ; π) u v Je-li přímka p určena bodem A[a ; a ] a nenulovým směrovým vektorem s(s ; s ) jsou její parametrické rovnice = a + ts, y = a + ts, t R. Budeme používat i zkrácený zápis p {[a +ts ; a +ts ], t R}. Vyloučením parametru t z parametrických rovnic dostaneme obecnou rovnici přímky p a + by + c =. Je-li v této rovnici b, lze najít směrnicový tvar p y = k + q; k, q R.

12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Vzdálenost bodu M[ ; y ] od přímky p a + by + c = je dána d(m, p) = a + by + c a + b. Pro odchylku dvou přímek p a + b y + c = a p a + b y + c = lze odvodit a a + b b cos ϕ =, ϕ ; π a + b a + b. Jsou-li přímky p a p kolmé, pak pro jejich směrnice k a k platí k k =. Příklad 3. Přímka je určena body A[6; ], B[; 3]. Najděte všechny tvary rovnice této přímky. Směrový vektor této přímky je s = ( 4; 4). Parametrické rovnice tedy jsou = 6 4t, y = + 4t, t R. Sečtením těchto rovnic a vyloučením parametru t dostaneme obecnou rovnici + y 5 =. Jednoduchou úpravou dostáváme 5 + y 5 =, připomínáme tímto úsekový tvar rovnice přímky. Úseky, které přímka vytíná na souřadnicových osách jsou stejné a rovny pěti. Z obecného tvaru odvodíme směrnicový y = + 5. Vidíme, že směrnice k =, úhel přímky s kladným směrem osy je α = 3π 4. Příklad 3. V trojúhelníku ABC, kde A[7; 8], B[5; ], C[ 3; 6], určete velikost výšky v a a napište rovnici přímky, na níž leží výška v a. Výška v a má velikost rovnou vzdálenosti bodu A od přímky p, na níž leží strana BC. Je BC = C B = ( 8; 4). Parametrické rovnice přímky p jsou: Odtud obecná rovnice y 9 =. Tedy = 3 8t, y = 6 4t. d(a, p) = =

13 Matematický seminář Směrnicová rovnice přímky p je y = 9, směrnice výšky v a je tedy k = =. Rovnice přímky rovnoběžné s výškou pak je y = + q a posunutí q dostaneme z podmínky, že výška v a bodem A prochází, tedy 8 = 7 + q q =. Je tedy + = y rovnice přímky na níž výška v a leží. Příklad 3.3 Určete odchylku přímek Je cos ϕ = a a + b b a + b a + b p 3 y + = a p 5 + y 3 =. = 3 5 = 3 = Přímka v prostoru a rovnice roviny Přímka p v prostoru:, tedy ϕ = π 4. Je-li přímka p určena bodem A[a ; a ; a 3 ] a nenulovým směrovým vektorem s(s ; s ; s 3 ) jsou její parametrické rovnice = a + ts, y = a + ts, z = a 3 + ts 3, t R. Zkrácený zápis p {[a + ts ; a + ts ; a 3 + ts 3 ], t R}. Přímku v prostoru lze také zadat jako průsečnici dvou různoběžných rovin. Rovina ϱ v prostoru: Je-li rovina ϱ určena bodem A[a ; a ; a 3 ] a dvěma nenulovými, nekolineárními vektory u(u ; u ; u 3 ) a v(v ; v ; v 3 ) jsou její parametrická rovnice = a + tu + rv, y = a + tu + rv, z = a 3 + tu 3 + rv 3, t, r R. Zkrácený zápis ϱ {[a + tu + rv ; a + tu + rv ; a 3 + tu 3 + rv 3 ], t, r R}. Vyloučením parametrů t, r z parametrických rovnic dostaneme obecnou (normálovou) rovnici roviny ϱ ve tvaru a + by + cz + d =, kde alespoň jeden z koeficientů a, b, c je nenulový. Vektor n(a; b; c) je normálový vektor roviny ϱ. Vzdálenost bodu X[ ; y ; z ] od roviny ϱ je d(x, ϱ) = a + by + cz + d a + b + c.

14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 3.4 Najděte rovnici roviny ϱ, která prochází bodem A[5; ; ] a má normálový vektor n( ; ; ). Souřadnice normálového vektoru jsou koeficienty a, b, c v obecné rovnici roviny. Tedy ϱ + y + z + d =. Bod A leží v rovině, potom 5 + z + d = d = 6. ϱ + y + z + 6 = Příklad 3.5 Rovina ϱ je určena body A[4; ; 3], B[4; ; 5], C[; ; 3]. Najděte parametrické vyjádření a obecnou (normálovou) rovnici ϱ. Je AB = (; ; ), AC = ( 3; ; 6). Pak parametrické rovnice roviny ϱ jsou = 4 + t 3r, y = + t + r, z = 3 + t 6r, t, r R. Vyloučením parametrů t, r z těchto rovnic dostaneme ϱ + 6y 3z 3 =. Příklad 3.6 Určete vzdálenost dvou rovnoběžných rovin: ϱ 4 y z 3 =, ϱ y z =. V rovině ϱ volíme například bod X(; ; 3 ) a počítame d(x, ϱ ) = = 6 = 6.

15 Matematický seminář Kuželosečky v rovině Kružnice k(s, r) se středem v S[m; n] a poloměrem r > má středovou rovnici ( m) + (y n) = r. Elipsa se středem v bodě S[m; n] a poloosami (rovnoběžnými se souřadnicovými osami) velikosti a a b má středovou rovnici y ( m) (y n) + =. a b y r b S[m,n] a S[m,n] Kružnice k(s, r) Elipsa Příklad 3.7 Určete rovnici kružnice k, je-li určena středem S a poloměrem r : a) S[; 3], r = b) S[ ; ], r = Dosazením do středového tvaru rovnice kružnice dostaneme: a) ( ) + (y + 3) = ( ) + (y + 3) = b) ( + ) + (y ) = Příklad 3.8 Najděte střed a poloměr kružnice k + y 5 + 4y =. Rovnici kružnice upravíme doplněním na úplný čtverec: 5 + ( 5 ) + y + 4y + 4 = + ( 5 ) + 4 ( 5 ) + (y + ) = ( 7 ) S[ 5 ; ], r = 7.

16 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 3.9 Rozhodněte, zda rovnice a) 5 + 6y + 96y 56 = b) 9 + 4y y + 5 = je rovnicí elipsy. Určete střed a délku poloos. a) Upravíme: 5( ) + 6(y 6y + 9) = ( + ) + 6(y 3) = 4 Je tedy S[ ; 3], a = 4, b = 5. ( + ) (y 3) + = 4 5 b) Podobně 9( 4 + 4) + 4(y + y + 5) = ( ) + 4(y + 5) = 6. Na levé straně je číslo nezáporné, na pravé záporné, daná rovnice není rovnici elipsy. Hyperbola se středem v bodě S[m; n] a poloosami (rovnoběžnými se souřadnicovými osami) a a b má středovou rovnici ( m) (y n) ( m) (y n) = nebo + =. a b a b y y S S Příklad 3. Najděte průsečíky hyperboly y = 5 s osou O (vrcholy hyperboly). Rovnice osy O je y =, pak 49 = 5, = ± 5 7. Je tedy V [ 5 7 ; ], V [ 5 7 ; ].

17 Matematický seminář 5 Parabola je nestředová kuželosečka. Je-li její vrchol V [m; n], pak rovnice paraboly je (y n) = p( m) nebo ( m) = p(y n). y y V V osa paraboly je rovnoběžná s osou, p > osa paraboly je rovnoběžná s osou y, p > Příklad 3. Najděte vrchol a osu paraboly 3y 6 + y + 5 =. Upravíme na vrcholový tvar 3(y + 4y + 4) = 6 5 +, tedy (y + ) = ( ). Vrchol paraboly je V [ ; ], osa je rovnoběžná s osou O, parametr p =. Příklad 3. Jsou dány tři po sobě jdoucí vrcholy rovnoběžníka ABCD, kde A[; ; ], B[4; ; ], C[7; 4; 3]. Určete vrchol D. Příklad 3.3 Najděte vnitřní úhly trojúhelníku o vrcholech A[; 4; 9], B[ ; 4; 5], C[6; 4; 6]. [D[5; ; 5]] [α = π, β = γ = π 4 ] Příklad 3.4 Pro jakou hodnotu parametru a jsou přímky p a q rovnoběžné, je-li p 3a 8y + 3 = a q (a + ) ay =. [a {, 3 }] Příklad 3.5 Přímka p a + 3y =. Určete a tak, aby přímka svírala s kladným směrem osy úhel 3 4 π. [a = 3] Příklad 3.6 Najděte rovnici přímky, která prochází bodem A[4; ] a má od počátku vzdálenost d =. [p y + =, p 4 + 3y = ]

18 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 3.7 Najděte obecnou rovnici přímky, která prochází bodem M[5; 3] a průsečíkem přímek 3 5y + =, 5 + y 4 =. [ + y = ] Příklad 3.8 Určete množinu bodů, které mají od bodů A[7; 3], B[ ; ] stejnou vzdálenost. [8 8y 53 = ] Příklad 3.9 Přímka p je dána rovnicemi = + t, y = 3 t, t R. Určete parametrické rovnice přímky q, je-li p q a dále q prochází bodem Q[; 3]. [ = + t, y = 3 + t, t R] Příklad 3. Najděte číslo n, aby body A[3; 4], B[; n], C[ ; ] ležely na jedné přímce. [n = ] Příklad 3. Najděte parametrické rovnice přímky procházející bodem A[4; 5; 7] rovnoběžně a) s osou O, b) s osou O y, c) s osou O z, d) s přímkou p = 3 t, y = + t, z = 3, t R. [a) = 4 + t, y = 5, z = 7, t R; b) = 4, y = 5 + t, z = 7, t R; c) = 4, y = 5, z = 7 + t, t R; d) = 4 t, y = 5 + t, z = 7, t R] Příklad 3. Určete odchylku ϕ rovin ϱ + y z + = a σ y + z =. [ϕ = π ] Příklad 3.3 Rozhodněte, která z rovin ϱ y 3 =, σ + y z + = má větší vzdálenost od počátku souřadnic. Příklad 3.4 Určete rovnici průsečnice rovin ϱ 3 + y z = a σ y + z =. [rovina ϱ] [p = t, y = 3t, z = 3t, t R] Příklad 3.5 Najděte rovnici kružnice opsané trojúhelníku o vrcholech A[; ], B[7; 7], C[; ]. [k + y 3y + 7 = ]

19 Matematický seminář 7 Příklad 3.6 Najděte rovnici kružnice, která se dotýká obou souřadnicových os a prochází bodem M[; 4]. [k ( ) + (y ) =, k ( ) + (y ) = 4] Příklad 3.7 Jsou dány body A[; 3], B[; 4], C[ 3; 5]. Popište jejich polohu vzhledem k elipse 5 + 9y = 45. [A je uvnitř, B je uvnitř, C je bod elipsy] Příklad 3.8 Najděte rovnici elipsy s osami rovnoběžnými se souřadnicovými, jestliže se osy O dotýká v bodě A[ 4; ] a osy O y v bodě B[; 5]. Příklad 3.9 Hyperbola má rovnici 9 4y 8 8y 3 =. Najděte její střed a délky poloos. [ (+4) 6 + (y 5) 5 = ] [S[, ], a =, b = 3] Příklad 3.3 Najděte rovnici hyperboly, jsou-li její vrcholy V [; ], V [8; ] a prochází bodem M[ ; 5]. [ ( 4) 6 (y ) 6 = ] Příklad 3.3 Najděte rovnici paraboly, která má vrchol v počátku a prochází body A[8; 3], B[ 8; 3]. [ = 64 3 y] Příklad 3.3 Najděte rovnici paraboly, jejíž osa je rovnoběžná s osou O, vrchol V [8; 5], parametr p = 4. [(y 5) = 8( 8)] Příklad 3.33 Najděte rovnici přímky, která prochází průsečíky paraboly kružnice + y + 64 =. y = 8 a [p = ]

20 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4 Úpravy agebraických výrazů a rovnice 4. Úpravy agebraických výrazů Algebraický výraz je zápis, který je správně vytvořen z matematických operačních znaků, čísel, proměnných, výsledků operací a hodnot funkcí. Při úpravách používame poznatků o mocninách, odmocninách, zlomcích a mnohočlenech tak, abychom výraz převedli na nejjednodušší tvar. Nutnou součástí řešení jsou podmínky, které stanoví, kdy jsou výrazy definovány. Pravidla pro počítání s mocninami: Pro každé reálné r, s a každé a >, b >, (respektive pro každé celé r, s a každé a, b ) platí: a = a r = a, r a r a s = a r+s a r : a s = a r s (a r ) s = a rs (ab)r = a r b r ( a b ( a b ) r = a r b r ) = b a Pravidla pro počítání s odmocninami: Necht m, n N, a. Pak platí: n a = a n. Pro a = je n =. Pro n = je a = a. Pro n = zapisujeme a = a. n a n b = n ab, a b n a n b = n a b, a b > ( n a) m = n a m = a m n, a m n a = mn a, a Rozklady nejjednodušších mnohočlenů: (a ± b) = a ± ab + b (a ± b) 3 = a 3 ± 3a b + 3ab ± b 3 a b = (a b)(a + b) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b )

21 Matematický seminář 9 Rozklad kvadratického trojčlenu na součin kořenových činitelů: Jsou-li, kořeny kvadratického trojčlenu a + b + c, kde a, pak platí: a + b + c = a( )( ) Připomínáme definici absolutní hodnoty: Každému reálnému číslu a přiřazujeme právě jedno nezáporné číslo a takto: a pro a a = a pro a <. Jestliže a, b jsou reálná čísla, pak absolutní hodnota má tyto vlastnosti: ) a = ma{a, a} 5) ab = a b ) a = a 6) a n = a n, pro každé přirozené n 3) a a 7) a = a, b b pro každé b 4) a = a 8) a + b a + b, (trojuhelníková nerovnost) 9) Necht ε >, pak pro libovolná reálná čísla a, platí: a ε < < a + ε a < ε Příklad 4. Upravte výraz V na nejjednodušší tvar: a) V = 3 ( ) + +, Pro > : V = [ ( )] [ ( )] + = 83 + Pro < : V = ( ) ( ) + = 83 b) V = V = ( ) 3( ) ( 3) = platí pro,, 3. ( )( + )( 3) ( + )( 3) =,

22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně c) V = a b ab + a b a b (a b )(ab + a b + ) V = a + b b b a a ( )( a + b + ) a b a b b a a b a b = a4 a 3 b + b 4 ab 3 (b a)(a + b + ab) = = a3 (a b) b 3 (a b) (a b)(a + ab + b ) = (a b)(a3 b 3 ) (a 3 b 3 ) pro a b a b. d) V = = b a, ( 3 + )( ) + ( 3 + )( + ) = = 3 + = ( ) ( ) = ( ); Pro : V = Pro < : V = 4. Rovnice Jsou-li f() a g() funkce proměnné definované na množině D R, pak úloha najít všechna D, pro něž f() = g(), znamená řešit rovnici o jedné neznámé. Lineární rovnici o jedné neznámé R lze psát ve tvaru a + b =, kde a R, b R, a. Má právě jeden kořen = b a. Graficky tento kořen určíme jako průsečík přímky y = a + b s osou. Příklad 4. V oboru reálných čísel řešte rovnici ( ) 3 = 9 Celou rovnici vynásobíme 8, tím se zbavíme zlomků: 5( + ). 8 6( ) 44( 3) = 79 55( + )

23 Matematický seminář a po roznásobení je: sloučíme = , = , k oběma stranám rovnice přičteme a to je rovnice tvaru a + b =. Takže 7 6 = = 6 7 = 3. Nemusíme provádět zkoušku, veškeré úpravy (násobení rovnice nenulovým číslem, přičítání stejného čísla k oběma stranám rovnice) jsou ekvivalentní. Zkouška pak má jen charakter kontroly výpočtu. Příklad 4.3 a) = Řešte v R rovnici: b) 3 + ( 7 6 ) = 5. 3 a) Řešíme za předpokladu + 7, tzn. 7, úpravou: ( + 7) + 3 = = + = 7 což je spor { } b) Zbavíme se zlomků 3(3 + ) 7 + ( ) = = 3 = Rovnice má nekonečně mnoho řešení = t, t R. Kvadratickou rovnici o jedné neznámé R lze psát ve tvaru a + b + c =, kde a, b, c R, a. Kořeny této rovnice vypočítáme pomocí diskriminantu D = b 4ac. Pro D > dostaneme dva reálné různé kořeny, = b ± D. a Pro D = dostaneme jeden dvojnásobný kořen, = b a. Pro D < nemá rovnice v R řešení. Graficky kořeny určíme jako průsečíky paraboly y = a + b + c s osou.

24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 4.4 Řešte v R následující kvadratické rovnice: a) =, = 4 ± 6 + = 4 ± 6 = = 5 b) =, = 6 ± = 3 dvojnásobný kořen c) =, = 4 ± 6 6 v R nemá rovnice řešení d) + 6 = ( + 6) = = = 6 e) 5 4 = ( 5 )( 5 + ) = = 5 5 = 5 5 f) + 6 = v R neřešitelná rovnice Příklad 4.5 Napište kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou = 3 3 a = 3. ( )( ) = ( + 3 3)( 3) = = Nebo podle vztahů mezi kořeny, a koeficienty p, q kvadratické rovnice + p + q = kde + = p, = q pak a úpravou dostaneme + (+3 3 3) = =. Při řešení rovnic s absolutní hodnotou vycházíme z definice absolutní hodnoty a řešíme rovnice v intervalech, které dostaneme pomocí tzv. kritických bodů. Příklad 4.6 V oboru reálných čísel řešte rovnice s absolutními hodnotami: a) = 5 b) 7 + = 3 c) 3 = + d) = + 3 a) Pro (, ), rovnice přejde v rovnici 3 4( ) = 5. Tato má řešení =, které patří do daného intervalu. 9

25 Matematický seminář 3 Pro, ) : 3 + 4( ) = 5 = 5, ) Sjednocení řešení pak je = 9. b) (, ) : = 3 = (, ), 7 ) : = 3 =, 7 ) 7, ) : 7 + = 3 = 4 7, ) Závěr: {, 4} c) (, ) : 3 + = + = (, ), ) : 3 + = + = Závěr:, ) d) (, 3 ) : = + 3 = 3 5 (, 3 ) 3, ) : = + 3 = 3, ) Závěr: {, 3 5 } Rovnice s parametrem jsou rovnice, které kromě neznámých obsahují ještě další proměnné - parametry. Řešení rovnic s parametry spočívá v určení kořenů v závislosti na parametrech a v úplném rozboru všech možností parametrů. Příklad 4.7 Řešte v R rovnici + + a + a = a, kde a R je parametr. a Pro a = rovnice nemá smysl. Pro a dostaneme a + a a = a pro a = : =, spor (a ) = a + = pro a : = a+ a Závěr: a = rovnice nemá smysl a = rovnice nemá řešení a a rovnice má jediné řešení = a + a Příklad 4.8 Pro které hodnoty reálného parametru m má kvadratická rovnice + 3 m + m + 3 = o neznámé R jeden kořen rovný nule? Najděte druhý kořen.

26 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Absolutní člen m + m + 3 = m, = ± Druhý kořen = 3. m = m = 3. Příklad 4.9 Pro které hodnoty parametru t má kvadratická rovnice + t + = reálné různé kořeny? Reálné různé kořeny D = t 6 > t > 6 t > 4 t (, 4) (4, ) Algebraické rovnice vyššího stupně řešíme převodem na součinový tvar, někdy jako rovnice binomické. Příklad 4. V oboru reálných čísel řešte rovnice: a) 4 = 6 b) = a) 4 6 =, upravíme na součinový tvar ( )( + )( + 4) = reálné kořeny jsou =, = b) = ( + ) = { } Iracionální rovnice obsahují odmocniny z výrazů s neznámou. Odmocniny odstraňujeme neekvivalentní úpravou - umocněním, proto je nutně součastí řešení zkouška. Příklad 4. V oboru reálných čísel řešte iracionální rovnici: a) 4 = b) 7 5 = 3 a) Řešíme za předpokladu 4 4 Umocněním dostaneme ( 4) = + 6 =, = ± 64 Podmínce řešitelnosti vyhovuje pouze = 8. Umocnění je neekvivalentní operace, provedeme zkoušku: } L(8) = 8 4 = 4 P (8) = = 8 6 = 4 = ± 6 b) Řešíme za předpokladu 7 5 {} rovnice nemá řešení.

27 Matematický seminář 5 Logaritmické rovnice jsou rovnice, v nichž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou R. Jestliže stanovíme podmínky řešitelnosti a řešíme ekvivalentními úpravami, pak zkouška není nutná. Příklad 4. Řešte v R logaritmické rovnice: a) log + 3 log = 4 b) log( 3) = log( 3) a) Podmínky: > log (, ) (, ). Rovnici vynásobíme log, dostaneme log 4 log + 3 = Odtud log = 3 log =, je tedy = 3 =. Obě řešení patří do oboru řešitelnosti. b) Podmínky > 3 > 3 > 3. Úpravou log( 3) = log( 3). Pak 3 = ( 3), neboli 3 = Z toho = = 4, =. Podmínkám vyhovuje pouze = 4. Eponenciální rovnice jsou rovnice, kde neznámá R se vyskytuje v eponentu nějaké mocniny. Rovnice řešíme bud logaritmováním, nebo porovnáním eponentu při stejném základu, často až po úpravách. Příklad 4.3 a) ( 4 5 ) +3 Řešte v R eponenciální rovnice. ( 5 8 ) 4 = 5 a) Upravíme vše na mocniny o základu a = 5. b) = c) = ( 5 (+3) ) ( 5 3(4 ) ) = = = = b) Položíme = y, pak 3y + 8 =, neboli y 3y y + 8 =. Kořeny y, = ± 96 = 4 3

28 6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Pak je = =. Druhý kořen = 4 3 a logaritmováním = log 3. c) Položíme 3 = y, pak y + y 3 = (y )(y + 3) =. y = 3 = = y = 3 není možné, nebot 3 > R. Zůstává =. Příklad 4.4 Užitím rozkladu kvadratického trojčlenu převed te na součin: a) b) c) [a) 3 ( 8)( + 7); b) ( )( + )( + 3); c) ( + 5)( 5)( + 8)( 8)] Příklad 4.5 Zjednodušte následující výrazy: a) y + y y y b) a y a + b a b a + ( c) + y + y ) ( ) y y : y + y + y ( a b d) + b ) ( a + b + ) a b a ( a 4 ) b4 b a : (a b ) e) + (4 a ) ( a) a ( + a) + (4 a ) a ( ) [( + y f) + y : + ) ] 3 y 3 y + y ( g) v + u v ) ( ) v(u v) : h) + uv + uv ( a + : a ) a [a) y +y, ±y; b) a (a b), a a b; c), ±y y; Příklad 4.6 Usměrněte zlomky: d), a b a ±b; e) a +, a ( ; ) (; ); f) y y, y y ; g) u, uv ; h) 3, ] a) b) [a) 5 + 6; b) + 4, > ]

29 Matematický seminář 7 Příklad 4.7 Na základě vět o absolutní hodnotě reálného čísla zjistěte, pro která čísla platí rovnosti: a) ( )( 4) = ( )( 4) b) ( 4)( 3) = 4 3 c) ( )( 5) = ( )( 5) d), 5, 5, =, e) 3 = 3 [a) 4 b) R c), 5 ; d) R {,} e) (, 3 ] Příklad 4.8 Rozhodněte, který z výroků je pravdivý: a) < < < b) < 3 c) < 3 < 4 d) 3; 5) < 5 [a) pravdivý; b) není pravdivý; c) není pravdivý; d) není pravdivý] Příklad 4.9 Řešte v R rovnici = 8 3. [ = 5 = 5] 4 Příklad 4. Řešte v R následující rovnice: a) + 6 = b) + + = c) = 4 d) 3 5 = e), +, = f) ( ) = 3 [a) = 5 = ; b) = ; c) = 9 = 4; d) = = 3 ; e), =, f) { }] Příklad 4. Řešte v R rovnici a = (4 + ), parametr a R. 3 a [a ; pro a = rovnice nemá řešení; a = nekonečně mnoho řešení = t, t R; a,, je = a(a ) ] Příklad 4. Určete reálnou hodnotu parametru a tak, aby rovnice 6a a+ = 5, R měla kladný kořen. [ = 3(a 5) a >, a (, ) ( 5, )]

30 8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 4.3 Pro které reálné hodnoty parametru má rovnice a) t + t = reálné různé kořeny? b) + m m = jeden kořen roven nule? [a) t (, ) (, ); b) m = 3 m = 4; 3 3 =, = ] Příklad 4.4 Najděte kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou =, = 3. [ = ] Příklad 4.5 Řešte v R iracionální rovnice: a) + 4 = b) + + = + 3 c) 3 4 = d) = e) + + = 3 [a) = 3; b) = 5 ; c) = 6 d) {}; e) = 5 3 ] Příklad 4.6 Řešte v R logaritmické rovnice: a) log (4 + 6) log ( ) = b) log ( ) = log (4 ) c) log ( + ) + log ( ) = log + log ( + ) d) log ( 3) = log ( 3) [a) = ; b) = 5; c) { }; d) = 6] Příklad 4.7 Řešte v R eponenciální rovnice: a) = 49 b) = c) = d) 64 5 ( ) = ( 5 5 ) 3 [a) = ; b) = 4, 48; c) = ; d) = 4 = 3 ]

31 Matematický seminář 9 5 Soustavy rovnic 5. Soustavy lineárních rovnic Několik rovnic o dvou a více neznámých, které mají být současně splněny, tvoří soustavu rovnic. Řešením soustavy je průnik řešení jednotlivých rovnic. Při řešení soustavy se používají ekvivalentní úpravy soustavy rovnic, tj. takové úpravy, jimiž se nemění řešení soustavy. V takovém případě není nutná zkouška, ale je vhodná pro kontrolu. Přehled ekvivalentních úprav soustavy rovnic: Nahrazení libovolné rovnice soustavy rovnicí, která je s ní ekvivalentní, tj.má totéž řešení. Nahrazení libovolné rovnice soustavy součtem této rovnice a libovolné jiné rovnice soustavy. Dosazení neznámé nebo výrazu s neznámou z jedné rovnice soustavy do jiné její rovnice. My se budeme zabývat soustavou lineárních rovnic. Základním typem metod řešení lineárních algebraických rovnic jsou eliminační metody, jejichž podstatou je postupná eliminace (vylučování) neznámých z rovnic soustavy. Podle způsobu, jimž eliminujeme jednu neznámou, rozlišujeme několik metod řešení: Metoda sčítací - rovnice soustavy násobíme čísly zvolenými tak, aby se po sečtení vynásobených rovnic jedna neznámá vyloučila. Příklad 5. Metodou sčítací řešte v R R soustavu rovnic. y = + 3y =. První rovnici vynásobíme třemi, dostávame rovnici 6 3y = 3. Získali jsme tímto způsobem ekvivalentní soustavu 6 3y = 3 + 3y =. Rovnice ted sečteme, tím vyloučíme neznámou y a pro neznámou dostáváme rovnici 7 = 4, =. Obdobně lze vyloučit neznámou vynásobením druhé rovnice minus dvěma a sečtením s první rovnicí. Dostáváme rovnici 7y =, y = 3. Řešením soustavy je uspořádaná dvojice [, y], =, y = 3.

32 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Metoda dosazovací - vyjádříme jednu neznámou z jedné rovnice soustavy a dosadíme ji do dalších rovnic, čímž se jedna neznámá ze soustavy vyloučí. Příklad 5. Metodou dosazovací řešte v R R soustavu rovnic. y = y = 9. Z první rovnice vyjádříme y = 5, a dosadíme do druhé rovnice. Dostáváme 3 + 4( 5) = 9, = 9 +, =. Potom y = 5 = 5 = 3. Dostali jsme řešení =, y = 3. Metodu sčítací a dosazovací můžeme také kombinovat. Příklad 5.3 V R R řešte soustavy rovnic: a) + y = 4 b) 4 + 4y = 3 c) 3y = 5 + 3y = y = 4 6y = a) + y = 4 / ( 3) 3 3y = = 5, y = + 3y = 7 + 3y = 7 b) 4 + 4y = y = 3 soustava nemá 7 + y = / 4 + 4y = 4 řešení c) 3y = 5 / 4 6y = 4 6y = 4 6y = soustava má nekonečně mnoho řešení = t, y = (t 5), t R 3 5. Gaussova eliminační metoda Při řešení více než dvou rovnic je nejvýhodnější použití Gaussovy eliminační metody, která spočívá v postupném převedení dané soustavy rovnic ekvivalentními úpravami na tzv. trojúhelníkový tvar. Příklad 5.4 Užitím Gaussovy eliminační metody řešte v R R R soustavu rovnic y z = 5 () 8 + 6y + 3z = 5 () 3 7y + 4z = 7 (3)

33 Matematický seminář 3 Nejprve soustavu upravíme tak aby v první rovnici koeficient u neznámé byl. Bylo by možné toho dosáhnout dělením první rovnice číslem 9, tím bychom ovšem dostali v první rovnici desetinná čísla. Raději od první rovnice odečteme druhou, čímž dostaneme soustavu rovnic: y 5z = () 8 + 6y + 3z = 5 () 3 7y + 4z = 7 (3) Dále v získané soustavě od druhé rovnice odečteme 8-krát první, a od třetí rovnice odečteme 3-krát první. Tím eliminujeme neznámou v těchto rovnicích a dostáváme tuto ekvivalentní soustavu: y 5z = () 4y + 43z = 5 () 4y + 9z = 7 (3) Nyní druhou rovnici dělíme čtrnácti, abychom u neznámé y získali koeficient. Dále k třetí rovnici přičteme 4-krát druhou, čímž v ní eliminujeme neznámou y. Tím přecházíme k této soustavě rovnic: y 5z = () y z = 43 5 () 9z = 9 (3) Tato soustava má trojúhelníkový tvar a její řešení určíme snadno takto: Z třetí rovnice po dělení číslem 9 dostáváme: z =. Dosazením do druhé rovnice vypočteme y = (5 43) = 4 a po dosazení do první rovnice vychází = + 5 = 3. Dostali jsme řešení = 3, y =, z =. Příklad 5.5 V R 3 řešte soustavy rovnic: a) + y + 3z = 7 b) + y + 3z = c) + y + 3z = 3 y + z = 6 + 3y + 5z = + 4y + 6z = + y + z = 4 + 5y + 8z = y + z = 4 Soustavy budeme řešit Gaussovou eliminační metodou. a) + y + 3z = 7 + y + 3z = 7 + y + 3z = 7 3 y + z = 6 7y 8z = 5 y + z = 3 + y + z = 4 y + z = 3 6z = 6

34 3 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Tato soustava má trojúhelníkový tvar a můžeme jej snadno vyřešit. Postupně dostáváme z =, y = 3 z =, = 7 y 3z = 7 3 =. Dostali jsme tedy řešení =, y =, z =. b) + y + 3z = + y + 3z = + y + 3z = + 3y + 5z = y + z = y + z = + 5y + 8z = y + z = = 9 Z trojuhelníkového tvaru vidíme, že soustava nemá řešení. c) + y + 3z = + y + 3z = + y + 3z = + 4y + 6z = = 3y + z = 3 y + z = 4 3y + z = 3 soustava má nekonečně mnoho řešení. Zvolíme-li z = t, pak postupně máme y = 3 t a = t + 3t = t. Řešením soustavy potom bude uspořádaná trojice = t, y = t, z = t, t R. 3 Příklad 5.6 Řešte v R R soustavy lineárních rovnic: a) 8 3y + = b) 6y = c) + y = y 33 = 3y = 4 + 4y = 8 [a) = 3, y = ; b) nemá řešení; c) = 4 a, y = a, a R] Příklad 5.7 Převedením na trojúhelníkový tvar řešte v R 3 soustavy rovnic: a) 3y + 4z = 8 b) + 4y 3z = c) + y + 4z = y z = 3y z = 5 + y + z = 9 7 y + 7z = 5 + y 4z = 3 y + z = [a) nemá řešení; b) = 3t/7, y = t/7, z = t; c) = 3, y = 4, z = 5] Příklad 5.8 Převedením na trojúhelníkový tvar řešte v R 4 soustavy rovnic: a) 3y + 6z u = b) + y z u = + y z = + y + z + u = 8 + 3y z u = y z + u = 9 y + 5z 5u = + y + z u = 4 [a) soustava nemá řešení; b) =, y =, z =, u = 3]

35 Matematický seminář 33 Příklad 5.9 Určete vzájemnou polohu tří rovin: α : 3y + z = β : + y z 3 = γ : + y + z = [roviny se protínají v bodě [, 3, 5]] Příklad 5. Užitím Gaussovy eliminační metody řešte v R 3 soustavu rovnic v závislosti na parametru a. + 9y + z = 7a y + 4z = 3a 6 4 6y + z = a 8 [[, y, z] = [a, a/3, a/]]

36 34 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 6 Řešení nerovnic 6. Operace s nerovnicemi Jsou-li f a g funkce proměnné definované na množině D R, pak úloha: najděte všechna D, která po dosazení do jednoho ze vztahů: f() < g(), f() > g(), f() g(), f() g() dají pravdivou nerovnost znamená řešit nerovnici s neznámou. Při řešení nerovnic používáme ekvivalentní úpravy:. Záměna stran nerovnice se současnou změnou znaku nerovnice: f() < g() g() > f(). Přičtení konstanty nebo funkce h(), definované v D, k oběma stranám nerovnice: f() < g() f() + h() < g() + h() 3. Násobení nenulovou konstantou nebo funkcí h() definovanou v D : a) h() > pro D : f() < g() f()h() < g()h() b) h() < pro D : f() < g() f()h() > g()h() 4. Umocnění pro případ nezáporných stran nerovnice: f() < g() f n () < g n (), n N 5. Odmocnění pro případ nezáporných stran nerovnice: f() < g() n f() < n g(), n N Pokud používáme při řešení nerovnic ekvivalentní úpravy, není potřeba provádět zkoušku, snad jen pro vyloučení vlastních chyb. Klasifikace nerovnic Elementární nerovnice s neznámou můžeme rozdělit (podobně jako rovnice) podle toho, v jaké pozici se v dané nerovnici nachází neznámá. Rozlišujeme nerovnice lineární a kvadratické, nerovnice s absolutní hodnotou, eponenciální a logaritmické nerovnice, iracionální nerovnice. Postup řešení pro jednotlivé typy nerovnic ukážeme na příkladech.

37 Matematický seminář Lineární nerovnice Příklad 6. Řešte v R nerovnici Odstraníme zlomky a upravíme roznásobením. ( 7) 4(8 ) 6 8( 4) \ ( ) 5 5; ) Příklad 6. Řešte v N nerovnici Odstraníme zlomky a upravíme roznásobením, stejně jako když hledáme řešení nerovnice v R \ 4 3 (5 6) Hledáme řešení v oboru přirozených čísel. Dostaneme 43 9 N {,, 3, 4} Příklad 6.3 Řešte v R nerovnici v podílovém tvaru 4 >.

38 36 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 4 > [( ) > ( 4) > ] [( ) < ( 4) < ] [ < > 4] [ > < 4] 4 < < { } (4; ) Jiný způsob řešení: Najdeme tzv. nulové body čitatele a jmenovatele - to jsou body, ve kterých je polynom v čitateli nebo ve jmenovateli rovný nule - a v intervalech mezi nulovými body zjistíme znaménko čitatele, jmenovatele a nakonec celého zlomku. ( ; 4) (4; ) (; ) podíl Máme ostrou nerovnost, takže řešením naší nerovnice je (4; ). Příklad 6.4 Řešte v R nerovnici 4 +. Upravíme na podílový tvar: ( + ) Můžeme využít nulových bodů čitatele a jmenovatele, pak dostaneme řešení ( ; 4) ; ) Danou rovnici můžeme řešit i jinak: 4 + \ (4 + ) a) 4 + > 4 + Dostali jsme, že b) 4 + < 4 + Dostali jsme, že ( > 4 ). ( < 4 ) < 4. Tedy < 4 čili ( ; 4) ; ).

39 Matematický seminář Kvadratická nerovnice Příklad 6.5 Řešte v R nerovnici ( 5)( + ) [( 5) ( + ) ] [( 5) ( + ) ] 5 ( ; 5; ) Úlohu můžeme řešit i pomocí nulových bodů polynomu nebo také graficky: y = 4 5 je rovnice paraboly, y její vrcholový tvar je y + 9 = ( ), 5 vrchol je V [; 9], průsečíky s osou : P [ ; ] P [5; ], protože ( ) = 9 = ±3 = 5, =. Načrtneme graf. Vidíme, že y pro ( ; ) 5; ). 9 V Příklad 6.6 Řešte v R nerovnici ( + 3)( 4) + ( + 4)( ) ( )( 4) Převedeme na podílový tvar ( )( 4) ( ) úpravě čitatele ( )( 4). Pomocí nulových bodů: ( ; ) (; (; 4) (4; ) zlomek a po (; (4; )

40 38 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 6.4 Nerovnice s absolutními hodnotami Příklad 6.7 Řešte v R nerovnici > Pomocí nulových bodů výrazů v absolutních hodnotách rozdělíme R na intervaly, ve kterých nerovnice řešíme. Pro ( ; 3 : > 5 + ( + 3) < 3. }{{} < 3 Pro ( 3; : > 5 ( + 3) <. }{{} { } Pro (; ) : + > 5 ( + 3) >. }{{} > Celé řešení rovnice ( ; 3) (; ). 6.5 Iracionální nerovnice a soustavy nerovnic Příklad 6.8 Řešte v R nerovnici 3 < 5. Nerovnice má smysl pouze pro 3 t.j. 3, potom na obou stranách nerovnice jsou nezáporná čísla a lze umocnit: Řešení je pak 3; 8). 3 < 5 < 8. Příklad 6.9 Řešte v R nerovnici + < 6 4. Řešíme za předpokladu 6 4 +, tedy 7 3. Po umocnění + + < <. Kvadratický trojčlen má komplení kořeny (D < ). Parabola y = nikde neprotne osu, proto řešení je { }.

41 Matematický seminář 39 Příklad 6. Řešte v R soustavu nerovnic + > 3 <. Ekvivalentní soustava je + > ( ) <. Na znaménko polynomu nemají vliv kořeny se sudou násobností. Tedy ( ; ) (; ). Příklad 6. Která přirozená čísla splňují nerovnici Příklad 6. Řešte v R nerovnice: a) < b) + c) 3 + < d) + + > 4. 5 [ {49, 5, 5,...} ] [a) ( ; 4) ( 7 ; ); b) (; 4 ; c) ( ; 3); d) ( ; ] 5 Příklad 6.3 V množině celých záporných čísel řešte nerovnici >. [ { 8, 9,,...} ] Příklad 6.4 Jaké musí být číslo k, aby rovnice 5k 9 = 3k měla kladné řešení? [ < k < 3 ] Příklad 6.5 Řešte v R kvadratické nerovnice: a) 3 > b) 36 c) + + < d), +, [a) ( ; ) (; ); b) ; 8 ; c) { }; d) =,] Příklad 6.6 Pro která m R bude platit (5m )(m ) > pro všechna reálná? [m ( ; 4 ) (; ) ] 5

42 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 6.7 Řešte v R nerovnice: a) b) ( 7 + ) > c) < d) < ( 6) Příklad 6.8 V oboru reálných čísel řešte nerovnice: a) 3 > 5 b) + < 8 Příklad 6.9 Pomocí absolutní hodnoty zapište nerovnice: a) < < b) 3 c) 3 [a) ( ; 3) ( ; ); b) (; ) (5; ); 3 c) ( ; ) (3; 6); d) ( ; ) (3; )] [a) ( ; ) (8; ); b) ( ; 6) ] [a) < ; b) ; c) + ] Příklad 6. Najděte množinu všech řešení nerovnic s absolutní hodnotou: a) + < b) < c) + + d) + e) < f) g) 3 + < h) i) > [a) ( ; ); b) ( ; ); c) 3; ; d) R; e) (; 4 ) (; ); 3 f) ( ; ; g) ; h) R; i) R, 4,, 3 ] Příklad 6. Řešte v R iracionální nerovnice: a) + 6 b) 3 4 c) + < 8 d) + > 4 e) + 8 > 3 [a) ( ; 4 3; 48 3 ; b) 6; ); c) (; ); d) (3; ); e) (3; 5)]

43 Matematický seminář 4 Příklad 6. Řešte v R soustavu nerovnic 4 5 < <. [ (3; 5)] Příklad 6.3 Najděte R, která splňují složenou nerovnost. a) < < + b) 3 < < 3 + [a) 3 < < ; b) 4 < < ] Příklad 6.4 Najděte zlomek, pro nějž platí: zmenšíme-li jmenovatele o, je zlomek roven, zvětšíme-li čitatele o, dostaneme zlomek z intervalu (;3). [ 4 9, 5 ]

44 4 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 7 Elementární funkce 7. Lineární funkce Lineární funkcí nazýváme každou funkci f, která je daná předpisem f : y = k + q, k, q R. Grafem lineární funkce je vždy přímka různoběžná s osou O y. Definiční obor D lineární funkce f (značíme D f ) je R. Obor hodnot funkce f pro k (značíme H f ) je R. Význam konstant k, q je vidět z následujícího obrázku: Pro k = dostáváme konstantní funkci. y y y q q q k > k = tg α, α < π rostoucí funkce k <, k = tg α, α > π klesající funkce k = k = tg α, α = konstantní funkce Příklad 7. Určete lineární funkci, jejímiž prvky jsou uspořádané dvojice [ ; 3], [ ; 4] a jejíž obor funkčních hodnot je interval 6;. Sestrojte graf. Je y = k + q a dosadíme souřadnice bodů. Pak 3 = k + q 4 = k + q. y Řešením této soustavy dostaneme k =, q = 5. 5 Lineární funkce pak je y = 5. Pro y 6; dostaneme krajní body úsečky [; 6], [ 5; ]. 5

45 Matematický seminář 43 Příklad 7. Nakreslete grafy těchto funkcí: a) f : y = + 3 Funkce je definována pro každé R, grafem lineární závislosti je přímka. H(f ) = R Zvolíme = y = 3, dále y = = 3. Tyto průsečíky se souřadnicovými osami nám určí přímku. b) f : y = + pro,5; Příslušná úsečka má krajní body [ ; ] a [; 5] D(f ) =,5;, H(f ) = ; 5 y y f : y = + 3 f : y = + Příklad 7.3 Nakreslete graf funkce y = +. Body =,, rozdělí osu na čtyři intervaly a určíme tvar funkce y v jednotlivých intervalech:

46 44 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně ( ; (; (; (; ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) y + 4 y y Kvadratická funkce y = + Kvadratickou funkcí nazýváme každou funkci, která je daná předpisem f : y = a + b + c, kde a, b, c R, a. Definiční obor kvadratické funkce f je D f = R. Grafem kvadratické funkce je parabola s osou rovnoběžnou s osou y. y y V V f : y = a + b + c, a < f : y = a + b + c, a >

47 Matematický seminář 45 Máme-li sestrojit graf kvadratické funkce y = a + b + c, vyjdeme ze základní paraboly y = a postupnými transformacemi určíme souřadnice vrcholu. Je také vhodné určit průsečíky s osami. Příklad 7.4 Načrtněte graf kvadratické funkce y = Předpis upravíme na tvar y + 3 = 3 4 ( + ) a postupně sestrojíme y =, y = ( + ), y 3 = 3 4 ( + ), y = 3 4 ( + ) 3 neboli y 3 = 3 4 ( + ). 5 y 4 3 y 3 3 y = y y y 4 3 y = ( + ) y y.75 3 y 3 y 3 = 3 ( + ) 4 4 y + 3 = 3 ( + ) 4 Obecně tedy: Rovnoběžným posunutím paraboly y = a do vrcholu V (m; n) dostaneme parabolu y n = a( m). Osa paraboly zůstává rovnoběžná s osou y.

48 46 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 7.3 Mocninná funkce Mocninná funkce s přirozeným eponentem je funkce f : y = n, n N, n >. Definiční obor mocninné funkce je D = R. Příklad 7.5 Načrtněte grafy funkcí f : y = 3, f : y = ( ) 3, f 3 : y = 4 4, f 4 : y = 4 3. Upravíme analogicky jako u kvadratické funkce: f : y + = 3, graf dostaneme posunutím grafu funkce y = 3 do vrcholu V [; ]. f : y + = ( ) 3, V [; ] f 3 : y + = ( + 4 )4, V [; ] f 4 : Nakreslíme postupně grafy y + 3 = 4 a pak y = y. 3 y 3 y y 3 f : y + = 3 y 3 3 f : y + = ( ) 3 y y y y f 3 : y = 4 4 f 4 : y = 4 3

49 Matematický seminář 47 Příklad 7.6 Bez výpočtu rozhodněte, které z čísel 4 3, 3 4 je větší. Upravíme 4 3 = (4 3 ), 3 4 = (3 4 ). Obě mocniny lze chápat jako hodnoty funkce y =. Tato funkce je pro : ) rostoucí, 4 3 < 3 4, proto 4 3 < 3 4. Příklad 7.7 Uvažujme množinu všech kvádrů, jejichž délky hran jsou v poměru : : 3. Určete funkci vyjadřující závislost objemu kvádru na délce jeho nejdelší hrany a načrtněte její graf. V y /9 b Označme délku nejdelší hrany b, pak a = b ; c = b pro b >. 3 3 Pak V = 9 b3. Příklad 7.8 Určete definiční obor funkcí: a) y = 6 b) y = + a) Aby byla funkce y = 6 definovaná, musí být 6, tedy 3. Můžeme tedy psát, že D(f) =< 3, ) b) Definičním oborem funkce bude řešení nerovnice +, Nulové body čitatele a jmenovatele jsou = a =. Dostaneme D(f) = (, ) <, )

50 48 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Mocninná funkce s celým záporným eponentem je funkce f : y = n, n N Definiční obor této funkce D f = R {}. Příklad 7.9 Nakreslete grafy funkcí f : y = a f : y =. y y f : y = f : y = Lineární lomená funkce je funkce daná předpisem f : y = a + b c + d, kde a, b, c, d R, d c, c. Definiční obor této funkce je D f = R { d c }. Nejjednodušší případ nastane pro a = d =, pak y = k a grafem je rovnoosá hyperbola. V případě, kdy ad cb dostaneme po úpravě y a c = a c b a d c + d c opět rovnoosou hyperbolu se středem v bodě S[ d c ; a ], asymptoty procházejí středem a c jsou rovnoběžné s osami souřadnými.

51 Matematický seminář 49 Příklad 7. Nakreslete graf funkce f : y = k (nepřímá úměrnost). y y k k f : y = k k > f : y = k k < Příklad 7. V kartézském souřadnicovém systému nakreslete graf funkce f : y =. Upravíme y = + = + =, tedy y + =. Asymptoty procházejí bodem S[; ]. Můžeme určit průsečíky se souřadnicovými osami: X[; ], Y [;,5] y S[, ]

52 5 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 7.4 Eponenciální funkce a logaritmická funkce Eponenciální funkce o základu a > a je každá funkce f : y = a. Definiční obor této funkce D f = R. Obor hodnot H f = (; ). Pro případ a = e dostaneme přirozenou eponenciální funkci. Graficky: y y y y = a, a > y = a, < a < y = e Inverzní k eponenciální funkci y = a je: Logaritmická funkce o základu a > a. Značíme f : y = log a. Definiční obor D f = { R, > }. Obor hodnot H f = R. Pro základ a = e dostaneme přirozený logaritmus, který používáme nejčastěji. Graficky: y y y y = log a, a > y = log a, < a < y = ln

53 Matematický seminář 5 Příklad 7. V téže kartézské soustavě souřadnic načrtněte grafy funkcí: f =, f =, f 3 = + a f 4 =. Sestavíme tabulku pro získání několika funkčních hodnot: y Příklad 7.3 Načrtněte grafy funkcí: a) y = + 3, R b) y = +, R c) y = ( ), 3; ) [a) y = 5, ( ; ); y = 5, ; ); y = + 5, ; ); b) y =, ( ; ); y =, ; ); c) y = +, 3; ); y =, ; )]

54 5 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Příklad 7.4 Úpravou rovnice paraboly určete souřadnice vrcholu a průsečíky P a P s osou O, průsečík Q s osou O y. a) y = 4 6 b) y = + 4 [a) y = ( ) 8, V [; 8], P [ ; ], P [3; ], Q[; 6]; b) y = ( ) + 4, V [; 4], P [; ], P [4; ], Q[; ] ] Příklad 7.5 Sestrojte graf lineární lomené funkce: a) y = + b) y = + 4 c) y = + Příklad 7.6 Najděte všechna p R, pro něž eponenciální funkce a) rostoucí, ( ) p je p + b) klesající. [ a) p ( ; ); b) p (; ) ] Příklad 7.7 V téže kartézské soustavě souřadnic nakreslete grafy funkcí: a) y =,5, y =,5, y =,5, y =,5 b) y = log 3, y = log 3 ( ), y = log 3 ( + ), y = log 3 Příklad 7.8 Najděte definiční obor těchto funkcí: a) y = log a ( + 3) b) y = log 3 c) y = log 5 ( ) d) y = ln + g) y = log 3 e) y = log 5 4 f) y = log3 h) y = ln + ++ [a) ( 3; ); b) R, ; c) ( ; ); d) ( ; ) (; ); e) ( ; 4); f) ; ); g) (; 3 ); h) (; ] Příklad 7.9 Najděte definiční obor následujících funkcí: a) y = + 7 b) y = 9 + log(3 5) + c) y = + ln ( + ) d) y = e) y = log f) y = log ( + 5) [a) 3; 4 ; b) ( 5; 3 ; c) (; ); d) ( ; 3) ( 9 ; ); e) ; ); f) ; )] 3

55 Matematický seminář 53 8 Vlastnosti funkce jedné proměnné 8. Vlastnosti a druhy funkcí Sudá funkce, lichá funkce Necht je f funkce definována na množině D(f) R, taková, že pro každé D(f) je také D(f). Říkáme, že funkce f je sudá funkce, jestliže pro každé D(f) je f() = f( ). Říkáme, že funkce f je lichá funkce, jestliže pro každé D(f) je f() = f( ). Graf sudé funkce je souměrný podle osy y, graf liché funkce je souměrný podle počátku. Příklad 8. Zjistěte zda funkce : a) y = b) y = 3 c) y = ( ) je sudá nebo lichá. a) D(f) = R, f( ) = ( ) = = f(). Funkce je sudá. 4 3 f() = f(-) - Obrázek 8.: Sudá funkce

56 54 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně 3 f() - 3 f(-) Obrázek 8.: Lichá funkce b) D(f) = R, f( ) = ( ) 3 = 3 = f(). Funkce je lichá. c) D(f) = R, f( ) = ( ) = ( + ) f(), ( + ) f( ). Funkce není ani sudá ani lichá. Periodická funkce Funkce f se nazývá periodická funkce, právě když eistuje takové reálné číslo p, že pro každé D(f) je také ± p D(f) a platí Číslo p se nazývá perioda funkce f. f( ± p) = f(). Jestliže p je perioda funkce f, potom platí, že f( + kp) = f() pro každé D(f) a každé celé k. Má-li tedy periodická funkce f periodu p, pak také každé číslo kp, (k, celé) je rovněž periodou funkce f. Nejvýznamnějšími příklady periodických funkcí jsou goniometrické funkce.

57 Matematický seminář 55 y y y = sin, perioda p = π Omezená funkce y = cotg, perioda p = π Funkce f se nazývá zdola omezená na množině M D(f), právě když eistuje takové reálné číslo d, že pro všechna M je f() d. Funkce f se nazývá shora omezená na množině M D(f), právě když eistuje takové reálné číslo h, že pro všechna M je f() h. Funkce f se nazývá omezená na množině M D(f), a shora omezená na množině M. právě když je zdola omezená Monotonní funkce Funkce f se nazývá rostoucí na množině M D(f), právě když pro každé dva prvky, M platí: Je-li < pak f( ) < f( ). Funkce f se nazývá klesající na množině M D(f), právě když pro každé dva prvky, M platí: Je-li < pak f( ) > f( ). Funkce f se nazývá neklesající na množině M D(f), prvky, M platí: Je-li < pak f( ) f( ). Funkce f se nazývá nerostoucí na množině M D(f), prvky, M platí: Je-li < pak f( ) f( ). právě když pro každé dva právě když pro každé dva Rostoucí a klesající funkce se souhrnně nazývají ryze monotonní funkce na množině M; nerostoucí a neklesající funkce se souhrnně nazývají monotonní funkce na množině M.